新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè) 練習(xí) 08 直線的方向向量與平面的法向量

08直線的方向向量與平面的法向量

目錄

☆【題型一】求直線的方向向量....................................................................1

☆【題型二】直線的方向向量的應(yīng)用................................................................3

☆【題型三】證明一個(gè)向量是平面的法向量..........................................................4

☆【題型四】求平面的法向量......................................................................6

☆【題型五】平面方程的表示......................................................................9

☆【題型一】求直線的方向向量

【例題】如圖，在四棱錐尸一/8CD中，底面NBCD為矩形，平面/8C。，E為P￡＞的中點(diǎn)，AB=AP

=1.AD=^3,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求直線尸C的一個(gè)方向向量.

【答案】直線尸C的一個(gè)方向向量為(1,3,-1).

【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Z—平，則P(0,0,1),C(l,√3,0),

所以反'=(1,√5,一I)即為直線尸C的一個(gè)方向向量.

【總結(jié)】

(1)求直線的方向向量關(guān)鍵是找到直線上兩點(diǎn)，用所給的基向量表示以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，其難

點(diǎn)是向量的運(yùn)算.

(2)對(duì)直線方向向量概念的理解：

①直線上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)都可構(gòu)成直線的方向向量.

②直線的方向向量不唯一.

【變式訓(xùn)練】

1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體NBCQ-NLSIebOl的棱長(zhǎng)為1,則直線。。的一個(gè)方向向量為

,直線8G的一個(gè)方向向量為.⑶

【答案】(0,0,1);(0,1,1).(答案不唯一)

【詳解】因?yàn)?。?！?4.3|=(0,0,1),所以直線。。的一個(gè)方向向量為(0,0,1).

因?yàn)锽C?//ADx,用∣=(0,1,1),所以直線BCl的一個(gè)方向向量為(0,1,I).

2.若Z(2,1,1),8(1,2,2)在直線/上，則直線/的一個(gè)方向向量為(

A.(2,1,1)B.(-2,2,2)

C.(-3,2,1)D.(2,1,-1)

【答案】B

【詳解】?；港=(-1,1,1),而與港共線的非零向量都可以作為直線1的方向向量，故選B.

3.(多選)若點(diǎn)加(1,0,-1),M2,1,2)在直線/上，則直線/的一個(gè)方向向量是()

A.(2,2,6)B.(l,l,3)

C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

【答案】AB

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)MN在直線/上，加=(1,1,3),所以向量(1,1,3),(2,2,6)都是直線/的方向向量.

4.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，/8CC—aBeQl為正方體，棱長(zhǎng)為1,則直線OA的一個(gè)方向向量

為,直線BG的一個(gè)方向向量為.

【答案】(答案不唯一)(0,0,1)(0,1,1)

【詳解】?.?DD/∕4,以=(0,0,1),二直線。A的一個(gè)方向向量為(0,0,1)；

'：BC↑/∕ADχ,用I=(0,1,1),故直線8。的一個(gè)方向向量為(0,1,1).

5.如圖所示，在三棱錐Z-8CD中，E,尸分別是4O,8C的中點(diǎn)，設(shè)就=",βt)=b,Wi=C,以但，b,

c｝為空間的一個(gè)基底，求直線EF的一個(gè)方向向量.

A

【答案】直線EF的一個(gè)方向向量為L(zhǎng)/—4—lc.

222

［詳解］Ep=+—βt))--?-~B^=z~BC-=；。一；b一?e.

故直線EF的一個(gè)方向向量為-a--b--c.

222

☆【題型二】直線的方向向量的應(yīng)用

【例題】己知直線/的一個(gè)方向向量m=(2,—1,3),且直線/過(guò)，(O,y,3)和8(—1,2,Z)兩點(diǎn)，則y—z

等于()

A.0B.1

3

C,-D.3

2

【答案】A

【詳解】V∕f(0,y93),5(-1,2,z),C.λh=?2-y,z—3).

???直線/的一個(gè)方向向量為帆=(2,-1,3),

k=--

2i

-1=2?,

3

:,成〃m,故設(shè)還=癡ι∕∈R)..???2-y=-A:,解得尸2,

z—3=3%.*

?*?y—z=0.

【變式訓(xùn)練】

1.已知直線∕∣的一個(gè)方向向量為(-5,3,2),另一個(gè)方向向量為(x,y,8),則X=，y=.

【答案】-2012

【詳解】???直線的方向向量平行，.?.E='E='...x=-20,y=12.

-532

2.設(shè)〃7為實(shí)數(shù)，直線4的方向向量為Z=(2,T,2),直線4的方向向量為5=(1,1,⑴，若/14,則實(shí)數(shù)

m的值為

【答案】m?-?

2

=

【詳解】,/∕1?∕2??4Z??=O=>2—1+2/77—0,?*?tn—?.

3.設(shè)f為實(shí)數(shù)，若直線/垂直于平面α,且/的方向向量為(1,2,4),α的法向量為(g,l,2)

,則實(shí)數(shù)，的值

為.

【答案】t=?

