6.2.2組合4題型分類(lèi)

6.2.2組合4題型分類(lèi)一、組合概念一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.二、組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)CnC三、排列與組合的區(qū)別1.排列是講“順序”，而組合不講“順序”．2.從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列(排列數(shù)Anm)第一步，從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組合，得到組合數(shù)Cn第二步，再對(duì)m個(gè)元素進(jìn)行排列，得到排列數(shù)Amm，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到四、組合數(shù)的性質(zhì)1.規(guī)定:Cn2.Cn3.Cn+14.rC（一）組合的概念1、組合概念：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)Cn2、有順序，排列問(wèn)題；無(wú)順序，組合問(wèn)題．題型1：組合的判斷11．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題：(1)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場(chǎng)？(2)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？【答案】(1)組合問(wèn)題(2)排列問(wèn)題(3)排列問(wèn)題(4)組合問(wèn)題【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)排列和組合的特征：是否有順序即可求解.【詳解】（1）單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場(chǎng)比賽，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題．（2）冠、亞軍是有順序的，是排列問(wèn)題．（3）3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù)，有順序，是排列問(wèn)題．（4）3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題．12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列問(wèn)題中，組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是（

）①?gòu)娜?0人中選出5人組成班委會(huì)；②從全班50人中選出5人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記、學(xué)習(xí)委員、生活委員；③從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求積；④從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求差或商.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)組合的定義逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于①，從50人中選出5人組成班委會(huì)，不考慮順序是組合問(wèn)題.②為排列問(wèn)題.對(duì)于③，從1，2，3，…，9中任取兩個(gè)數(shù)求積是組合問(wèn)題.因?yàn)槌朔M(mǎn)足交換律，而減法和除法不滿(mǎn)足，故④為排列問(wèn)題.所以組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：B.13．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）以下四個(gè)問(wèn)題，屬于組合問(wèn)題的是（

