2023年甘肅省高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年甘肅省高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共20小題，每小題3分，共60分。

1.（3分）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

A.J=X3B.y=2x1-3C.y=xD.y=x2,x∈[0,1]

2.（3分）若過(guò)點(diǎn)（1,2）總可以作兩條直線與圓√+√+ΛX÷2>'+?2-15=0相切，則實(shí)數(shù)k

的取值范圍是（）

A.AV-3或N>2B.-3VkV2C.k>2D.以上都不對(duì)

3.（3分）已知點(diǎn)M（m?）在圓O：Λ2+∕=1外，則直線Or+勿=1與圓O的位置關(guān)系是

（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

4.（3分）為了了解某校高三400名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)，制成樣本頻率分布直方

圖如圖,規(guī)定不低于60分為及格,不低于80分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是（）

80%,80D.80%,60

5.(3分)直線3x+My-I=O與4x+3y-〃=0的交點(diǎn)為(2,-1）,則ιn+n的值為

A.12B.10C.-8D.-6

6.(3分)下列推理錯(cuò)誤的是()

A.AEl,A∈α,BWl,BEa=IUa

B.A∈α,A∈β,BEa,B∈β=>α∩β=zAB

C.∕?α,A∈∕=A0a

D.AElf∕?a=>Λ∈a

(2/(0≤%≤1)

7.(3分)函數(shù)/(x)=j2(l<x<2)的值域是()

1%+1(%≥2)

A.RB.(0,+8)

C.(0,2)U(2,+8)D.[O,2]U[3,+8)

11

8.(3分)設(shè)f(x)=x3+fex+c是［-1,1］上的增函數(shù)，且"T)?∕(-)<0,則方程/(x)

=0在［-1,1］內(nèi)()

A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有唯一的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

9.(3分)如圖所示，正方體ABCQ-AIBIC1。1的棱長(zhǎng)為1,則三棱錐Ol-ACD的體積是

()

10.(3分)若函數(shù)/G)滿足/(3x+2)=9x+8,則/(x)的解析式是()

A.f(X)=9x+8

B.f(x)=3x+2

C.f(x)=-3χ-4

D.f(X)=3x+2或/(X)=-3x-4

11.(3分)設(shè)奇函數(shù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)，且/(-1)=-1,若對(duì)所有的XeL1,

1]及任意的α∈[-1,1]都滿足/(x)≤r2-2at+?,則f的取值范圍是()

A.[-2,2]B.(-8,-2]U{0}U[2,+∞)

Il11

C.[-?,玄D.(-∞,-∣]U{0}U[p+∞)

I2.(3分)關(guān)于空間直角坐標(biāo)系O-孫Z中的一點(diǎn)P(I,2,3),有下列說(shuō)法：

①點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為舊；

13

②OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一，1,-)；

22

③點(diǎn)P關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2,-3)；

④點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,~3);

⑤點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面XOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3).

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

13.（3分）已知過(guò)點(diǎn)P（2,2）的直線與圓（X-I）2+√=5相切，且與直線0χ->?+l=O

垂直，則α=（）

11

A.-?B.1C.2D.-

22

14.（3分）已知點(diǎn)A（l,-2）,B（m,2）且線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-2=0,

則實(shí)數(shù)〃?的值是（）

A.1B.3C.-2D.-7

15.（3分）在四面體ABCC中，已知棱AC的長(zhǎng)為√Σ其余各棱的長(zhǎng)都為1,則二面角A

-CD-B的余弦值是（）

11√3√2

A.-B?-C.—D.—

2333

16.（3分）若兩球的體積之和是12π,經(jīng)過(guò)兩球球心的截面圓周長(zhǎng)之和為6π,則兩球的半

徑之差為（）

A.1B.2C.3D.4

17.（3分）某工廠12年來(lái)某產(chǎn)品總產(chǎn)量S與時(shí)間/（年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四種

說(shuō)法：

①前三年總產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快；

②前三年總產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；

③第3年后至第8年這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)了；

④第8年后至第12年間總產(chǎn)量勻速增加.

