八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義（人教版）：與三角形有關(guān)的線段（教師版）

專題11.1與三角形有關(guān)的線段目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1、認(rèn)識(shí)三角形的邊、內(nèi)角、頂點(diǎn)，能用符號(hào)語言表示三角形.2、掌握并運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系.3、了解三角形按邊分類的原則和結(jié)論.4、掌握三角形的高，中線及角平分線的概念、畫法及相關(guān)計(jì)算。5、通過觀察、感悟三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01三角形及其分類三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角．三角形按邊分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．三角形按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形?！局R(shí)拓展1】三角形的相關(guān)概念例1．（2021·襄陽(yáng)陽(yáng)光學(xué)校初二月考）三角形是指()A．由三條線段所組成的封閉圖形B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形【答案】C【分析】根據(jù)三角形的定義解答即可．【解析】因?yàn)槿切蔚亩x是：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的定義．解題的關(guān)鍵是熟記三角形的定義．【即學(xué)即練】1．（2022.廣東八年級(jí)期中）如圖,在△BCE中,邊BE所對(duì)的角是,∠CBE所對(duì)的邊是;在△AEC中,邊AE所對(duì)的角是，∠A為內(nèi)角的三角形是。【答案】∠BCE,CE,∠ACE,△ABD,△ABC,△ACE【解析】在△BCE中,邊BE所對(duì)的角是∠BCE,∠CBE所對(duì)的邊是CE;在△AEC中,邊AE所對(duì)的角是∠ACE,∠AEC所對(duì)的邊是AC,∠A為內(nèi)角的三角形是△ABD,△ABC,△ACE.【知識(shí)拓展2】三角形的分類例2．（2022·湖北黃石·八年級(jí)期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（

）A．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形B．M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形D．M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形【答案】B【分析】根據(jù)三角形按照邊的分類方法解答．【詳解】解：根據(jù)三角形的分類，三角形可以分為三邊都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分為底邊和腰不相等的三角形和底邊三角形，故選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類，牢記三角形按照邊的分類方法是解決問題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，圖中小橢圓圈里的表示（

）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的分類：等邊三角形屬于等腰三角形即可得到答案．【詳解】解：∵等邊三角形是特殊的等腰三角形，∴A表示的是等邊三角形，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的分類，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握三角形的分類方法．知識(shí)點(diǎn)02三角形的三邊關(guān)系三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊差小于第三邊．【微點(diǎn)撥】在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．【知識(shí)拓展1】已知兩邊求第三邊的范圍例1．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校七年級(jí)期中）已知三角形的兩邊a和b的長(zhǎng)分別為3和8，則第三邊c的范圍為_________．【答案】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出結(jié)論．【詳解】解：由題意可得∴故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的取值范圍，掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2021·廣西河池市·八年級(jí)期末）已知的三邊長(zhǎng)為2，7，，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的的整數(shù)值，這個(gè)值可以是______．【答案】6或7或8【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：①任意兩邊之和大于第三邊；②任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍．【詳解】解：∵三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，7，x，∴7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，故答案為：6或7或8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【知識(shí)拓展2】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用例2．（2022·江蘇南京·七年級(jí)期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是(

