江蘇省百校大聯(lián)考2024屆高三年級(jí)上冊(cè)第二次考試數(shù)學(xué)試卷及答案

江蘇省百校聯(lián)考高三年級(jí)第二次考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z（1+1）=1—31,則復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)5的模長(zhǎng)為（）

D.45

A.V2B.有C.2

答案：D

l-3i(l-3i)(l-i)-2-4i

解析：法一：因?yàn)閦（l+i）=l—3i,所以Z~~L+i~(l+i)(l-i)=-l-2i

所以2=—l+2i，所以同=J(—l『+22=5

法二：因?yàn)閦(l+i)=l—3i,所以兩邊取模|z(l+i)|=|l—3i|,得即+i|=|l—3i|,

所以|z|xJ5=Ji6,所以同=|z|=J5.

故選：D.

2.已知集合屈=<-1r>N={x|lnx<l},則()

A.(0,1]B.(l,e)c.(0,e)D.(-oo,e)

答案：c

解析：-^-<-1,即;<。，所以0<x<l,即M=(O,l),

x-1x-l\7

由得0<x<e,所以N=(0,e),

所以MuN=（O,e）.

故選：c.

3.已知平面向量d=（—2,1）,c=（2j）,則己>4是“向量&與c的夾角為銳角”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：C

解析：因?yàn)?=（-2,1）,c=（2,Z）,

向量d與石夾角為銳角，即需&C>0且4與G不共線,

—2x2+%>0

得《cc，解得：，〉4,

—202

所以“f>4”是“向量日與d的夾角為銳角”的充要條件.故c項(xiàng)正確.

故選：c.

4.若函數(shù)/(x)=sin?x+0),>O,|0|v/J/兀、/7/7兀1

的部分圖象如圖所示，—,-1,則/⑴的解析式

127

71

A./(x)=sin|x+一B./(x)=sin

6

兀兀

c./(x)=sin|2x+—D./(x)=sinIlx--

36

答案：c

(77171、271271

解析：由圖象知T=4x=一彳=兀,故。=----=2,

1123亍=71

將會(huì)7兀,一11代入解析式，得sin(?+o]=_l,所以7兀?+0=_=71+2版,左eZ,

U122)\6)6622

571

解得0=——+2E?￡Z,

3

故選：C.

5.將一枚均勻的骰子獨(dú)立投擲兩次,所得的點(diǎn)數(shù)依次記為xy記人事件為〃C；>C=,則尸(A)=()

111135

A.——B.—c.—D.——

3633612

答案：c

解析：拋擲兩次總的基本事件有36個(gè).當(dāng)x=l時(shí),沒有滿足條件的基本事件;

當(dāng)X2時(shí)，片1滿足；當(dāng)“3時(shí)，y=l,2,6滿足；當(dāng)x=4時(shí)，y=l,2,3,5,6滿足;

當(dāng)x=5時(shí)，y=l,2,6滿足；當(dāng)x=6時(shí)，*1滿足.

13

總共有13種滿足題意，所以2依）=h.

故選：C.

6.若直線丁=辦+〃是曲線y=1口雙九>0）的一條切線，則2a+b的最小值為（）

A.21n2B.In2c.1in2D.l+ln2

答案：B

解析：設(shè)直線y=ar+6與曲線y=lnx相切的切點(diǎn)為（%o，ln%o）,由y=lnx求導(dǎo)得；/=1,

X

.1

Q—2

于是<x0,則/?=In/-],2a+b=—I-Inx0-1,

ax0+Z?=lnx0

設(shè)/（x）=2+lnx—l,x>0,求導(dǎo)得f（x）=—之+工=二，

XXXX

當(dāng)0<x<2時(shí)，f'M<0,函數(shù)f（x）遞減，當(dāng)x>2時(shí)，/Xx）>0,函數(shù)/（x）遞增，

因此當(dāng)x=2時(shí)，/（x）min=In2,

所以2a+6的最小值為In2.

