福建省莆田市湄洲中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

福建省莆田市湄洲中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于(

)A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】條件已提供了首項(xiàng)，故用“a1，d”法，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)解得．【解答】解：設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn取最小值．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力．2.對(duì)于非零向量，定義運(yùn)算“”：，其中為的夾角，有兩兩不共線的三個(gè)向量，下列結(jié)論正確的是

(

）A．若，則

B．C．

D．參考答案：D3.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是(

)

A．

B．

C．

D．0參考答案：B設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則由，所以，所以點(diǎn)（1,0）到直線的距離最短，最短距離為。4.在中，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的離心率

(

)

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)等于（

）A．1+2i

B．1－2i

C．1+3i

D．－1－3i參考答案：A∴z的共軛復(fù)數(shù)，故選：A

6.在數(shù)列中，等于

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C略7.已知a為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則a=（

）A．－4

B．－2

C．4

D．2參考答案：D因?yàn)?，令，，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以．故選D．8.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.給出命題：若方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示橢圓，則mn＞0．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：B【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷原命題的真假，從而求出逆否命題的真假，求出逆命題的真假，從而判斷出否命題的真假即可．【解答】解：若方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示橢圓，則m＞0，n＞0，故mn＞0，故原命題是真命題，逆否命題是真命題，若mn＞0，則方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示橢圓，是假命題，故否命題是假命題，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)，分別為雙曲線的焦點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的漸近線方程為___________．參考答案：將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，∴，，，∴離心率．12.直線x﹣+1=0被圓x2+y2﹣2x﹣3=0所截得的弦長(zhǎng)為．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；直線與圓．分析：由圓的方程求出圓心和半徑，求出圓心到直線x﹣+1=0的距離d的值，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)．解答：解：圓x2+y2﹣2x﹣3=0，即（x﹣1）2+y2=4，表示以C（1，0）為圓心，半徑等于2的圓．由于圓心到直線x﹣+1=0的距離為d==1，故弦長(zhǎng)為2=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．13.，則

．參考答案：201214.已知，則=

▲

.參考答案：28

15.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是

．參考答案：略16.（5分）設(shè)n為奇數(shù)，則除以9的余數(shù)為．參考答案：由于n為奇數(shù)，=（1+7）n﹣1=（9﹣1）n﹣1=+++…++﹣1，顯然，除了最后2項(xiàng)外，其余的各項(xiàng)都能被9整除，故此式除以9的余數(shù)即最后2項(xiàng)除以9的余數(shù)．而最后2項(xiàng)的和為﹣2，它除以9的余數(shù)為7，故答案為7．所給的式子即（9﹣1）n﹣1的展開式，除了最后2項(xiàng)外，其余的各項(xiàng)都能被9整除，故此式除以9的余數(shù)即最后2項(xiàng)除以9的余數(shù)．17.若x=1是函數(shù)f(x)=(x2+ax－5)ex的極值點(diǎn)，則f(x)在[－2,2]上的最小值為______.參考答案：－3e【分析】先對(duì)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)可解得a的值，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出區(qū)間上的最小值?！驹斀狻浚瑒t，解得，所以，則.令，得或；令，得.所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以.【點(diǎn)睛】本題考查由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的最小值，解題關(guān)鍵是由求出未知量a。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD中點(diǎn).（1）求證：直線AF∥平面PEC；（2）求PC與平面PAB所成角的正弦值.參考答案：(1)見解析.(2).試題分析：（1）作交于根據(jù)條件可證得為平行四邊形，從而根據(jù)線面平行的判定，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件中的數(shù)據(jù)可求得平面平面PAB的一個(gè)法向量為，從而問題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為求與的夾角．試題解析：（1）作交于，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）∵，∴，如圖所示，建立坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∵，，∴，取，則，∴平面PAB的一個(gè)法向量為，∵，∴設(shè)向量與所成角為，∴，∴平面所成角的正弦值為．考點(diǎn)：1．線面平行的判定；2．空間向量求空間角．19.已知二次函數(shù)的最小值為0，不等式的解集為.(1)求集合；(2)設(shè)集合，若集合是集合的子集，求的取值范圍..參考答案：(1)由二次函數(shù)的最小值是0得：，.所以集合.(2)當(dāng)時(shí)，集合符合題意.當(dāng)時(shí)，集合，∴，∴.綜上的取值范圍是.20.(本小題滿分分)

在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱的中點(diǎn);（I）證明：平面；（II）求三棱錐的體積．參考答案：解：（I）證明：又平面，平面，平面（II）連結(jié)，由（1）得平面，

又，

21.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為BP，BE，PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面FGH∥平面PDE；（Ⅱ）求證：平面FGH⊥平面AEB；（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；平面與平面平行的判定．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位線的性質(zhì)證明FG∥PE，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得結(jié)論．（Ⅱ）先證明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根據(jù)FH∥BC，則FH⊥平面ABE．（Ⅲ）在線段PC上存在一點(diǎn)M，滿足條件．先證明PE=BE，根據(jù)F為PB的中點(diǎn)，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此時(shí)，則△PFM∽△PCB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比列求得PB、PF、PC的值，可得PM的值【解答】證明：（Ⅰ）因?yàn)镕，G分別為BP，BE的中點(diǎn)，所以FG∥PE．又因?yàn)镕G?平面PED，PE?平面PED，所以，F(xiàn)G∥平面PED，同理FH∥BC，又BC∥AD，所以FH∥平面PDE而FG∩FH=F，故平面FGH∥平面PDE（Ⅱ）因?yàn)镋A⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．又因?yàn)镃B⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．由已知F，H分別為線段PB，PC的中點(diǎn)，所以FH∥BC，則FH⊥平面ABE．而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（Ⅲ）在線段PC上存在一點(diǎn)M，使PB⊥平面EFM．證明如下：在直角三角形AEB中，因?yàn)锳E=1，AB=2，所以BE=．在直角梯形EADP中，因?yàn)锳E=1，AD=PD=2，所以PE=，所以PE=BE．又因?yàn)镕為PB的中點(diǎn)，所以EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因?yàn)镃B⊥CD，PD∩CD=D，所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．若PB⊥FM，則△PFM∽△PCB，可得PM：PB=PF：PC．由已知可求得PB=2，PF=，PC=2，所以PM=

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．22.某園藝公司種植了一批名貴樹苗，為了解樹苗的生長(zhǎng)情況，從這批樹苗中隨機(jī)地測(cè)量了50棵樹苗的高度（單位：厘米），并把這些高度列成如下的頻數(shù)分布表：

組別[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]

頻數(shù)

2

4

11

16

13

4（Ⅰ）在這批樹苗中任取一棵，其高度在80厘米以上的概率大約是多少？這批樹苗的平均高度大約是多少？（Ⅱ）為了進(jìn)一步獲得研究資料，標(biāo)記[40，50）組中的樹苗為A，B，[90，100]組中的樹苗為C，D，E，F(xiàn)，現(xiàn)從[40，50）組中移出一棵樹苗，從[90，100]組中移出兩棵樹苗，進(jìn)行試驗(yàn)研究，則[40，50）組的樹苗A和[90，100]組的樹苗C同時(shí)被移出的概率是多少？參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由頻率分布表可得高度不低于80厘米的頻數(shù)，進(jìn)而由等可能事件的概率公式，計(jì)算可得答案；（Ⅱ）設(shè)[40，50）組中的樹苗為A