中考數(shù)學知識點與經典題型練習 全等三角形中的手拉手旋轉模型(解析版)

專題01全等三角形中的手拉手旋轉模型

【模型展示】

E

特點

BCD

在線段BCD同側作兩個等邊三角形4ABC和^CDE」連接AD與BE。

(1)ΔBCE^?ACD,ΔBCM^?ACN,ZkMCEdNCD

(2)AD=BE,ZAFB≈60o

(3)ΔMCN為等邊三角形

結論

(4)MN〃BD

(5)CF為/BFD的角平分線

(6)FC+FE=FD

【模型證明】

E

ZA

b∕v^≥Λ

CD

?：ABCE=MXJD

：.BE=AD

?.?ABCE=ΔACD

：.NCBE=NCAD

?.?NCBM+ZBMC+NBCM=180°

ZMAF+AAMF+ZAFM=180°

.?.NBCM=180°-(NCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+NAMF)

?.?ZBMC=ZAFM

：.NBCM=ZAFM=60°,即NAFB=60°

,.?ABCMAACN

:.CM=CN

■：NMCN=60°

.?.AWCN為等邊三角形

???AMCN為等邊三角形

.?.NMNC=60°

?.?NNCD=60°

.?.NMNC=/NCD

.-.MNHBD

zEλ

?

BCD

過點C分別作PCLBE,QC1AD

?：ABCE三岫CD

BC=AC,NCBE=NCAD

在HfABPC與R∕ΔΛQC中

NCBE=NCAD

-ZBPC=ZAQC

BC^AC

：.RtbBPC三RthAQC

在RfAPCF與RIAQCF中

PC=QC

FC=FC

:.Rt?PCF=Rt?QCF

即尸。平分NBFD

在線段FD上截取/G=PE連接EG

?.?FG=FE,NEFG=60'

△￡以涔邊三角形

.?.EF=EG,ZEGD=120°,NEFG=60°

:NCED=NEFG=60>

：.NFEC=NGED

在AEGO與A"CΨ

KEGD=/EFC

，EF=EG

ZFEC=NGED

：.?EGD=?EFC

：.GD=FC

：.FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在“A3C中，ZABC=90°,分別以4B,AC為邊作等邊AABO和等邊.ACE,

連結。E,若AB=3,AC=5,貝IJ￡?=()

【答案】C

【分析】在RtA48C中可直接運用勾股定理求出BC,然后結合“手拉手”模型證得

^ABC^?ADE,即可得到。E=BC,從而求解即可.

【詳解】解：在RAABC中，AB=3,AC=5,

由勾股定理得：BC=4,

"：ZXABO和&ACE均為等邊三角形，

：.AB=AD,AC^AE,/8AZ>∕CAE=60°,

.?.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

即：NBAC=NDAE,

在AABC和ZiAQE中，

AB=AD

NBAC=NDAE

AC=AE

，△ABgzMOE（SAS）,

.,.DE=BC=A,

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定與性

質，熟練運用勾股定理解三角形是解題關鍵.

2.如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC

和等邊三角形COE,A力與BE交于點。，AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連結

PQ.以下結論錯誤的是（）

A.NAoB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

［分析］利用等邊三角形的性質，8C〃QE,再根據(jù)平行線的性質得到/CBE=NDEO,于

?ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO-ZDEC=60o,得出A正確；根據(jù)△CQBZZ?C7?

(ASA),得出BIE確;由^ACD^ABCEMZCBE=ZDAC,ImZZACB=ZDCE=60O,AC=BC,

得到AC08gaC∕?(ASA),再根據(jù)NPCQ=60。推出APe。為等邊三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根據(jù)內錯角相等，兩直線平行，得出C正確：根據(jù)∕CDE=6()O,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知NoQE≠NCDE,得出D錯誤.

【詳解】解：：等邊AABC和等邊△?)￡,

：.AC=BC,CD=CE,/ACB=/DCE=60。，

，ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,ZACD=ZBCE,

在^ACo與4BCE中，

AC=BC

-ZACD=ZBCE,

CD=CE

二ZXACO絲ZXBCE(SAS),

.?.ZCBE=ZDAC,

又ΛACB=ZDCE=Wo,

.,.ZBCD=60o,即ZACP=ZBCQ,

又?.?AC=BC,

在4CQB與^CPA中，

ZCP=NBCQ

AC=BC,

ZPAC=NCBQ

：.ACQB^∕?CPA(ASA),

：.CP=CQ,

又YNPCQ=60?？芍鱌CQ為等邊三角形，

.?.NPQC=NDCE=60。,

：.PQ/7AE,

故C正確，

'：?CQB^ΔCPA,

：.AP=BQ,

故B正確，

"：AD=BE,AP=BQ,

.".AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

'：ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60o,

ZDQE≠ZCDE,故D錯誤；

?/ZACB=ZDCE=GOO,

：.N88=60。，

；等邊△DCE,

NEDC=60。=NBCD,

：.BC〃DE,

：.ACBE=ZDEO,

：.ZAOB=NQAC+/BEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60。,

故A正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，利用旋轉不變性，解題

的關鍵是找到不變量.