故選：B

7.已知拋物線C：y2=2PMp>Q）的焦點(diǎn)為F,且拋物線C過點(diǎn)P（l,-2）,過點(diǎn)F的直線與拋物線C

交于A,8兩點(diǎn)，4，片分別為兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的投影，■為線段A5的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.線段A5長(zhǎng)度的最小值為2B.4尸片的形狀為銳角三角形

c.4,。,用三點(diǎn)共線D.叔的坐標(biāo)不可能為（3,—2）

答案：c

解析：對(duì)于A,因?yàn)閽佄锞€。過點(diǎn)P（l,-2）,所以拋物線C的方程為y2=4%,線段A5長(zhǎng)度的最小值為

通徑2。=4,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由定義知|A4j=|AF|,A%//%軸，所以44昭=川/=N4j/。，

同理XBFB,=NB\FO,所以A\FBX=90,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)直線A5:x=2y+1,與拋物線方程聯(lián)立，得》2—4切—4=0,

y4

設(shè)A（X，yJ,4a2,%），則%%=—4,k0A=^=-=-y2,

X1%

因?yàn)?（—1,%）,所以左0百=一%=KM，AO,與三點(diǎn)共線，所以c正確；

2

對(duì)于D,設(shè)AB的中點(diǎn)為〃（不，兒），則%%%=2中,x0=my0+l=2m+1,

取用=-1,可得加（3,—2）,所以D錯(cuò)誤

8.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S“，且s“+%=i,記及為數(shù)列｛““｝中能使二（加eN*）成立的最小

項(xiàng)，則數(shù)列M,”｝的前2023項(xiàng)和為（）

3113

A.2023x2024B.22024-1C.6-寧D.

答案：D

解析：因?yàn)镾“+%=1,則Rm+Q“+i=1,

兩式相減,得2%+1-。.=0,

又當(dāng)〃=1時(shí)，4=g，故為w0，

111

所以｛叫是以％=5,4=5的等比數(shù)列，貝14=萬7，

顯然遞減，要使得?！白钚。匆沟茫プ畲?，

令［一1；,得2"W2m+l.

若根=1,則〃<1，4=G=；；

若2<相<3,則〃<2,勾=〃2=：；

若4<切〈7,則〃43,第二%=：；

O

若8W/nW15,則〃<4,九=%=*；,;

若1024WmW2047,則〃VII也=%=，，,

則Z=4=g，與=4+（A+d）=g+；=i

1113

7；=Z?j+（Z?2+Z?3）+（Z>4+Z>5+Z?6+Z>7）=—+—+—=—,）

._l_H._1124113

??Ty2047=1111xx5=3,..r12023=3—=,

故選：D.

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知定義在R上的奇函數(shù)/（%）滿足了（%—1）=〃X+1）,則以下說法正確的是（）

A./（0）=0B./（%）的一個(gè)周期為2c.『（2023）=1D./（5）=/（4）+/（3）

答案：ABD

解析：/（%）是R上的奇函數(shù)，因此/（0）=0,故A正確；

由/（X—1）=/（X+1）得“乃="工+2）,所以2是它的一個(gè)周期，故B正確；

/（2023）=/（2X1011+1）=/（1）,而/==故/⑴=0,故c錯(cuò)誤；

/（4）=/（0）=0./（5）=/（3）,因此/（5）=/（4）+〃3）,故D正確.

故選：ABD.

