2023-2024學(xué)年順義區(qū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年順義區(qū)數(shù)學(xué)九上期末考試試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每題4分，共48分）

4

1.如圖，過反比例函數(shù)y=-（x>0）的圖象上一點(diǎn)A作ABLx軸于點(diǎn)8,連接A。，則S）

2.如圖，在。O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，ZBCD=120o,過D點(diǎn)的切線PD與直線AB交于點(diǎn)P,則NADP

的度數(shù)為（）

A.40°B.35°C.30°D.45°

3.如圖，M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)P是OM上的任意一點(diǎn)，PAA.PB,且Q4、必與X軸分

別交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則AB的最大值為（）

D.15

4.sin45°的值等于（

B.G

5.已知關(guān)于X的二次方程(1-2&)/-2》-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()

A.k≤lB.攵≤1且C.k≥OD.左≥0且上。一

22

6.已知點(diǎn)尸在線段AB上，且4P：P8=2：3,那么AB：PB為()

A.3：2B.3：5C.5：2D.5：3

7.下列事件中，不可能事件的是()

A.投擲一枚均勻的硬幣1()次，正面朝上的次數(shù)為5次

B.任意一個(gè)五邊形的外角和等于360°

C.從裝滿白球的袋子里摸出紅球

D.大年初一會(huì)下雨

(3、k45

8.如圖，點(diǎn)A(ZW,〃)，B?4,—在雙曲線y=一上，且0＜根＜〃.若AO6的面積為一，則加+〃=().

k2；X4

K

_1125

A.7B.—C.—D.3√3

22

9.如圖，拋物線.y=∕+2x與直線y=；尤+1交于A，B兩點(diǎn)，

與直線X=2交于點(diǎn)。，將拋物線沿著射線AB方

向平移26個(gè)單位.在整個(gè)平移過程中，點(diǎn)。經(jīng)過的路程為()

1217315

A.——B.—C.—D.6

10.如圖，RLABC中，NC=90°,8=4,c=5,則SinA的值是（）

B

11.下列事件中必然發(fā)生的事件是（）

A.一個(gè)圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等

B.不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是不等式

C.200件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品

D.隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數(shù)

12.如圖，ΔABC中，ZABD=/C,若A3=4,AD=2,則Co邊的長(zhǎng)是（）

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，分別以四邊形ABCD的各頂點(diǎn)為圓心，以1長(zhǎng)為半徑畫弧所截的陰影部分的面積的和是

21

14.如圖，直線x=2與反比例函數(shù)y=一和y=-士的圖象分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是y軸上任意一點(diǎn)，貝!∣APAB

XX

的面積是.

15.如圖，點(diǎn)A,B,C都在二。上，連接AB,BC,AC,OA,OB,/840=20°,則4CB的大小是.

C

16.拋物線y=-2x2+3x-7與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

17.如圖，將∕?ΔABC繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ΔAB'C',連結(jié)33'，若Nl=25。，則NC的度數(shù)是.

18.如圖，在MBC中，點(diǎn)E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，DEHBC,AD=1,BD=AE=2,則EC的長(zhǎng)為.

三、解答題(共78分)

19.(8分)為了提高學(xué)生對(duì)毒品危害性的認(rèn)識(shí)，我市相關(guān)部門每個(gè)月都要對(duì)學(xué)生進(jìn)行“禁毒知識(shí)應(yīng)知應(yīng)會(huì)”測(cè)評(píng).為

了激發(fā)學(xué)生的積極性，某校對(duì)達(dá)到一定成績(jī)的學(xué)生授予“禁毒小衛(wèi)士”的榮譽(yù)稱號(hào).為了確定一個(gè)適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì)目標(biāo)，

該校隨機(jī)選取了七年級(jí)20名學(xué)生在5月份測(cè)評(píng)的成績(jī)，數(shù)據(jù)如下：

收集數(shù)據(jù)：9()91899690989()979198999791889097959()9588

(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，將下列表格補(bǔ)充完整.

整理、描述數(shù)據(jù)：

成績(jī)/分888990919596979899

學(xué)生人數(shù)21—321—21

數(shù)據(jù)分析：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)如下表:

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

93—91

得出結(jié)論：

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，如果該校想確定七年級(jí)前50%的學(xué)生為“良好”等次，你認(rèn)為“良好”等次的測(cè)評(píng)成績(jī)至少定為

分.

