2022-2023學年福建省龍巖市高一年級下冊期末考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年福建省龍巖市高一下學期期末考試數(shù)學試題

一、單選題

1.已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是（0,1）,則上匚=（）

z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義表示出z,再根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算即可.

【詳解】復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為（0,1）,則2=匕

1+i(+i)x(-i)

所以一=

Ziix(->)

故選：B.

2.現(xiàn)從中小學生中抽取部分學生進行一次肺活量調查，據(jù)了解，某地小學、初中、高中三個學段學生

的肺活量有較大差異，而同一學段男、女學生的肺活量差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽

樣方法是（）

A.簡單隨機抽樣

B.按性別分層隨機抽樣

C.按學段分層隨機抽樣

D.按肺活量分層隨機抽樣

【答案】C

【分析】依據(jù)題給條件結合分層抽樣定義及適用條件即可確定抽樣方法.

【詳解】選項A：因小學、初中、高中三個學段學生的肺活量有較大差異，因此不適合簡單隨機抽樣.

判斷錯誤；

選項B：因同一學段男、女學生的肺活量差異不大，因此按性別分層隨機抽樣沒有必要.判斷錯誤；

選項C：小學、初中、高中三個學段學生的肺活量有較大差異，而同一學段男、女學生的肺活量差異不

大，因而按學段分層隨機抽樣.判斷正確；

選項D：因肺活量是待測量的量，不可以作為分層的標準.判斷錯誤.

故選：C

3.某中學組織三個年級的學生進行黨史知識競賽.經(jīng)統(tǒng)計，得到前200名學生分布的扇形圖（如圖）

和前200名中高一學生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯送的是（）

前200名學生分布的扇形圖前200名中高一學生排名分布的頻率條形圖

A.成績前200名的學生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人

B.成績前100名的學生中，高一人數(shù)不超過50人

C.成績前50名的學生中，高三人數(shù)不超過32人

D.成績第51名到第100名的學生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多

【答案】D

【分析】根據(jù)餅狀圖和條形圖提供的數(shù)據(jù)判斷.

【詳解】由餅狀圖，成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多200X（45%-30%）=30,A

正確;

由條形圖知高一學生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此高一人數(shù)為

200x45%x1=45<50,B正確；

2

成績前50名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.2=18,因此高三最多有32人，C正確；

第51至IJ100名的50人中，高一人數(shù)為200x45%x0.3=27,故高二最多有23人，因此高二人數(shù)比

高一少，D錯誤.

故選：D.

4.若甲、乙、丙三人通過考試的概率分別2為:、1；、1；，則事件“三人中恰有兩人通過考試”發(fā)生的

544

概率為（）

913-213

A.—B.—C.?D.—

80808016

【答案】D

【分析】根據(jù)獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.

【詳解】設事件甲通過考試為A,事件乙通過考試為8,事件丙通過考試為C,

則事件甲不通過考試為，，事件乙不通過考試為豆，事件丙不通過考試為3，

由己知尸（/）=|,尸（8）=；,P（C）=；,Pp）=|,P（5）=|,P（C）=|）

所以事件“三人中恰有兩人通過考試”可表示為ABC+ABC+ABC，

所以尸（4庶+/而+780=3/咐+《A8C）

所以P（ABC+ABC+'ABC^=P（小耳由+尺劣＜刁＜。4羽夕,

所以P（/8「+/肥+78C）==lxh1-xU^＜UU—,

、,5445X445448016

故選：D.

5.某小區(qū)為了調查本小區(qū)業(yè)主對物業(yè)服務滿意度的真實情況，對本小區(qū)業(yè)主進行了調查，調查中問

了兩個問題1：你的手機尾號是不是奇數(shù)？問題2：你是否滿意物業(yè)的服務？調查者設計了一個隨機

化裝置，其中裝有大小、形狀和質量完全相同的白球和紅球，每個被調查者隨機從裝置中摸到紅球

和白球的可能性相同，其中摸到白球的業(yè)主回答第一個問題，摸到紅球的業(yè)主回答第二個問題，回

答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于問題的答案只有“是”和

“否”，而且回答的是哪個問題別人并不知道，因此被調查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答

案.已知某小區(qū)80名業(yè)主參加了問卷，且有48名業(yè)主回答了“是”，由此估計本小區(qū)對物業(yè)滿意服務

的百分比大約為（）

A.10%B.20%C.35%D.70%

【答案】D

【分析】根據(jù)問卷調查的設計原則，及兩個問題被抽到、手機尾號奇數(shù)、偶數(shù)的概率分別相同，結

合已知估計回答第二個問題的人數(shù)及回答“是”的人數(shù)，即可得結果.