）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位開(kāi)同一輛車(chē)往返甲、乙兩地【答案】C【分析】根據(jù)組合的定義即可得到答案.【詳解】只有從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題，而A,B,D均與順序有關(guān).故選：C.（二）組合數(shù)運(yùn)算組合數(shù)公式：Cn組合數(shù)的性質(zhì)：1.規(guī)定:Cn0=1．2.Cnm=C注：1.涉及具體數(shù)字的用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)計(jì)算．2.涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)計(jì)算．3.計(jì)算時(shí)常用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①Cnm=C題型2：組合數(shù)運(yùn)算21．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】490【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求值.【詳解】,故原式，故答案為：49022．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求值：（1）；（2）.【答案】（1）148；（2）466.【分析】（1）利用組合數(shù)的定義式，直接求解；（2）根據(jù)組合數(shù)有意義，列不等式組，求出n＝10，再利用組合數(shù)的定義式和性質(zhì)，直接求解.【詳解】（1）＝3×－2×＝148；（2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴.23．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）解不等式；【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用組合的意義及組合數(shù)計(jì)算公式化簡(jiǎn)不等式，再解不等式即可.【詳解】在不等式中，0≤m1≤8，且0≤m≤8，m∈，即有1≤m≤8，m∈，原不等式化為：，即，解得，則m=7或8，所以不等式的解集為.24．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）證明：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)組合數(shù)公式證明即可.【詳解】證明：.25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】直接利用組合數(shù)公式計(jì)算即可得證.【詳解】證明：因?yàn)?，，所以?6．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算公式和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得：右邊，又因?yàn)樽筮?，所?（三）簡(jiǎn)單組合問(wèn)題1．解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問(wèn)題，組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的根本區(qū)別在于排列問(wèn)題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問(wèn)題與取出元素的順序無(wú)關(guān)．2．要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類(lèi)與分步的靈活運(yùn)用．在分類(lèi)和分步時(shí)，一定注意有無(wú)重復(fù)或遺漏．題型3：簡(jiǎn)單組合問(wèn)題31．（2023下·黑龍江·高二大慶市東風(fēng)中學(xué)?？计谥校┠除堉坳?duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有【答案】92【分析】結(jié)合已知條件，通過(guò)討論既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷的2人中去參加比賽的人數(shù)，并結(jié)合組合和乘法原理即可求解.【詳解】不妨設(shè)既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷的2人為、，①若和兩人均不去參加比賽，則選派方法有種；②若和兩人只去一人參加比賽，(i)若只會(huì)劃左舷的去兩人，則選派方法為種；(ii)若只會(huì)劃右舷的去兩人，則選派方法為種；③若和兩人均去參加比賽，(i)若只會(huì)劃左舷的去1人，則和兩人均去劃左舷，則選派方法為種；(ii)若只會(huì)劃左舷的去2人，則和兩人中有一人去劃左舷，另一人去劃右舷，則選派方法為種；(iii)若只會(huì)劃左舷的去3人，則和兩人均去劃右舷，則選派方法為種，綜上所述，不同的選派方法共有種.故答案為：92.32．（2023·上海）8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三、四名，則該大師賽共有場(chǎng)比賽．【答案】16【分析】按照比賽賽程分類(lèi)計(jì)算．【詳解】按比賽賽程分類(lèi)，第一類(lèi)單循環(huán)賽場(chǎng)次，第二類(lèi)淘汰賽場(chǎng)次2，第三類(lèi)決賽場(chǎng)次2，總場(chǎng)次為．故答案為：16.33．（2023·浙江·三模）從4男2女共6名學(xué)生中選出1人吃原味薯片，2人吃黃瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有種選法；如果男生不吃原味薯片，共有種選法．（用數(shù)字作答）【答案】6020【分析】先從6人中選1人吃原味薯片，再?gòu)氖Ｏ碌?人種選2人吃黃瓜味薯片，最后剩下3人吃番茄味薯片，由乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；先從2名女生中選1人吃原味薯片，再?gòu)氖Ｏ碌?人種選2人吃黃瓜味薯片，最后剩下3人吃番茄味薯片，由乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；【詳解】先選1人吃原味薯片有種選擇，再?gòu)氖Ｏ碌?人種選2人吃黃瓜味薯片有種選擇，剩下3人吃番茄味薯片，則共有種選擇；先從2名女生中選1人吃原味薯片有種選擇，再?gòu)氖Ｏ碌?人種選2人吃黃瓜味薯片有種選擇，剩下3人吃番茄味薯片，則共有種選擇.故答案為：60；20.34．（2023下·新疆喀什·高二?？计谥校┮粋€(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球．(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？【答案】(1)56(2)21(3)35【分析】（1）（2）（3）先判斷是不是組合問(wèn)題，再用組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】（1）從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是.（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，取法種數(shù)是.（3）由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是.35．（2023下·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？（用數(shù)字做答）（1）至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選．（2）至多有兩名女生當(dāng)選．（3）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．【答案】（1）825；（2）966；（3）790.【分析】（1）分有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng)情況討論得解；（2）至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生、只有一名女生、沒(méi)有女生，即得解；（3）分兩種情況討論，第一類(lèi)：女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；第二類(lèi)：女隊(duì)長(zhǎng)不當(dāng)選，即得解.【詳解】（1）至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩種情況：有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng)，故共有種．或采用排除法有種．（2）至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生、只有一名女生、沒(méi)有女生，故共有種．（3）分兩種情況：第一類(lèi)：女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，有種；第二類(lèi)：女隊(duì)長(zhǎng)不當(dāng)選，有種．故共有種．36．（2023上·高二單元測(cè)試）如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，C3，C4，C5，C6，直徑AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4．（1）以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作出多少個(gè)？其中含點(diǎn)C1的有多少個(gè)？（2）以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？【答案】（1）116(個(gè))；36(個(gè))；（2）360(個(gè))．【解析】（1）可以分成三類(lèi)即在C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)任取三點(diǎn)，在C1，C2，…，C6中任取一點(diǎn)，D1，D2，D3，D4中任取兩點(diǎn)和C1，C2，…，C6中任取兩點(diǎn)，D1，D2，D3，D4中任取一點(diǎn)，將三類(lèi)情況加到一起即可；（2）需要四個(gè)點(diǎn)，且無(wú)三點(diǎn)共線，類(lèi)似于（1）可分三種情況討論得四邊形個(gè)數(shù)為【詳解】（1）可分三種情況處理：①C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)任取三點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形,有種；②C1，C2，…，C6中任取一點(diǎn)，D1，D2，D3，D4中任取兩點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形，有種；③C1，C2，…，C6中任取兩點(diǎn)，D1，D2，D3，D4中任取一點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形，有．所以共有=116(個(gè))．其中含C1點(diǎn)的三角形有=36(個(gè))．（2）構(gòu)成一個(gè)四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無(wú)三點(diǎn)共線，C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線.①C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)任取四點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)四邊形，有種；②C1，C2，…，C6中任取三點(diǎn)，D1，D2，D3，D4中任取一點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)四邊形，有種；③C1，C2，…，C6中任取兩點(diǎn)，D1，D2，D3，D4中任取兩點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)四邊形，有種．所以共有=360(個(gè))．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查解決組合的實(shí)際問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是將問(wèn)題分為三類(lèi)，即以在C1，C2，…，C6和取點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于中檔題.37．（2023下·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）200件產(chǎn)品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．種 B．＋種C．種 D．種【答案】B【分析】根據(jù)分步加法計(jì)算原理，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可求解.【詳解】至少2件次品包含兩類(lèi)：（1）2件次品，3件正品，共種抽法，（2）3件次品，2件正品，共種抽法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，抽法共有＋種．故選:B（四）分堆分配問(wèn)題分堆問(wèn)題：①平均分堆，其分法數(shù)為：．②分堆但不平均，其分法數(shù)為．題型4：分堆分配問(wèn)題41．（2023下·廣西南寧·高二南寧三中校考階段練習(xí)）國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專(zhuān)業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有種不同的分派方法．【答案】90【分析】根據(jù)題意得到，先分組再全排列即：.【詳解】6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專(zhuān)業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，每個(gè)學(xué)校去2個(gè)人，先平均分組，再全排列即可：.故答案為90.【點(diǎn)睛】不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類(lèi)型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類(lèi)型中，不同分組方法的求解．42．（2023下·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？计谀┌?個(gè)學(xué)生分配到3個(gè)班去，每班2人，其中甲必須分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有種.【答案】9【分析】根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，②、再?gòu)某思?、乙、丙之外?個(gè)人種任意選出2個(gè)人，分到三班，③、最后再把剩下的3個(gè)人選出2個(gè)人分到二班，剩余的一個(gè)分到一班，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，只有1種方法；②、再?gòu)某思住⒁?、丙之外?個(gè)人種任意選出2個(gè)人，分到三班，有C32＝3種安排方法；③、最后再把剩下的3個(gè)人選出2個(gè)人分到二班，剩余的一個(gè)分到一班，有C32＝3種安排方法；則不同的分法有1×3×3＝9種；故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．43．（2023下·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？计谀┙逃坑?023年開(kāi)展全國(guó)高校書(shū)記校長(zhǎng)訪企拓崗促就業(yè)專(zhuān)項(xiàng)行動(dòng)，某市4所高校的校長(zhǎng)計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)氐募?、乙兩家企業(yè)，若每名校長(zhǎng)拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有（

