消元-解二元一次方程組（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）大單元教學(xué)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

8.2消元一解二元一次方程組(單元教學(xué)設(shè)計(jì))

一、【單元目標(biāo)】

通過情境引入，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)引發(fā)學(xué)生思考二元一次方程組的解法；可以

在課堂上進(jìn)行分組討論，調(diào)動(dòng)每個(gè)學(xué)生的積極性，用不同的方法來解決問題，促進(jìn)學(xué)生思維

的發(fā)散性；

(1)通過列舉《一千零一夜》里面的故事，引發(fā)孩子將故事里面的文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問

題，并自己列出二元一次方程組；再拋出問題一一如何解出這個(gè)二元一次方程組，加深學(xué)生

對(duì)二元一次方程組的理解，并對(duì)二元一次方程組的解有清晰的認(rèn)識(shí)；

(2)通過小組合作探究，讓學(xué)生參與教學(xué)過程，用頭腦風(fēng)暴的方式激發(fā)學(xué)生的積極性，

同時(shí)對(duì)二元一次方程組的解法有更加深刻的理解；

(3)通過典型例題的訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生的做題技巧，訓(xùn)練做題的方法，提升學(xué)生的邏輯

推理素養(yǎng)；

(4)在師生共同思考與合作下，學(xué)生通過概括與抽象、類比的方法，體會(huì)了歸因與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；

二、【單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架】

消元一解二元一次方程組

I加減法

三、【學(xué)情分析】

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

代入法和加減法解二元一次方程組，是解決二元一次方程組問題的關(guān)鍵，也是最基礎(chǔ)的

計(jì)算技巧；通過了解代入法和加減法，可以發(fā)現(xiàn)二元一次方程組的解法核心就是“消元”，

將二元轉(zhuǎn)化為一元，從而達(dá)到解二元一次方程組的目的；

2.認(rèn)知障礙

學(xué)生在使用代入法還是加減法解二元一次方程組時(shí)，會(huì)糾結(jié)用哪個(gè)方法比較好，解的過

程中會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，尤其是帶有復(fù)雜系數(shù)的二元一次方程組；另外就是對(duì)于算出的結(jié)果不

進(jìn)行檢驗(yàn)，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤；對(duì)于一些需要整體代入的二元一次方程組，往往會(huì)出現(xiàn)手足無措

的情況，做題技巧單一；

四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】

課時(shí)安排：約2課時(shí)

教學(xué)重點(diǎn)：代入法解二元一次方程組，加減法解二元一次方程組，整體代入解二元一次

方程組；

教學(xué)難點(diǎn)：整體代入解二元一次方程組；

五、【教學(xué)問題診斷分析】

【情境引入】

《一千零一夜》中有這樣一段文字:有一群鴿子,其中一部分在樹上，另一部分在地上.樹

上的一只鴿子對(duì)地上的鴿子說：“若從你們中飛上來一只，則地上的鴿子為整個(gè)鴿群的三分

之一；若從樹上飛下去一只，則樹上、地上的鴿子一樣多."你知道樹上、地上各有多少只

鴿子嗎？

(x+y=3(?■—1),

我們可以設(shè)樹上有X只鴿子，地上有y只鴿子，得到方程組J可是這

lx—l=y+l.

個(gè)方程組怎么解呢？有幾種解法？

5.1.1用代入法解二元一次方程組

問題L(用代入法解二元一次方程組)用代入法解下列方程組:

'2χ-3尸1,①

2x+3y=-19,①

⑴(2)jy+lx+2

x+5y=l;②

43:②

【破解方法】對(duì)于方程組(1),比較兩個(gè)方程系數(shù)的特點(diǎn)可知應(yīng)將方程②變形為X=I一

2χ-3y=1,(3)

5y,然后代入①求解；對(duì)于方程組(2),應(yīng)將方程組變形為'…觀察③和④中

.4χ-3y=-r5,④

_3y+l

未知數(shù)的系數(shù)，絕對(duì)值最小的是2,一般應(yīng)選取方程③變形，得X

-2,

【解析】解：⑴由②，得x=l-5y.③

把③代入①，得2(1—5月+3了=—19,

2-10y+3y=-19,一7尸一21,y=3.

把尸3代入③，得X=-14.

X=-14,

所以原方程組的解是

尸3；

2A~3y=l,③

(2)將原方程組整理,得

4x~3y--5.④

t

由③，得χ=?"2^!⑤

把⑤代入④，得2(3y+l)—3y=-5,

7

3/=-7,y=-?.

7

把y--§代入⑤，得X=-3.