【詳解】由兩個問題被問的概率相等，故約有40人回答了第一個問題，

由手機尾號為奇數(shù)和偶數(shù)的概率相等，故40人中約有20人回答“是”，

根據(jù)有48名業(yè)主回答了“是”，則約有28人在第二個問題中回答“是”，

又第二個問題被問到的人數(shù)同樣約為40人，

故本小區(qū)對物業(yè)滿意服務的百分比大約為姜=70%.

40

故選：D

6.氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天，每天的日均氣溫都不低于22℃”.已知甲，乙，

丙，丁四個地區(qū)某連續(xù)5天日均氣溫的數(shù)據(jù)特征如下：

甲地中位數(shù)為27℃,平均數(shù)為26℃.

乙地第60百分位數(shù)為24℃,眾數(shù)為22℃.

丙地最高氣溫為31C,平均數(shù)為25C,標準差為3c.

丁地下四分位數(shù)為23℃,上四分位數(shù)為28C,極差為7℃.

則可以肯定進入夏季的地區(qū)是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

【答案】C

【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)及極差的定義舉出反例即可判斷甲乙丁三地，根據(jù)標準差

利用反證法即可判斷丙地.

【詳解】對于甲地，中位數(shù)為27C,平均數(shù)為26℃,

若5天氣溫的數(shù)據(jù)為21,26,27,28,28,則甲地沒有進入夏季；

對于乙地，第60百分位數(shù)為24C,眾數(shù)為22℃,

5x60%=3,則第60百分位數(shù)為第三個數(shù)與第四個數(shù)的平均數(shù)，

若5天氣溫的數(shù)據(jù)為21,22,22,26,27,則乙地沒有進入夏季；

對于丙地，最高氣溫為31C,平均數(shù)為25℃,標準差為3C,

設前面四個數(shù)據(jù)為多,々,馬戶4（玉Sx2<x3<x4）,

則［［（芭-25/+（￡-25）2+（$-25/+（匕_25）2+（31-25）2］=32,

故25）2+（/-25）2+（￡-25）2+（z-25）2=9,

所以&-25）249,

若玉<22,則@-25）2>9,這與（國-25）^9矛盾，

所以224占〈zVXjWz,所以丙地肯定進入夏季；

對于丁地，下四分位數(shù)為23℃,上四分位數(shù)為28℃,極差為7℃,

15.315

*5X4=4,5X4=T，

得下四分位數(shù)為按從小到大排列得第2個數(shù)據(jù)，上四分位數(shù)為按從小到大排列得第4個數(shù)據(jù)，

若5天氣溫的數(shù)據(jù)為21,23,22,28,28,則丁地沒有進入夏季.

故選：C.

7.在棱長為1的正方體力8co-44G4中，動點尸在棱4A上，動點。在線段上、若

4P=42。=〃，則三棱錐。-/尸。的體積（）

A.與義無關，與〃有關B.與2有關，與〃無關

C.與九H都有關D.與都無關

【答案】D

［分析】根據(jù)//44得出//平面ABQD,,所以點P到平面/5CQ的距離也即/￡到平面

48aq的距離，得到點P到平面N0A的距離為定值，而底面的面積也是定值，并補隨8。的

變化而變化，進而得到答案.