）A．8種 B．10種 C．14種 D．20種【答案】C【分析】先分情況談?wù)?，甲、乙兩家企業(yè)可能分別接待2名校長(zhǎng)，或一家企業(yè)接待1名，一家企業(yè)接到3名校長(zhǎng)的情況，然后再用排列組合即可.【詳解】分兩種情況，第一種：1家企業(yè)接待1名校長(zhǎng)，1家企業(yè)接待3名校長(zhǎng)，共有種方法；第二種：每家企業(yè)均接待2名校長(zhǎng)，共有種方法，所以共有8+6=14種.故選：C.44．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀榱诵麄?023年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，每人參與且只參與一個(gè)吉祥物的安裝，每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先分步：第一步把5人分組，第二步安裝吉祥物．分組時(shí)按與小明同組的人數(shù)確定分組方法，最后由計(jì)數(shù)原理計(jì)算．【詳解】按除去小明和小李后，剩余3人與小明同組的人數(shù)確定分組方法，即種方法，這兩組安裝吉祥物的方法為，故按要求這五人共有種方法.故選：C.45．（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期末）北京2023年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破．為了宣傳2023年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先將剩下的3名志愿者分為兩組，再把小明和小李分別放在兩組中，最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可.【詳解】先將剩下的3名志愿者分為兩組有種，再把小明和小李分別放在兩組中有2種，最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”有2種，則共有種.故選：C.46．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二?？计谥校?2名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有種.A． B．3 C． D．【答案】A【分析】首先把12個(gè)人平均分成3組，這是一個(gè)平均分組.從12個(gè)中選4個(gè)，從8個(gè)中選4個(gè)，最后余下4個(gè)，這些數(shù)相乘再除以3的全排列.再把這3個(gè)小組作為3個(gè)元素分到3個(gè)路口，這樣就有一個(gè)全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果.【詳解】屬于平均分組且排序型，共有種.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平均分組分配問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.47．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題，且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出一名組長(zhǎng)，則不同的分配方案的種數(shù)為A． B． C． D．【答案】A【詳解】將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題,且每組只研究一個(gè)課題只需每個(gè)課題依次選三個(gè)人即可，共有中選法，最后選一名組長(zhǎng)各有3種，故不同的分配方案為：，故選A.48．（2023下·廣西桂林·高二?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)高二年級(jí)共有6個(gè)班，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)，且每班安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先將四名學(xué)生分成兩組，再分配到6個(gè)班中的兩個(gè)班求解即可.【詳解】先將四名學(xué)生分成兩組，共種情況，再分配到6個(gè)班中的兩個(gè)班，故共種方案.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的實(shí)際運(yùn)用，注意分組時(shí)會(huì)有重復(fù)，所以要乘以.屬于基礎(chǔ)題.一、單選題1．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)組合數(shù)公式直接求解即可.【詳解】.故選:B.2．（2023上·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A．； B．； C．； D．【答案】C【分析】據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及排列數(shù)公式計(jì)算可得【詳解】解：對(duì)于A，，故正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，故正確；對(duì)于C，因?yàn)閚，m為正整數(shù)，且，所以令，則，，此時(shí)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故正確；故選：C3．（2023下·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┰O(shè)n為正整數(shù)，則關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（

）A．該代數(shù)式的值唯一確定 B．該代數(shù)式的值有兩種情況C．該代數(shù)式的值有三種情況 D．該代數(shù)式的值有無(wú)數(shù)種情況【答案】C【分析】根據(jù)組合數(shù)中，且均為正整數(shù)列式可求出結(jié)果.【詳解】依題意得，得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以或或，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式.所以該代數(shù)式的值有三種情況.故選：C4．（2023下·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用組合數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算，得到答案.【詳解】，其中，，，.故選：B5．（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值是（

）A．9 B．7 C．9或 D．8【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式得到結(jié)果.【詳解】由可得，即，即，所以，化簡(jiǎn)可得，解得（負(fù)值舍去）．故選：A6．（2023下·江蘇蘇州·高二蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┫铝械仁讲徽_的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】按照排列數(shù)和組合數(shù)的運(yùn)算依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，C正確；，B正確；，D正確.故選：A.7．（2023下·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或5【答案】B【分析】由組合公式可得或,解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以或，解得：?故選：B.8．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┫铝杏嘘P(guān)排列數(shù)?組合數(shù)的計(jì)算，正確的是（