)A．7 B．10 C．11 D．14【答案】B【分析】若兩個(gè)螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長(zhǎng)來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長(zhǎng)邊即可．【詳解】已知4條木棍的四邊長(zhǎng)為3、4、6、8；選3+4、6、8作為三角形，則三邊長(zhǎng)為7、6、8；，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長(zhǎng)距離為8；選4+6、8、3作為三角形，則三邊長(zhǎng)為10、8、3，，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長(zhǎng)距離為10；選6+8、3、4作為三角形，則三邊長(zhǎng)為14、3、4；，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；選3+8、4、6作為三角形，則三邊長(zhǎng)為11、4、6；，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10；故選：B．【點(diǎn)睛】本題實(shí)際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】1．（2022河北七年級(jí)月考）若a，b，c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，則化簡(jiǎn)|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的結(jié)果是()A．a(chǎn)＋b＋cB．－a＋3b－cC．a(chǎn)＋b－cD．2b－2c【答案】B分析：根據(jù)三角形三邊間的關(guān)系判斷出原式中每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里面的式子的值的正負(fù)，再結(jié)合絕對(duì)值的代數(shù)意義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【解析】∵a，b，c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，∴a－b－c<0，b－c－a<0，a＋b－c>0，∴|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|=-（a-b-c）-[-(b-c-a)]+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.故選B.點(diǎn)睛：解答本題有以下兩個(gè)要點(diǎn)：（1）熟知三角形三邊間的關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊；（2）熟知絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.知識(shí)點(diǎn)03三角形的高線、中線和角平分線1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．2）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．3）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．【知識(shí)拓展1】三角形的高線、中線、角平分線相關(guān)概念例1．（2021·河北唐山·八年級(jí)期中）下列說法中，①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點(diǎn)．正確的是（

）A．① B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；

三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部；三角形三條高可以在內(nèi)部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上．【詳解】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確；②鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯(cuò)誤；③直角三角形有兩條直角邊和直角到對(duì)邊的垂線段共三條高，故錯(cuò)誤；④三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點(diǎn)是正確的，三條高線所在的直線一定交于一點(diǎn)，高線指的是線段，故錯(cuò)誤．所以正確的有

①．

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)三角形的中線、角平分線、高的正確理解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì).【即學(xué)即練1】1.（2022·廣東八年級(jí)月考）下列說法正確的是（）A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的重心B．三角形的一條角平分線把該三角形分成面積相等的兩部分C．三角形的中線、角平分線、高都是線段D．三角形的三條高都在三角形內(nèi)部【答案】C【分析】根據(jù)三角形重要的線段的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷即可得解.【詳解】A.三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，故A錯(cuò)誤；B.三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，故B錯(cuò)誤；C.三角形的中線、角平分線、高都是線段，故C正確；D.三角形的三條高不一定都在三角形內(nèi)部，因?yàn)殁g角三角形有兩個(gè)高在三角形的外部，故D錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相關(guān)線段的知識(shí)點(diǎn)判斷，熟練掌握三角形線段的相關(guān)內(nèi)容是解決本題的關(guān)鍵.2．（2022·河北·中考真題）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（