其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（3分）已知下列四個(gè)函數(shù)圖象，其中能用“二分法”求出函數(shù)零點(diǎn)的是（)

19.（3分）將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為6cm,若

將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面高度為（）

20.（3分）在平面直角坐標(biāo)系XO），中，設(shè)直線/：丘->1=0與圓（7：x2+b=4相交于A、

B兩點(diǎn)，以。4、OB為鄰邊作平行四邊形OAMB,若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)%等于（）

A.1B.2C.0D.-1

二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）

21.（3分）如圖所示，一個(gè)正方體的表面展開圖的五個(gè)正方形為陰影部分，第六個(gè)正方形

在編號(hào)為1~5的適當(dāng)位置，則所有可能的位置編號(hào)為.

AECF1

22.（3分）在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB,BC上的點(diǎn)，且=則

AC和平面DEF位置關(guān)系.

23.（3分）當(dāng)Xe（1,2）時(shí)，不等式x2+∕nr+4V0恒成立，則,"的取值范圍是.

24.（3分）定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/（x+l）=Z∕（x）.若當(dāng)OWXWI時(shí).F（X）=X

（I-x）,則當(dāng)-IWX≤0時(shí)，f（x）=.

三、解答題（共3小題，共28分）

25.（8分）設(shè)函數(shù)/（x）=ex'm-χ,其中m∈R,當(dāng)m>1時(shí)，判斷函數(shù)/GO在區(qū)間（0,

?。﹥?nèi)是否存在零點(diǎn).

26.（10分）函數(shù)/（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的解析式為/Q）=|-1.

(1)用定義證明/(無(wú))在(0,+8)上是減函數(shù)；

(2)求當(dāng)XVO時(shí)，函數(shù)的解析式.

27.(10分)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)％,y都有/(x+y)-2f(y)=x1+2xy-y2+3x-3y,求函數(shù)/

(%)的解析式.

2023年甘肅省高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共20小題，每小題3分，共60分。

1.(3分)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A.y=xiB.y=Zr2-3C.y=xD.y=x1,x∈[0,1]

【解答】解：對(duì)于A,滿足f(-x)=-f(x),不是偶函數(shù)；

對(duì)于B,/(-x)-2X2-3—f(x),是偶函數(shù)；

對(duì)于C,滿足/(-x)=-/(x),則不是偶函數(shù)；

對(duì)于。，對(duì)0,1],則不是偶函數(shù)

故選：B.

2.(3分)若過(guò)點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線與圓Λ2+√+fcc+2>?+?2-15=0相切，則實(shí)數(shù)k

的取值范圍是()

A.&<-3或k>2B.-3<?<2C.k>2D.以上都不對(duì)

【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(x+3)2+(y+l)2=16-∣F,

所以16—?dú)?>0,解得：一與VfcV稱Λ

zr??∕5?

又點(diǎn)(1,2)應(yīng)在已知圓的外部，

把點(diǎn)代入圓方程得：l+4+k+4+必-15>0,即(?-2)(Z+3)>0,

解得：k>2或k<-3,

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(Y√5,-3)U(2,I√3).

?3

故選：D.

3.(3分)已知點(diǎn)M(a,?)在圓。：/+y2=]外，則直線aχ+hy=1與圓O的位置關(guān)系是

()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【解答】解：；點(diǎn)例(?,b)在圓O：%2+/=1外，.?.α2+b2>i.

；?圓0：/+b=1的圓心。(O,O)到直線cιx+by-1的距圖d—.=V1.

Ja2+b2

則直線ax+by=I與圓O的位置關(guān)系是相交.

故選：A.

4.(3分)為了了解某校高三400名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)，制成樣本頻率分布直方

圖如圖，規(guī)定不低于60分為及格,不低于80分為優(yōu)秀,則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是（

【解答】解：由頻率分布直方圖得，及格率為I-（0.005+0.015）×10=l-0.2=0.8=

80%

優(yōu)秀的頻率=（0.01+0.01）×10=0.2,優(yōu)秀的人數(shù)=0.2X400=80

故選：C.

5.（3分）直線3x+∕ny-1=0與4x+3y-"=0的交點(diǎn)為（2,-1）,則小+〃的值為（）

A.12B.10C.-8D.-6

【解答】解：因?yàn)橹本€3x+my-1=0與4x+3y-"=0的交點(diǎn)為（2,-1）,

所以3X2-m-l=0,4X2-3-"=0,

解得比=5,n=5,

所以機(jī)+"=10.

故選：B.

6.（3分）下列推理錯(cuò)誤的是（）

A.A&l,AEa,Bel,BeanIUa

B.A6α,A∈β,B6a,B∈β=>a∩β=ΛB

C./Ca,A∈∕=ACa

D.AEl,∕uanA∈a

【解答】解：對(duì)于A,AEa,Bel,B∈a,，由平面的基本性質(zhì)得∕ua,故A正確；

對(duì)于8,?.'A∈a,A∈β,Bea,8印，,由平面的基本性質(zhì)得a∩0=A8,故B正確：

對(duì)于C,?∕∕?a,AE,A有可能是/與a的交點(diǎn)，此時(shí)46a,故C錯(cuò)誤：

對(duì)于￡>,；A€/,∕ua,.?.由平面的基本事件得A€a,故C正確.

故選：C.

<2x2（0≤X≤1）

7.（3分）函數(shù)/（X）=<2（l<x<2）的值域是（）

Ix+l（x≥2）

A.RB.(O,+∞)

C.(O,2)U(2,+8)D.［O,2］U［3,+∞)

【解答】解：結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，OWxWl,則2∕∈［0,2］；

l<χV2時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閧2},

x22時(shí)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得：Λ÷1∈［3,+8),

綜上可得：函數(shù)的值域是［0,2］U［3,+8).

故選：D

8.(3分)設(shè)∕G)=x3+bx+c是［-1,1］上的增函數(shù)，且/(—??/(:;)<0,則方程/(元)

乙2

=0在［-1,1］內(nèi)()

A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有唯一的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

【解答】解：由/(x)在［-1,1］上是增函數(shù)，所以在［-1,1］最多一個(gè)根，

又于TmV。，知/(X)在［-1,H上有唯一實(shí)數(shù)根；

所以方程/G)=0在［-1,1］上有唯一實(shí)數(shù)根.

故選：C.

9.(3分)如圖所示，正方體ABC。-Aι3ιCι。的棱長(zhǎng)為1,則三棱錐。LACD的體積是

()

D.1

【解答】解：’I正方體ABCO-A出CIQI的棱長(zhǎng)為1,

111

*D1-ACD=

故選：A.

10.(3分)若函數(shù)fG)滿足/(3x+2)=‰+8,則F(X)的解析式是()

A.f(X)=9x+8

B.f(x)=3x+2

C.f(?)=-3x-4

D.f(x)=3x+2或/(x)=-3χ-4

【解答】解：令f=3x+2,則X=號(hào)，所以/⑺=9x號(hào)+8=3f+2.

所以/(x)=3x+2.

故選：B.

11.(3分)設(shè)奇函數(shù)/G)在[-1,1]上是增函數(shù)，fi∕(-1)=-1,若對(duì)所有的x∈[-1,

1]及任意的Q∈[-1,1]都滿足/(x)≤∕2-2^+l,則E的取值范圍是()

A.[-2,2]B.(-8,-2]U{0}U[2,+∞)

I111

C.[-?,?]D.(一8,-i]U{O}U[i,+∞)

【解答】解：奇函數(shù)/(x)在[-1,1]上是增函數(shù)，

則/(x)的最大值為F(I)=-/(-1)=1,

因?yàn)閷?duì)所有的xe[-1,1]都滿足f(x)Wz2-2at+?,

所以IWr2-2at+l對(duì)任意的企[-1,1]恒成立，

即Z2-2at2對(duì)任意的一[-1,1]恒成立,

函數(shù)y=-2s+P的定義域?yàn)棣痢蔥-l,1],

所以函數(shù)的最值一定在端點(diǎn)上，

則￡一年氣，解得后2或fW-2或t=0,

所以f的取值范圍是(-8,-2]U{0}U[2,+∞).