）A． B．C． D．是一個(gè)常數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)排列組合計(jì)算公式即可求解．【詳解】對(duì)于A，∵，∴A不正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，n應(yīng)滿(mǎn)足解得.所以，故D正確．故選：D9．（2023下·江西撫州·高二校聯(lián)考期末）如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．20條 B．21條 C．22條 D．23條【答案】D【分析】先算出從A到的最短路徑共有幾條，再計(jì)算出徑過(guò)段的走法有幾種，相減即可求得答案.【詳解】由題意知從A到的最短路徑要通過(guò)7段馬路，4段水平馬路，3段豎直馬路，共有種，又因?yàn)榻?jīng)過(guò)段的走法有種，故不經(jīng)過(guò)段的最短路徑有條.,故選:D10．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）綠水青山就是金山銀山，浙江省對(duì)“五水共治”工作落實(shí)很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個(gè)省市宣傳，每個(gè)省市至少一個(gè)志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒(méi)有條件限制，共有多少種不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【答案】B【分析】本題分抽取的4人中含甲和不含甲兩大類(lèi)討論，采取捆綁法分析情況，再利用加法和乘法原理得到所有情況即可.【詳解】4人去3個(gè)省份，且每個(gè)省至少一個(gè)人則必會(huì)有兩人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在這四人中任意取兩人進(jìn)行捆綁，則共有種，②若4人中含有甲，則在剩余的4人中抽取3人，共有種，接下來(lái)若甲和另1人去同一省份，則共有種，若甲單獨(dú)一人去一個(gè)省份，則共有種，根據(jù)加法和乘法原理可得共有，此類(lèi)情況共有種綜上共有種.故選：B.11．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門(mén)學(xué)科中隨機(jī)選三門(mén)參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門(mén)，那么該省份每位考生的選法共有（

）A．14種 B．15種 C．16種 D．17種【答案】C【分析】分兩種情況即物理或歷史中選一門(mén)和物理和歷史都選兩種情況分類(lèi)求解即可.【詳解】解：由題意得：物理或歷史中選一門(mén)：種選法；物理和歷史都選：種選法；物理或歷史至少選一門(mén)，那么該省份每位考生的選法共有種選法；故選：C12．（2023上·廣東珠?！じ呷y(tǒng)考階段練習(xí)）8名醫(yī)生去甲、乙、丙三個(gè)單位做核酸檢測(cè)，甲、乙兩個(gè)單位各需三名醫(yī)生，丙需兩名醫(yī)生，其中醫(yī)生a不能去甲醫(yī)院，則不同的選派方式共有（

）A．280種 B．350種 C．70種 D．80種【答案】B【分析】對(duì)醫(yī)生a去乙、丙醫(yī)院進(jìn)行討論，分別按要求選派，即得結(jié)果.【詳解】若醫(yī)生a去乙醫(yī)院，再依次為甲、乙、丙三個(gè)單位選派得；若醫(yī)生a去丙醫(yī)院，再依次為甲、乙、丙三個(gè)單位選派得；所以不同的選派方式共有種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了組合的應(yīng)用，分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.13．（2023下·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期中）從5名同學(xué)中推選4人去參加一個(gè)會(huì)議，則不同的推選方法種數(shù)是（

）A．10 B．5 C．4 D．1【答案】B【分析】根據(jù)組合的概念，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)組合的概念，從5名同學(xué)中推選4人去參加一個(gè)會(huì)議，則不同的推選方法種數(shù)是種.故選：B.14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以下四個(gè)問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是（

）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)小球排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲?乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位分別去往甲?乙兩地【答案】C【解析】根據(jù)組合的概念即可判斷.【詳解】只有從100名幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題.故選：C.15．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：等于（）A．120 B．240 C．60 D．480【答案】A【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】故選：A16．（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）不等式的解為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式，結(jié)合的取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】由，得且，化簡(jiǎn)整理得，解得，又因?yàn)?，所?故選：C.17．（2023下·高二課前預(yù)習(xí)）某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個(gè)自然村，且這些村莊分布零散沒(méi)有任何三個(gè)村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，則共需建公路的條數(shù)為（

）A．4 B．8 C．28 D．64【答案】C【詳解】由于“村村通”公路的修建，是組合問(wèn)題，故共需要建C＝＝＝28(條)公路．18．（2023下·山東濰坊·高二階段練習(xí)）從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有A．60種 B．48種 C．30種 D．10種【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分步進(jìn)行：①?gòu)拿驹刚咧羞x派人參加活動(dòng)，有種選法；②將人分為組，有種分法；③將組進(jìn)行全排列，對(duì)應(yīng)星期六和星期日，有種情況，則共有，故選C.19．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知電影院有三部影片同時(shí)上映，一部動(dòng)畫(huà)片，一部喜劇片，一部動(dòng)作片，5名同學(xué)前去觀看，若喜劇片和動(dòng)作片各至少兩人觀看，則不同的觀影方案共有（