）A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，作出選擇即可．【詳解】解：如圖，∵由折疊的性質(zhì)可知，∴AD是的角平分線，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)和角平分線的定義，理解角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】三角形的高線、中線、角平分線的畫法例1．（2022·江蘇·蘇州市相城實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，將△ABC經(jīng)過一次平移后得到△A′B′C′，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′．根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點(diǎn)和三角尺畫圖：(1)補(bǔ)全△A′B′C′；(2)畫出AC邊上的中線BD和AC邊上的高線BE；(3)求△ABD的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可補(bǔ)全△；（2）根據(jù)網(wǎng)格即可在邊上找一點(diǎn)，使得線段平分的面積，進(jìn)而可以在圖上作出線段；利用格點(diǎn)在圖中畫出邊上的高線即可；（3）根據(jù)網(wǎng)格即可求的面積．(1)解：如圖所示，△為所求作三角形；(2)解：如圖所示，為邊上的中線；如圖所示，為邊上的高線；(3)解：的面積為：．或者面積．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖平移變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．【即學(xué)即練2】1．（2022·福建·連江縣鳳城中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC是鈍角，完成下列畫圖．（不必尺規(guī)作圖）（1）∠BAC的平分線AD；（2）AC邊上的中線BE；（3）AC邊上的高BF．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）按角平分線的定義畫圖即可；（2）按中線的定義畫圖即可；（3）按照高的定義畫圖即可．【詳解】解：（1）如圖所示：AD即為所求；（2）如圖所示：BE即為所求；（3）如圖所示：BF即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線、角平分線和高的畫法，解題關(guān)鍵是熟練掌握它們的畫法，準(zhǔn)確畫圖．【知識(shí)拓展3】三角形的高線、中線、角平分線的相關(guān)計(jì)算例1．（2022·綿陽(yáng)市初二課時(shí)練習(xí)）在直角三角形ABC中，，，則的三條高之和為（）A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11.【答案】B【分析】過點(diǎn)B作AC邊上的高BD，根據(jù)直角三角形的面積公式即可求出BD，從而求出結(jié)論．【解析】解：如圖，過點(diǎn)B作AC邊上的高BD．，，即，解得．的三條高之和為，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的高和三角形的面積公式，掌握三角形高的定義和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．例2．（2021·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，為中線，則與的周長(zhǎng)之差為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得，則兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之差就是AB和AC長(zhǎng)度的差．【詳解】解：∵AD是中線，∴，∵，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中線的性質(zhì)．【即學(xué)即練3】1．（2022·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，的兩條角平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作EFBC，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則______cm．【答案】30【分析】利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，證出，同理，則的周長(zhǎng)即為，可得出答案．【詳解】解：，，平分，，同理：，即故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證出，是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇姜堰初一期中）如圖，在△ABC中，AE為邊BC上的高，點(diǎn)D為邊BC上的一點(diǎn)，連接AD．（1）當(dāng)AD為邊BC上的中線時(shí)．若AE=4，△ABC的面積為24，求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)AD為∠BAC的角平分線時(shí)．①若∠C=65°，∠B=35°，求∠DAE的度數(shù)；②若∠C－∠B=20°，則∠DAE=°．【答案】（1）6；（2）①15°；②10．【分析】（1）利用三角形的面積公式求出BC即可解決問題；（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC和∠CAE的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠CAD的度數(shù)，從而求解；②設(shè)∠C=x°，則∠B=（x+20）°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠CAD的度數(shù)，從而求解．【解析】解：（1）由題意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面積為24，∴×BC×AE=24，∴×BC×4=24，∴BC=12，∵AD是△ABC的中線，∴CD=BC=6，（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B=80°，在△AEC中，∵AE⊥BC∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°∵AD為∠BAC的角平分線∴∠CAD=∴∠DAE的度數(shù)為∠CAD-∠CAE=15°②設(shè)∠C=x°，則∠B=（x+20）°,在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B=（160-2x）°，在△AEC中，∵AE⊥BC∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°∵AD為∠BAC的角平分線∴∠CAD=∴∠DAE的度數(shù)為∠CAE-∠CAD=10°故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，三角形的中線與高等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．知識(shí)點(diǎn)04三角形的穩(wěn)定性當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應(yīng)用在實(shí)際生活中．【知識(shí)拓展1】勾股數(shù)例1．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)七年級(jí)期中）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，多邊形具有穩(wěn)定性需要將其分割成三角形來逐項(xiàng)判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：A．是一個(gè)四邊形，四邊形不具有穩(wěn)定性，該選項(xiàng)不符合題意；B．五邊形被分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，四邊形不具有穩(wěn)定性，該選項(xiàng)不符合題意；C．六邊形被分成兩個(gè)三角形和兩個(gè)四邊形，四邊形不具有穩(wěn)定性，該選項(xiàng)不符合題意；D．五邊形被分成三個(gè)三角形，三角形具有穩(wěn)定性，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)選項(xiàng)中的圖形，看其是否全部由三角形構(gòu)成，結(jié)合三角形的穩(wěn)定性逐項(xiàng)驗(yàn)證是解決問題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2022·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，工具房有一個(gè)方形框架，小華發(fā)現(xiàn)它很容易變形，以下加固方案最好的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可解答．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得D是最好的加固方案．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．能力拓展能力拓展考法01利用三角形三邊關(guān)系證明不等式【典例1】（2021·綿陽(yáng)市八年級(jí)月考）如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，PC，延長(zhǎng)BP交AC于D．（1）圖中有幾個(gè)三角形；（2）求證：AB+AC＞PB+PC．【答案】（1）5個(gè)；（2）證明見解析．【分析】（1）直接找出圖中的三角形即可，注意要不重不漏；（2）利用三角形的三邊關(guān)系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再把兩個(gè)式子相加進(jìn)行變形即可．【詳解】（1）圖中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5個(gè)．（2）證明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩邊之和大于第三邊．變式1.（2021?雁塔區(qū)期中）觀察并探求下列各問題，寫出你所觀察得到的結(jié)論．（1）如圖①，在△ABC中，P為邊BC上一點(diǎn)，則BP+PCAB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）將（1）中點(diǎn)P移到△ABC內(nèi)，得圖②，試觀察比較△BPC的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大小，并說明理由．（3）將（2）中點(diǎn)P變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)P1、P2得圖③，試觀察比較四邊形BP1P2C的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大小，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊，即可得出結(jié)果，（2）可延長(zhǎng)BP交AC與M，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，即可得出結(jié)果，（3）分別延長(zhǎng)BP1、CP2交于M，再根據(jù)（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形兩邊之和大于第三邊，（2）△BPC的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)．理由：如圖，延長(zhǎng)BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，兩式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)，（3）四邊形BP1P2C的周長(zhǎng)＜△ABC的周長(zhǎng)，理由：如圖，分別延長(zhǎng)BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得結(jié)論．【點(diǎn)評(píng)】本題考查比較線段的長(zhǎng)短常常利用三角形的三邊關(guān)系以及不等式的性質(zhì)，通過作輔助線進(jìn)行解答．考法02三角形面積的等積變換【典例2】（2022·貴州·遵義市新蒲新區(qū)天立學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，且△ABC的面積是8cm2，則陰影部分面積等于（