【詳解】因為/BCD—44GA為正方體，所以G2〃44

因為CQu平面Z8G2，/￡</平面/86口，所以/￡//平面X8G2,

所以點尸到平面4BCR的距離也即4用到平面ABCR的距離，也即點p到平面AQDi的距離不隨

4P=2的變化而變化，設點P到平面/QA的距離為力，過點4作4尸_L/。，根據(jù)正方體的特征可

知：481平面ZOR4,因為4尸u平面力所以AB^AD^A,所以/尸_1,平面

4BCR,則有力=4/=正，

2

因為GA///8且CQ=/6,所以四邊形/8GR為平行四邊形，所以BCJ/4Q,

所以點。到的距離也即8a到力。的距離，且距離為1,所以5，。。=1、42、1=正（定值），

所以^D,-APO=Vp_D、AO=,力=!X^-X^-=—（定值），

Aq-Ar^Jr—U\A\>3A3226

則三棱錐2-NP。的體積不隨力與〃的變化而變化，也即與與義,〃都無關.

故選：D.

8.在四面體N8CD中，“8C與△38都是邊長為6的等邊三角形，且二面角4-8C-D的大小為

60°,則四面體N88外接球的表面積是（）

A.52兀B.54兀C.56兀D.607r

【答案】A

【分析】三棱錐的外心必定在過一個三角形的外心與這個三角形所成的面垂直的垂線上，從而確定

球心的位置，結合題意，利用幾何關系求出外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，取5c的中點。，連接。。,。力，分別取△BCD和U8C的外心E與尸，

過兩點分別作平面BDC和平面ABC的垂線，交于點P,

則P就是外接球的球心，連接

則NAOD為二面角A-BD-C的平面角，即ZAOD=60，

則△/OQ是等邊三角形，其邊長為6x也=36，0E=g0D="&S,

233

在APOE中，NPOE=30°,所以PE=OEtan30°=百x[=l,

又由DE=]OD=26,所以PD=R=JPE2+CEZ=小、（2由丫=715,

所以四面體N8C。的外接球的表面積為4兀斤=4兀x（JB）2=527t.

二、多選題

9.下列說法不合理的是（）

A.拋擲一枚質地均勻的骰子，點數(shù)為6的概率是9，意即每擲6次就有一次擲得點數(shù)6.

B.拋擲一枚硬幣，試驗200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率.

C.某地氣象局預報說，明天本地下雨的概率為80%,是指明天本地有80%的區(qū)域下雨.

D.隨機事件48中至少有一個發(fā)生的概率一定比4,8中恰有一個發(fā)生的概率大.

【答案】ACD

【分析】在A中，意即每擲6次就可能有一次擲得點數(shù)6,故A錯誤；

在B中，試驗200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得到的頻率更接近概率，故B正確；

在C中，是指明天本地有80%的可能性會下雨，故C錯誤；

在D中，可以舉例說明D錯誤.

【詳解】解：在A中，拋擲一枚質地均勻的骰子，點數(shù)為6的概率是:，意即每擲6次就可能有一

次擲得點數(shù)6,故A錯誤；

在B中，拋擲一枚硬幣，由概率的定義得：試驗200次出現(xiàn)正面的頻率不一定比100次得

到的頻率更接近概率，故B正確；

在C中，某地氣象局預報說，明天本地下雨的概率為80%,是指明天本地有80%的可能性

會下雨，故C錯誤；

在D中，隨機事件A,8中至少有一個發(fā)生的概率不一定比A,8中恰有一個發(fā)生的概率

大，如/=擲一枚骰子一次，向上的點數(shù)是偶數(shù)，8=擲一枚骰子一次，向上的點數(shù)是奇數(shù)，

則/,8中至少有一個發(fā)生的概率的概率是1,A,8中恰有一個發(fā)生的概率也是1,故D錯誤.

故選：ACD.

10.在“5C中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c,下列命題正確的是（）

'————、

A.若+=BC=0,則“8C為直角三角形

B.若A>8,則sin/>sin3

C.若b=3,a=4,B=30。，則此三角形有兩解

D.若sin2/=sin28,則為等腰三角形

【答案】BC

【分析】A根據(jù)向量的幾何意義易知A的角平分線與5c邊垂直，即可判斷；B由正弦定理及大邊對

大角即可判斷；C利用正弦定理判斷形狀；D由已知得24=28或2/+28=兀，即可判斷形狀.