3.如圖，在RdABC和RAA。E中，ZβAC=ZDAE=90o,AB=AC=5,AD=AE=I,

點P,Q,R分別是BC,DC,OE的中點.把△AOE繞點4在平面自由旋轉，則APQR的

面積不可能是()

A

R

/O'

BPC

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】連接8O、CE,8。的延長線交CE的延長線于0,4C交8。于，.證明^HAD^?CAE,

然后可推出△P0R是等腰直角三角形，￡/>。/?=3*。2,由48=5,AO=2可知33BO≤7,

從而得到I3<PQ<Λ7那么：9W1?∕jβ2<4y9.即可得出答案.

【詳解】解：連接8/入CE98。的延長線交CE的延長線于。，AC交Bo于H.

o

VAB=ΛC,AD=AEfZBAC=ZDAE=90,

：.ZBAD=ZCAE9

Λ?θAD^ΔCAE,

：.BD=CEi/ABH=NOCH,

??ZAHB=ZCHOf

ΛZO=ZBAH=90o,

?:點P,0,/?分別是8C,DC,DE的中點，

:?PQ=；BD,PQ//BOfQR=；EC,QR//CO,

VBOlOC,

：.PQLRQ,PQ=QR,

,△PQR是等腰直角三角形，

?』PQR=g?PQ2,

VΛB=5,AD=2f

Λ3<BZ)<7,

37

???/巴，

91

<49一

8--2-8

...△PQR的面積不可能是8,

故答案為：Λ.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角

形的中位線定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

4.如圖，在二ABC中，AB=AC,點。、尸是射線BC上兩點，且AO,AF,若M=A￡）,

Zβ4D=ZC4F=15°；則下列結論中正確的有（）

(I)CErBFi②AAM絲③SC=S四邊晞;?BC-^EF=IAD-CF

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】由AD_LAF,NBAD=∕CAF,得出NBAC=90。，由等腰宜角三角形的性質得出

NB=NACB=45°,由SAS證得△ABD絲aACE(SAS),得出BD=CE,∕B=NACE=45°,

SAABC=SLADCE,貝∣J∕ECB=90°,即ECLBF,易證NADF=60°,NF=30°,由含30°直角

三角形的性質得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,則BD=TEF,?BC-BD=DF-CF,得出BC-；

EF=2AD-CF,即可得出結果.

【詳解】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

ΛZBAC=90o,

：AB=AC,

ΛZB=ZACB=45o,

在4ABD和AACE中，

AB=AC

■ZBAD=ZCAE,

AD=AE

Λ?ABD^?ACE(SAS),

.'.BD=CE,NB=NACE=45°,S?ABC=S四邊形ADCE，

JZECB=90o,

ΛEC±BF,

VZB=45o,ZBAD=15o,

JZADF=60o,

ΛZF=30o,

.?.EF=2CE=2BD,DF=2AD,

.?.BD=∕EF,

,.?BC-BD=DF-CF,

ΛBC-∣EF=2AD-CF,

.?.①、②、③、④正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、含30。角直角三角

形的性質、外角的定義等知識,熟練掌握宜角三角形的性質、證明三角形全等是解題的關鍵.

5.如圖，正,ABC和正△（?￡>E中，B、C、。共線，且BC=3CD,連接AD和SE相交于點

F,以下結論中正確的有（）個

①NAFB=60。②連接FC,則CF平分NBFD?BF=3DF④BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)“手拉手”模型證明ABCE-AC。，從而得到NCBE=NC4D,再結合三角形

的外角性質即可求解NAEB=NACB=60。，即可證明①：作C于M點，CNLAD于

N點,證明CEM”CDN,結合角平分線的判定定理即可證明②；利用面積法表示43CF

和二Oe尸的面積，然后利用比值即可證明③；利用“截長補短'’的思想，在AD上取點。，使

得FC=F0,首先判斷出.FCQ為等邊三角形，再結合“手拉手”模型推出a5CFg?ACQ即

可證明④.

【詳解】解：①?.二AfiC和均為等邊三角形，

ΛZACB=ZECD=60o,AC=BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACEZECD+ZACE,

.?.NBCE=ZACD,

在，8CE和Z?ACO中，

BC=AC

NBCE=NACD

EC=DC

.?.,BCE^.ACD(SAS),

：.ZCBE=ZCAD,

?.?ZAFB=NCBE+ACDA,ZACB=ZCDA+ZCAD,

ΛZAFB=ZACB=ωo,故①正確；

②如圖所示，作CMLBE于"點，CNLAD于N點、,

貝IJZCME=ZCND=90°,

BCEgACD,

：.ZCEM=NCDN,

在LCEW和△€?N中，

ZCME=ZCND

-NCEM=NCDN

CE=CD

.CEMWCDN(AAS),

：.CM=CN,

；.C尸平分NBFD，故②正確；

③如圖所示，作FPLBD于P點,

■：Sβrz,=?BF-CM=-BC?FP,SDrF=-DF-CN=-CD-FP,

BCF2222

C!BF.CM?BC.FP

3BCF=2______=2______

-

,。DCF一11DF.CN1-CD.FP

22

,/CM=CN,

???整理得:≡=ff

??BC=3CD,

.BF3CD

>.-----=-------=3o,

DFCD

：.BF=3DF,故③正確;