數(shù)據(jù)應(yīng)用:

(3)根據(jù)數(shù)據(jù)分析，該校決定在七年級(jí)授予測(cè)評(píng)成績(jī)前30%的學(xué)生“禁毒小衛(wèi)士”榮譽(yù)稱號(hào)，請(qǐng)估計(jì)評(píng)選該榮譽(yù)稱

號(hào)的最低分?jǐn)?shù)，并說明理由.

20.(8分)如圖，已知二次函數(shù)y=-χ2+?r+c(c>O)的圖象與X軸交于A、3兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè))，與)'軸交

于點(diǎn)C,且08=OC=3,頂點(diǎn)為M.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作X軸的垂線PQ,垂足為Q,若OQ=m,四邊形ACPQ的面積為S,

求S關(guān)于加的函數(shù)解析式，并寫出加的取值范圍；

(3)探索：線段上是否存在點(diǎn)N,使AMWC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說

呀理由.

21.(8分)邊長(zhǎng)為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)。是邊OA的中點(diǎn)，連接CZ),點(diǎn)E在

第一象限，且DEJ.OC,DE=DC.以直線AB為對(duì)稱軸的拋物線過C，E兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.過點(diǎn)P作PF_L8于點(diǎn)尸，當(dāng)/為

何值時(shí)，以點(diǎn)P,F,。為頂點(diǎn)的三角形與AC8相似？

(3)點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)"，N,使得以點(diǎn)N,D,E為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.(10分)如圖，以AB邊為直徑的。。經(jīng)過點(diǎn)P,C是。。上一點(diǎn)，連結(jié)PC交A3于點(diǎn)E,且NACp=60。，PA=PD.

(1)試判斷PZ)與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若點(diǎn)C是弧48的中點(diǎn)，已知48=4,求CE?CP的值.

23.（10分）如圖，在RtAABC中，ZC=90o，過AC上一點(diǎn)D作DE_LAB于E,已知AB=IOCm,AC=8cm,BE=6cm,

求DE.

24.(Io分)關(guān)于X的方程XlT(AT)X+爐=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi、xι.

(1)求A的取值范圍；

(1)若xι+xι=l-Xixi,求々的值.

25.(12分)如圖，在ΔΛBC中，。是邊AB上的一點(diǎn)，若NACD=NB,求證：AC2=AD-AB.

26.解方程：2x2-4x+l=l.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、B

【分析】利用反比例函數(shù)k的幾何意義判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：SAAOB=二x4=2,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，關(guān)鍵是熟練掌握“在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一

點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是;∣k∣.”

2、C

【分析】連接OB,即NADB=90°,又NBCr>=120。，故NZMB=60°,所以Nr)B4=30°；又因?yàn)镻D為切線,

利用切線與圓的關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】解：連接BD,

；AB是直徑，

二ZADB=90o,

二ZABD=90o-ZDAB=30o,

VPD是切線，

：.NADP=NABD=30。，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑對(duì)圓周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角求解.

3、B

【分析】根據(jù)“PA_LPB,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱”可知AB=2OP,從而確定要使AB取得最大值，則OP需取

得最大值，然后過點(diǎn)M作MQLX軸于點(diǎn)Q,確定OP的最大值即可.

【詳解】VPA±PB

二ZAPB=90o

Y點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

/.AO=BO

ΛAB=2OP

若要使AB取得最大值，則OP需取得最大值，

連接OM,交OM于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時(shí)，OP取得最小值,

過點(diǎn)M作MQjLX軸于點(diǎn)Q,

則OQ=3,MQ=4,

ΛOM=5

?；MP=2

：.OpZ=3

當(dāng)點(diǎn)P在OP'的延長(zhǎng)線于。M的交點(diǎn)上時(shí)，OP取最大值，

ΛOP的最大值為3+2×2=7

二AB的最大值為7X2=14

故答案選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓上動(dòng)點(diǎn)與最值問題，能夠找出最值所在的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4、D

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)即得.