__^45AC

【詳解】A：由國，同［分別表示刀，衣上的單位向量，則同+同在A的角平分線上，

故A的角平分線與8c邊垂直，即為等腰三角形，錯誤；

B：由大角對大邊，則a大于b,且=b方,故sin/>sin8,正確；

smAsinB

C：由asin8=2<6=3<a=4,故此三角形有兩解，正確；

D：由sin24=sin28,而48e（0,7t）,則2/=28或2/+28=兀，

7T

所以4=8或4+8=與，故A8C為等腰三角形或直角三角形，錯誤.

2

故選：BC

11.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)%,一組樣本乙的數(shù)據(jù)2玉+1,其中斗。=1,2,3,4,5,6,7,8）為不完全相等的

正數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差

B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

C.若樣本甲的中位數(shù)是小，則樣本乙的中位數(shù)是2m+1

D.若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2〃+1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)統(tǒng)計中的相關概念和性質運算求解.

【詳解】不妨設樣本甲的數(shù)據(jù)為0＜國4々＜…（演，且再＜五,

則樣本乙的數(shù)據(jù)為2國+142々+14--424+1,且2再+1＜2/+1,

對于選項A：樣本甲的極差為4-斗＞0,樣本乙的極差（2xg+1）-（2演+1）=2（夫-%），

因為2（x$-%）=工3-X]＞0,即2（/—不）＞/-玉，

所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；

對于選項B：記樣本甲的方差為吊＞0,則樣本乙的方差為4*,

因為4s手-s金=3$3＞0,即4sj＞*,

所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯誤；

對于選項C：因為樣本甲的中位數(shù)是巾=嚀玉，

則樣本乙的中位數(shù)是"=（2%+"（2%+1）=%+干+[=2加+1,故C正確；

對于選項D：若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2〃+1,故D正確；

故選：ACD.

12.如圖所示，圓錐PO中，P。為高，為底面圓的直徑，圓錐的軸截面是面積等于4的等腰直

角三角形，C為母線總的中點，點收為底面上的動點，且點。在直線尸M上的射影

為H.當點“運動時，下列結論正確的是（）

4

A.三棱錐尸-8CW體積的最大值為:B.線段尸8長度是線段CM長度的兩倍

C.直線C4一定與直線以垂直D.H點的軌跡長度為近兀

【答案】BCD

【分析】設圓錐的底面半徑為R，高為h,母線長為/,求得/=2&和R=。=2,得到點M到平面ABC

距離的最大值為go/=i,結合S.PBC=；S.哂,可判定A錯誤；證得4”，尸M,得到在直角

中，CM的長度是尸/的長度的一半，可判定B正確；由ZM_L。，，和0/71",證得尸41CH恒

成立，可判定C正確；證得得到，點的軌跡為以0C為直徑的圓，可判定D正確.

【詳解】設圓錐的底面半徑為R,高為人母線長為/,

因為圓錐的軸截面為面積等于4的等腰直角三角形，則其面積S=；尸4尸8=；尸=4,解得/=20,

所以R=〃=2.

對于A中，如圖所示，由可知，點A/在以04為直徑的圓上，半徑為1,

因為。4=尺=2,所以點收到平面Z8C距離的最大值為:0/1=1.

又因為=；'4=2,故三棱錐的體積即為三棱錐"-PBC體積，

故體積最大值為:x2x1=：,所以A錯誤；

對于B中，由平面/Mu平面所以4W_LPO,

又由ZA/_LQW,且OA/n尸。=。，所以4M」平面P0M,所以

所以在直角三角形4M8中，CM的長度是P/的長度的一半，即為線段P8的長度的一半，所以B正

確；

對于C中，因為4Vf1平面POA/,且OHu平面尸QM,則

又因為。〃1PM,且PA/n/A/=〃，則O，_L平面以M,

因為P/u平面則

由是等腰直角三角形，可得尸0=04,即AP04為等腰三角形，

連接0C,因為C為4的中點，故P/10C,

又因為O〃cOC=O,則尸/J.平面CWC,CHu平面OHC,所以尸N_LC〃恒成立，所以C正確；

對于D中，由C項可知PN_L平面O，C,又由OaJ?平面RM/,且”Cu平面以M,

所以。HLHC,過點C且與4垂直的平面僅有一個，則，點的軌跡為以0C為直徑的圓，因為

OC=；PA=g,則，點形成的軌跡周長為血兀，所以D正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.已知復數(shù)z滿足慟=1,貝牛―2-5i|的取值范圍為.