④如圖所示，在AO上取點Q,使得尸C=FQ,

,.?NAFB=ZACB=60o,CF平分ZBFD,

：.NBFD=120o,NCFD=-ZBFD=60°,

2

；.2FCQ為等邊三角形,

o

：.ZFCQ=GO,CF=CQt

'：ZACB=60。，

.?.ZACB+ZACF=ZFCQ+ZACF,

.?.ZBCF=ZACQ,

??BCFf∏AACQψ,

BC=AC

<ZBCF=ZACQ

CF=CQ

??.，BCFaACQ(SAS),

：,BF=AQ1

VAQ=AF+FQyFQ=FCf

BF=AF+FC,故④正確；

綜上，①②③④均正確；

故選：A.

【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解等邊三角形

的基本性質，掌握全等三角形中的輔助線的基本模型，包括“手拉手”模型，截長補短的思想

等是解題關鍵.

6.如圖，點C是線段AE上一動點（不與A,E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC

和等邊三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接

PQ,有以下5個結論：φAD=BE;②PQ〃AE；③AP=BQ；④DE=DP;⑤NAOB=60。.其

中一定成立的結論有（）個

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于△ABC和^CDE是等邊三角形,可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60o,

從而證出△ACD之Z?BCE,可推知AD=BE;

③由△ACD經ABCE得NCBE=NDAC,力口之∕ACB=∕DCE=6(Γ,AC=BC,得到

ΔACP^ΔBCQ(ASA),所以AP=BQ；故③正確；

②根據(jù)②ACQB絲ACPA(ASA),再根據(jù)NPCQ=60。推出△PCQ為等邊三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根據(jù)內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；

④根據(jù)NDQE=NECQ+NCEQ=6(Γ+∕CEQ,ZCDE=60o,可知NDQErNCDE,可知④錯

誤；

⑤利用等邊三角形的性質，BC〃DE,再根據(jù)平行線的性質得到NCBE=/DEO,于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60o,可知⑤正確.

【詳解】①：等邊△ABC和等邊△DCE,

BC=AC,DE=DC=CE,NDEC=NBCA=∕DCE=60o,

ΛZACD=ZBCE,

在4ACD和ABCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

Λ?ACD^ΔBCE(SAS),

AD=BE;

故①正確；

③ACD^ABCE(己證)，

ΛZCAD=ZCBE,

NACB=∕ECD=60°(已證)，

，ZBCQ=180o-60o×2=60o,

NACB=/BCQ=60。，

在^ACP-?ΔBCQ中，

ZCAD=ZCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60O,

Λ?ACP^ΔBCQ(ASA),

，AP=BQ;

故③正確；

(2)VΔACP^ΔBCQ,

PC=QC,

.?.aPCQ是等邊三角形，

ZCPQ=60°,

.?.NACB=NCPQ,

ΛPQ√AE;

故②正確；

?VAD=BE,AP=BQ,

AAD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,ZCDE=60o,

ΛZDQE≠ZCDE,

DE≠QE,

貝∣JDPkDE,故④錯誤；

⑤YNACB=NDCE=60。，

ΛZBCD=60o,

；等邊△DCE,

NEDC=60。=NBCD,

BC〃DE,

ΛZCBE=ZDEO,

ΛZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60o.

故⑤正確；

綜上所述，正確的結論有：①②③⑤，錯誤的結論只有④，

故選D.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，以及等邊三角形的判定和性質，此圖形是典型

的，，手拉手,，模型，熟練掌握此模型的特點是解題的關鍵.

二、填空題

7.如圖，Z?A3E>'Z?CDE是兩個等邊三角形，連接8C、BE.若Nr)BC=30。，BD=6,

BC=S,則BE=.

【答案】BE=IO

【分析】連接AC,根據(jù)題意易證AACD絲ABED(SAS),根據(jù)全等三角形的性質可得AC=BE,

再根據(jù)勾股定理求出AC的值即可得出結論.

【詳解】如圖，連接AC,

B

,.?ΛABDsZ?CDE是兩個等邊三角形，

ΛAB=BD=AD=2,CD=DE,NABD=∕ADB=∕CDE=60,

ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,

ΛZADC=ZBDE,

AD=BD

在^ACD與^BDE中，NAOC=/BOE,

CD=DE

Λ?ACD^?BED(SAS),

二AC=BE,

：ZDBC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=60o+30o=90o,

在RtAABC中，AB=6,BC=8,

2222

,AC=yjAB+BC=√6+8=10>

,BE=IO,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，孰練的掌握

知識點是解題關鍵.