X——3,

所以原方程組的解是47

L亍

x+1CZ>

-?—-2y,①

問題2：(整體代入法解二元一次方程組)解方程組:

2(X+1)—y=ll.②

【破解方法】當(dāng)所給的方程組比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)，但若兩方程中含有未知數(shù)的部分

相等時(shí)，可把這一部分看作一個(gè)整體求解.

【解析】由①，得x+l=6y.把x+l=6y代入②，得2X6y—y=ll.解得y=l.把y=l

x-?-1x~5，

代入①，得?-=2XLx=5.所以原方程組的解為

?(y=l.

x~2

一'是二元一次方程組

{y=l

ax+by=7,

的解，則a一6的值為()

aχ-by=1

A.1B.—1C.2D.3

【破解方法】解這類題就是根據(jù)方程組解的定義求，將解代入方程組，得到關(guān)于字母系

數(shù)的方程組，解方程組即可.

【解析】把解代入原方程組得∣∣"22La+6=7f,解得?a-所2,以i=T故選B.

5.1.2加減消元法解二元一次方程組

問題4：用加減消元法解下列方程組:

]4x+3y=3,①

⑴

[??-2y=15;②

(C、x+?

l-0.3(y—2)——ξ一①

⑵

y-14x+9

、4=下^一1.②

【破解方法】(1)觀察X,y的兩組系數(shù)，X的系數(shù)的最小公倍數(shù)是12,y的系數(shù)的最小

公倍數(shù)是6,所以選擇消去八把方程①的兩邊同乘以2,得8x+6y=6③，把方程②的兩邊

同乘以3,得9χ-6y=45④，把③與④相加就可以消去y；(2)先化簡(jiǎn)方程組，得

(2x+3y=14,③

…觀察其系數(shù)，方程④中X的系數(shù)恰好是方程③中X的系數(shù)的2倍，所以應(yīng)

14x—5尸6.④

選擇消去X,把方程③兩邊都乘以2,得4x+6尸28⑤，再把方程⑤與方程④相減，就可以

消去X.

【解析】：⑴①X2,得8x+6y=6.③

②X3,得9x—6尸45.④

③+④，得17x=51,X=3.

把x=3代入①，得4X3+3尸3,尸一3.

一二

y=~3；

[2x+3y=14,③

（2）先化簡(jiǎn)方程組，得，,廠、

[4x—5ry=6.（4）

③X2,得4x+6y=28.⑤

⑤一④，得Ily=22,y=2.

把y=2代入④，得4χ-5X2=6,X=4.

x~^49

所以原方程組的解是C

（y=2.

X-I-3τ??~~~5

問題5：（用加減法整體代入求值）已知不y滿足方程組ι一’求代數(shù)式x-y

3x+y=-1,

的值.

【破解方法】觀察兩個(gè)方程的系數(shù)，可知兩方程相減得2χ-2y=—6,從而求出x-y

的值.

【解析】解①②②一①，得2x—2尸一1一5,③y,得Ly=-3.

問題6：（構(gòu)造二元一次方程組求值）已知fy與-2%ι∕k2L5是同類項(xiàng)，求而和n

的值.

【破解方法】根據(jù)同類項(xiàng)的概念，可列出含字母〃和n的方程組，從而求出/"和n.

_一〃+1=〃-1,①

【解析】解：因?yàn)?與一是同類項(xiàng),

T"+"2;Tvili所以.3R-2C-5=1.②

/77—2/7+2=0,③

整理,得

37一2〃-6=0.④

勿=4,

④一③，得2r=8,所以ΛZ=4.把zzz=4代入③，得2〃=6,所以〃=3.所以當(dāng)，時(shí),

〃=3

Xkmy與-2/T產(chǎn)-吁5是同類項(xiàng).

六、【教學(xué)成果自我檢測(cè)】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1.方程3x-5y=9,用含X的代數(shù)式表示y為（）

9-3X?9-5Λ?9+5），

AΛ.V=-------B.X=-------C.X--------

533

【答案】D

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解:3x-5y=9

-5y=9-3x

9-3X3x-9

y===^τ^,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等式的性質(zhì)，理解并掌握等式的性質(zhì)，代數(shù)式的意義是解題的關(guān)鍵.

2.用代入法解方程組使得代入后化簡(jiǎn)比較容易的變形是()

A.由①得x=2券B.由①得y=2子C.由②得X=等D.由②得y=2x-5

【答案】D

【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中y的系數(shù)為-1,故對(duì)②進(jìn)行變形比較容易.

【詳解】解：觀察可知，由②得V=2x-5代入后化簡(jiǎn)比較容易，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了代入消元法解二元一次方程組,解題的關(guān)鍵是熟練掌握代入消元法.

2cιx+=3Γ?~?