22

10.雙曲線C：=_1=1（。〉0力〉0）,左、右頂點(diǎn)分別為A，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€/

與雙曲線。左、右兩支分別交于P，。兩點(diǎn)，與其兩條漸近線分別交于尺，S兩點(diǎn),則下列命題正確的是

A.存在直線/,使得APOR

B./在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有|下火|=.0

C.若直線/的方程為丁=入+2,存在上，使得SORB取到最大值

D.若直線/的方程為y=—乎卜―q),RS=2SB，則雙曲線。的離心率為J]

答案：BD

解析：對(duì)于A項(xiàng)：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

y=kx+t

對(duì)于B項(xiàng)：設(shè)直線/:y=kx+t,與雙曲線聯(lián)立y得：

”下=1

(b1-a2k2)尤2一2a2ktx-^a2t2+a2b2)=0,

r\2T2r2.2,2

設(shè)尸(再,乂)，。(七,%)，由根與系數(shù)關(guān)系得：X]+V=2再%2=—:;,

U—ClKu—ClK

122

%+々M+%’0ktakt、

所以線段PQ中點(diǎn)N/42+］，

22

b(atbt

將直線/：y=kx+t,與漸近線丁=—x聯(lián)立得點(diǎn)S坐標(biāo)為S

a、b-cik，b-ak)'

h'-atbt

將直線/：y=辰十方與漸近線丁=—土工聯(lián)立得點(diǎn)火坐標(biāo)為火

a+ak'b+ak

'a2kta?左2,'

所以線段RS中點(diǎn)/

所以線段PQ與線段RS的中點(diǎn)重合，所以|尸風(fēng)=因萬幽=畋|，故B項(xiàng)正確;

對(duì)于c項(xiàng):由B項(xiàng)可得因?yàn)镮。目為定值,

bb2b

當(dāng)人越來越接近漸近線y=—‘X的斜率—2時(shí),趨向于無窮,

aab+ak

所以SORB會(huì)趨向于無窮，不可能有最大值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

C27A

baab

對(duì)于D項(xiàng)：聯(lián)立直線,與漸近線y=—x,解得S

a、yflb+a42b+a,

727\

聯(lián)立直線/與漸近線y=--X,解得RT-,-7上一由題可知，RS=2SB,

a\—72b+a72b—a)

所以*一yR=2(yB—*)即3%=)^+2yB

3ab_ab

解得6=J萬a,所以e=故D項(xiàng)正確.

A/2Z?+ciyfib—a

故選：BD.

11.在平行六面體ABCD-AiBiGDi中/3=>44=2/。=1,/8人。=/8;44=/。/141=60。,動(dòng)點(diǎn)。在直線CDi上運(yùn)動(dòng)，以

下四個(gè)命題正確的是()

A.BD1AP

B.四棱錐P-ABB14的體積是定值

UUU

C.若M為BC的中點(diǎn)，則AB=2AM-AC]

D.以?尸C的最小值為

4

答案：BCD

解析：對(duì)于A,假設(shè)BD±AP,AB=AAi=2,ZBAD=60a,由余弦定理易得

BD=V3,BD2+AD2=AB2,BD1AD,BDryAD=D,血,的匚平面爪5,則BDJ_平面AC%因?yàn)?/p>

4cosF面AC%所以BD_LAC,則四邊形ABCD是菱形/B=/W,A不正確；

對(duì)于B,由平行六面體ABCD-4BC1D1得CDill平面ABB/i,所以四棱錐P-ABB14的底面積和高都是定值，所以

體積是定值,B正確；

UUUL]UUU

對(duì)于c,ACj=AB+AD+A4,,AM=AB+-ADAM-AQ=AB-AA[=4B,故C正確；

對(duì)于D,設(shè)尸c=aqc,

PA-PC=(PC+CB+BA)-PC

=a-AD-AB)/"C4B-AD-ABM

=仇”』A4,-AD-AB)?仇AB/A4j)

=A(A-1)/AB/2-A2A4j-AB-AAD-AB-A(A-l)AB-A4,+A2/A4,I^AD-A^

=A(A-I)/AB/2-(2A2-A)A4-AB-^-AD-AB+^IAAI/2+AAD-A4J

=A(A-1)X4-(2A2-A)X4COS60°Jx2cos60°+4A2+A-2cos60°

=4A2-2A=(2A-1)2-->-—,

244

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以PA-PC的最小值為-:澈D正確.

44

故選：BCD.

12.已知函數(shù)/'(x)=a(ex+a)—x,則下列結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)。=1時(shí)，方程/'(乃=。存在實(shí)數(shù)根

B.當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(尤)在R上單調(diào)遞減

C.當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/(x)有最小值，且最小值在x=lna處取得

3

D.當(dāng)a>0時(shí)，不等式/(x)>21na+q恒成立

答案：BD

解析：對(duì)于A,因?yàn)椤?1,所以方程/'。)=。即e、+l—龍=0,

設(shè)//(%)=e)+1-％,則”(%)=e'—1,令"(x)=e，—1=0,得％=0,

當(dāng)尤<0時(shí)，”(x)=e'—1<0,/z(x)=e'+1—%單調(diào)遞減，當(dāng)。>0時(shí),/z'(%)=e，-1>0,

h[x)=eA+l-x單調(diào)遞增，

所以/z(x)=e*+l—%>//(0)=2>0,所以方程/'。)=。不存在實(shí)數(shù)根，所以A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)?(x)=a(e*+a)-x,定義域?yàn)镽,所以/'(%)=ae*T,

當(dāng)aWO時(shí)，由于e，「>0,貝！Ue"VO,故/''(%)=枇"一1<0恒成立，

所以/(無)在R上單調(diào)遞減，所以B正確.

對(duì)于C,由上知，當(dāng)。>0時(shí)，令/''(x)=ae'—1=0,解得％=—Ina.

當(dāng)x<—Ina時(shí)，f'(x)<0,則/(x)在(—8,—Ina)上單調(diào)遞減；

當(dāng)%>—Ina時(shí)，/(x)>。，則/(尤)在(—In以,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)。>0時(shí)，/(X)在(TO,-In上單調(diào)遞減，在(一In4+0。)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)/(》)有最小值，即最小值在x=—Ina處取得，所以C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,由上知〃了置=/(-lna)=a(e—“"+a)+lna=l+a2+lna,

331

要證>21ntz+—,即證1+/+lna>21na+Q,即證儲(chǔ)—耳―ga>0恒成立,

4g(a)=a2-^--ln?(o>0),則=2a--=—~

2aa

令g'(a)<0,則()<a<立；令g，(a)>0,貝Ua>也

22

所…在”]

上單調(diào)遞減，在——,+co上單調(diào)遞增,

I2J12J

所以gSOnun=g---In=InA/2>In1=0，則g(a)>0恒成立,

22

3

所以當(dāng)a>0時(shí)，〃x)>21na+5恒成立，D正確.

故選：BD.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.若關(guān)于x的不等式打2—2龍+。<0在區(qū)間［0,2］上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案：(f,l］

解析：因?yàn)椋［o,2］,所以由方2一2無+awo得aW工：：］，

2x

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式分2—2x+aW0在區(qū)間［0,2］上有解，所以

x2+l

max

2%22

2V------------W——

當(dāng)％=0時(shí)，—~-=。，當(dāng)x40時(shí)，x~+11/F

x+1x+—2.X--

X\X

當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)，等號(hào)成立，

綜上￡2無的最大值為L(zhǎng)

x+1

故a?l,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(—8』］.

故答案為：(―0』］.

14.已知是遞增的等比數(shù)列，且滿足生=1嗎+%+%=~,貝I氏+06+〃8=-

答案：273

%?91

解析：設(shè)公比為+%+%=方+〃3+“3^二§，

解得/=9或，

因?yàn)橐病皚是遞增的等比數(shù)列，所以4=3,

91

則4+。6+08=+。3+“5）q'—石-X3^=273.

故答案為：273.

15.如圖，若圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為j2且乙弓=3,則此圓臺(tái)的內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面

都相切的球叫圓臺(tái)的內(nèi)切球）的表面積為.

設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為Q,Q,則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心。一定在。］。2的中點(diǎn)處，

設(shè)球。與母線A5切于M點(diǎn)，所以O(shè)M，A3,所以。M=。。=O。？=R（R為球0的半徑）,

所以A。。與一全等，所以AM=q,同理8M=為，

所以AB={+4,=（（+2）~—（弓=4*&=12,所以。02=26，

所以圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑尺=抬，內(nèi)切球的表面積為4兀尺2=127t.

故答案為：1271.

16.設(shè)。＞0,已知函數(shù)/（x）=e*-aln（ar+5）-匕，若/⑺上。恒成立，則而的最大值為.

小田e1

答案：—##—e

22

解析：/(x)>Ooax+er>ah(ax+b)+(ax+b)，

設(shè)g(x)=alnx+x,由于。＞0,易知g(x)在(0,+8)上遞增，且且小史)=疝1才+3=0￥+爐，

故/(x)>0og(e')>g(ax+b)^ex>ax+b.

法一:設(shè)y=e'在點(diǎn)P(x0,e%)處的切線斜率為，1。=a,即％o=Ina,

切線I'y=ax-\-a(\—\na),

由+6恒成立，可得b<a(l—lna),,

設(shè)/i⑷=Y(1_In。),a>0,

1i

A,(o)=2a(--lna),當(dāng)時(shí)，"(。)>°，

1

當(dāng)ae(e2,+oo)時(shí)，〃⑷<°，

法二:設(shè)//(%)=ex-ax-b,h'(x)=eA-a,

當(dāng)工￡(—oo,Ina)時(shí)，hr(x)<0,當(dāng)ie(Ina,+oo)時(shí)，hf(x)>0,

■''^(x)min=h()na)=?(1-Ina)-b>Q,即有6<a(i—in”)，.,.而《/(1―仙口)，下同法一.

p

故答案為：—.

2

四、解答題:本題共6小題，共70分?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1—ccsA

17.銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知?芋sin2B

sinA1+cos2B

(1)證明：cosB=

2b

(2)求;的取值范圍.

b

答案：(1)證明見解析

(2)(72,73)

⑴

1—cosAsin2B2sinBcosB_sinB

證法一:因?yàn)?/p>

sinAl+cos2B2cos2BcosB

所以(1—cosA)COSB=sinAsinB,

所以cosB-cosAcosB+sinAsinB,即cos(A-5)=cosB,

'iI'Ji]L

因?yàn)镺vAv—,0<5v—,所以——vA—5v—,

2222

所以A—5=3，即A=28，

所以sinA=sin23=2sin5cos5,

由正弦定理得。=2/?cos5,即cos6=g；

2b

Q?2.A

SinSm

、十、二1-cosA?2sin2B2sinBcosB

證法二：因?yàn)镕T=；"/=-sinB

2sin-cos-cos-cosB

222

AA.(A)

所以sin—cosB=cos—sinB,所以sin-----B=0,

TTTT

又因?yàn)镺vAv—,0v5v—,

22

所以o<4〈工，所以一二<4一3<三，

24224

A

所以萬—6=。，所以A=28，

所以sinA=2sinBcosB,

由正弦定理可得〃=2Z?cos從BPcosB=

2b

(2)

71

0<A=2B<-

2

71解得“Y，

由上可知A=2B，貝卜0<B<-

2

Tt

0<TI-A-B<—

[2

又因?yàn)閏os6=芫，所以￡=2cosBe（友,豆）

18.受環(huán)境和氣候影響，近階段在相鄰的甲、乙、丙三個(gè)市爆發(fā)了支原體肺炎，經(jīng)初步統(tǒng)計(jì)，這三個(gè)市分別

有8%,6%,4%的人感染了支原體肺炎病毒，已知這三個(gè)市的人口數(shù)之比為4:6：10，現(xiàn)從這三個(gè)市中任意

選取一個(gè)人.