8.如圖，ΔABC^p,ZC=90o,AC=BC=√∑,將4ABC繞點A順時針方向旋轉60o≡∣J?AB'C

的位置，連接2C,BC的延長線交A夕于點。，則8。的長為.

【答案】√3

【分析】連接5所，根據(jù)旋轉的性質可得AB=AQ,判斷出夕是等邊三角形，根據(jù)等邊

三角形的三條邊都相等可得A8=8"然后利用“邊邊邊”證明△相「和485C全等，根據(jù)

全等三角形對應角相等可得NABC=NQBC,延長Bc交A用于。，根據(jù)等邊三角形的性質

可得BOLAQ,利用勾股定理列式求出A8,然后根據(jù)等邊三角形的性質和等腰宜角三角形

的性質求出BD.

【詳解】解：如圖，連接8夕，

B,

「△ABC繞點4順時針方向旋轉60。得到△AB1C,

.?.A8=A8',ZBAB,=6()°,

是等邊三角形，

.".AB=BB',

在AABC*IU夕BC中，

AB^Bii'

"AC=B'C',

BC=BC

.?ΛABC'^∕?B'BC'(SSS),

；./ABC=NB，BC'=30。,

延長BC'交AB'±D,

則BDJLAB',

VZC=90o,AC=BC=￠,

：.AB=Zq+⑼'=2=AZΓ,

J.AD=—AB=1

2

22

?'?BD=yJAB-AD=√3，

故答案為：上

【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等

腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形并求出Bc在等邊三角形的高上是解題的

關鍵，也是本題的難點.

9.如圖，ABC是邊長為5的等邊三角形，BD=CD,NBZ)C=I20。.E、尸分別在AB、

AC上，且NEE/=60。，則三角形AEF的周長為.

E

BC

D

【答案】10

【分析】延長AB到M使BN=CF,連接OM求出NFCr>=NEBD=NNB￡)=90。，根據(jù)SAS

證△尸CTz推出ON=。凡ZNDB=ZFDCf求出NEOF=NErW,根據(jù)SAS證

△EDFQAEDN,推出EF=EM易得△AE尸的周長等于A8+AC.

【詳解】解：延長A8到M使BN=CF,連接EW,

YZVLBC是等邊三角形，

???NABC=NACB=60。,

VBD=CDf/8。C=I20。，

：?NDBC=NDCB=30。,

：.ZACD=ZABD=30o÷60o=90o=Z∕VBD,

?.?在4乂8。和4FCD中,

BD=DC

ZNBD=ZFCD9

BN=CF

：.ANBgAFCD(SAS),

：.DN=DF9/NDB=/FDC,

?'ZBDC=UOo,NEDF=60。，

.*.NEDB+NFDC=60

o

：.ZEDB+ZBDN=60f

即NEDF=NEDM

在^EDN和^EQ/中，

DE=DE

-ZEDF=NEDN,

DN=DF

.,.?EDN^?EDF（SAS）,

.,.EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

「△ABC是邊長為5的等邊三角形，

.'.AB=AC=5,

；BE+CF=EF,

：.ΛAEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了等邊三角形性質和判定，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全

等三角形的性質和判定的綜合運用.注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結合思想的應用.

10.如圖，C為線段AE上一動點（不與點力、E重合）,在AE同側分別作正AABC和正△CDE,

AQ與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交千點Q,連接PQ.以下五個結論：

ΦAD=BE;②PQAE；?AP=BQ；④DE=DP;⑤乙408=60。.恒成立的結論有.（把

你認為正確的序號都填上）

【答案】①②③⑤

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質及SAS即可證明；根據(jù)全等三角形的性質證明ΔΛ∕CN為等

邊三角形，再證明AACO段48CE即可求解.

【詳解】解：①和ACCE均是等邊三角形，點A,C,E在同一條直線上，

：.AC=BC,EC=DC,NBCE=NACD=I2。。

XACDQXECB

.'.AD=BE,故本選項正確，符合題意；

"CBQ=NCAP,

又：NPC。=/AeB=60。，CB=AC,

.".?BCQ^Δ,ACP,

：.CQ=CP,

又NPCQ=60°,

...△PCQ為等邊三角形,

，ZQPC=6Qo=ZACB,

：.PQ.AE,故本選項正確，符合題意；

③；NACB=NOCE=60。，

ZBCD=60°,

：.NACP=NBCQ,

":AC=BC,ZDAC=ZQBC,

.".ΔACP^?BCQ(ASA),

：.CP=CQ,AP=BQ,故本選項正確，符合題意；

④已知AABC'△OCE為正三角形，

故NDCE=NBCA=60。=4DCB=60°,

乂因為NO尸C=NzMC+/BCA,NBcA=60。=NDPOGOo,

故。。不等于。E,故本選項錯誤，不符合題意；

?,：/\ABC.AOCE為正三角形，

NAC8=NOCE=60。，AC=BC,DC=EC,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

ZACD=ZBCE,

：.IXACD注XBCE(SAS),

：.ZCAD=ZCBE,

.?.NAOB=ZCAD+NCEB=NCBE+NCEB,

,.?ZACB=ZCBE+ZCEB=60。,

...2408=60。，故本選項正確，符合題意.

