2023-2024學年寧夏吳忠市高二年級上冊期末考試數(shù)學（文）試題（含解析）

2023-2024學年寧夏吳忠市高二上冊期末考試數(shù)學（文）

試題

一、單選題

1.已知集合/={-1,0,1,2},8=奴0<》<3},則（）

A.{1,2}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1）

【正確答案】A

【分析】利用集合的交集運算即可.

【詳解】由題可知,4n8={1,2},

故選:A.

2.從編號為1?100的樣品中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取10件樣品進行質量檢測，若所抽取的

樣本中包含編號為2的樣品，則一定不會被抽到的樣品的編號是（）

A.28B.42C.52D.82

【正確答案】A

【分析】首先求出抽樣間隔，即可判斷.

【詳解】解：從編號為1~100的樣品中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽取10件樣品進行質量檢測，

則抽樣間隔為100+10=10,因為所抽取的樣本中包含編號為2的樣品，

則按照系統(tǒng)抽樣的方法可知編號尾數(shù)為2的樣品會入樣，

則編號為28的樣品一定不會被抽到.

故選：A

3.若a>b,ab*Q,則下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.ac>beC.—>—D.a+c>b+c

ab

【正確答案】D

【分析】通過舉例的方法判斷A、B、C,根據(jù)不等式的性質判斷D.

【詳解】對于A.取4=1力=-2,則故錯誤；

對于B.取c=0,則ac=bc,故錯誤；

對于C.取a=2,b=1,則一故錯誤；

ab

對于D.由不等式的性質“在不等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)，不等號方向不變”可知D正

確，

故選：D.

4.甲、乙兩位運動員在5場比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別

為X甲、X乙，則下列判斷正確的是（）

?乙

6715

82868

4033

A.乙，甲比乙成績穩(wěn)定B.招〉兒,乙比甲成績穩(wěn)定

C.X甲＜X乙，甲比乙成績穩(wěn)定D.與＜X乙，乙比甲成績穩(wěn)定

【正確答案】D

【分析】計算出甲、乙得分的平均值與方差，可得出結論.

16+17+28+30+3415+28+26+28+33

【詳解】由莖葉圖可得=25,X乙

55

甲得分的方差為M=(16—25)2+(17-25)2+(28-292乂30-2$乂34-2$:

(15-26)2+(28-26/、2+(26-292433-2$2

乙得分的方差為歐=

5

所以，X甲＜X乙，4＞4.故X甲＜X乙，乙比甲成績穩(wěn)定,

故選：D.

5.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)

存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢鑿石

分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,

若該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群共有（）.

A.10層B.11層C.12層D.13層

【正確答案】C

【分析】設該數(shù)列為｛凡｝,塔群共有〃層，則數(shù)列｛/｝為1,3,3,5,5,7,…，該數(shù)列

從第5項開始成等差數(shù)列，根據(jù)題意結合等差數(shù)求和公式可得12+〃(〃-4)=108,從而可求

出?的值

【詳解】根據(jù)題意，設該數(shù)列為｛“,,｝，塔群共有〃層，

即數(shù)列有〃項，數(shù)列｛4｝為1,3,3,5,5,7,

則￡=1+3+3+5=12.

該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，且%=5，%=7,則其公差4=2,

則有S”一$4=%+%+L+a“=5x(〃-4)~~—~~-=4

又S,,=108,則有12+小-4)=108,

即““-4)=96,解得〃=12或"=-8(舍去)，則〃=12.

故選：C.

2

6.在48C中，cosC=-,AC=4,BC=3,則sin8=()

3

A.--s/3B.-V3C.~y/5D.3非

9494

【正確答案】C

【分析】先利用余弦定理求出/B,由同角平方關系求sinC,然后結合正弦定理即可求解.

2

【詳解】VcosC=y,AC=4,BC=3,由余弦定理得：

2

AB2=AC2+BC2-2AC?BCcosC=16+9-2x4x3x-=9

3

AB—3,

vcosC=1.-.sinC=^,由正弦定理得：

33

些1=必_4x2y4亞

sinBsinCsinB=-----=---

39

故選：C.

7.已知直線y=^+2與圓C：x2+/=2交于4,8兩點，且|/⑷=2,則人()

C.4D.+y/3

-3

【正確答案】D

【分析】利用圓的弦長、弦心距、半徑之間的關系，以及點到直線的距離公式列方程求解即

可.