（1）求這個(gè)人感染支原體肺炎病毒的概率;

（2）若此人感染支原體肺炎病毒，求他來自甲市的概率.

答案：（1）0.054

⑵得

（1）

記事件D:選取的這個(gè)人感染了支原體肺炎病毒,記事件E:此人來自甲市，記事件F:此人來自乙市，記事件

G:此人來自丙市,

O=EFG,且E,8G彼此互斥,

由題意可得「（&=義=。.2,尸仍）=*=0.3,P（G）=*=0.5,

P（D|E）=0.08,P（D|F）=0.06,P（D|G）=0.04,

由全概率公式可得P（D）=P（E）?P（D|E）+P（B-P（D|B+P（G）?P（D|G）

=0.2x0.08+0.3X0.06+0.5x0.04=0.054,

所以從三市中任取一人,這個(gè)人感染支原體肺炎病毒的概率為0.054；

（2）

,P（DE）P（E｝P（D\E）0,2x0.088

由條件概率公式可得P（E。）=\/=）＜、_L=--------------

、'P（D）P（D）0.05427

o

所以當(dāng)此人感染支原體肺炎病毒時(shí),他來自甲市的概率為白.

27

19.設(shè)數(shù)列加“｝的前。項(xiàng)和為S",已知q=3,2Sn-3all+3=0.

（1）證明數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

3

（2）設(shè)數(shù)列｛紇｝的前n項(xiàng)積為4,，若'%⑸-4+5）土”對(duì)任意neN*恒成立，求整數(shù)2

二log3n〃+1

的最大值.

答案：(1)證明見解析

(2)0

(1)

因?yàn)?s“-3圖+3=0,①

當(dāng)〃之2時(shí)，25H_1-3tz/I_1+3=0,②

①②得：an=3an_x(n>2),即工=3(n>2)

an-l

經(jīng)檢驗(yàn)4=3符合上式,

所以數(shù)列MJ是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

(2)

由(1)知。"=3",所以s=30-3")=3用—3,

"1-32

21+2++n

%=01a2a?=3x3xx3"=3=3^

33日1一3

,(1-24)(5u2效+彳)“(1—2左)(

所以5-----------------------2_2_弋(2左一1>3"

=E——碎+1)?k(k+l)

k=llog33k

n(3A+13n「

=E

k=\\女+1k,n+1

所以口2-3〉4①恒成立,OH+12.3"

BP-——3>-------

H+1n+1n+1n+1

化簡(jiǎn)得：2<3-早,

令么—竽，，所以。.+。,=專2n+l

=31_3_23->0,

3"

所以數(shù)列也,｝是遞增數(shù)列，最小值為么=3-1=1,

所以；1<1,故整數(shù)為的最大值為0.

22

20.設(shè)橢圓T+的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,右焦點(diǎn)為方，已知4尸=3%.

(1)求橢圓的離心率.

(2)已知橢圓右焦點(diǎn)方的坐標(biāo)為(i,o),尸是橢圓在第一象限的任意一點(diǎn),且直線4P交)軸于點(diǎn)。，若

△4尸。的面積與的面積相等,求直線4P的斜率.

答案：(1)1

⑵k二一甌

4

(1)

由題可知，［44|=2。,由A尸=3%，所以,網(wǎng)=3|%|,

所以|4尸|=卞4闋='。，

3c1

即=大々,所以橢圓的離心率e=—二彳；

2a2

(2)