綜上所述，正確的結論是①②③⑤.

三、解答題

11.如圖，AACB和ECO都是等腰直角三角形，C4=C8,8=CE,ZVlCB的頂點A在—ECD

的斜邊OE上，連接BO.

E

B

(1)求證：BD=AE.

(2)若AE=3cm,4。=6cm,求AC的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)AC=3叵cm.

2

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等得出NBCD=∕ACE,然后根據(jù)SAS定理證明

?BCD^?ACE,從而得出結論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質得出/BDC=NAEC,然后結合等腰直角三角形的性質求得

NBDA是直角三角形，從而利用勾股定理求解.

【詳解】(1)：AACB和EcD都是等腰直角三角形，

ZACB=ZECD=90°,

：.ZACD+NBCD=90o,ZACD+AACE=90°,

2BCD=ΛACE,

在ABCO和力中，

CB=CA

<NBCD=ZACE

CD=CE

：?VBCDHACE(SAS),

：,BD=AE.

(2)YBCD^,ACE,

：.ZBDC=ZAECf

又???一￡8是等腰直角三角形，

???NCDE=NCED=45。,

???ZBQC=45。，

JNBDC+ZCDE=90°,

???NBDA是直角三角形，

???AB2=BD2+AD2=AE2+AD2=32+62=45,

在等腰直角三角形AB中，

AB2=AC2÷BC2=IAC2.

FC=巫

2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵.

12.如圖，A、B、C在同一直線上，且△ABD,ABCE都是等邊三角形，AE交BD于點

M,CD交BE于點N,MN〃AC,求證：

(1)ZBDN=ZBAM;

(2)?BMN是等邊三角形.

【答案】(1)證明過程見詳解；(2)證明過程見詳解。

【分析】(1)只需要證明AABE也ADBC,就可以得到ZBDN=ZBAM.

(2)NDa4=NEBC=60°,因為MN〃AC,所以NMNB=NNBC=60°,NNMB=NMBA=6(f、

所以ΔBMN是等邊三角形.

【詳解】證明：(1)VZEBC=ZABD=60°

：.ZDBC=ZABE

在K)BN、ΔABΛ∕中

DB=AB

<ZDBC=NABE

BC=BE

：.AABE烏NDBC

ΛZBDN=ZBAM

(2),/ΛDBA=ΛEBC=60°,MN〃AC,

?,?ZMNB=ANBC=60",

NNMB=NMBA=60",

所以ΔfiMN是等邊三角形.

【點睛】這是一個典型的手拉手模型，是初中幾何必會的模型之一，兩個60。的三角形是等

邊三角形.

13.如圖1,B、C、O三點在一條直線上，A。與BE交于點O,△4BC和△ECD是等邊三

角形.

(1)求證：AACD會∕?BCE;

(2)求NBo力的度數(shù)；

(3)如圖2,若8、C、。三點不在一條宜線上，NB。。的度數(shù)是否發(fā)生改變？(填

“改變”或“不改變”)

【答案】(1)證明見解析

(2)NBOo=I20。

(3)不改變，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)"S4S‘證明△ACO/Z?5CE即可；

(2)由全等三角形的性質得N4Z)C=NBEC再由三角形的外角性質得NAoB=60。，即可

求解；

(3)同(1)得：AACD妾∕?BCE,得出NDAC=NE3C,根據(jù)三角形外角求出NAoE=I20。，

即可得出答案.

(1)

證明：???Z?46C和AECO是等邊三角形，

o

ΛZACB=ZECD=GOfBC=AC9EC=CD,

：.NACB+NACE=/ECD+/ACE,

：.ΛBCE=AACD,

在^BCE和AACO中

BC=AC

：

??ZBCE=ZACD1

CE=CD

ΛΔβCE^?ΛCD(SAS).

(2)

解：V?BCE^?ACD,

：,ZADC=ABEC,

?/ZAOB=ZEBC+ZADC,

：.ZAOB=NEBC+/BEC=NoCE=60。，

?/NAo8+NB。。=180。，

ΛZBOD=120°.

(3)

解：不改變，理由如下：

同(1)得：NACD出ABCE(SAS),

：.ZDAC=ZEBC9

YZAOE=ZABO+ZOAB

=ZABO+ZDAC-^ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

=ZABC+ZBAC

=120°

.?.ZBOD=ZAOE=120o,

即NBo。的度數(shù)不改變.

故答案為：不改變.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等邊三角形的性質，三角形外角的性質,

對頂角性質，證明△ACD嶺Z?8CE是解題的關鍵.

14.在AAEB和AQEC中，AC.BQ相交于點P,AE,8。相交于點O,AE=BE,DE=CE,

ZAEB=/DEC.

