2023年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

2023年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練:旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

1.如圖1,在cΛBC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0o<a<180o)得到A*,把4C

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)夕得到AC',連接BC'.當(dāng)α+A=180。時(shí)，我們稱AAEC是ABC

的“旋補(bǔ)三角形"，ΔAB'C'邊BC'上的中線A。叫做ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋

補(bǔ)中心”.

⑴在圖2,圖3中，?AB'C'是.?.ABC的“旋補(bǔ)三角形"，AO是/BC的“旋補(bǔ)中線”.

①如圖2,當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，AO與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC；

②如圖3,當(dāng)∕β4C=90°,8C=8時(shí)，則AD長(zhǎng)為.

(2)在圖1中，當(dāng)一ABC為任意三角形時(shí)，猜想An與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

(3)如圖4,在四邊形ABC。，ZC=90o,ZD=150o,BC=12,CD=243,DA=6,

在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使APDC是的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明,

并求，R45的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

2.(1)如圖1,已知ACAB和,CDE均為等邊三角形，。在AC上，E在CB上，易得

線段AD和8E的數(shù)量關(guān)系是一

(2)將圖1中的.CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線AD和直線8E交于點(diǎn)F.

①判斷線段AD和BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②圖2中ZAFB的度數(shù)是一.

(3)如圖3,若4C4B和，COE均為等腰直角三角形，ZABCADEC=90°,AB=BC,

DE=EC,直線AD和直線8E交于點(diǎn)F,分別寫出/4FB的度數(shù)，線段A。、8E間的

數(shù)量關(guān)系.

CCC

圖3

3.在，ASC中，ZS4C=90o,AB=AC=4√2.。為BC的中點(diǎn)，E,尸分別為AC,AD

上任意一點(diǎn)，連接M,將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG,連接尸G,AG.

(1)如圖1,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且Gp的延長(zhǎng)線過點(diǎn)8,若點(diǎn)P為尸G的中點(diǎn)，連接PD,

求PO的長(zhǎng);

⑵如圖2,EP的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)點(diǎn)N在AC上，ZAGN=ZAEG且GN=MF,

求證：AM+AF=y∕2AEi

(3)如圖3,尸為線段Ar)上一動(dòng)點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，連接BE,H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn),

連接￡77,將45E"沿EH翻折至ABC所在平面內(nèi)，得到Z?3'E"，連接B'G,直接

寫出線段BC的長(zhǎng)度的最小值.

4.已知，如圖1,正方形ABa)的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E、F分別在邊A8、Ao的延長(zhǎng)線上,

且BE=DF,連接EF.

圖I圖3

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(1)證明：EF-LAC;

(2)將4AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角ɑ滿足0。＜。＜45。時(shí)，設(shè)EF與射線48

交于點(diǎn)G,與AC交于點(diǎn)H,如圖所示，試判斷線段“、HG、GE的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

(3)若將AAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，連接DF.BE,并延長(zhǎng)EB交直線DF于點(diǎn)P,連接PC,

試說明點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑并求線段PC的取值范圍.

5.如圖，將ASC的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD,連接8O?

(1)如圖1,連接C。，若NBAD=90°,ZADC+ZABC=i80o,AC=IyIi，BC=4,

求CQ的長(zhǎng)；

⑵如圖2,點(diǎn)E在BD上，且滿足BC=OE,連接AE,點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，連接OF

交AE于點(diǎn)M,若ZBDF=ZBCA,NAQ8+ZABC=180。，求證AM=EM；

2

(3)如圖3,若NBM＞=120。，ZAC8=60。，AB=9,點(diǎn)P在直線AC上且滿足AP=]BC,

將,ASP沿虛線GH折疊使得點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在AB上，連接PP,與折痕GH交于點(diǎn)。,

請(qǐng)直接寫出8P最小時(shí)，點(diǎn)。到AB的距離.