【詳解】sin450=—

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查特殊角的三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是熟悉30°,45。及60。的正弦、余弦和正切值.

5、B

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式讓A="-4αc≥l,且二次項(xiàng)的系數(shù)不為1保證此方程為一元二次方程.

【詳解】解：由題意得：(-2)2-4(l-2k)χ(-l)≥0且l一2攵H0,

解得：Z≤l且AH,,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根應(yīng)注意兩種情況：?≥l,二次項(xiàng)的系數(shù)不為L(zhǎng)

6、D

【分析】根據(jù)比例的合比性質(zhì)直接求解即可.

【詳解】解：由題意AP：PB=2：3,

AB：PB=(AP+PB)：PB=(2+3)：3=5：3；

故選擇：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查比例線段問題，關(guān)鍵是根據(jù)比例的合比性質(zhì)解答.

7、C

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.

【詳解】解：A、投擲一枚硬幣10次，有5次正面朝上是隨機(jī)事件；

B、任意一個(gè)五邊形的外角和是360°是確定事件；

C、從裝滿白球的袋子里摸出紅球是不可能事件；

D、大年初一會(huì)下雨是隨機(jī)事件，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是

指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

8、A

【分析】過點(diǎn)A作ACJ_x軸,過點(diǎn)B作BD_LX軸,垂足分別為點(diǎn)C,點(diǎn)D,根據(jù)待定系數(shù)法求出A的值,設(shè)點(diǎn),

km)

利用aAOB的面積=梯形ACDB的面積+aAOC的面積-Z?BOD的面積=梯形ACDB的面積進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作AC,X軸，過點(diǎn)B作BDLX軸，垂足分別為點(diǎn)C,點(diǎn)D,

3

由題意知，k=4×-=6,

2

設(shè)點(diǎn),

Λ?AOB的面積=梯形ACDB的面積+ZkAOC的面積-ZkBOD的面積=梯形ACDB的面積，

。1/36、、45

:?5ΔAOB=T×(T+-)×(4~/w)=^Γ,

22m4

解得，m=1或m=-16(舍去),

經(jīng)檢驗(yàn)，根=1是方程的解，

??〃=6,

".m+n-1,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式，反比例函數(shù)系數(shù)A的幾何意義，用點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出aAOB的面

積是解題的關(guān)鍵.

9、B

【分析】根據(jù)題意拋物線沿著射線AB方向平移個(gè)單位，點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位，可得平移

后的頂點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)向右平移a個(gè)單位，則向上平移;a個(gè)單位，拋物線的解析式為y=(x+La)2-l+；a,令

117

x=2,y=(a-)?-,?0≤a≤4,推出y的最大值和最小值,根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的變化情形，即可解決問題.

416

【詳解】解：由題意，拋物線沿著射線AB方向平移2后個(gè)單位，點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位，

：拋物線.y=f+2x=(x+l)U的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1),設(shè)拋物線向右平移a個(gè)單位，則向上平移ga個(gè)單位,

拋物線的解析式為y=(x+l-a)2-l+^a

?I

令x=2,y=(3-a)2-l+—a,

H7

?'?y=(a--)2+—，

416

V0≤a<4

7

Jy的最大值為8,最小值為；7,

16

?.'a=4時(shí)，y=2,

773

Λ8-2+2(2--)=一

168

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查的是拋物線上的點(diǎn)在拋物線平移時(shí)經(jīng)過的路程問題，解決問題的關(guān)鍵是在平移過程中點(diǎn)D的移動(dòng)規(guī)律.

10、C

【分析】根據(jù)勾股定理求出a,然后根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得α=J7萬=3

.,.sinA=—=—

c5

故選C?

【點(diǎn)睛】

此題考查的是勾股定理和求銳角三角函數(shù)值，掌握利用勾股定理解直角三角形和正弦的定義是解決此題的關(guān)鍵.

11、C

【分析】直接利用隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件分別分析得出答案.

【詳解】A、一個(gè)圖形平移后所得的圖形與原來的圖形不全等，是不可能事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是不等式，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、200件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此選項(xiàng)正確；

D、隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼一定是偶數(shù)，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

12、C

ABAD

【分析】由NABo=NC,NA=NA,得AABD~AACB,進(jìn)而得?~~求出AC的值，即可求解.