(2)求證：NAPB=NAEB.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)先證NBED=NAEC,再利用SAS證明三角形全等即可；

(2)由全等可得∕E8Z)=∕E4C,根據(jù)三角形內角和和NBoE=/AOP即可證明.

(1)

證明：VZAEB=ZDEC,

：.NAEB+NAED=NDEC+NAED,

.?.ZBED=ZAEC,

在4BED與4AEC中，

AE=BE

-NAEC=NBED

DE=CE

...△BE哈AAEC(SAS),

；.AC=BD.

(2)

證明BEDgAEC,

NEBD=NEAC,

?.,ZEBD+ZBOE+NAEB=ZAOP+ZAPB+ZEAC=?80o,

又；/BOE=乙4OP,

，NAEB=NAPB.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定方法有：SSS,A5A,SAS,

AAS和∕?,熟練掌握判定方法是解題的關鍵.

15.△4(72和4DCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若點A,D,E在同一直線上，連接AE,BE.

①求證：?ΛCD^?BCE;

②求NAEB的度數(shù).

(2)類比探究：如圖2,點8、D、E在同一直線上，連接AE,AD,BE,CM為△DCE中DE

邊上的高，請求/ADB的度數(shù)及線段QB,AD,QM之間的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)拓展延伸：如圖3,若設AZX或其延長線)與BE的所夾銳角為α,則你認為α為多少度，

并證明.

【答案】⑴①見解析：②NAEB=60。；

(2)NADB=60。，2DM+BD^AD,理由見解析；

(3)α=60o,證明見解析

【分析】(1)①由△AC8和^OCE是等邊三角形知AC=8C,CO=CE,

ZACD=60o-ZDCB=ZBCE,據(jù)此即可得證；

②由△ACCgZ?8CE■知NADC=NBEC=I20。，結合NCEo=60?？傻肗AE8=60。；

(2)證△ACD<Z?8CE得NCDA=NeEQ=60。，由N4D8+∕CZ)A=NQCE+NCEf^[∣

NAo8=60。，根據(jù)CM_LBE,且△COE為等邊三角形可得力E=2OΛ∕,DE+BD=BE=AD;

(3)同理知AACQ且ABCE,據(jù)此得NBEC=/AOC,繼而知/CO尸+NCEF=180°,即

NECo+/OFE=180。，從而得出答案.

(1)

①證明：?.?Z?4C8和△力CE是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60o,

：.ZACE>=60o-ZDCB=ZBCE,

：.IXACD9XBCE(SAS)；

②：AACDgABCE,

：.ZADC=ZBEC=180o-ZCDE=120o,

又；ZCED=60o,

：.NAE8=60°；

(2)

解：ZΛDB=60o,2DM+BD=AD,理由如下；

'：AC=BC,CD=CE,NACD=60。+NDCB=NBCE,

.??ACD^?BCE(SAS),

，ZCDA=ZCED=60o;

,：ZADB+ZCDA=ZDCE+ZCED,

：.4408=60。；

又YCWLBE,且△CCE為等邊三角形，

：.DE=IDM,

：.IDM+BD=BE=AD-,

(3)

解：α=6(Γ,理由如下：

同理可證4ACD^∕?BCE,

.?.NBEC=NADC,

.?.NCCF+NCEF=I80°,

.?.ZECD+ZDFE=180°,而α+NDFE=180°,

a=ZECD=GOo.

【點睛】本題是三角形的綜合問題，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質、等邊三角

形的性質等知識點.

16.如圖，在AABC和△4。E中，AB=AC,AD=AE,ZBAC^ZDAE,連接8。，CE,

BD與CE交于點O,與AC交于點F.

(1)求證：BD=CE.

(2)若NBAC=48。，求/C。。的度數(shù).

(3)若G為CE上一點，GE=OD,AG=OC,S.AG//BD,求證：BDLAC.

A

B

C

【答案】(1)見解析；(2)132。；(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)NAAC=ND4E,推出NBAn=Nc4E,從而結合“S4S”證明△BAD^∕?CAE,

即可得出結論；

(2)根據(jù)外角定理推出∕COO=∕OBC+∕8CA+ZACE,結合全等三角形的性質推出

ZCOD^ZABC+ZBCA,最后在△ABC中利用內角和定理求解即可；

(3)連接AO,根據(jù)題意確定AAOO絲AAEG,ZOAD=ZGAE,AO=AG,再結合題干

條件推出C為等腰三角形，以及N8O4=NB0C,從而根據(jù)“三線合一”證明即可.