6.【問題初探】

(1)如圖1,等腰RtZXABC中，AB=AC,點(diǎn)。為A8邊一點(diǎn)，以BO為腰向下作等腰

Rt?BDE,NDBE=90。.連接CO,CE,點(diǎn)尸為8的中點(diǎn)，連接AF.猜想并證明

線段"與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

AA

D

BCB

E

Sl圖2

【深入探究】

(2)在(1)的條件下，如圖2,將等腰Rt48DE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立?

若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

【拓展遷移】

(3)如圖3,等腰ABC中，AB=AC,ZBAC=MOo.在RtZXBDE中，NDBE=90°,

ZBDE=-ZBAC.連接CO,C￡,點(diǎn)尸為C。的中點(diǎn)，連接AF.RtABDE繞點(diǎn)B旋

2

轉(zhuǎn)過程中，

①線段"與CE的數(shù)量關(guān)系為：

②若BC=4g,BO=2百，當(dāng)點(diǎn)F在等腰ABC內(nèi)部且NBCF的度數(shù)最大時(shí)，線段AF

的長(zhǎng)度為__________

圖3

7.如圖1,矩形OE>E廠的一邊落在矩形ABC。的一邊上,并且矩形OOEF矩形ABC0,

其相似比為1:4,矩形ABC。的邊AB=4,BC=4√3?

(1)矩形OoE/的面積是」

(2)將圖1中的矩形。?！晔@點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，若旋轉(zhuǎn)過程中。尸與OA夾角(圖2中

的NFO4)的正切的值為X,兩個(gè)矩形重疊部分的面積為>,求>與X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)將圖1中的矩形QOE尸繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA,?ACE的面積是否

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存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

8.(1)如圖1,在正方形Aa)E中，點(diǎn)F,G分別在邊AE,AC上，若NRDG=45。，

則尸G,EF,CG之間的數(shù)量關(guān)系為：；(提示：以點(diǎn)Z)為旋轉(zhuǎn)中心，將ΔDCG順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。)

圖1圖2圖3

解決問題：

(2)如圖2,若把(1)中的正方形改為等腰直角三角形，ZADC=90。,E,F是底

邊AC上任意兩點(diǎn)，且滿足ZED尸=45。，試探究AE,EF,FC之間的關(guān)系；

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,若把(1)中的正方形改為菱形ACz)E,ZE≈60o,菱形的邊長(zhǎng)為8,G,

尸分別為邊AC,AE上任意兩點(diǎn)，且滿足NFOG=60。，請(qǐng)直接寫出四邊形。E4G的面

積.

9.定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在RtZXABC中，ZA=9Qo,

AB=Ae,點(diǎn)D、E分別在邊A3、AC上，AD=AE,連接￡)E、DC,點(diǎn)M、尸、N

分別為DE、DC,BC的中點(diǎn)，且連接/W、PN.

圖1圖2

(1)觀察猜想

線段PM與PN填(“是"或“不是”)“等垂線段

(2)VADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置,連接BD,CE,試判斷PM與PN

是否為，，等垂線段，，，并說明理由.

(3)拓展延伸

把VAr)E繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若DE=2,BC=A,請(qǐng)直接寫出PM與PN的積

的最大值.

10.把兩個(gè)等腰直角三角形,ABC和VADE按圖1所示的位置擺放，將V49E繞點(diǎn)A按

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2,連接50,EC,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<360。).

(2)如圖2,(1)中8。與EC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若

不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段BE上時(shí)，求證：BELCE；

(4)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=(填度數(shù))時(shí)，△?￡>的面積最大.

11.在等腰ABC中，ZABC=90°,AB=BC,將斜邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度

得到線段AO,Ao交BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CFj_AQ于點(diǎn)F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5。時(shí)，若BG=I,求AC的長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)30。時(shí)，連接8。，恰好使BD//AC,延長(zhǎng)CF交8。于點(diǎn)E,連接EG,

求證：AG=CE+EG；

⑶如圖3,點(diǎn)M是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，在線段上存在一點(diǎn)M使NB+24+NC的值最

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小時(shí)，若N4=2,請(qǐng)直接寫出CNM的面積.