「二的解為"1,則代數(shù)式的值是

{ax-by=1[γ=-l

()

?.-2B.2C.3D,-3

【答案】B

χ一]

一，代入原方程組，可得出關(guān)于a,6的二元一次方程組，利用①-②，可求

{J=-I

出代數(shù)式力的值.

fx=l[Ia-b=3①

【詳解】解：將I代入原方程組得A,￡，

[y=-lα+?=l(2)

①-②得：a-2b=2,

代數(shù)式》的值是2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解即使方程組中每個(gè)方程都成立的一組未知數(shù)的值,

正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

4.將方程5x-3y=x+2y變形成用y的代數(shù)式表示X,則X=.

【答案】??

4

【分析】要用含y的代數(shù)式表示X,一般要先移項(xiàng)使方程的左邊只有含有字母X的項(xiàng)，再把

系數(shù)化L

【詳解】解：5x-3y=x+2y,

移項(xiàng)得：5x-x=2y+3y,

合并同類項(xiàng)得：4x=5y,

系數(shù)化成1得：χ=[y.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的變形，利用解一元一次方程的步驟解出所要表示的未

知數(shù)即可.

[2x-3y=7

5.若X,y滿足方程組/,則x+y=

[x-4y=2

【答案】5

【分析】由①-②，即可求解.

]2x-3y=7①

【詳解】解:[x-4y=2②

由①一②得：x+y=5.

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組,熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵.

6.解下列方程組;

x-y=S

⑴

x=6y-2

3n+2y=5

⑵

4x-y=3

■依CfcJQ/八IX=Io

【答案】(1)<C

[y=2

【分析】(1)兩個(gè)方程相減，得出5y=10,求出y=2代入②求出X即可;

(2)①+②X2,得出Ilx=I1,求出x=l代入①求出y即可.

x-y=8

【詳解】(1)解:

x=6y-2

'x-y=8①

整理得：

x-6y=-2@

①-②得：5γ=10,

解得：y=2,

把y=2代入②得：X—6x2=—2,

解得：x=l(),

(x=10

故方程組的解為C；

3x+2y=5①

(2)解:

4x-y=3②

①+②X2得：Ilx=Il,

解得：x=l,

把X=I代入①得：3+2y=5,

解得：y=ι,

(x=1

故方程組的解為，.

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題

的關(guān)鍵.

2.課堂檢測(cè)

設(shè)計(jì)意圖：例題變式練.

【變式1】下列選項(xiàng)為二元一次方程組LX=5的解的是()

9x+13y=53

x=2x=3X=4

.y=3y=2J=I

【答案】C

【分析】利用加減消元法解二元一次方程即可選擇.

x+y=5①

【詳解】解:

9x+13y=53②

φ×9,得9x+9y=45③,

②-③，得4y=8,

解得。=2,

將y=2代入①得，x=3,

fx=3

.?.原方程組的解為C

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解法，掌握加減消元思想是解題的關(guān)鍵.

ΓX=?Γ?=2

【變式2】己知，，一.是關(guān)于x,y的二元一次方程，="+〃的解，貝IJk6的值是

[y=ιly=3

()

A.k=l,%=OB.Jl=-I,b=2C.k=2,h=-1D.Z=-2,b=?

【答案】C

fjy—?X=2

【分析】根據(jù)二元一次方程解的定義把〈一，，一。分別代入二元一次方程，=丘+〃中得

[y=ι[y=3

到關(guān)于上6的方程組，解方程組即可得到答案.

【詳解】解：?.?[=∣，是關(guān)于%y的二元一次方程》=履+b的解，

[y=ι[y=3

k+b=?

2k+b=3

故選C?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組和二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是

使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵.

【變式3】關(guān)于x、y的二元一次方程組，'，]有，小華用加減消元法消去未知數(shù)X,

[3x+y=-15②

按照他的思路，用②x2-①得到的方程是.

【答案】7y=-33

【分析】利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可.

6%—5V=3①

【詳解】解：解二元一次方程組。令時(shí)，

[3x+y=75②

用②x2-①得到的方程是：7y=-33,

故答案為：7y=-33.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法和代入消元法是解題關(guān)鍵.

【變式4】己知∣2x-y-3∣+(x+2y—5『=0,貝∣]3x+y=.

【答案】8

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性及完全平方的非負(fù)性得到正確的結(jié)果.

【詳解】解：?.12x-y—3|+(x+2y—5)2=0,

2x-y-3=0φ

x+2y-5=0②

.?.①+②得：3x+y-8=0,

3x+y=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性及完全平方的非負(fù)性，解二元一次方程組，熟記絕對(duì)值

的非負(fù)性及完全平方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

【變式5】解下列方程組

X=1+y

⑴

2x+3y=-3'

2x-ly=40

⑵

3x-Sy=5θ;

3(x-l)=y+5

⑶i

5(y-l)=3(x+5)

Xy+ι.