【詳解】(1)證：：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即：ZBAD=ZCAE,

在ABAo和4C4E中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.,.ΔBAD^?CAE(SAS),

：.BD=CE：

⑵解：；NCOD=NOBC+NBCO,NBCo=NBCA+NACE,

ZCOD=ZOBC+ZBCA+ZACE,

V?BAD絲ACAE,

：.ZABD=ZACE,

.?ZCOD=ZOBC+ZBCA+ZABD=ZABC+ZBCA,

VZBAC=480,

ZABC+ZBCA=180o-48°=132°,

ΛZCOD=132°；

(3)證：如圖所示，連接AO,

V?BAD^Δ,CAE,

：.ZADO=ZAEG,

在^ADO?ΔAEG中，

AD=AE

<ZADO=ZAEG

OD=GE

???△AOOg△AEG(SAsr),

：.ΛOAD=ZGAE,AO=AG,

：.ZAOG=ZAGO,

：.ZOAD-^-ZDAG=ZGAE+ZDAG,

即：ZOAG=ZDAEf

u：ZDAE=ZBAC,

：.ZBAC=ZOAGf

在△AB/和ACOb中，ZBAC=180o-ZΛBD-ZAFB,ZBOC=180o-ZACE-ZCFO,

由(2)知NA3。=NACR

'/ZAFB=ZCFO,

：.ZBAC=ZBOCf

???NBOC=NOAG,

?'AG//BDf

JN5OA=NOAG,

,ZBOA=ZBOC9

VAO=AG,AG=COf

：.AO=CO,

即：AAOC為等腰三角形，

?/ZBOA=ZBOC,

：.OFA.ACf

：.BDlAC.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質等，掌握全等三角形

的判定與性質，熟悉"手拉手''模型的證明是解題關鍵.

17.如圖1,在等腰直角三角形ABC中，AB=ACfN8AC=90。，點，尸分別為AB,AC

的中點，”為線段E尸上一動點（不與點E,廠重合），過點A作AGLA//且AG=A〃，連接

GC,HB.

（1）證明：AHB絲AGC；

（2）如圖2,連接GF,HG,HG交4產于點Q.

①證明：在點”的運動過程中，總有N”FG=90。；

②當AQG為等腰三角形時，求/AHE的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②當AAQG為等腰三角形時，NAHE的度數(shù)為67.5。

或90。.

【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△AHB絲ZXAGC;

（2）①證明AAEH絲ZiAFG（SAS）,可得NAFG=NAE”=45。，從而根據(jù)兩角的和可得結論；

②分兩種情況：i）如圖3,AQ=QG時，/7）如圖4,當AG=QG時，分別根據(jù)等腰三角形的

性質可得結論.

【詳解】（1）證明：如圖1,

?."ZBAC=90o,

.".ZBAH=ZCAG,

"：AB=AC,

：.ΛABH^?ACG(&4S)；

(2)①證明：如圖2,在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90。,

A

G

E∕U≤-^?

圖2

/.NABC=NACB=45。,

?：點、E,尸分別為AB,AC的中點,

二七戶是^ABC的中位線，

：.EF//BC,AE=-AB,AF=-AC,

22

O

：.AE=AF9ZAEF=ZABC=459NAFE=NAC8=45°,

9：ZEAH=ZFAG,AH=AG,

：.?AEW^?ΛFG(SAS),

o

???ZAFG=ZAEH=45f

：.Z∕7FG=45o+45o=90o;

②分兩種情況：

/)如圖3,AQ=QG時，

AQ=QG.

：.ZQAG=ZAGQ,

t

:AG.LAHi.AG=AHf

：.NAHG=NAGH=45°,

：.ZAHG=ZAGH=ZHAQ=ZQAG=45o,

ΛZEΛ∕7=ZM∕7=45o,

u：AE=AF,AH=AH,

：.?ΛE∕7^?AFH(5ΛS),

，ZAHE=ZAHF,

?.?ZAHE+ZAHF=180°,

.?.ZAHE=ZAHF=WO;

ii）如圖4,當AG=QG時，∕G4Q=∕AQG,

1800-45°

.?.NGAQ=NAQG=——--=67.5。，

'：ZEAQ^ZHAG=90o,

.?.∕EA4=NGAQ=67.5。，

.*.NAHE=NAQG=67.5。；

為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），

.?.不存在AG=4Q的情況.

綜上，當AAQG為等腰三角形時，NA”E的度數(shù)為67.5?；?0。.

【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質和判定，等腰

三角形的性質和判定，也考查了全等三角形的判定與性質，第二問要注意分類討論，不要丟

解.

18.在圖1、圖2中，點C為線段AB上一點，AACM與△CBN都是等邊三角形.

（1）如圖1，線段AN與線段BM是否相等?證明你的結論；

（2）如圖1,線段AN與線段BM交于點O,求/AOM的度數(shù)；

（3）如圖2,AN與MC交于點E,BM與CN交于點F,探究△CEF的形狀，并證明你的結

論.

圖1圖2

【答案】（1）AN=BM,證明見詳解；（2）ZA（7M=60o;（3）△CEF是等邊三角形，證明

見詳解.

【分析】(1)證4ACN∕Z?MC8(SAS),即可得出4V=3M;

(2)由全等三角形的性質得乙ANC=NM8C,利用三角形外角性質NAOM=NC4N+NM8C

=ZCAN+ZANC=ZBCN=60°；

(3)證△ACEg∕?MC∕(AS4),WCE=CF,根據(jù)等邊三角形判定定理由NMCE=60。即可

得出結論.