）A．2cm2 B．1.5cm2 C．1cm2 D．0.5cm2【答案】A【分析】先由D為BC中點(diǎn)，求出△ABD和△ACD面積，再由點(diǎn)E為AD中點(diǎn)求出△BCE面積，再根據(jù)F是CE中點(diǎn)，知陰影部分面積等于△BCE面積的一半，即可求解．【詳解】解：∵D是BC中點(diǎn)，△ABC的面積是8cm2，∴cm2，∵E是AD中點(diǎn)，∴cm2，cm2，∴cm2，∵F為CE中點(diǎn)，∴cm2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的等積變換，掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇南京·七年級(jí)期末）如圖，在中，E是上的一點(diǎn)，，D是的中點(diǎn)，且，則________．【答案】1【分析】根據(jù)高相同時(shí)，三角形面積比等于底邊之比，分別求出，再根據(jù)、，用兩式相減即得所求的值．【詳解】∵，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，靈活運(yùn)用高相同時(shí)面積與邊的關(guān)系，巧用兩個(gè)三角形面積中公共部分來轉(zhuǎn)換成所求面積差是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·廣西·南寧二中七年級(jí)期末）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．如圖①，△MBC中，M是BC上一點(diǎn)，則有，如圖②，△ABC中，M是BC上一點(diǎn)，且BM＝BC，N是AC的中點(diǎn)，若△ABC的面積是1，則△ADN的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CD，有中線的性質(zhì)得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，設(shè)S△ADN＝S△CDN＝a，則S△ABN＝S△CBN＝，再求出S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，然后由面積關(guān)系求出a的值，即可解決問題．【詳解】解：連接CD，如圖：∵N是AC的中點(diǎn)，∴＝＝1，∴S△ADN＝S△CDN，同理：S△ABN＝S△CBN，設(shè)S△ADN＝S△CDN＝a，∵△ABC的面積是1，∴S△ABN＝S△CBN＝，∴S△BCD＝S△ABD＝﹣a，∵BM＝BC，∴＝，∴＝＝，＝＝，∴S△CDM＝3S△BDM，S△ACM＝3S△ABM，∴S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，∵S△ACM＝S四邊形CMDN+S△ADN＝S△CDM+S△CDN+S△ADN，即：＝﹣a+a+a，解得：a＝，∴S△ADN＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中線的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2021·廣東汕頭市·八年級(jí)模擬）下列尺規(guī)作圖，能判斷是的邊上的高是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，能滿足此條件的AD即為所求，依次判斷即可．【詳解】解：A.所作圖BC的垂線未過點(diǎn)A，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；B.所作圖過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，故此項(xiàng)正確；C.所作過點(diǎn)A作的線AD不垂直BC，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；D.所作圖僅為過點(diǎn)A的AB邊上的垂線，不符合題意，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的高的作法，解題的關(guān)鍵是掌握幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．2．（2021·浙江八年級(jí)期末）在三角形中，一定能將其面積分成相等兩部分的是（）A．中線 B．高線 C．角平分線 D．某一邊的垂直平分線【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中線、角平分線、高的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念．3．（2021·湖南·長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AD，BE，CF依次是ABC的高、中線和角平分線，下列表達(dá)式中錯(cuò)誤的是（