【答案】[2,4]

【分析】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，轉化為點化石）到圓心的距離加半徑可得最大值，減半徑可得最

小值即可.

【詳解】上|=1表示z對應的點是單位圓上的點，

卜-2-網(wǎng)的幾何意義表示單位圓上的點和僅⑹之間的距離，

卜-2-6i|的取值范圍轉化為點（2,右）到圓心的距離加上半徑可得最大值，

減去半徑可得最小值，

所以最大距離為j4+5+l=4，最小星巨離為j4+5-l=2,

所以卜-2的取值范圍為[2,4].

故答案為：[2,4].

14.一顆正方體骰子，其六個面上的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6,將這顆骰子拋擲三次，觀察向

上的點數(shù)，則三次點數(shù)之和等于16的概率為.

【答案】』

【分析】分別寫出基本事件的總數(shù)，以及滿足條件的基本事件的個數(shù)，從而得解.

【詳解】由題意，將這顆骰子連續(xù)拋擲三次，三次向上的點數(shù)一共有6,種情況，

滿足三次點數(shù)之和等于16的有：664,646,466,556,565,655,共6種結果，

所以三次點數(shù)之和等于16的概率為

故答案為：

36

15.在A/8C中，/C=2/8=4,N8/1C=6O。.若點。在邊8c上，且滿足器=g，則.

【答案】述

33

―2—-1—.

【分析】根據(jù)向量加減、數(shù)乘的幾何意義得+再應用向量數(shù)量積的運算律求模長,

33

即可得結果.

————1——.|——2—I—

【詳解】由+TB+-AC,

3333

所以力之，稻+±詬.k+1?就,=1X44--X2X4XCOS600+-X16=—,

9999999

故I而1=殍.

故答案為：逑

3

16.同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件/表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件8表示“紅色

骰子的點數(shù)是偶數(shù)“，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件。表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)

①“與C互斥②8與。對立③/與。相互獨立④8與C相互獨立

則上述說法中正確的為.

【答案】①④

【分析】列舉出所有可能組合，根據(jù)各事件的描述列出對應的組合，結合互斥、對立、獨立事件的

定義或性質判斷事件間的關系即可.

【詳解】若(x,y)表示(紅，藍)的點數(shù)組合，則所有可能組合有：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).

事件/的組合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種;

事件B的組合有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共18種；

事件。的組合有(L1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6種；

事件。的組合有0,1),。,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,件(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共27種；

事件力。的組合有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故P(AD)=1；

事件BC的組合有(2,2),(4,4),(6,6),故P(BC)=*；

1113

綜上，4與?；コ?，8與。不對立，。(4)=77，P(B)\,P(C)=-,P(Z))=-,

9264

所以尸(40*尸(4)P(￡>),尸(5C)=P(5)P(C).［與。不相互獨立、8與C相互獨立.

故答案為：①④

17.在矩形N8CD中，BC=2AB=4,沿NC將—8C折起，當二面角為直二面角時，異

面直線AB與CD所成角的余弦值為.

【答案】1/0.2

【分析】沿/C將“8C折起后B位置為8',根據(jù)題設條件易知所求角為n8勿8或其補角，作

4

B，E;C于E,連接根據(jù)直二面角證3'E，BE,求得B，E飛,最后應用余弦定理求異

面直線夾角余弦值.

【詳解】沿/C將以18c折起后B位置為*,且48CD為矩形，貝!|H8〃CZ),

所以異面直線AB與CD所成角，即為N8'與CD所成角AB'AB或其補角,

作于E,連接B'B,BE,顯然B'E=8E,

由二面角B-4C-。為直二面角，即面8'ZC_L面創(chuàng)C,面8'ZCc面氏4c=/C,

B'Eu面BZC,則5'￡_L面8NC,而8Eu面8/C,故9E_L8E,

B'A-B'C2x4_4

由BC=248=4,J@LAB'1B'C,故/C=2VF則B'E-

AC~2正-75

所以B?=B，E2+BE2=M，又B，A=BA=2,

32

4+4-

則BN?+BT一B的y

cosZBrAB=L

2&ABA2x2x25

故答案為：—

四、雙空題

18.傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好

與圓柱的高相等，如圖是一個圓柱容球，0、Q為圓柱兩個底面的圓心，。為球心，族為底面圓。

的一條直徑，若球的半徑R=2,則

E

①平面OEF截得球的截面面積最小值為；

②若P為球面和圓柱側面的交線上一點，則PE+PF的取值范圍為

【答案】野《萬[275+2,473]