11=2

【詳解】直線/的方向向量&2,4)與平面ɑ的法向量(一,1,2)平行，即1一1,解得/=1.

21

☆【題型三】證明一個(gè)向量是平面的法向量

【例題】在正方體/8。。-2山|?。|中，求證：房I是平面/CD的一個(gè)法向量.

【詳解】(證法1)不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以｛力，Dt,說(shuō)∣｝為單位正交基底，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-中z,則知點(diǎn)/(l,0,0),C(0,1,0),θ?(θ,0,l),5ι(l,1,1),

所以房1=(1,1,1),Jt=(-1,1,0),歷1=(-1,0,1).

因?yàn)榍麵?k=lχ(-l)+lxl+lχO=O,所以屁」就.同理方」用I.

又4Cn∕D∣=/,所以。8」平面ZCD”從而方面是平面4Cd的一個(gè)法向量.

(證法2)設(shè)平面Zsl的一個(gè)法向量為Q=(XJ,z),

貝∣J4J_/乙aA-λ??,從而優(yōu)祀=0,<r∕3ι=0.

因?yàn)榫?(—1,1,0),1|=(一1,0,1),

~[-l?χ+l?y+O?z=O.

所以?

—l?x÷O??+l?z=O,

X-y=0,&,cty=Xf

即?解得F

Xz=0,匕=X.

不妨取y=z=x=l,所以α=(l,1,1)就是平面ACQi的一個(gè)法向量.

而11=(1,1,1),故房1〃4,

所以無(wú)I是平面/CDi的一個(gè)法向量.

【總結(jié)】(1)在正方體力8。M山CIDl中，屬i_L平面/CDi是一個(gè)重要的結(jié)論，本題也可以用必修2學(xué)過(guò)

的綜合法證明，這里用向量坐標(biāo)法證明，要回靈活運(yùn)用.

(2)求平面的法向量，先找是否有與平面垂直的直線；若沒(méi)有，再用待定系數(shù)法.

【變式訓(xùn)練】

1.已知在正方體∕8C?D-∕∣8∣CιD∣中，E,尸分別是QC的中點(diǎn)，求證：企是平面4。尸的一個(gè)法向量.

【詳解】證明設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意設(shè)點(diǎn)/(2,0,0),則知點(diǎn)F(O,l,0),E(2,2,1),小(2,0,2),0∣(0,0,2),

所以掂=(0,2,1),A^F=(-2,I,-2),D↑F=(0,1,-2).

因?yàn)榭膱?0,Ak-D^F=0,

所以ZE?L∕ιE/EjIE

又因?yàn)镹iFnOiF=F,所以/E_L平面4。IE

所以越是平面A↑D↑F的一個(gè)法向量.

2.在正方體/8CO-44G2中，證明：通是平面N8C∣2的法向量.

【詳解】證明如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以｛刀,況,西｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),4(1,0,1),A(0,0,1),

所以函=(—1,0,1),在=(0,1,0),西=(1,0,1),

因?yàn)楹?函=-1+0+1=0,方?西=0,所以函_1_麗,而J.麗，

又因?yàn)椤?Γ∣∕3=/,所以詬是平面NBGA的法向量.

☆【題型四】求平面的法向量

【例題】如圖，在四棱錐尸一/8C。中，底面/88為矩形，RI_L平面/88,E為PO的中點(diǎn)，AB=AP

=1,JD=√3,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面PCO的一個(gè)法向量.

P

BC

【答案】平面尸8的一個(gè)法向量為"=(0,1,3).

【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系/一“，則尸(0,0,1),C(I,√5,0),

所以玩'=(1,S,—1)即為直線PC的一個(gè)方向向量.

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).

因?yàn)椤?0,3，0),所以用=(0,3,-1).

",代=0,k+3y-z=0,?,[r=0,?r,,r

貝『即?r所以「r令夕=1,則Z=N3.

frPb=O,l√3y-z=0,U=W.

所以平面尸CZ)的一個(gè)法向量為"=(0,1,√3).

【總結(jié)】利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟

(1)設(shè)向量：設(shè)平面的一個(gè)法向量為"=(χ,y,z).

(2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線向量處，祀.

n-Ai—O,

(3)列方程組：由列出方程組.

"?祀=0

”?赤=0,

(4)解方程組：’

H-At=O.

(5)賦非零值:取X,外Z其中一個(gè)為非零值(常取±1).

(6)得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.

【變式訓(xùn)練】

1.在棱長(zhǎng)為2的正方體力88—48∣CbDl中，E,F分別為棱小。i，小囪的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系中，求：

(1)平面BDDB的一個(gè)法向量；

(2)平面BDEF的一個(gè)法向量.

*?B

【詳解】由題意，可得。(0,0,0),5(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(l,0,2).

⑴連接/C，則ZeL平面504閏,

祀=(-2,2,0)為平面8Z)D∣8∣的一個(gè)法向量.

(2)協(xié)=(2,2,0),防=(1,0,2).

設(shè)平面8。E廠的一個(gè)法向量為〃=。，y,z),

”?毋=0,pχ+2y=0,

則’?=1v

nDk=0,k+2z=0,F2-?