）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF【答案】C【分析】根據(jù)三角形的高、中線和角平分線的定義（1）三角形的角平分線定義：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連接這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線；（2）三角形的中線定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)邊的中點(diǎn)的連線段叫做三角形的中線；（3）三角形的高定義：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊（或?qū)吽诘闹本€）作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱為高．求解即可．【詳解】解：A、BE是△ABC的中線，所以AE＝CE，故本表達(dá)式正確；B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表達(dá)式正確；C、由三角形的高、中線和角平分線的定義無法得出∠CAD＝∠CBE，故本表達(dá)式錯(cuò)誤；D、CF是△ABC的角平分線，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表達(dá)式正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高、中線和角平分線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記定義是解題的關(guān)鍵．4.（2021·河北廊坊市·八年級(jí)期末）在中，若，，則第三邊的取值可能是（）A．3． B．5 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系：任意兩邊之差＜第三邊＜任意兩邊之和，解答即可．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得6-3＜BC＜6+3，即3＜BC＜9．符合條件的條件是BC=5，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了求三角形第三邊的范圍，實(shí)際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．5.（2021·山西呂梁市·八年級(jí)期中）給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相等關(guān)系分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中，正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根據(jù)三角形的分類、三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷【詳解】（1）等邊三角形是一特殊的等腰三角形，正確