）種.A．30 B．40 C．50 D．80【答案】C【分析】根據(jù)題意可知事件包含喜劇片2人且動(dòng)作片2人，喜劇片3人且動(dòng)作片2人，喜劇片2人且動(dòng)作片3人三種情況，求出對(duì)應(yīng)的方案后相加即可.【詳解】喜劇片和動(dòng)作片至少兩人觀看的情況有：喜劇片2人且動(dòng)作片2人，喜劇片3人且動(dòng)作片2人，喜劇片2人且動(dòng)作片3人，當(dāng)喜劇片2人且動(dòng)作片2人時(shí)，共有種觀看方案，當(dāng)喜劇片3人且動(dòng)作片2人時(shí)，共有種觀看方案，當(dāng)喜劇片2人且動(dòng)作片3人時(shí)，共有種觀看方案，所以一共有種觀看方案.故選：C.20．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）空間中有個(gè)點(diǎn)，其中有個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)且無(wú)三點(diǎn)共線，其余點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線，無(wú)四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：分成從共面的個(gè)點(diǎn)中取個(gè)來(lái)討論求解即可；方法二：采用間接法來(lái)進(jìn)行求解.【詳解】方法一：從共面的個(gè)點(diǎn)中取個(gè)，則可構(gòu)成個(gè)四面體；從共面的個(gè)點(diǎn)中取個(gè)，則可構(gòu)成個(gè)四面體；從共面的個(gè)點(diǎn)中取個(gè)，則可構(gòu)成個(gè)四面體；從共面的個(gè)點(diǎn)中取個(gè)，則可構(gòu)成個(gè)四面體；共可構(gòu)成個(gè)四面體；方法二：從個(gè)點(diǎn)中任取個(gè)點(diǎn)的情況有種；其中無(wú)法構(gòu)成四面體的情況有種；共可構(gòu)成個(gè)四面體.故選：A.21．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某單位準(zhǔn)備從新入職的4名男生和3名女生中選2名男生和1名女生分配到某部門(mén)3個(gè)不同的崗位，不同的分配方案有（

）A．18種 B．36種 C．60種 D．108種【答案】D【分析】根據(jù)題意得到不同的分配方案有種情況.【詳解】首先選出2名男生和1名女生，共有種情況，再把選出來(lái)的人進(jìn)行全排列，共有種情況.所以不同的分配方案有種.故選：D22．（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期中）將名教師，名學(xué)生分成個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由名教師和名學(xué)生組成，不同的安排方案共有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【詳解】試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有種選法；第二步，為甲地選兩個(gè)學(xué)生，有種選法；第三步，為乙地選名教師和名學(xué)生，有種選法，故不同的安排方案共有種，故選A．考點(diǎn)：排列組合的應(yīng)用．23．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考三模）某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種【答案】B【分析】根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個(gè)村一名，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生，每個(gè)村一名，有2種方法，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有，其余的分到乙村，若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有，其余的分到乙村，則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于常考題型.24．（2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某市決定派出6個(gè)醫(yī)療小組馳援某地甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)分配2個(gè)醫(yī)療小組，其中A醫(yī)療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．30 B．60 C．90 D．180【答案】A【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理先分組再分配即可求解.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行：①將6個(gè)醫(yī)療小組平均分成3組，每組2支醫(yī)療隊(duì)，有種分組方法；②將甲所在的小組安排到甲地，其他兩個(gè)小組安排到乙、丙兩地，有種情況，則有種不同的安排方法.故選：A.25．（2023·四川·統(tǒng)考一模）將標(biāo)號(hào)為的個(gè)小球放入個(gè)不同的盒子中，若每個(gè)盒子放個(gè)，其中標(biāo)為的小球放入同一個(gè)盒子中，則不同的方法共有A．12種 B．16種 C．18種 D．36種【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)題意：首先從3個(gè)盒子中選一個(gè)放標(biāo)號(hào)為1，2的小球，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)小球中選兩個(gè)放一個(gè)盒子，余下的2個(gè)放入最后一個(gè)盒子，由組合數(shù)公式計(jì)算每一步的情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．先從3個(gè)盒子中選一個(gè)放標(biāo)號(hào)為1，2的小球，有3種不同的選法，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)小球中選兩個(gè)，放一個(gè)盒子有種放法，余下放入最后一個(gè)盒子，∴共有故選C．考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題26．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）新冠來(lái)襲，湖北告急！有一支援鄂醫(yī)療小隊(duì)由3名醫(yī)生和6名護(hù)士組成，他們?nèi)恳峙涞饺裔t(yī)院.每家醫(yī)院分到醫(yī)生1名和護(hù)士1至3名，其中護(hù)士甲和護(hù)士乙必須分到同一家醫(yī)院，則不同的分配方法有（