【分析】過點。在平面/BCD內(nèi)作。GJ_OQ,垂足為點G,分析可知當OG1平面。E/時，截面圓

的半徑最小，求出截面圓的半徑，結合圓的面積公式可求平面。E尸截得球的截面面積最小值；利設

P在底面的射影為P，，設令P，尸=8-1,則尸'爐=8+/,其中-84”8,可得出

PE+PF=yll2+t+Y12T，利用平方法和二次函數(shù)的基本性質求出PE+P尸的取值范圍，可得

PE+尸尸的取值范圍.

【詳解】過點。在平面488內(nèi)作。G，。。一垂足為點G,如下圖所示:

由勾股定理可得。?。==275,

1OtO20.D14x22工

則由題可得。G=彳x'--=-x—i==--

2O.D22V55

設。到平面DE尸的距離為4,平面。川截得球的截面圓的半徑為｛,

因為。Qu平面。底尸，當平面。E/叩寸，4取最大值0G,即44。6=半

所以，4=

所以平面。E尸截得球的截面面積最小值為兀x[于J=手；

由題可知點P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設P在底面的射影為P，

則PP'=2,PE=>J22+P'E2=y/4+P'E2，PF=722+P'F2=y/4+P'F2>

由勾股定理可得尸的+p尸2=]6,令pp=8-t,則勾序=8+八其中-84埋8,

所以，PE+PF=dl2+t+dl2-t，

所以，(PE+PF?=(J12+f+V12-r)：=24+2川44-1e[24+875,48],

因此，P￡+PFe[2V5+2,4V3].

故答案為：詈；[2亡+2,4石].

【點睛】思路點睛：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形,

明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖.

五、解答題

19.如圖，四棱錐尸-Z8CD中，底面N8C。為矩形，P4J_平面N8C。，E為PD的中點.

(1)證明：PB〃平面4EC；

(2)設直線PB與底面/BCO所成角的正切值為：，AP=\,力3=百，求直線PC與平面AW所成角

的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位線得線線平行，再證線面平行即可；

（2）根據(jù)線面夾角的定義及已知可求得長，再根據(jù)線面垂直判定直線PC與平面尸/。所成角即

ZCPD,解三角形即可.

【詳解】（1）連接5。，記/Cn8O=O,

?.?E為PO中點，。為8。中點，EO//PB,

又EOu平面4EC,尸8<2平面NEC,.?.&//平面ZEC；

（2）因為P/_L平面/8CZ）,所以NP34即為直線PB與平面力88所成線面角，tanZPBA,

AB3

3

則48=2.

2

因為矩形/8C。中N￡）=6，所以/CMJ/F+W=畫.

2

因為P/_L平面/8C。，/Cu平面/8C。，所以P/_L/C,

計算可得PC=ylAP2+AC2=-.

2

又P4工CD,CDLAD,PAc\AD=A,4、/。匚平面均。，所以。。_1_面產(chǎn)力。，

CD3

所以ACPD即為直線PC與平面PAD所成線面角，解得sinNCPD=^=|.

20.在銳角中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若/+。2一"=4,6=2.

（1）求角B的大??；

（2）求且的取值范圍.

C

【答案】（1）8=1

【分析】（1）利用余弦定理即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結論及三角的內(nèi)角和定理，利用正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，結合銳

角三角形求出角的范圍及正切函數(shù)的性質即可求解.