（2）三角形按邊分類可以分為不等邊三角形和等腰三角形，錯(cuò)誤

（3）三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，正確

綜上所述，正確的結(jié)論2個(gè)故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形．注意：等邊三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等邊三角形6.（2022·江蘇七年級(jí)月考）△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，則∠BAC=___________．【答案】70°或30°【分析】根據(jù)AD的不同位置，分兩種情況進(jìn)行討論：AD在△ABC的內(nèi)部，AD在△ABC的外部，分別求得∠BAC的度數(shù)．【解析】①如圖，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°．②如圖，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°-20°=30°．故答案為：70°或30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的位置情況，充分考慮三角形的高在三角形的內(nèi)部或外部進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．7.（2022·廣東廣州市白云區(qū)六中珠江學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，、分別是邊上的中線與高，，的面積為25，則的長(zhǎng)為________．【答案】【分析】由三角形的面積為：求解再利用三角形的中線的概念求解即可得到答案．【詳解】解：、分別是邊上的中線與高，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線，高的含義，三角形的面積，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·河南安陽(yáng)市·八年級(jí)期末）如圖，工程建筑中的屋頂鋼架經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，其中的數(shù)學(xué)道理是三角形具有______性．【答案】穩(wěn)定【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)，其中的數(shù)學(xué)道理是三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，熟知相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)七年級(jí)期中）請(qǐng)補(bǔ)全證明過程及推理依據(jù)．已知：如圖，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求證：BD∥EF．證明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴∠AED=∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分線的定義；已知；∠ABC；兩直線平行，同位角相等；∠2；同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根據(jù)平行線的判定定理推出即可．【詳解】證明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分線的定義）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（兩直線平行，同位角相等）∴∠AED=∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；已知；∠ABC；兩直線平行，同位角相等；∠2；同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)定理和判定定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記平行線的性質(zhì)定理和判定定理是解此題的關(guān)鍵．0．（2021·江蘇·徐州市西苑中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．(1)畫出向右平移6個(gè)單位后得到的(2)圖中與的關(guān)系是：________．(3)畫出的中線AE和的角平分線BF．(4)的面積為________．【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)見解析(4)4【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C向右平移6個(gè)單位后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可；（3）找出BC的中點(diǎn)E，連接AE即可，過點(diǎn)B豎直方向的格線正好平分∠ABC，此格線與AC的交點(diǎn)為F，連接BF即可；（4）利用△ABC所在的矩形的面積減去四周三個(gè)三角形的面積，列式計(jì)算即可得解．(1)如下圖所示：即為所求作的三角形；(2)根據(jù)平移的性質(zhì)得出，AC與A1C1的關(guān)系是：平行且相等；故答案為：平行且相等；(3)如下圖所示：AE、BF即為所求作的線段；(4)．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，（1）中得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵；（2）掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵；（3）理解中線和角平分線的定義是解題關(guān)鍵；（3）掌握割補(bǔ)法是解題關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2021·福建廈門市·八年級(jí)期中）如圖，在中，已知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且的面積為9cm2，則的面積為（）A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2【答案】C【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的概念、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴△AED的面積=△ABD的面積，∵S△ABD：S△ACD=2：1，∴△ABD的面積=△ABC的面積×∴△AED的面積=3cm2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積計(jì)算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學(xué)一模）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點(diǎn)上，則△ABC的重心是（

）A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G【答案】A【分析】據(jù)重心的定義：三角形中各邊中線的交點(diǎn)為三角形的重心，結(jié)合圖形，可知D點(diǎn)為△ABC的重心．【詳解】如圖所示，根據(jù)圖形可知AN=BN，BM=CM，∴AM，CN為△ABC的中線，∵AM，CN交于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)為△ABC的重心．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形重心的定義，屬于基礎(chǔ)題型．3．（2022·南通市八一中學(xué)初一月考）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)之比為3：5：7．則這個(gè)三角形三邊上的高之比為（）A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4【答案】C【分析】首先根據(jù)三角形的面積計(jì)算出各邊上的高的比．【解析】因?yàn)檫呴L(zhǎng)之比滿足3：5：7，設(shè)三邊分別為3x、5x、7x，設(shè)三邊上的高為a，b，c，由題意得：故這個(gè)三角形三邊上的高之比為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積的公式計(jì)算．4．（2022·廣東潮州·八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC的面積為1，分別倍長(zhǎng)（延長(zhǎng)一倍）邊AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分別倍長(zhǎng)邊A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此規(guī)律，倍長(zhǎng)2021次后得到的△A2021B2021C2021的面積為_________．【答案】【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，然后求出第一次倍長(zhǎng)后△A1B1C1的面積是△ABC的面積的7倍，依此規(guī)律可得結(jié)論．【詳解】解：連接AB1、BC1、CA1，根據(jù)等底等高的三角形面積相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面積都相等，所以，,同理，依此類推，△A2021B2021C2021的面積為=72021S△ABC，∵△ABC的面積為1，∴△A2021B2021C2021的面積=72021．故答案為：72021．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出一次倍長(zhǎng)后所得的三角形的面積等于原三角形的面積的7倍是解題的關(guān)鍵．5．（2022·重慶市七年級(jí)期中）已知a，b，c是的三邊長(zhǎng)，則______．【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，確定絕對(duì)值中式子的符號(hào)后化簡(jiǎn)即可．【詳解】∵a，b，c是的三邊長(zhǎng)，∴a+c＞b，b+c＞a，∴==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，熟練掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．6.（2021·湖北孝感·八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）畫出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義畫圖；（2）利用面積法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：（1）如圖：