）種A．252 B．540 C．792 D．684【答案】D【解析】先將分類(lèi)情況和分步步驟理清，然后按照分類(lèi)加法、分步乘法計(jì)算原理，結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)的計(jì)算公式，計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】護(hù)士名，可分為或者兩類(lèi).先安排醫(yī)生，再安排護(hù)士.安排醫(yī)生，方法數(shù)有種，安排護(hù)士，由于“護(hù)士甲和護(hù)士乙必須分到同一家醫(yī)院”，故方法數(shù)有種.其中表示護(hù)士甲和護(hù)士乙共人一組的方法數(shù)，表示護(hù)士甲和護(hù)士乙與另一人共人一組的方法數(shù).所以總的方法數(shù)有種.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查分類(lèi)加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.27．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）隨機(jī)將6個(gè)人（含甲乙兩人）平均分成2組，分別去完成2個(gè)不同的任務(wù)，則甲乙兩人在不同任務(wù)組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)排列組合計(jì)算出全部的可能性，再計(jì)算出滿(mǎn)足題意的可能性，用古典概型計(jì)算公式即可.【詳解】6個(gè)人平均分成2組，分別去完成2個(gè)不同的任務(wù)共有可能甲乙兩人在不同任務(wù)組共有可能：根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的計(jì)算，涉及排列組合求解事件的個(gè)數(shù)；本題的難點(diǎn)在于如何求解事件個(gè)數(shù).28．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從3名男生和3名女生中各隨機(jī)選出兩名，把選出的4人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過(guò)排列組合先計(jì)算出4人參加比賽所有的可能，再計(jì)算出和參加比賽的所有可能，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的4人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，涉及平均分組的計(jì)算，屬綜合基礎(chǔ)題.二、多選題29．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下面問(wèn)題中，是組合問(wèn)題的是（

）A．由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊(duì)C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選5個(gè)數(shù)組成集合【答案】BCD【分析】取出的元素不考慮順序就是組合問(wèn)題，由此即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則共有種排法，是排列問(wèn)題；對(duì)于B，從40人中選5人組成籃球隊(duì)，有種選法，是組合問(wèn)題；對(duì)于C，從100人中選2人抽樣調(diào)查，有種選法，是組合問(wèn)題；對(duì)于D，從1，2，3，4，5中選5個(gè)數(shù)組成集合，有種選法，是組合問(wèn)題.故選：BCD.30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）給出下列問(wèn)題，屬于組合問(wèn)題的有（

）A．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別去參加兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法B．有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法C．某人射擊8槍?zhuān)瑩糁?槍?zhuān)颐械?槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種D．從2，3，5，7，11中任選兩個(gè)數(shù)相乘，可以得到多少個(gè)不同的積【答案】BCD【分析】根據(jù)選項(xiàng)中不涉及元素順序的為組合問(wèn)題，即可確定結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，從3名同學(xué)中選出2名同學(xué)后，分配到兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)涉及順序問(wèn)題，是排列問(wèn)題；對(duì)于B，從7人中選出4人觀看不涉及順序問(wèn)題，是組合問(wèn)題；對(duì)于C，射擊命中不涉及順序問(wèn)題，是組合問(wèn)題；對(duì)于D，乘法滿(mǎn)足交換律，兩數(shù)相乘的積不涉及順序，是組合問(wèn)題.故選：BCD31．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是（

）A．10支戰(zhàn)隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽（每?jī)申?duì)比賽一次），共進(jìn)行多少次比賽B．10支戰(zhàn)隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽，這次比賽的冠、亞軍獲得者有多少種可能C．從10名員工中選出3名參加同一種的娛樂(lè)活動(dòng)，有多少種選派方法D．從10名員工中選出3名分別參加不同的娛樂(lè)活動(dòng)，有多少種選派方法【答案】AC【分析】區(qū)分一個(gè)具體問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵是看它有無(wú)順序.有順序就是排列問(wèn)題；無(wú)順序就是組合問(wèn)題,.【詳解】A是組合問(wèn)題，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)隊(duì)進(jìn)行一次比賽，并沒(méi)有誰(shuí)先誰(shuí)后，沒(méi)有順序的區(qū)別.；B是排列問(wèn)題，因?yàn)榧钻?duì)獲得冠軍、乙隊(duì)獲得亞軍和甲隊(duì)獲得亞軍、乙隊(duì)獲得冠軍是不一樣的，存在順序區(qū)別；C是組合問(wèn)題，因?yàn)?名員工參加相同的活動(dòng)，沒(méi)有順序區(qū)別；D是排列問(wèn)題，因?yàn)檫x的3名員工參加的活動(dòng)不相同，存在順序區(qū)別，.故選：AC.32．（2023·高二單元測(cè)試）下列問(wèn)題中是組合問(wèn)題的有（

）.A．某鐵路線上有4個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車(chē)票B．從7本不同的書(shū)中取出5本給某同學(xué)C．3個(gè)人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法D．把3本相同的書(shū)分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得一本，有多少種分配方法【答案】BD【分析】根據(jù)排列和組合的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A．車(chē)票與起點(diǎn)、終點(diǎn)順序有關(guān)，例如“甲→乙”與“乙→甲”的車(chē)票不同，故它是排列問(wèn)題.B．從7本不同的書(shū)中取出5本給某同學(xué)，取出的5本書(shū)并不考慮書(shū)的順序，故它是組合問(wèn)題.C．因?yàn)橐环N分工方法就是從5種不同工作中取出3種，按一定順序分給3人去干，故它是排列問(wèn)題.D．因?yàn)?本書(shū)是相同的，把3本書(shū)無(wú)論分給哪3個(gè)人都不需要考慮順序，故它是組合問(wèn)題.故選：BD33．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列問(wèn)題，其中是組合問(wèn)題的是（