22

法一:由題意知,C=La=2,所以橢圓方程為L(zhǎng)+匕=1,

43

直線4尸的斜率存在,設(shè)直線4P的斜率為k,

則直線方程為近—y—2左=0且左＜0,

設(shè)4到直線AP的距離為h1,F到直線4P的距離為h2,

則吐熄，ft，

又SAPQ2I‘，.包尸P二萬色，|4刊S4尸Q二SA*,

所以的=ML

|人尸|44

A（28、

由圖可得4尸=三40,又因?yàn)?（2,0）,0（0,—2左）,所以尸-~~k,

557

又P在橢圓上，代入橢圓方程解得因?yàn)樽螅迹ǎ?所以左=一￡1,

84

法二:由題意知，直線AP的斜率存在,設(shè)直線4P的斜率為h則直線方程為依-y-2左=0且大＜0,

kx-y-2k=G

聯(lián)立|必/_消去y得至I］方程（3+4左2）d—16左2%+16左2—12=0,

143

16F-123k2-6

所以,%p，所以4

3+4/3+4左2

代入直線方程尚4°（°,必），

S&FP=g⑶可,力=券，S4P°=s0M2—S所出=（4（―2左）―；?4-yp

又因?yàn)镾A典=S&FP,所以:孫=-4左,

所以3?^=—4左,解得左2=苫,因?yàn)椋ィ?,所以左=-￡1.

23+4左-84

21.如圖所示，在四棱錐?一A5CD中，底面ABCD是正方形，平面Q4Q1平面ABC。，平面PCD,平

（1）證明：PQ1平面ABCD；

（2）若即=4）,“是尸。的中點(diǎn)，N在線段FC上，求平面與平面ABC。夾角的余弦值的取

值范圍.

答案：（1）證明見解析

\2萬

（2）0,----

3

(1)

四邊形A8CD是正方形，AD1CD,

平面PCDJ_平面ABCD,平面PCD一平面回。0=。0,ADu平面ABC。,

AD1平面PCD,

又9u平面PC。,AD1PD，

同理CD，？。，

又ADCD=D,ADu平面ABC。，CDu平面ABC。，

PQ1平面ABCD.

（2）

由⑴知ADIPO，CD1PD,AD±CD,

DA>DC,。夕兩兩垂直,

如圖，以。為原點(diǎn)，DA>DC、。夕所在直線分別、八軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PD=AD=2,

則力（0,0,0）、尸（0,0,2卜8（2,2,。）、C（0,2,0）、M（0,0,1）,

PQ1平面ABCD,

平面ABCD的一個(gè)法向量為初=（0,0,1）,

設(shè)CN=/LCP(0W2Wl),

有3M=(—2,—2,1),CP=(0,-2,2),

則BN=BC+CN=BC+ACP=(-2,-2/1,22),

設(shè)平面BMN的法向量為n=(尤,y,z),

BMn=-2x-2y+z=0

則〈一，取不二丸，則y=l—22,z=2—24,

BN-n=-2x-22y+22z=0

故平面BMN的一個(gè)法向量為n=(2,1-22,2-22),

設(shè)平面BMN與平面ABCD的夾角為0,

|2-22||2-22|

則cos6=cos(m,n)=

+(l-22)2+(2-22)2A/922-122+5'

設(shè)/=1—2,則0W/W1,

①當(dāng)/=0時(shí),cos。=0,

②當(dāng)庫(kù)0時(shí)，

2卜|=2腐邛=2

cos9=

79r-62+2

1

=2

2

當(dāng)人g時(shí)，cos”當(dāng)，故。即"孚

綜上，0<cos0<,

3

即平面6MN與平面ABC。夾角的余弦值的取值范圍為0,

22.已知函數(shù)/(九)=xlnjv-gar?a>0).

（1）若函數(shù)/（%）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

1

（2）若函數(shù)/（%）有兩個(gè)極值點(diǎn)石,/（石＜修），證明:XX>—.

x2a

答案：（1）a＞l

（2）證明見解析

⑴

/(%)的定義域?yàn)?0,+力)，f(x)=l+lnx-ax,

、lnx+1LA-

由題意/'（%）＜0恒成立，即a>-----怛成區(qū),

x

設(shè)〃（工）=也里，貝U"（x）=1—Inx—1—Inx

Xx2X2

當(dāng)xe（O,l）時(shí)，h'（x）＞0,//（無）=