【詳解】因為圓+貫=2的圓心C（0,0）,半徑廠=&,弦長|/同=2,

所以C到直線）=b+2的距離等）2=],

故選：D.

8.第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林

匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.小林觀看了本屆冬奧會后，打算從冰壺

、短道速滑、花樣滑冰、冬季兩項這四個項目中任意選兩項進行系統(tǒng)的學習，則小林沒有選擇

冰壺的概率為（）

冰壺短道速滑花樣滑冰冬季兩項

A.；B.|C.yD.|

【正確答案】C

【分析】記冰壺、短道速滑、花樣滑冰、冬季兩項分別為4B,C,D,用列舉法寫出所有的

基本事件及沒有選擇冰壺的所有事件，從而求出沒有選擇冰壺的概率.

【詳解】記冰壺、短道速滑、花樣滑冰、冬季兩項分別為/,B,C,D,

則從這四個項目中任選兩項的情況有48,AC,AD,BC,BD,CD,共6種情況，

其中沒有選擇冰壺的有8C,BD,CD,共3種情況，

31

所以所求概率為==

62

故選：C.

9.哈六中數(shù)學興趣小組的同學們?yōu)榱擞嬎懔袛?shù)學組二維碼中黑色部分的面積，在如圖一

個邊長為4的正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估

計黑色部分的面積為

A.11B.10C.9D.8

【正確答案】C

【分析】設黑色部分的面積為S,利用幾何概型概率計算公式列出方程能估計黑色部分的面

積.

【詳解】設黑色部分的面積為S,

正方形二維碼邊長為4,

在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，

???△二黑，解得S=9,

4x4400

據(jù)此可估計黑色部分的面積為9,故選C.

本題主要考查幾何概型概率公式以及模擬實驗的基本應用，屬于簡單題，求不規(guī)則圖形的面

積的主要方法就是利用模擬實驗，列出未知面積與已知面積之間的方程求解.

10.已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是（計算平均值時

同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（）

C.65、64、66D.64、65、64

【正確答案】B

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【詳解】由圖可知：各組的頻率依次為03040.15,0.1,0.05,

可得［60,70）的頻率最大，故眾數(shù)的估計值為65,

?；0.3<0.5,0.3+0.4=0.7>0.5,故中位數(shù)位于［60,70）內(nèi),

設中位數(shù)為“，則0.3+0.040x（a-60）=0.5,解得”65,

平均數(shù)1=0.3x55+0.4x65+0.15x75+0.1x85+0.05x95=67，

故選：B.

11.已知函數(shù)/G）=?'-4+1（。>0且存1）的圖象恒過定點4若點力的坐標滿足關于x，N

的方程3+，?=4（5>0,〃>0）,則上+上的最小值為（）

mn

A.9B.24C.4D.6

【正確答案】C

【分析1由題意可得2〃?+〃=2,利用基本不等式求最值即可.

【詳解】因為函數(shù)/（x）=+1（。>（U工1）圖象恒過定點（4,2）

又點力的坐標滿足關于X，V的方程5x+〃y=4（機>0,n>0）,

所以4m+2/7=4,即2m+n=2

所以，+2=:（26+〃）（工+2）=1（4+—+—）

mn2mn2nm

足（4+2、但正）=4,當且僅當網(wǎng)=4即〃=2加=1時取等號；

2\nmnm

所以，1+士2的最小值為4.

mn

故選：c.

12.已知/8C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且sin%,sin5,sinC成等比

數(shù)列，則角B的取值范圍為（）

A-（畤］B-

c-1f日7171D-兀71

_392

【正確答案】A

【分析】由sin/、sinB>sinC依次成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質列出關系式，利用正

弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosB,把得出關系式代入并利用基本不等式求出cosB

的范圍，利用余弦函數(shù)的性質確定出8的范圍即可.

【詳解】，??在48c中，sin%、sinB、sinC依次成等比數(shù)列，

sin2B=sinsinC，

利用正弦定理化簡得

由余弦定理得cosB=^^一".="2+c2-"c開型二竺=_L（當且僅當a=c時取等號），

lac2ac2ac2

因為0<8〈》，

則5的范圍為（0,g,

故選：A.

本題主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的

關鍵.

二、填空題

13.當。=3時，執(zhí)行程序（如圖），輸出的結果是.

【正確答案】6

【分析】根據(jù)條件分支求值即可.

【詳解】：a=3<10,則y=2a=6.