）A．由1，2，3，4構(gòu)成的含3個(gè)元素的集合B．從7名班委中選2人擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支書(shū)C．從數(shù)學(xué)組的10名教師中選3人去參加市里新課程研討會(huì)D．由1，2，3，4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)排列和組合的定義判斷即可.【詳解】A中，選出的元素構(gòu)成集合，是組合問(wèn)題；B中，2人擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支書(shū)，有兩種不同的分工，是排列問(wèn)題；C中，選出的3人去參加研討會(huì)，是組合問(wèn)題；D中，2個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，有十位和個(gè)位的區(qū)分，是排列問(wèn)題.故選：AC.34．（2023下·山東青島·高二青島大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）對(duì)于，，，關(guān)于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式求解判斷.【詳解】A.由組合數(shù)公式知：，故錯(cuò)誤；B.由組合數(shù)公式知：，，則，故正確；C.由組合數(shù)公式知：，，，所以，故正確；D.由排列數(shù)公式知：，所以，故錯(cuò)誤；故選：BC35．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高?？茧A段練習(xí)）（多選）（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】.故選：CD．36．（2023下·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）下列四個(gè)關(guān)系式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算可判斷A,B,根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算以及性質(zhì)可求解C,D.【詳解】,故A錯(cuò)誤，，故B對(duì)，,故C對(duì)，由可得：，故D錯(cuò)誤故選：BC37．（2023下·河北滄州·高二滄縣中學(xué)校考階段練習(xí)）下列有關(guān)排列數(shù)?組合數(shù)計(jì)算正確的有（

）A．B．從中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得個(gè)積C．D．【答案】BD【分析】利用公式計(jì)算求解判斷選項(xiàng)ACD的真假，利用組合判斷選項(xiàng)B的真假.【詳解】A.，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.從中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得個(gè)積，所以該選項(xiàng)正確；C.,所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，所以該選項(xiàng)正確.故選：BD38．（2023下·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）對(duì)且，下列等式一定恒成立的是（