故選：B.

12.(3分)關(guān)于空間直角坐標(biāo)系。-盯Z中的一點(diǎn)P(1,2,3),有下列說(shuō)法：

①點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為舊；

13

②OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為弓，1，-＞；

③點(diǎn)P關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-2,-3)；

④點(diǎn)?關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3)；

⑤點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面Xoy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3).

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：由空間直角坐標(biāo)系O-DZ中的一點(diǎn)尸（1，2,3）,知：

在①中，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d=√1+4+9=√∏,故①錯(cuò)誤；

13

在②中，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，1,-）,故②正確；

在③中，由對(duì)稱的性質(zhì)得與點(diǎn)P關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-2,-3）,故③不正

確；

在④中，由對(duì)稱的性質(zhì)得與點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,-2,-3）,故

④錯(cuò)誤；

在⑤中，由對(duì)稱的性質(zhì)得與點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面Xo），對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2,-3）,故

⑤正確.

故選：A.

13.（3分）已知過(guò)點(diǎn)P（2,2）的直線與圓（x-l）2+√=5相切，且與直線aχ-y+?=0

垂直，則α=（）

11

A.-?B.1C.2D.-

22

【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)P（2,2）滿足圓（X-1）2+y2=5的方程，所以尸在圓上，

又過(guò)點(diǎn)P（2,2）的直線與圓（X-I）2+y2=5相切，且與直線αχ-y+l=0垂直，

所以切點(diǎn)與圓心連線與直線ax-y+1=O平行，

所以直線OX-y+1=O的斜率為：“=8=2.

Z-I

故選：C.

14.（3分）己知點(diǎn)A（1,-2）,B（m,2）且線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-2=0,

則實(shí)數(shù)m的值是（）

A.1B.3C.-2D.-7

【解答】解：YA（1,-2）和BCm,2）的中點(diǎn)C（甘絲，0）在直線x+2y-2=0上，

l÷7∏a,E

??--2=0,解得m=3.

故選:B.

15.（3分）在四面體ABC。中，已知棱AC的長(zhǎng)為VL其余各棱的長(zhǎng)都為1,則二面角A

-CD-B的余弦值是（)

11C,^√2

A.-B.-D.一

2333

【解答】解：由已知可得ACCC

又由其余各棱長(zhǎng)都為1得正三角形BCD,取CD得中點(diǎn)E,連BE,則BELCD

在平面AoC中，過(guò)E作A。的平行線交AC于點(diǎn)尸，則/BEF為二面角A-Cn-B的平

面角

尸=3（三角形ACO的中位線），BE=李（正三角形Ba）的高），BF=孝（等腰RT

三角形ABC,尸是斜邊中點(diǎn)）

222

?∕dc?c?EF+BE-BF∣+∣-2√3

..COSZBEF=IXBEX即==T

16.（3分）若兩球的體積之和是12m經(jīng)過(guò)兩球球心的截面圓周長(zhǎng)之和為6π,則兩球的半

徑之差為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：設(shè)兩球的半徑為R和八（R>r）:

故傳腔+知3=]2

7r，解得

(2πR+2πr=6π

故R-r=1.

故選：A.

17.（3分）某工廠12年來(lái)某產(chǎn)品總產(chǎn)量S與時(shí)間年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四種

說(shuō)法:

①前三年總產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快;

②前三年總產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢;

③第3年后至第8年這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)了;

④第8年后至第12年間總產(chǎn)量勻速增加.