----------=1

⑷〈23

3x+2γ=10

X=O

【答案】（1）

y=-1

x=6

⑵

y=-4

x=5

⑶

y=7

X=3

⑷〈1

【分析】（1）利用代入法解答即可;

（2）利用加減法解答即可；

（3）化簡(jiǎn)后利用代入法解答即可；

（4）化簡(jiǎn)后利用加減法解答.

【詳解】⑴解：/3二3②.

把①代入②得：2（l+y）+3y=—3.

解得：y=~ι.

把y=T代入①得：X=O,

∫X=O

.?.原方程組的解為:jy=-l

2x-7y=40①

(2)解:

3x-8y=50②

①χ3-②x2得：-5y=20,

把V=T代入①得：2x-7x(Y)=40,

??％=6,

x=6

，原方程組的解為:

y=-4

-y=3x-8φ

(3)解：原方程組變?yōu)椋?/p>

5y-3x=20(2)-

把①代入②得：5(3x—8)—3x=20.

.*.X=5.

把χ=5代入①得：y=l,

x=5

二；

{y=7

⑷解：原方程組變?yōu)椋篬，一：)’=胃,

[3x+2γ=10(2)

①+②得：6x=18.

%=3.

②-①得：今=2.

x=3

???原方程組的解為：1.

y=2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解法,恰當(dāng)?shù)氖褂么敕ê图訙p法是解題的關(guān)鍵.

3.課后作業(yè)

設(shè)計(jì)意圖：鞏固提升.

3x÷4y=5

1.方程組-7x+8>7的解是()

x=2X=-5.5x=lx=l

A.B.C.D.

y=-0.25y=4y=0.5γ=-0.5

【答案】C

【分析】①x2-②求X的值，然后代入①式求）的值，然后可得結(jié)果.

3x+4y=5①

【詳解】解:

-7x+8y=-3②’

①x2-②得，13x=13,

解得，x=l,

將x=l代入①式得3+4y=5,

解得，y=0?5,

X=I

方程組的解為

y=0.5,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組.解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算.

x=2ιnx+ny=28

2.己知，Q是二元一次方程組的解，貝∣j6m+4w的立方根為（）

y=3mx-ny=4λ

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】先將X與y的值代入方程組，解出即可機(jī)與〃的值，然后再把機(jī)與W的值代入代數(shù)

式，結(jié)合立方根的定義，計(jì)算即可.

X=2mr÷ny=28

【詳解】解：?.?。是二元一次方程組Zl的解,

y=3twc-ny=4

X=22m÷3n=28

...把■。代入二元一次方程組，可得:

）=32m-3n=4

"7=8

解得:

〃=4

6∕%+4〃=6χ8+4χ4=64,

,.?√64=4，

6m+4”的立方根4.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組、求代數(shù)式的值、立方根的定

義，解本題的關(guān)鍵在求出機(jī)與〃的值.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)4（-2,x-2y）向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)8（2x-y,l）,若

點(diǎn)4與點(diǎn)6關(guān)于了軸對(duì)稱，貝∣]y-χ的值是：（)

Λ.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律，得出點(diǎn)A(-2,x-2y)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)為

(2,x-2y),再結(jié)合題意，列出方程組，解出x、的值，然后代入代數(shù)式，計(jì)算即可得出

答案.

【詳解】解：點(diǎn)A(-2,x-2y)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)為(2,x-2y),

乂?.?點(diǎn)A(-2,x—2y)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)β(2x-y,l),

2x-y=2

可得:

x-2y-l

???解得:

y-尤=一1,

.?.y-χ的值是-1.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了平移、解二元一次方程組，解本題的關(guān)鍵在正確求出無、y的值.

fx+y=6

4.二元一次方程組C＜的解是一.

?2x-y=6

(x=4

【答案】C

[y=2

【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可.

χ+y=6①

【詳解】解：?'/，

[2x-y=6②

①+②得：3x=12,

解得：x=4,

把x=4代入①得：4+y=6,

解得：尸2,

方程組的解為:[

Iy=2

=4

-

y=2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解法，根據(jù)方程組中未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)

的方法消元是解決此題的關(guān)鍵.

f3x+y=3k

5.已知關(guān)于X,y的二元一次方程組-?,,的解滿足χ-y=6,則％的值為_______.

[x-c5y=2↑-κ

31

【答案】

【分析】求得原方程組的解，再將方程組的解代入x-y=6,得到關(guān)于女的方程，解方程即

可得出結(jié)論.

3x+y=3%①

【詳解】解:

x-5y=2l-k?

①一②x3得：

16y=6女—63,

6Λ-63

??,y=k，

①χ5+②得：

16x=14?+21,

14Z+21

.,.X=

16

14?+21

X=

16

???原方程組的解為: