2023-2024學(xué)年安徽省合肥二中數(shù)學(xué)高二年級上冊期末綜合測試試題含解析

2023-2024學(xué)年安徽省合肥二中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A(3,0,4),B(-l,4,2),則線段A3的中點坐標(biāo)與向量A3的模長分別是()

A.(l,2,3)；5B.(l,2,3)；6

C.(—2,2,-1)；5D.(—2,2,—1)；6

2.阿基米德(公元前287年~公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢

圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在y軸上，且橢圓C的

離心率為18,面積為金，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

2

2222

A.-----1------1B.±+匕=1

91634

2222

。土+匕=1D.±+匕=1

416312

3.若向量4=(1,-L,2)出=(2兒一3)貝！||22+6|=()

A.V7B.3

C.V10D.3亞

4.如圖，在正方體ABCD-A4Gq中，異面直線2c與3。所成的角為()

A.30B.45

C.60D.90

5.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直

線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知ABC的頂點4(-3,0),3(1,3),其歐拉線方程為13x-33y+22=0,則頂點

C的坐標(biāo)可以是()

A。,。)B1-L-司

小八C4940、

C.(2,-1)D.------,—

I，(1919J

6.袋子中有四個小球，分別寫有“文、明、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到

就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用0,

1,2,3代表“文、明、中、國”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18

組隨機數(shù)：

232321230023123021132220001

231130133231013320122103233

由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為()

11

A.-B.-

69

5

C.-D.—

918

7.直線y=履+1與曲線/(x)=alnx+Z?相切于點則2a+b=()

A.4B.3

C.2D.1

8.已知點A(3,0),點P在拋物線/=4x上,過點P的直線與直線x=-l垂直相交于點B,|PB|=|PA|,則cosZAPS

的值為()

1

A—B.-

%3

11

C.——D.——

23

2

9.已知月，工為雙曲線上-產(chǎn)=1的兩個焦點，點尸在雙曲線上且滿足/々PE,=90。，那么點尸到x軸的距離為

4-

()

A2730

DR.-標(biāo)----

?55

C.9D.好

55

10.已知橢圓的長軸長為10,焦距為8,則該橢圓的短軸長等于（）

A.3B.6

C.8D.12

1*

11.在數(shù)列｛%｝中，%=2,Q〃+i=l------(〃￡N),則。2022=()

an

1

A.-1B.—

2

C.2D.1

12.在空間直角坐標(biāo)系中，點4（2,—1,3）關(guān)于。孫平面的對稱點為3,則0408=（）

A.—4B.-10

C.4D.10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知。為坐標(biāo)原點，等軸雙曲線-、=1（。>02>0）的右焦點為尸（、歷,0）,點P在雙曲線C上，由

P向雙曲線。的漸近線作垂線，垂足分別為A、B,則四邊形Q4PB的面積為.

4

14.若命題“Vxe（L+s）,不等式x+——2。恒成立"為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是.

x-1

15.已知點43,6）,3（1,4）,C（l,0）,則一ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為

16.圍棋是一種策略性兩人棋類游戲.已知某圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑

131

子的概率為一，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大一，則2粒恰好都是白子的概率是

357

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓C：3+%=1（?！怠贰怠悖┑淖笥医裹c分別為耳，工，點尸是橢圓C上位于第二象限的任一

點，直線/是8的外角平分線，過左焦點耳作/的垂線，垂足為N,延長月N交直線「工于點拉，|QN|=2（其

中。為坐標(biāo)原點），橢圓C的離心率為g

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過右焦點工的直線交橢圓。于4,3兩點，點T在線段上，且AT=37B，點3關(guān)于原點的對稱點為R,求

△ART面積的取值范圍.

18.(12分)2021年7月29日，中國游泳隊獲得了女子4x200米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運精神的

鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進(jìn)行自由泳1500米測試，并記錄他們的時間(單位：分鐘)，將所得數(shù)據(jù)

分成5組：[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65],整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(2)利用樣本估計總體的思想，估計這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時間的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表).

19.(12分)已知函數(shù)=一3*一12X+5

(1)求函數(shù)7'(x)的圖象在點(0"(0))處的切線方程;

(2)求函數(shù)7'(x)的極值

20.(12分)已知｛4｝是等差數(shù)列，其〃前項和為S“，已知%=5,Ss=15

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式:

，1，、

⑵設(shè)以=-------,求數(shù)列｛bn｝的前"項和Tn

an+l-an

21.(12分)已知命題P：xe[0,2]；命題q:〃z<x<2〃z+3.

(1)若p是g的充分條件，求機的取值范圍；

(2)當(dāng)加=1時，已知。八4是假命題，Pvq是真命題，求x的取值范圍.

22.(10分)已知點M(l,3),圓C:(x—2)2+(y+l)2=4.

(1)若直線/過點且被圓C截得的弦長為2有，求直線/的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，點N在圓C上運動，線段MV的中點為P,求點P的軌跡方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)給定條件利用中點坐標(biāo)公式及空間向量模長的坐標(biāo)表示計算作答.

【詳解】因點4(3,0,4),5(-1,4,2),所以線段A3的中點坐標(biāo)為(123),

|AB|=7(-1-3)2+(4-0)2+(2-4)2=6?

故選：B

2、D

22

【解析】設(shè)橢圓的方程為與+==1(?！?〉0),根據(jù)題意得到a=23和a/OT=6〃，求得。2的值，即可求解.

ab

22

【詳解】由題意，橢圓的焦點在y軸上，可設(shè)橢圓的方程為當(dāng)+?=1(?！?〉0),

ab

因為橢圓C的離心率為立，可得e=￡=走，

2a2

22

cb3

又由C2=/—從，即二=1—二=2,解得。=2"

aa4

又因為橢圓的面積為6%,可得即aZ?=6,

22

聯(lián)立方程組，解答/=1212=3,所以橢圓方程為2L+土=1.

123

故選：D.

3、D

【解析】先求得2a+b，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運算求得|2a+0

【詳解】由于向量”=。,一1,2),^=(2,1,-3),所以2；+，=(4,—1,1).

故2〉力=742+(-1)2+12=718=30.

故選：D

4、C

【解析】作出輔助線，找到異面直線所成的角，利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.

【詳解】連接耳。與耳C,因為BD〃BQ1,則NCRg為所求，又△CD#是正三角形，ZCD,B,=60.

故選：c.

5、C

【解析】設(shè)出點c坐標(biāo)，求出一ABC的重心并代入歐拉線方程，驗證并排除部分選項，余下選項再由外心、垂心驗

證判斷作答.

【詳解】設(shè)頂點。的坐標(biāo)為S,?，貝!1ABC的重心坐標(biāo)為(號一,‘上)，

ry1Q

依題意,13x--—33x—+22=0,整理得：13a—33b—59=0,

33

對于A,當(dāng)a=22=0時，13a—33匕—59=—33,不滿足題意，排除A；

49404940

對于D,當(dāng)。=一歷,)=歷時，13a—33)一59=13x(—石)一33義逐一59<0,不滿足題意，排除D；

2424

對于B,當(dāng)a=-1,)=-五時，13a-33/7-59=13x(-l)-33x(--)-59=0,

對于C,當(dāng)a=2,Z?=—1時，13<?—33Z?-59=13x2—33x(―1)—59=0,

33341

直線45的斜率k=W，線段AB中點(—1,5),線段中垂線方程：y--=--(x+l),即4x+3y—5=0,

4x+3y—=0381121

由72解得：，于是得ABC的外心M(-荔,有)，

13x—33y+22=0y=—3838

2_21

2457Q99TO60

若點C(-1,-不則直線3c的斜率左'=不，線段叱中點。不)，該點與點“確定直線斜率為號皆=-訪,

38

顯然|1x(-瑞)7-1,即點M不在線段3c的中垂線上，不滿足題意，排除B；

313

若點C(2,—1),則直線5C的斜率《=-4,線段3C中點(萬,1),線段5C中垂線方程為：=即

“5八

x-4v+—=0,

11

x-4“y+—5=八0x=-----

2解得,381121

由,1,即點（一一,一）為ABC的外心，并且在直線13x—33y+22=0上,

213838

4x+3y--=0y——

-38

4

一ABC邊A3上的高所在直線：y+l=--(x-2),即4x+3y—5=0,

邊3c上的高所在直線：y=；（x+3）,即x—4y+3=0,

x--1-1-

4x+3y=51911171117

由《/一解得：,貝!LABC的垂心”(歷,第)，此時有13x歷一33x^+22=0,

x-4y=—3

y——

19

即的垂心在直線13x—33y+22=0上，選項C滿足題意.

故選：C

【點睛】結(jié)論點睛：45。的三頂點4（和%）,3（%,%），。（%，為），則ABC的重心為G盧+；+.，％+[+%）.

6、A

【解析】利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】因為隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：

232321230023123021132220001

231130133231013320122103233’

其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3個,

31

所以由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為〃=二=:，

186

故選：A

7、A

【解析】直線丁=區(qū)+1與曲線/（x）=alnx+人相切于點P（l,2）,可得左=1力=2,求得〃尤）的導(dǎo)數(shù)，可得a=1,即可

求得答案.

【詳解】直線y="+l與曲線/（x）=alnx+b相切于點P（l,2）

將P(l,2)代入y=Ax+l可得:k+1=2

解得"=1

/(%)=?lnx+Z?

X

由尸(l)=f=1,解得:a=L

可得/(x)=lnx+b,

根據(jù)P(l,2)在〃x)=lnx+b上

/(l)=lnl+Z?=2,解得:匕=2

故2a+b=2+2=4.

故選:A.

【點睛】本題考查了根據(jù)切點求參數(shù)問題，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)切線的定義和導(dǎo)數(shù)的求法，考查了分析能力和計算能力,

屬于中檔題.

8,D

【解析】由題尸(L0),由于過拋物線/=4x上一點P的直線與直線x=-1垂直相交于點B,可得|P5|=|PF|,又

\PB\=\PA\,故|P同=|剛，

所以尸的坐標(biāo)為(2,±2JI),由余弦定理可得

企+水―4笈32+3?_(2府1

cosNAPB=

2PBPA2x3x33

故選：D.

考點：拋物線的定義、余弦定理

【點睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題

9、D

【解析】設(shè)|P[l=x,l尸6l=y(x>v),由雙曲線的性質(zhì)可得x—y的值，再由/月「￡=90°,根據(jù)勾股定理可得

f+y?的值，進(jìn)而求得孫，最后利用等面積法，即可求解

【詳解】設(shè)|P￡l=x,|P￡l=y(x>y),片，B為雙曲線的兩個焦點，

設(shè)焦距為2c,點P在雙曲線上，二%—y=4,/￡尸6=90°,

x2+j2=20,2xy=Y+y?-(x-獷=4,

.,.孫=2,片「心的面積為:孫=1,

利用等面積法，設(shè)△￡產(chǎn)月的高為〃，則〃為點P到x軸的距離,

則,々-2c=君/2=1,.-.h=—

25

故選：D

【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.

10>B

【解析】根據(jù)橢圓中a,4c的關(guān)系即可求解.

【詳解】橢圓的長軸長為10,焦距為8,

所以2。=10,2c=8,可得。=5,c=4,

所以=25—16=9,可得3=3,

所以該橢圓的短軸長23=6,

故選:B.

11、A

【解析】利用條件可得數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列，再借助周期性計算得解.

1*

【詳解】=2,&+i=1---(“eN)

所以數(shù)列｛4｝是以3為周期的周期數(shù)列,

,?。2022=^673x4=%=一1，

故選：A.

12、A

【解析】根據(jù)關(guān)于平面。町對稱的點的規(guī)律:橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點4(2,-1,3)

關(guān)于Oxy平面的對稱點B的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運算求OAOB.

【詳解】解：由題意，關(guān)于平面。孫對稱的點橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，

從而有點4(2,-1,3)關(guān)于。孫對稱的點3的坐標(biāo)為(2,-1,-3)

OA-(95=(2,-1,3)-(2,-1,-3)=4+1-9=-4.

故選：A

【點睛】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點關(guān)于面的對稱，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、—##0.5

2

【解析】求出雙曲線C的方程，可求得雙曲線C的兩條漸近線方程，分析可知四邊形。4PB為矩形，然后利用點到直

線的距離公式以及矩形的面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因為雙曲線。為等軸雙曲線，則0=，？+/=缶=及,可得4=。=1,

所以，雙曲線。的方程為雙曲線。的漸近線方程為x土y=0,

則雙曲線。的兩條漸近線互相垂直，則。4LB4,OBLPB,OALOB,

所以，四邊形Q4PB為矩形，

設(shè)點P（毛,%），則其-y=1，不妨設(shè)點A為直線x-y=0上的點,

則|PA|=也短，|依|=生黑，所以，SM=|PA|.|PB|=M=1.

故答案為：—.

2

14、（-oo,5]

【解析】Vxe（l,+s）,不等式x+-2a恒成立，只要x+44

|Na即可，利用基本不等式求出x+

X-1\x-1min\x-1min

即可得出答案.

4

【詳解】解：因為X/X￡（l,+8）,不等式X+—2G恒成立,

x-17

只要X+W

2a即可,

min

因為無￡（1,+00）,所以％—1>0,

444

貝！IxH-----=x-ld-------F1>2J(x-l)-----+1=5,

x-1x-1Vx-1

4

當(dāng)且僅當(dāng)％-1=——,即％=3時取等號,

x-1

所以X+W

|=5,

min

所以a45.

故答案為：（f,5].

15、(5,2)

【解析】求得A3,AC的垂直平分線的方程，在求得垂直平分線的交點，則問題得解.

【詳解】線段A3中點坐標(biāo)為（2,5）,線段A3斜率為==1,

3-1

所以線段AB垂直平分線的斜率為-1,

故線段AB的垂直平分線方程為y-5=-（%-2）,即y=-%+7.

線段AC中點坐標(biāo)為（2,3）,線段AC斜率為——=3,

3-1

所以線段AC垂直平分線的斜率為-工，

3

故線段AC的垂直平分線方程為y-3=-1（x-2）,即y=—+

y=-x+7

x=5

由V10<.所以ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為（5,2）.

y=——x-\—"=2

-33

故答案為：（5,2）.

【點睛】本題考查直線方程的求解，直線交點坐標(biāo)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.

1

16、-

5

【解析】根據(jù)互斥事件與對立事件概率公式求解即可

【詳解】設(shè)“2粒都是黑子”為事件A,“2粒都是白子”為事件3,

“2粒恰好是同一色”為事件C,“2粒不同色”為事件￡>,

則事件C與事件D是對立事件，所以P（C）+P（D）=1

因為2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，

143

所以P（C）=P（D）+,，所以P（C）=7,P（D）=,

又C=AB,且事件A與3互斥，所以尸（C）=P（A）+尸（5）,

所以P（3）=P（C）-P（A）=,1|=!

故答案為：—

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、(1)土+上=1

43

⑵［吟

【解析】（1）根據(jù)題意可得到。的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得4求得答案；

33

（2）由AT=3T3可得S進(jìn)一步推得50故=5S。。，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與

系數(shù)的關(guān)系，求得弦長，表示出三角形A03的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.

【小問1詳解】

由題意可知：N為的中點，。為片月的中點，，ON為△耳〃耳的中位線，

|ON|=2,.-.\MF2\=4,

又周=戶閭+|尸段=|尸耳|+忸用,故附|+|尸閭=4,

即2a=4,。=2,

22

又6=乙=屋c=l9b=yja—c=g，

22

..橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+匕=1；

43

【小問2詳解】

33

由題意AT=3TB可知S稱？=wS/B，ARB=AOB?ART~^^,AOB>

139

①當(dāng)過工的直線與x軸垂直時，SAOB=-xlx3=-,Sart^,

②當(dāng)過F2的直線不與x軸垂直時,

可設(shè)4（再,多）,B（x2,y2）,直線方程為y=?尤T）,

v=k(x-V)

聯(lián)立2V2，可得：(3+4左2)x?—8左2工+4左2—12=0

—x+—=1

I43

Xk2_4左2—12

—3+4左2

由弦長公式可知|明=行.種—（3+4?—）="，

113+4/3+4左

。到A3距離為

令3+4左2=t(t>3),

6t—3Z+1________

則原式變?yōu)?。?義"3"-2/-33L,1.1

SAOB=——1-----=T----：——F1_2X「3X公

令

原式變?yōu)镾AOB=|j-3s、2s+l

當(dāng)''［。勺］時,-3/—2s+le(O,l)故SA.=|"SAOBe［o,：

(9

由①②可知SAWe[0,[.

【點睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時的三角形的面積問題，考查學(xué)生的計算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng),

解答的關(guān)鍵是計算三角形面積時要理清運算的思路，準(zhǔn)確計算.

18、(1)0.022

(2)40.9,40.75

【解析】(1)利用頻率之和也即各矩形的面積和為1即可求解.

(2)利用平均數(shù)和中位數(shù)的計算方法求解即可.

【小問1詳解】

由10x(0.005+m+0.040+0.025+0.008)=1,

可得加=0.022.

【小問2詳解】

平均數(shù)為：

%=20x0.05+30x0.22+40x0.40+50x0.25+60x0.08=40.9，

設(shè)中位數(shù)為明

則0.05+0.22+(〃—35)x0.04=0.5,

解得n—40.75.

19、(1)12x+y-5=0

（2）極大值為12,極小值-15

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

（2）利用導(dǎo)數(shù)求解極值即可.

【小問1詳解】

/*（%）=6x2—6x—12=6（x+l）（x—2）,

D（o）…,切點為（0,5）,

故切線方程為尸T2X+5,即12尤+y—5=0；

【小問2詳解】

令（（力=0,得％=—1或x=2

列表：

X(-00,-1)-1(-1,2)2(2,+8)

f'(x)+0-0+

單調(diào)遞增12單調(diào)遞減-15單調(diào)遞增

函數(shù)八％)的極大值為/(-1)=-2-3+12+5=12,

函數(shù)八％)的極小值為片2)=16-12-24+5=75.

20、(1)an=n.

【解析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，結(jié)合已知條件，列出方程組，求得首項和公差，即可寫出通項公式;

（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合裂項求和法，即可求得7；.

【小問1詳解】

因為｛?！埃堑炔顢?shù)列，其”前項和為S”，已知為=5,S5=15,設(shè)其公差為d,

故可得：％+4d=5,5q+10d=15,解得q=l,d=l,

又4=4故

【小問2詳解】

711_1__1

由知，又勾二----

（1）an=n9J

%qn(n+l)nn+1

J__1

故雹=+++=1---=3

T+2334nn+1