故6

x+y>2

14.若實數(shù)x,夕滿足約束條件，x+2y?4,則z=2x-y的最大值是.

y>0

【正確答案】8

【分析】由題中條件作出平面區(qū)域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義分析運算.

x+y>2

【詳解】由r+2y44,作出平面區(qū)域，如圖所示，

y>0

7

?；z=2x-y,即y=2x-z,表示斜率為2,橫截距為萬的直線,

二當直線y=2x-z過點4(4,0)時，橫截距取到最大值,

故z=2x-y的最大值是2皿=2x4-0=8.

x,則事件“1%》-220”發(fā)生的概率為

7

【正確答案】-

【分析】由對數(shù)不等式的解法得：x>9,由幾何概型中的線段型：尸(4)=魯="，得

16—115

解.

【詳解】解：解不等式1。8/-220得：x>9,設事件/為“l(fā)og?x-220”,

16-97

由幾何概型中的線段型可得：p(/)=S4

16—1?5

7

故答案為不

本題考查了對數(shù)不等式的解法及幾何概型中的線段型，屬基礎題.

三、雙空題

16.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)他們根據(jù)沙?；蛐∈铀?/p>

排列的形狀把數(shù)分成許多類，下圖中第一組的1,3,6,10稱為三角形數(shù)，第二組的1,5,

12,22稱為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)的第7項為，五邊形數(shù)的第〃項為.

（丁組）（二組）

【正確答案】283乂丁（小*）

【分析】根據(jù)其圖形規(guī)律得出其通項，即可得出答案.

【詳解】三角形數(shù)的每一項是從I開始的連續(xù)自然數(shù)的和，則%=當辿（〃€川）,

則三角形數(shù)的第7項為由=28,

五邊形數(shù)的第一項為1=主工」，第二項為5=3--2,第三項為的=3x3=3,

222

則五邊形數(shù)的第“項為

故28,婦

四、解答題

17.在18C中，內(nèi)角A,B,C對應的邊分別為。，b,c,已知acos8=^sinN.

⑴求B；

⑵若a=l,c=VJ,求6的值.

【正確答案】（1）8=3

0

⑵6=1

【分析】（1）由已知結合正弦定理進行化簡可求tan8,進而可求8；

（2）由已知結合余弦定理即可直接求解.

【詳解】（1）QCOS5=JiftsinZ,由正弦定理得sin力cos8=J5sin8sin4

,.?力是三角形內(nèi)角，$in/wO,

?*-tanB=—?8是三角形內(nèi)角，

3

(2)由余弦定理，得〃=/+c2-2accos5=l+3-2百cos工=1,

6

：.b=l.

18.某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y單位：百萬元)之間有如下的對

應數(shù)據(jù)：

X24568

y3040605070

⑴求元，》;

(2)求y關于x的線性回歸方程.

(3)如果廣告費支出為9百萬元，預測銷售額大約為多少百萬元?

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公

2町,一麻于55

式.3=與----------,a=y-bx工占%=1380,=145.

Ex,2-n(x)2ii

/=1

【正確答案】(1)5；50

(2)y=6.5x+17.5

(3)76

【分析】(1)利用平均數(shù)計算公式，可得答案;

(2)利用題目中提及的計算公式，可得答案;

(3)利用回歸直線方程，可得答案.

-2+4+5+6+8_-30+40+60+50+70”

【詳解】(1)x=-------------------=5,y=---------------------------=50.

5

1380-5x5x50_

⑵b=145-5x52=65，"50-6.5x5=17.5,

則y關于X的線性回歸方程為y=6.5x+17.5?

（3）將％=9代入=6.5x+17.5，解得y=76,

則預測銷售額大約為76百萬元.

19.已知四棱錐S-/8c。的底面是正方形，弘_1平面/8。。，求證:

(1)8。4平面SAC；

(2)若48=49=1,求點C到平面58。的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由“_L平面ABCD,可得BD，再由四邊形ABCD為正方形，可得BD1AC,

然后由線面垂直的判定定理可證得結論，

(2)以《為坐標原點，/8、力。、45分別為xj、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解

即可

【詳解】(1)證明：?平面BOu平面/8C。，

/.SALBD,

又；四邊形Z8C。為正方形，

BDLAC,

又QSAIAC=A,

：.BD1平面SAC；

(2)因為“，平面NBC。，/8,/Ou平面"BCD

所以S4_L4B,SZ_LN。，

因為ZB：。，

所以48,/2/S兩兩垂直，

所以以《為坐標原點，48、/。、/S分別為xj、z軸建立空間直角坐標系

則5(1,0,0),￡)(0,1,0),S(0,0,l),C(l,l,0),

所以麗=(-1,1,0),麗=(-1,0,1),SC=(0,1,0)

設平面80S的法向量為G=（X,MZ）,則

n-BD=-x+y=0.c,-

n-BS=-x+Z=0'…1’川―

BCn1百

所以點C到平面SBD的距離d=

1?1=忑=?