（2）∵S△ABC=AD?BC=CE?AB，∴CE=；【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了三角形的面積．7．（2021秋?威縣期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整數(shù)，求AC的長(zhǎng)；（2）已知BD是△ABC的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為17，求△BCD的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到AD＝CD，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整數(shù)，∴AC＝8；（2）∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∵△ABD的周長(zhǎng)為17，∴AB+AD+BD＝17，∵AB＝1，∴AD+BD＝16，∴△BCD的周長(zhǎng)＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+16＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．8.（2021?平昌縣期末）如圖，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)OB，OC，求證：AB+AC＞OB+OC．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系證得AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，從而得到AB+AD+CD＞OB+OC，進(jìn)而得到AB+AC＞OB+OC．【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D，∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC．【點(diǎn)評(píng)】本題考出了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造三角形．題組C培優(yōu)拔尖練1.（2021·西安初一期末）如圖，AE是△ABC的角平分線，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，若∠BAC＝104°，∠C＝40°，則有下列結(jié)論：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC.其中正確的個(gè)數(shù)有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義可判定①；根據(jù)角平分線的定義及垂直的定義求得∠CAE=52°，∠CAD=50°，再由∠DAE＝∠CAE-∠CAD即可判定②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可判定④；③根據(jù)已知條件判定不出，由此即可解答.【解析】∵AE是△ABC的角平分線，∠BAC＝104°，∴∠BAE=∠CAE＝=52°；①正確；∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD=90°-40°=50°；∴∠DAE＝∠CAE-∠CAD=2°；②正確；∵F為BC的中點(diǎn)，∴S△ABF＝S△ABC.④正確.根據(jù)已知條件不能夠判定③正確.綜上，正確的結(jié)論為①②④，共3個(gè)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線、中線及高線的性質(zhì)，熟知三角形的角平分線、中線及高線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.2．（2020·西安市鐵一中學(xué)初三一模）如圖，點(diǎn)為的重心，則的值是（）．A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】如圖,分別延長(zhǎng)、、，交、、于點(diǎn)、、，根據(jù)三角形重心定理得到、、是的中線，繼而根據(jù)三中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形即可求得答案.【解析】如圖,分別延長(zhǎng)、、，交、、于點(diǎn)、、，因?yàn)镚是三角形重心，所以、、是的中線，所以，即，同理，所以，即=1:1:1，故選C.3．（2021·重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)F在邊AB上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD、CF相交于點(diǎn)E，若，，則（

）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)為的中點(diǎn)，可得，，根據(jù)，，可得，設(shè)，則，，，求得，即可求解．【詳解】解：連接，如下圖：∵為的中點(diǎn)∴，，∵，，∴，設(shè)，則，，∴，，則，解得，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查與中點(diǎn)有關(guān)的三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握同高三角形面積的比等于底邊的比．4．（2022·福建省廈門第六中學(xué)二模）數(shù)軸上－6，－3與6表示的點(diǎn)分別為M、A、N，點(diǎn)B為線段AN上一點(diǎn)，分別以A、B為中心旋轉(zhuǎn)MA、NB，若旋轉(zhuǎn)后M、N兩點(diǎn)可以重合成一點(diǎn)C（即構(gòu)成△ABC），則點(diǎn)B代表的數(shù)可能為（）A．－1 B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】設(shè)B代表的數(shù)為x，則AC=3，AB和BC可以用x表示出來，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出x的取值范圍即可得到解答．【詳解】解：設(shè)B代表的數(shù)為x，則由題意可得：AC=AM=3，AB=x-（-3）=x+3，BC=BN=6-x，∴由三角形的三邊關(guān)系可得：解之可得：0<x<3，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的表示、構(gòu)成三角形的條件、一元一次不等式組的求法是解題關(guān)