【詳解】（1）由/+°2一"=4及余弦定理，得cos8二廠+"4=],,

lac2

TT

由銳角—5C,知0<8<5，

所以8

(2)由(1)知8=J,^A+C=—,故4=^-C,

333

(27r27r2兀

由正弦定理，一=$,得asin/SmlT-CJcosC-cossinC不1，

sinAsinC—=-------=——-----------=---------------------------------=---------1--

csinCsinCsinC2tanC2

7T

0<C<~,

7TTTT

由“BC為銳角三角形得c解得2<c<g,

八2?！肛?2

0<------C<—,

32

故（的取值范圍為2）.

21.如圖，在四棱錐尸-Z8CZ）中，底面/8CO是菱形，ZABC=60O,AB=2,ACHBD=O,PO1

底面A8CZ),PO=2,點E在棱PD上,S.CE1PD.

（1）證明：平面PB￡>_L平面ZCE；

（2）求二面角P-AC-E的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵粵

【分析】（1）法一：由已知可推導出PO_L/C,AC1BD,利用線面垂直的判定定理可證為<7_1平

面PBD,由此能證明平面尸5O_L平面4CE；法二：以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系，利

用向量法能證明平面尸8。，平面力CE.

（2）法一：由題意可推出CE在平面尸8。內(nèi)的射影為OE,NPOE是二面角尸-4C-E的平面角，

由此能求出二面角P-4C-E的余弦值；法二：求出平面BIC的一個法向量和平面/CE的一個法向

量，利用向量法能求出二面角尸-4C-E的余弦值.

【詳解】（1）解法一：

證明：：PO_L平面/8C。，.?.PO_L/C,

又底面/8C。是菱形，.1/C，80,

而8。［1尸。=。，BO,POu平面尸80,

.:NC1平面PBD,

而/Cu平面/CE,

所以平面尸8。！.平面ZCE.

解法二：

證明：已知底面Z8CD是菱形，.?.4C_L8D,

又P01平面48a）,所以80,CO,PO互相垂直，

故可以以點。為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

由N8=2,AABC=60a,可知相關點坐標如下：

以0,0,2）,8（百,0,0）,￡＞（-73,0,0）,Z（0,-l,0）,C（0,l,0）,

易知平面尸8。的一個法向量為7=（0,1,0）,

因為％=（0,2,0）,所以就江，

故/C_L平面PBD,

從而平面PB。_L平面ACE.

（2）解法一：

觀察圖可知平面/CECI平面PBD=OE,

故CE在面PBD內(nèi)的射影為OE,

?:CELPD,OEVPD,

又由(1)可得，AC1OE,ACLOP,

故/POE是二面角尸-/IC-E的平面角,

菱形中，AB=2,ZABC=60*.

BD=273,。。=6

又尸。=2,；.PD="+(可=班,

：巫=卑=巫

幣7

np

cosNPOE=——

OP

即二面角P-/C-E的余弦值為巨.

7

解法■,：

'^PE=AED)則E

—?—3244

?:CELPD,：.CEPD=---------------=0,故2=—，

1+41+43

半。外

可得E

易知平面PAC的一個法向量為Z=。,0,0),

設平面ACE的一個法向量u=(x,y,z),

v-AC=2y=0

則:一6，取z=2,得u=(6,0,2),

77

..cos(W,v)=-^==—)

即二面角P-AC-E的余弦值為亙.

7

22.某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦

了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分(95分及以上為認知程度高)，結果認知程度高的有20人,

按年齡分成5組，其中第一組：［20,25),第二組：［25,30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),

第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；

(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和g,第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差

分別為43和1,求這20人中35?45歲所有人的年齡的方差.

【答案】(1)32.25,第80百分位數(shù)為37.5

⑵10

【分析】(1)直接根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)和百分位數(shù)；

(2)利用分層抽樣得第四組和第五組分別抽取4人和2人，進而設第四組、第五組的宣傳使者的年

齡的平均數(shù)分別為工，"，方差分別為s；,第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為-

方差為S2,進而根據(jù)方差公式，代入計算即可得答案.

【詳解】(1)設這20人的平均年齡為"則

x=22.5x0.05+27.5x0.35+32.5x0.3+37.5x0.2+42.5x0.1=32.25.

設第80百分位數(shù)為由5x0.02+(40-4)x0.04=0.2,解得a=37.5.

(2)由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為1:7:6:4:2,

故各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取4人和2人，

設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為工，x5