20.已知數(shù)列｛%｝的前”項和S"，且S“=/+3N；

（1）求它的通項4.

（2）若”,=2"-%,求數(shù)列也｝的前“項和

【正確答案】（1）?！?2〃+2（2）7；=〃?2田

【分析】（1）由S,="2+3N,利用?！迸cS”的關系式，即可求得數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）可得a=2"（”+i）,利用乘公比錯位相減法，即可求得數(shù)列｛，｝的前”項和.

【詳解】（1）由S“=/+3N,

當”=1時，q=S[=4：

22

當”>]時，=S?-S?_I=H+3?-（W-1）-3（M-1）=2n+2,

當”=1也成立，

所以貝U通項《,=2〃+2；

(2)由(1)可得"=2"(〃+1),-

7；=2?2l+3?22+4.23+---+(n+l)?2,',

27；=2?2?+3?23+…+〃?2"+(〃+1)?2"’,

兩式相減得-4=4+(22+23+…+2")-(〃+1)2"+1

=4+2]-；-(〃+1)*=-?2^

所以數(shù)列也｝的前〃項和為北=n?2),+1.

本題主要考查了數(shù)列明和E,的關系、以及“錯位相減法”求和的應用，此類題目是數(shù)列問題

中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，易錯點是在“錯位”之后

求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，著重考查了的邏輯思維能力及基本計算能力等.

21.卡塔爾世界杯將于2022年11月到來，這是世界足球的一場盛宴.為了了解全民對足球

的熱愛程度，某足球比賽組委會在某場比賽結束后，隨機抽取了200名觀眾進行對足球“喜

愛度”的調(diào)查評分，將得到的分數(shù)分成6[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],

繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

(1)補全頻率分布直方圖；

(2)將評分在90分及以上的觀眾確定為“足球發(fā)燒友”.

(i)若該場比賽共有3000名觀眾觀看，請你估計這3000名觀眾中，有多少人不是“足球發(fā)

燒友”？

(ii)現(xiàn)從被確定為“足球發(fā)燒友”的兩組中用分層抽樣的方法隨機抽取5人，然后再從抽取

的5人中任意選取兩人作進一步的訪談，求這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間190,95)的概

率.

【正確答案】(1)頻率分布直方圖見解析

9

(2)(i)1875；(ii)—

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算出在［80,85)上的頻率比組距，即可補全頻率分布直

方圖；

(2)(i)根據(jù)頻率分布直方圖得出再90分及以上的觀眾的概率，即可得出該場比賽中是“足

球發(fā)燒友''的人數(shù)，即可得出該場比賽中不是“足球發(fā)燒友”的人數(shù)；

(ii)根據(jù)兩組比例關系結合分層抽樣得出各有多少人，即可根據(jù)古典概型的概率求法求出

答案.

【詳解】(1)在［80,85)上的頻率比組距為：0.2-(0.02+0.025+0.05+0.045+0.03)=0.03,

故頻率分布直方圖如下:

A頻率/組距

50

.045

,0

(2)⑴根據(jù)已知，該場比賽中是“足球發(fā)燒友”的有(0.045+0.03)x5x3000=1125人,

則該場比賽中不是“足球發(fā)燒友”的有3000-1125=1875人；

(ii)兩組的比例為0.045:0.03=3:2,

則應在［90,95)內(nèi)取5x(3=3人，應在［95,100］內(nèi)取5、：2=2人,

C］ClC29

則這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間［90,95)的概率尸=二#+法=/.

CjC-10

22.在①4=9,②號=20,③生+為=儲這三個條件中選擇兩個，補充在下面問題中，并

進行解答己知等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設b?=-^―,求數(shù)列也｝的前〃項和。；

anan+\

⑶若存在〃eN?，使得7；-而田20成立，求實數(shù)九的取值范圍.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

【正確答案】(1)。"="+1

⑵]=2(〃+2)

⑶T-

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解卬”,即可求通項公式；

（2）利用裂項相消法求和；

（3）根據(jù)題意可得存在“