【詳解】解：(1)AN=BM,理由如下：

「△ACM、ACBN都是等邊三角形，

o

：.AC=CM,CN=CB,ZACM=ZBCN=GOf

：.NACM+NMCN=/BCN+/MCN,

/.NACN=∕BCM,

在AACN和AMCB中，

AC=MC

<ZACN=/MCB,

CN=CB

：?AACN學AMCB(SAS),

：.AN=MB;

(2)由(1)得：&ACNmXMCB,

：.ZANC=ZMBC9

：.ZAOM=ZCAN+ZMBC=ZCAN+ZANC=ZBCN=60°；

(3)4CE尸是等邊三角形，理由如下：

YXNCNQIXMCB、

：.ZCAE=ZCMF9

???△AMC與△BNC均為等邊三角形，

：,/ACM=NBCN=60。,AC=MC

,.βZMCF=180o-ZACM-NBCN=60。,

NACE=NMb=60。，

在△4CE和AMCF中，

ZCAf=ZCMF

<AC=MC,

NACE=NMCF

.'.?ACE^?MCF(ASA),

.'.CE=CFf

?λZMCF=GOo,

「?△CEF是等邊三角形.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質與判定、全等三角形的判定與性質，是重要考點，難度

較易，掌握相關知識是解題關鍵.

19.已知：兩個等腰直角三角板AACB和△CCE（AC=BC,DC=CE,ZACB=ZDCE=

90°）如圖所示擺放，連接AE、BD交于點、O.AE與。C交于點歷，BD與AC交于點M

（1）如圖1（兩個等腰直角三角板大小不等），試判斷AE與BZ）有何關系并說明理由；

（2）如圖2（兩個等腰直角三角板大小相等，即AC=E>C）,在不添加任何輔助線的情況,

請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形.

【答案】（I）AE=8。且理由見解析；（2）&ACB安ADCE,XEMgABCN,

△AON出ADOM,Δ,AOB^ADOE

【分析】（1）證明△ACE絲ZSBCD,可得AE=80,ZCEA=4BDC,由NCME=NDMO,

根據(jù)三角形內角利定理即可得NDoM=NECM=90。，進而可證AE_L8O.

（2）根據(jù)三角形全等的判定找出相等邊和角，進而找出全等三角形.

【詳解】解：（1）結論；AE=8。且AEJ_80.理由如下：

?.,ZACB^ZDCE,

：.ZΛCB+ZDCA=ZDCE+NDCA,

即NQCB=NACE,

VAC=BC,CD=CE,

在AACE與A8CQ中，

AC=BC

-NACE=NDCB,

CD=CE

：.∕?ACE^ΛBCD（SAS）,

/.AE=BD,NCEA=NBDC,

'：NCME=ZDMO,

180o-（NCE4+NeME）=I80°-（Nz）MO+NBDo,

即NDOM=NECM=90°,

.?AE1BD,

.?.AE=8。且AE_LB。；

(2)VAC=DC,

,AC=CD=EC=CB,

在△4(75與4OCE中，

AC=DC

"ZACB=ZDCE,

CB=CE

：.∕?ACB^∕?DCE(SAS)i

由(1)可知：ZAEC=ZBDC,NEAC=NDBC,

：.ZDOM=90o,

"：ZAEC=ZCAE=NCBD,

.,.△EMC安∕?BCN(ASA),

：.CM=CN,

：.DM=AN,

：.AAOgXDOM(AAS),

"：DE=AB,AO=DO,

：.ΛAOB^ΛDOE(HL).

【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵.

20.如圖1,在AABC中，C4=CB,NACB=90。.點。是AC中點，連接8￡>,過點A作

AELBO交BD的延長線于點E,過點C作CELB。于點F.

(1)求證：NEAD=∕CBD:

(2)求證：BF=2AE↑

(3)如圖2,將△BCF沿BC翻折得至IJ△BCG,連接AG,請猜想并證明線段AG和AB的

數(shù)量關系.

【分析】(I)根據(jù)角度的等量代換即可求解.

(2)證明△AEC∕zλ8PC后，運用角度等量代換，求得CF=PE證明AAEDgZXCT7O即

可求解.

(3)證明AAE8g∕?8HA,根據(jù)線段的等量代換以及運用等腰三角形三線合一的證明即可

求解.

【詳解】(1)證明：［AELLBD,

，ZΛED=90o,

.?ZEAD+ZADE=90°,

?.?ZADE=ZBDC,

.?.NEAD+NBDC=90°,

?/NAC8=90。，

ΛZCBD+ZBDC=90o,

：?/EAD=ZCBD;

(2)證明：如圖1,連接CE,在8/上截取BP=AE連接。尸，

ΛΔAEC^ΔBPC(SAS),

：.CE=CP,NACE=NBCP,

JZACE+ZDCP=/BCP