ACAB

【詳解】VZABD=ZC,NA=NA,

ΛΔABD-ΔACB,

ABADa42

二——=——，即n：——=一,

ACABAC4

ΛAC=8,

ΛCD=AC-AD=8-2=6,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理，掌握相似三角形的判定定理，是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、兀

【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得圖中四個(gè)扇形正好構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓，因此其面積之和就是圓的面積.

【詳解】解：V圖中四個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之和為四邊形的四個(gè)內(nèi)角的和，且四邊形內(nèi)角和為360。，

.?.圖中四個(gè)扇形構(gòu)成了半徑為1的圓，

二其面積為：πr2=π×l2=π.

故答案為：π.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，扇形的面積計(jì)算，得出圖中陰影部分面積之和是半徑為1的圓的面積是解題的關(guān)

鍵.

3

14、

2

【詳解】解：V把χ=l分別代入y=-2、y=-I±,得y=l、y=1-,

XX2

：P為y軸上的任意一點(diǎn)，；?點(diǎn)P到直線BC的距離為1.

1133

??PAB的面積=—ABx2=—X—×2=—?

2222

3

故答案為：

2

15、70°

【分析】根據(jù)題意可知aABC是等腰三角形，NBAo=20°,可得出NAOB的度數(shù)，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角

的一半即可得出答案.

【詳解】解：TAO=OB

Λ?AOB是等腰三角形

VZBAO=20o

ΛZOBA=20o,ZAOB=140o

?：ZAOB=2ZACB

二ZACB=70o

故答案為：70°

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半以及圓的基本性質(zhì)，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

16、(0,-7)

【分析】根據(jù)題意得出X=0,然后求出y的值，即可以得到與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】令%=0,

得y=-7,

故與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：（0,-7）.

故答案為：（0,-7）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題，掌握與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)（X=O）是解題的關(guān)鍵.

17、70°

【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NC=NAeB',NCAB'=NC4B=90°,43=A8',然后得出WB=45。，進(jìn)

而求出NAB'C的度數(shù)，再利用NC=NAC3'=90。-NAB'C即可求出答案.

【詳解】?.?MΔΛ8C繞直角頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ΔAB'C'

.?.ZC=ZAC'B',ZC'AB'=ZCAB^90o,AB=AB'

：.ZAB'B45°

VZl=25°

.?.ZAB'C=ZAB'3-Nl=45。-25。=20°

?.ZAB'C+ZACB'=90°

.?.NC=ZACB'=900-ZAB'C=900-20°=70°

故答案為：70°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18、1

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題.

【詳解】VBC∕∕OE,AD=I,BD=AE=2,

.?.ΔAT>E~ΔA3C,AB=AD+D3=l+2=3,

,ADAE12

貝rl!|---=---->—=----,

ABAC3AC

?,?AC-6，

?：AE=2,

：.EC=AC-AE=6-2=4.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

三、解答題(共78分)

19、(1)5；3；90；(2)91；(3)估計(jì)評(píng)選該榮譽(yù)稱號(hào)的最低分?jǐn)?shù)為97分.理由見解析.

【解析】(D由題意即可得出結(jié)果；

(2)由20x50%=10,結(jié)合題意即可得出結(jié)論；

(3)由20x30%=6,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由題意得：90分的有5個(gè)；97分的有3個(gè)；

出現(xiàn)次數(shù)最多的是90分，

,眾數(shù)是90分；

故答案為：5；3；90；

(2)20×50%=10,

如果該校想確定七年級(jí)前50%的學(xué)生為“良好”等次，貝良好”等次的測(cè)評(píng)成績(jī)至少定為91分;

故答案為：91；

(3)估計(jì)評(píng)選該榮譽(yù)稱號(hào)的最低分?jǐn)?shù)為97分；理由如下：

V20×30%=6,

.?.估計(jì)評(píng)選該榮譽(yù)稱號(hào)的最低分?jǐn)?shù)為97分.

【點(diǎn)睛】

本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、用樣本估計(jì)總體等知識(shí)；熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)、用樣本估計(jì)總體是解題的關(guān)鍵.

,C293一161∕cc」,√iδ,2√10^

20、(1)y=-X2+2x+3；(2)S四邊形ACP0=-"+萬根+/；(3)存在，J,(2,2)1H?――,4-J.

【解析】(1)可根據(jù)OB、OC的長(zhǎng)得出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)可將四邊形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC兩部分來求解.先根據(jù)拋物線的解析式求出A點(diǎn)的

坐標(biāo)，即可得出三角形AoC直角邊OA的長(zhǎng)，據(jù)此可根據(jù)上面得出的四邊形的面積計(jì)算方法求出S與m的函數(shù)關(guān)系

式.

(3)先根據(jù)拋物線的解析式求出M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出直線BM的解析式，據(jù)此可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系

中兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出CM.MN.CN的長(zhǎng),然后分三種情況進(jìn)行討論:①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN.根

據(jù)上述三種情況即可得出符合條件的N點(diǎn)的坐標(biāo).

0=-9+3b+c

【詳解】解：(D?.?O8=OC=3,二B(3,0),C(0,3).Λ-

3=c

b=2

解得｛C,.?.二次函數(shù)的解析式為y=-f+2χ+3;

c=3

(2)y=-f+2χ+3=-(x-1丫+4,M(l,4)

4-k+n?k=-2

設(shè)直線的解析式為丁=丘+〃，則有解得

0=3女+〃/7=6

.?.直線MB的解析式為y=-2x+6

?.?PQJ_x軸，。。=根，.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(機(jī)一2加+6)

=Aoc+S梯形PQOC=2AO?C。+-(PQ÷Co),。。(1≤∕n<3)

=?×1×3÷-(~2m+6+3)?m=-m2+—∕n+-；

22v722

(3)線段身0上存在點(diǎn)(2,2)1+孚,4-2普］使二NMC為等腰三角形.設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為

(X,-2x+6)則:

22

CM=J(I_O)?+(4-3)2=√Σ,CN=JX2+(3+3)2,MN=y∕(x-l)+(-2x+2)

①當(dāng)CM=NC時(shí)JX2+(_2尤+3)2=&,解得玉=(,x2=1(舍去)

此時(shí)N

②當(dāng)CM=MN時(shí),J(XT)2+(—2*+2)2=6,

解得玉=1+萼,

③當(dāng)CN=MN時(shí),

解得x=2,此時(shí)N(2,2).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)、等腰三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解

決問題的能力.考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

I2S

21、(1)y=-(x-2)2+-;(2)f=l或/=時(shí)，以點(diǎn)P,F,。為頂點(diǎn)的三角形與ACO力相似；(3)存在，四邊

形Mr>￡N是平行四邊形時(shí)，陷(2,1),N∣(4,2)；四邊形MNDE是平行四邊形時(shí)，M2(2,3),A^2(0,2)；四邊形NZ)ME

是平行四邊形時(shí)，MJ2,1

??/

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得OA=OeZAOC=ZDGE,根據(jù)余角的性質(zhì)，可得NOCD=NGDE,根據(jù)

全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EG=OD=1,DG=OC=2,根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

(2)分類討論：若^DFPS2?COD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得NPDF=NDCO,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可

得NPDO=NOCP=NAOC=90,根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得Pe的長(zhǎng)；若^PFDS∕?C()D,根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)，可得NDPF=NDCO,—?-,根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得DF于CD的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的

CDOD

相似比，可得PC的長(zhǎng)；

(3)分類討論：當(dāng)四邊形NZ)ME是平行四邊形時(shí)，四邊形MNDE是平行四邊形時(shí)，四邊形MDEN是平行四邊形時(shí),

根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形式平行四邊，可得答案.

【詳解】解：(1)過點(diǎn)E作EGJ_X軸于G點(diǎn).

?.?四邊形Q43C是邊長(zhǎng)為2的正方形，。是04的中點(diǎn)，

.?.<M=0C=2,OD=I,ZAC)C=ZZX7E=90。.

VZCDE=90。，:.ZODC+ZGDE=90°.

?：AODC+ZOCD=90°,：.ZOCD=4GDE.

ΛCOD=ΛDGE

在AOCD和AGED中,NOCD=NGDE,

DC=DE

.'AODgAGM(AAS),EG=OD=I,DG=OC=I.

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,1).

V拋物線的對(duì)稱軸為直線AB即直線X=2..可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+3

1

a--

4Q+k=23

將C、E點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得,^,解得

a+k=1

.?.拋物線的解析式為y=∣U-2)2+∣;

(2)①若ΔZ)FPsA。。。，則NPDF=ZDCO,PDIIOC,

?乙PDo=NOCP=ZAOC=90°,：,四邊形PDOC是矩形,

ΛPC-OD-1>.?.f=1

②若^PFD^?COD,則ZPDF=ZDCO，

.PDDF

^'~CD~~OD'

：.ZPCF=90o-ADCO=90-ZDPF=ZPDF.

；.PCPD,ΛDF-CD.

2

?.?CP2=OD2+OC2=22+12=5,?CZ)=√5,：.DF=旦.

2

..PDDF

`~CD~~OD,

：.pc=PD=-×y[5=~,t=^,

222

綜上所述：f=l或f=*時(shí)，以點(diǎn)P,F,。為頂點(diǎn)的三角形與ACOD相似:

2

(3)存在，①若以DE為平行四邊形的對(duì)角線，如圖2,

2

此時(shí)，N點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)(2,§),

由N、E兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線NE的解析式為：y=；x；

VDM√EN,

J設(shè)DM的解析式為：y=∣x+b,

將D(1,0)代入可求得b=-L

3

DM的解析式為：y=-X一,

33

令x=2,則y=],

②過點(diǎn)C作CM〃DE交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M,連接ME,如圖3,

圖3

VCM/7DE,DE±CD,

ΛCM±CD,

VOC±CB,

ΛZOCD=ZBCM,

在aOCD和ABCM中

NBCM=NoCD

<NCBM=NCoD,

CO=CB

Λ?OCD^?BCM(ASA),

ACM=CD=DE,BM=OD=I,

/.CDEM是平行四邊形，

即N點(diǎn)與C占重合，

ΛN(O,2),M(2,3)；

③N點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，MN〃DE,如圖4,

作NG_LBA于點(diǎn)G,延長(zhǎng)DM交BN于點(diǎn)H,

VMNED是平行四邊形，

/.ZMDE=MNE,NENH=NDHB,

VBN∕/DF,

ΛZADH=ZDHB=ZENH,

.?.NMNB=NEDF,

在ABMN和aFED中

/MBN=/EFD

<NBNM=NFDE

MN=DE

Λ?BMN^?FED(AAS),

ΛBM=EF=I,

BN=DF=2,

ΛM(2,1),N(4,2)；

綜上所述，

四邊形MaEN是平行四邊形時(shí)，M1(2,1),M(4,2)；

四邊形MM)E是平行四邊形時(shí)，M2(2,3),TV2(0,2)；

四邊形NDME是平行四邊形時(shí)，Md2,∣j,TVj2,?

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)

解析式；（2）利用了相似三角形的性質(zhì)，矩形的判定，分類討論時(shí)解題關(guān)鍵；（3）利用了平行四邊形的判定，分類討

論時(shí)解題關(guān)鍵.

22、（1）PO是。。的切線.證明見解析.（2）1.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)OP,根據(jù)圓周角定理可得NAoP=2NACP=120。，然后計(jì)算出NPAD和ND的度數(shù)，進(jìn)

而可得NoPD=90。，從而證明PD是Oo的切線；

（2）連結(jié)BC,首先求出NCAB=NABC=NAPC=45。，然后可得AC長(zhǎng)，再證明△CAE<^?CPA,進(jìn)而可得上=—,

CPCA

然后可得CE?CP的值.

試題解析：（1）如圖，PD是。O的切線.

證明如下：

連結(jié)OP,VZACP=60o,ΛZAOP=120o,VOA=OP,ΛZOAP=ZOPA=30o,VPA=PD,ΛZPAO=ZD=30o,

二NoPD=90。，...PD是。O的切線.

（2）連結(jié)BC,：AB是。O的直徑，.?.NACB=90。，又為弧AB的中點(diǎn)，.?.∕CAB=NABC=NAPC=45。，?.,AB=4,