令x=2,得y=—2,Z——1.

Λ∕ι=(2,-2,—1)即為平面BDE尸的一個(gè)法向量.(答案不唯一).

2.已知四邊形NBCO是直角梯形，ZABC^90o,S/J_平面Z8C0,S/=∕8=8C=1,/￡>=；,求平面SeD

的一個(gè)法向量.

【答案】"=(—2,1,—1)是平面SCO的一個(gè)法向量

【詳解】以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∕R%

則r?"°),Ql,1,0),5(0,0,1),

所以能=(1,1,—D,浣=E1,0)

設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為"=(x,y,Z),

則”?能=0,n-Dt=0,

'x+y-z=0

f^c=-2y,

所以解得

-χ+y=0.?^=-y?

令y=l,則x=—2,z=—l,

所以〃=(一2,1,—1)是平面SCO的一個(gè)法向量.

3.已知/(0,1,1),5(-1,1,?),C(l,0,0),則平面/8C的一個(gè)法向量為()

A.(0,1,-1)B.(-l,0,1)

C.(l,1,1)D.(-l,0,0)

【答案】A

【詳解】設(shè)平面48C的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),由港=(一1,0,0),就=(1,-1,-1),

nA^=O,-χ=0,x=0,

可得,即所以

H-At=O,^-y-z=09y=-z.

令y=l,則Z=-1,所以〃=(0,1,-1).

4.已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量α=(2,3,1),b=(5,6,4),則該平面的一個(gè)法向量為()

A.(l,-1,1)B.(2,-1,1)

C.(-2,1,1)D.(-l,1,-1)

【答案】C

【詳解】顯然。與〃不平行，設(shè)該平面的一個(gè)法向量為〃=α,歹，Z),

a?w=0,2x+3y+z=0,

則有即

。〃=0,5x+6y+4z=0.

令Z=I,得X=—2,y=?.

5.已知4(1,1,0),B(l,0,1),C(0,1,1),則平面ZBC的一個(gè)單位法向量是()

他近四

Bl3，3,3J

A.(l,1,1)

β∕3也

D.133'

【答案】B

【詳解】設(shè)平面48C的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),乂港=(0,-1,1),

Th-n=-y+z=0,

1B^n--χ+y-O,

.?.x=y=z,又：?jiǎn)挝幌蛄康哪?,故只有B正確.

6.如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，AD//BC,ZABC=90°,底面48。，且“

=S建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面SO與平面皿的一個(gè)法向量.

【詳解】以Z為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB,/S所在直線分別為X軸、N軸、Z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Z—x、2,則40,0,0),0,0),

C(l,1,0),S(0,0,1),皮=匕'1,0I丞=Iw

顯然向量力=t'0,°)是平面S8/的一個(gè)法向量.

設(shè)"=(x,y,Z)為平面SCD的一個(gè)法向量，

^x+y-O,

∕rZ)C=0,即

則.即~1

—x+z=O,

“A=。,22

取X=2,得y=—1,z—1,

故平面SCD的一個(gè)法向量為(2,-1,1).

☆【題型五】平面方程的表示

【例題】在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(XOJo,Z。)，平面ɑ的法向量為3=(48,C),"=(XJ,z)

是平面ɑ內(nèi)任意一點(diǎn)，求X,y,z滿足的關(guān)系式.

【詳解】由題意可得PA/=(x-x0,y-y0,z-z0).

因?yàn)镚是平面的法向量，所以［，同7,從而〃?R0=°,

即(Z,8,C)?(x-X(),y-yo,z-Zo)=O，得到/(工_工0)+8(^-%)+。(2_20)=0.

所以滿足題意的關(guān)系式為力(X-XO)+8(V-M))+C(z-z0)=O.

【總結(jié)】

(1)在空間直角坐標(biāo)系中，平面可以用關(guān)于X,y,Z的三元一次方程來(lái)表示.

(2)求平面方程的步驟為：

①求出平面的一個(gè)法向量.

②求出平面內(nèi)任意一點(diǎn)(x,八Z)與平面ɑ內(nèi)的一個(gè)已知點(diǎn)組成的向量.

③利用平面的法向量與平面內(nèi)任意一個(gè)向量垂直建立等量關(guān)系求解.

【變式訓(xùn)練】

1.已知4(1,2,3),B(?,-1,-2),C(-l,0,0).

(1)寫出直線BC的一個(gè)方向向量；

(2)設(shè)平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)且溫是α的一個(gè)法向量，M(x,y,Z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，試寫出x,y,Z滿足的關(guān)系

式.

【詳解】(1)直線8C的一個(gè)方向向量為求=(一1一1,0-(-1),0-(-2))=(-2,1,2).

(2)因?yàn)槠矫姒两?jīng)過(guò)4(1,2,3)且M(X,y,Z)是平面α內(nèi)的任意一點(diǎn),

則有疝f=(χ-l,y-2,z-3).

又因?yàn)樯瞧矫妯坏囊粋€(gè)法向量，

所以就