12.在RtZ?4BC中，ZACB=9()°,ZABC=30°,AC=2,將√U5C繞點(diǎn)B順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)一定的角度ɑ得到點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是O,E,連接AO.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E恰好在AB上時(shí)，求-AZ)E的大?。?/p>

⑵如圖2,若a=60。，點(diǎn)f是AB的中點(diǎn)，判斷四邊形CEZ)F的形狀，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,若點(diǎn)尸為AO中點(diǎn)，①求證：C、E、F三點(diǎn)共線.②求CF的最大值.

13.如圖①，RtΔABC和RtABOE重疊放置在一起，ZABC=Nz)BE=90。，且Aβ=2BC,

BD=IBE.

AA

(1)觀察猜想：圖①中線段AO與CE的數(shù)量關(guān)系是—，位置關(guān)系是一；

(2)探究證明：把ΔB0E繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接AD,CE,判斷線段AD

與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如何，并說明理由；

⑶拓展延伸：若把MDE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)呢0啜/180。)，直線CE與直線AO相交于點(diǎn)

F,BD=3,則跳'的最大值為

14.問題提出

在等腰直角ABC中，AB=BC,NABC=90。，點(diǎn)DE分別在邊AB,AC上(不同

時(shí)在點(diǎn)AC),連接DE,將線段OE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FE,連接AF,

圖1圖2圖3

問題探究

(1)先將問題特殊化，如圖1,點(diǎn)。，E分別與點(diǎn)AC,重合，直接寫出AF與BC的位

置關(guān)系；

(2)再探討一般情形，如圖2,證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

(3)如圖3,在等腰直角ABC中，AB^BC,NABC=90。，。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊

AC上，連接L>E,將線段OE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段正，點(diǎn)G是點(diǎn)C關(guān)于

直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)G,D,F在一條直線上，求會(huì)的值.

15.如圖，將矩形ABa)繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEE,使點(diǎn)C恰好落到線段AO

上的E點(diǎn)處，連接CE,連接CG交BE于點(diǎn)H.

(1)求證：CE平分NBED；

(2)取5C的中點(diǎn)連接MH,求證：MH//BG；

⑶若8C=2AB=4,求CG的長(zhǎng).

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（2）若將AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0。＜c＜90°）至A尸，求ZBPD的度數(shù)？

（3）若將A。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0。＜。＜180。）至AP,請(qǐng)分別求出0。＜a＜90。、（Z=90。、

90。＜1＜180。三種情況下的—3尸。的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）.

17.［操作］如圖1.ΛBC是等腰直角三角形，NAC8=90°，。是其內(nèi)部的一點(diǎn)，連接

CD.將CQ繞點(diǎn)（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接OE,作直線A。交BE于點(diǎn)￡

⑴求證：ADCgBEC；

⑵求NAFE的度數(shù)：

（3）［探究］如圖2,連接圖1中的AE,分別取AB、DE、AE的中點(diǎn)M、MP,作AMVP.若

BE=S,則Z?"NP的周長(zhǎng)為

18.如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)。是8C邊的中點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作一個(gè)120。的角，

角的兩邊分別交直線43、AC于M、N兩點(diǎn)，以點(diǎn)、D為中心旋轉(zhuǎn)NMDN(NgV的度

數(shù)不變)

圖①

(1)如圖①，若八M2ΛB,求證：BM+CN=BD；

(2)如圖②，若QM與AB不垂直，且點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AC上時(shí)，(1)中的結(jié)

論是否成立？并說明理由；

(3)如圖③，若ZW與AB不垂直，且點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)

中的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出8M、CN、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

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參考答案:

1.⑴①3：②4

(2)AD=BC

(3)存在，√39

2.(1)AD=BE;(2)①AD=