【解答】解：根據(jù)題意，由函數(shù)圖象可知

在區(qū)間[0,3]上，圖象圖象凸起上升的，表明年產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢；故（1）錯(cuò)（2）

對(duì)；

在區(qū)間（3,8]±,圖象是水平直線，表明總產(chǎn)量保持不變，即年產(chǎn)量為0,說(shuō)明第3年

后至第8年這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)了，（3）正確；

在區(qū)間（8,12]±,圖象是直線上升的，表明第8年后至第12年間總產(chǎn)量勻速增加，（4）

正確；其中正確的說(shuō)法有3個(gè)；

故選：C.

18.（3分）已知下列四個(gè)函數(shù)圖象，其中能用“二分法”求出函數(shù)零點(diǎn)的是（）

【解答】解：能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)，在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，

由圖象可得，只有A滿足題意，B、C、。不滿足題意，

故選：A.

19.（3分）將若干毫升水倒入底面半徑為的圓柱形器皿中，量得水面高度為6c∕n,若

將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面高度為（)

A.6>∕3cmB.6cmC.2V18c∕nD.3V12c∕n

【解答】解：由圓柱體體積公式知，水的體積為V=πX2X2X6=24n（c∕）,

當(dāng)水倒入圓錐形器具之后，體積不變，

設(shè)倒圓錐形器具的水面半徑r,

則Vr=寺XTrXr2X?/?r=24π,B∣Jr3=24√3,解得r=2V3>

所以水面高度為：√3r=6.

故選：B.

20.（3分）在平面直角坐標(biāo)系xθy中，設(shè)直線/：AX-y+l=0與圓C：x2+y2=4相交于A、

B兩點(diǎn)，以。A、OB為鄰邊作平行四邊形OAMB,若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k等于（）

A.1B.2C.0D.-1

【解答】解：???四邊形OAMB為平行四邊形，

，四邊形04MB為菱形，

...△OAM為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2,

解得弦AB的長(zhǎng)為28，又直線過(guò)定點(diǎn)N（0,1）,

且過(guò)N的弦的弦長(zhǎng)最小值為2次，

此時(shí)此弦平行X軸，即k=0.

故選：C.

二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）

21.（3分）如圖所示，一個(gè)正方體的表面展開圖的五個(gè)正方形為陰影部分，第六個(gè)正方形

在編號(hào)為1~5的適當(dāng)位置，則所有可能的位置編號(hào)為1,4,5.

【解答】解：將展開圖還原為正方體，

當(dāng)?shù)诹鶄€(gè)正方形在1,4,5的位置時(shí)，滿足題意.

故答案為：1,4,5.

AECF1

22.(3分)在空間四邊形ABCD中，E、尸分別是AB.BC上的點(diǎn)，且二=—=71則

EBFB3

AC和平面OEF位置關(guān)系平行.

【解答】解：如圖，連接AC,BD,

AECF1

?.'E.F分別是A8、BC上的點(diǎn)，且==;,

7EB77FBz3

.?EF∕∕AC,

又YACC平面。E凡EF?ψ≡DEF,

."C〃平面DEF,

故答案為：平行.

23.(3分)當(dāng)Xe(1,2)時(shí)，不等式f+nu?+4<0恒成立，則加的取值范圍是m≤-5.

【解答】解：法一：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)：/(x)=x?+4,Λ∈[1,2],由于當(dāng)Xe(1,

2)時(shí)，不等式/+,nx+4<0恒成立.

則由開口向上的一元二次函數(shù)/(x)圖象可知F(X)=O必有△>(),

①當(dāng)圖象對(duì)稱軸X=-手≤*'j,/(2)為函數(shù)最大值當(dāng)/⑵WO,得加解集為空集?

②同理當(dāng)一夕其時(shí)，/(1)為函數(shù)最大值，當(dāng)/⑴≤0可使x∈(1.2)時(shí)/(x)<0.

由/(1)<0解得mW-5.綜合①②得加范圍機(jī)W-5

法二：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)：/(x)=∕+∕≡+4,Λ∈[1,2].由于當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等

式x2+mx+4<0恒成立

叫黑智解得仁二即Z