）.A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)組合數(shù)、排列數(shù)的定義判斷．【詳解】，A正確；，B正確；，C正確；，，D錯(cuò)．故選：ABC．39．（2023上·甘肅蘭州·高二蘭州市第二十八中學(xué)?？计谀┠硨W(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門(mén)課程中選三門(mén)作為選考科目，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若任意選擇三門(mén)課程，則選法種數(shù)為35B．若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，則選法種數(shù)為30C．若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為30D．若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，且物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為20【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，直接利用組合知識(shí)進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，分物理和化學(xué)選一門(mén)和物理、化學(xué)都選，兩種情況下利用組合知識(shí)求出選法，求和即可；C選項(xiàng)，先求出物理和歷史同時(shí)選的選法，從而求出物理和歷史不能同時(shí)選的選法；D選項(xiàng)，只選物理，不選化學(xué)，只選化學(xué)，不選物理，物理、化學(xué)都選，三種情況下的選法求和即可.【詳解】對(duì)于A，選法種數(shù)為，故A正確．對(duì)于B，若物理和化學(xué)選一門(mén)，其余兩門(mén)從剩余的五門(mén)中選，有種選法；若物理和化學(xué)都選，剩下一門(mén)從剩余的五門(mén)中選，有種選法．故共有種選法，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，物理和歷史同時(shí)選，有種選法，故不同時(shí)選的選法種數(shù)為，故C正確．對(duì)于D，只選物理，不選化學(xué)，則歷史也不選，有種選法；只選化學(xué)，不選物理，有種選法；若物理、化學(xué)都選，則歷史不選，有種選法．故共有種選法，故D正確．故選：ACD．40．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）若，則n的可能取值有（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】ABCD【分析】直接解組合數(shù)不等式即可得到正確答案.【詳解】由得?又n∈N*，則n＝6，7，8，9.∴該不等式的解集為{6，7，8，9}．故選：ABCD.三、填空題41．（2023下·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期末）．【答案】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算公式求解即可【詳解】故答案為：42．（2023下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）求值：．【答案】0【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算求解即可【詳解】故答案為：043．（2023下·湖北襄陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）．（用數(shù)字作答）【答案】－1050【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的運(yùn)算公式即可求得答案.【詳解】由題意，原式=.故答案為：1050.44．（2023下·河北·高二校聯(lián)考期中）已知，則．【答案】2【分析】根據(jù)組合數(shù)公式化簡(jiǎn)，得到關(guān)于的一元二次方程，求解即可.【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式化簡(jiǎn)，可得，化簡(jiǎn)整理得，解得或．又，所以．故答案為：2.45．（2023下·天津河西·高二天津市新華中學(xué)?？计谥校┤?，則x的值為【答案】4【分析】利用排列組合公式，將方程化為關(guān)于x的一元二次方程求解，注意x的范圍.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，可得或，又，故.故答案為：446．（2023下·江蘇蘇州·高二校考期中）若，則正整數(shù).【答案】8【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，解得?故答案為：8.47．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高校考階段練習(xí)）已知?jiǎng)tx＝.【答案】5【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)以及計(jì)算公式即可求解.【詳解】由可得x＝2x（舍去）或x＋2x＝n，所以，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，解得n＝15（n＝0舍去），所以x＝5,故答案為:548．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，成等差數(shù)列，則＝.【答案】91【分析】利用等差中項(xiàng)及組合數(shù)公式即求.【詳解】∵，，成等差數(shù)列，∴2＝＋，∴2×＝＋整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝14，n＝7(舍去)，則.故答案為：91.49．（2023下·江蘇南通·高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）若，則的取值集合是.（2）.【答案】【分析】（1）由題意，利用組合數(shù)的定義以及計(jì)算公式，求出的范圍，可得結(jié)論；（2）因?yàn)椋山M合數(shù)的性質(zhì)代入即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，即，解得?綜上：.故的取值集合是：（2）.故答案為：；.50．（2023下·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知，則方程的解是．【答案】1或2/2或1.【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得或，解得或，故答案為：1或251．（2023下·江蘇無(wú)錫·高二江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及組合數(shù)公式求得，再利用組合數(shù)的性質(zhì)遞推關(guān)系及組合數(shù)公式即可求解【詳解】由，得，解得.所以.故答案為：.52．（2023下·湖北黃石·高二校考期中）已知，則.【答案】3或1/1或3.【分析】解方程或檢驗(yàn)即得解.【詳解】解：由題得或，所以或，所以或或或.時(shí)，滿(mǎn)足題意；時(shí)，，不滿(mǎn)足題意；時(shí)，，不滿(mǎn)足題意.滿(mǎn)足題意.故答案為：3或1.53．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：．【答案】124【分析】由組合數(shù)的定義確定的取值，然后由組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算．【詳解】由已知，得需滿(mǎn)足，即，∴，∴原式．故答案為：124．54．（2023·上海）平面上，四條平行直線與另外五條平行直線互相垂直，則它的矩形共有個(gè)（結(jié)果用數(shù)值表示）．【答案】60【分析】根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】∵矩形的對(duì)邊相互平行，則從兩組的平行線中分別任取兩條即可構(gòu)成矩形∴不同的取法分別有和種，故共有種.故答案為：60.55．（2023下·江蘇南通·高二校聯(lián)考期中）將某商場(chǎng)某區(qū)域的行走路線圖抽象為一個(gè)的長(zhǎng)方體框架（如圖），小紅欲從A處行走至B處，則小紅行走路程最近的路線共有．（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】210【分析】由題意分析得路線應(yīng)該是3次向上,2次向右,2次向前，從而得到答案.【詳解】由題意,最近的路線應(yīng)該是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路線共有,故答案為：21056．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個(gè)陰爻，則該重卦可以有種.(用數(shù)字作答)【答案】20【分析】只需從6個(gè)位置中選取3個(gè)位置放置陽(yáng)爻，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，假設(shè)有6個(gè)位置，在其中任選3個(gè)，安排3個(gè)“陰爻”，有種情況，即該重卦可以有20種情況，故答案為：20.57．（2023·全國(guó)）從1，2，…，10這十個(gè)數(shù)中取出四個(gè)數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，共有種取法（用數(shù)字作答）．【答案】100【分析】根據(jù)題意，將這10個(gè)數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩個(gè)組，每組各5個(gè)數(shù)；分析可得，取出的四個(gè)數(shù)必有1個(gè)或3個(gè)奇數(shù)，進(jìn)而利用乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，將這10個(gè)數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩個(gè)組，每組各5個(gè)數(shù)；若取出的四個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，則取出的四個(gè)數(shù)必有1個(gè)或3個(gè)奇數(shù)；若有1個(gè)奇數(shù)時(shí)，有種取法，若有3個(gè)奇數(shù)時(shí)，有種取法，故符合題意得取法共種取法；故答案為：10058．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘，有m個(gè)不同的積；任取兩個(gè)不同的數(shù)相除，有n個(gè)不同的商，則m∶n＝.【答案】1∶2【詳解】由已知得不同積的個(gè)數(shù)，不同商的個(gè)數(shù)為，故.四、解答題59．（2023下·甘肅白銀·高二甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)?？计谥校?023年4月，新型冠狀病毒疫情牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某市根據(jù)上級(jí)要求，在本市某人民醫(yī)院要選出護(hù)理外科、心理治療方面的專(zhuān)家4人與省專(zhuān)家組一起趕赴上海參加救助工作，該醫(yī)院現(xiàn)有3名護(hù)理專(zhuān)家，，，5名外科專(zhuān)家，，，，，2名心理治療專(zhuān)家，.(1)求4人中有1位外科專(zhuān)家，1位心理治療師的選法有多少種?(2)求至少含有2位外科專(zhuān)家，且外科專(zhuān)家和護(hù)理專(zhuān)家不能同時(shí)被選的選法有多少種?【答案】(1)30(2)133【分析】（1）根據(jù)組合的定義及組合數(shù)公式，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；（2）根據(jù)組合的定義及組合數(shù)公式，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】（1）設(shè)選出的4個(gè)人參加救助工作中有1位外科專(zhuān)家，1位心理治療師為事件，則滿(mǎn)足事件的情況共有種；（2）設(shè)選出的4人參加救助工作中至少含有2位外科專(zhuān)家，且外科專(zhuān)家和護(hù)理專(zhuān)家不能同時(shí)被選為事件，則滿(mǎn)足事件的情況為：①當(dāng)選擇時(shí)，當(dāng)有2位外科專(zhuān)家時(shí)，共有種情況；當(dāng)有3位外科專(zhuān)家時(shí)，共有種情況；當(dāng)有4