北京勁松職業(yè)高級中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

北京勁松職業(yè)高級中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.用反證法證明命題：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除”時，假設應為（）A．a(chǎn)，b都能被3整除 B．a(chǎn)，b都不能被3整除C．a(chǎn)，b不都能被3整除 D．a(chǎn)不能被3整除參考答案：B【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】“a，b中至少有一個能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故應假設a，b都不能被3整除．【解答】解：反證法證明命題時，應假設命題的反面成立．“a，b中至少有一個能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故應假設a，b都不能被3整除，故選B．2.已知等比數(shù)列的前項和為，前項和為，則它的公比（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.在下列各數(shù)中，最大的數(shù)是（

）A．

B．C、

D．參考答案：B4.用數(shù)學歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數(shù)是（

）A.項 B.項 C.項 D.項參考答案：D【分析】分別寫出當，和時，左邊的式子，分別得到其項數(shù)，進而可得出結果.【詳解】當時，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項；當時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數(shù)是項.故選D【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，熟記數(shù)學歸納法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.5.雙曲線的離心率(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知A=，a=，b=1，則c=(

)A．1 B．2 C．﹣1 D．參考答案：B【考點】正弦定理的應用；余弦定理的應用．【專題】計算題．【分析】方法一：可根據(jù)余弦定理直接求，但要注意邊一定大于0；方法二：可根據(jù)正弦定理求出sinB，進而求出c，要注意判斷角的范圍．【解答】解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．解法二：（正弦定理）由=，得：=，∴sinB=，∵b＜a，∴B=，從而C=，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用．在解三角形時一般就用這兩個定理，要熟練掌握．7.已知點A（1，3）和拋物線y2=4x，點P在拋物線上移動，P在y軸上的射影為Q，則|PQ|+|PA|的最小值是(

)A.1+

B.2+

C.3

D.2參考答案：D8.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．10π+96 B．9π+96 C．8π+96 D．9π+80參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知幾何體為一個正方體和一個圓柱的組合體，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)求出正方體表面積和圓柱的側面積相加可得答案．【解答】解：由三視圖知幾何體為一個正方體與一個圓柱的組合體，其中圓柱的直徑為2，高為4，S側面積=2π×1×4=8π，S圓柱上表面積=S圓柱下表面積=π，正方體的邊長為4，S正方體=6×42=96，∴幾何體的表面積S=9π+96﹣π=8π+96．故選：C．9.若函數(shù)f（x）=，則f（f（e））（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）=（）A．0 B．1 C．2 D．eln2參考答案：C【考點】函數(shù)的值．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，求出函數(shù)值即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，∴f（e）=lne=1，∴f（f（e））=f（1）=21=2．故選：C．【點評】本題考查了分段函數(shù)的求值問題，是基礎題目．10.已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：），可得這個幾何體的體積是

(

)（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，有，…，根據(jù)以上規(guī)律，則函數(shù)的極小值之積為

.參考答案：

12.為圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為_______.參考答案：

解析：13.圓上的點到直線的距離的最大值與最小值的和為___________．參考答案：略14.若，則

參考答案：

15.直線x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夾角為，則a的值為．參考答案：2±【考點】IV：兩直線的夾角與到角問題．【分析】先求出兩條直線的斜率，再利用兩條直線的夾角公式求得a的值．【解答】解：直線x+y﹣2=0的斜率為﹣1，和ax﹣y+1=0的斜率為a，直線x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夾角為，∴tan==||，求得a==2﹣，或a==2+，故答案為：2±．16.《中國詩詞大會》節(jié)目組決定把《將進酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場，并要求《將進酒》與《望岳》相鄰，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有

種.（用數(shù)字作答）

參考答案：36根據(jù)題意，分2步分析：①將《將進酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進行全排列，共有種排法，②再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個空里（最后一個空不排），有種排法，則后六場的排法有=36（種）.

17.若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+3y的最大值為．參考答案：1【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；不等式的解法及應用．【分析】作出可行域，變形目標函數(shù)，平移直線y=﹣x數(shù)形結合可得結論．【解答】解：作出約束條件所對應的可行域（如圖陰影），變形目標函數(shù)可得y=﹣x+z，平移直線y=﹣x可知，當直線經(jīng)過點A（4，﹣1）時，目標函數(shù)取最大值，代值計算可得z的最大值為：2×4﹣3=1，故答案為：1．【點評】本題考查簡單線性規(guī)劃，準確作圖是解決問題的關鍵，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題12分）已知長方形,.以的中點為原點建立如圖1所示的平面直角坐標系.(1)求以為焦點，且過兩點的橢圓的標準方程;(2)過點的直線交(1)中橢圓于兩點,使得以弦為直徑的圓恰好過原點,求直線的方程.參考答案：解:(1)由題意可得點A,B,C的坐標分別為.……1分設橢圓的標準方程是.則……4分.橢圓的標準方程是……5分(2)由題意直線的斜率存在,可設直線的方程為.設M,N兩點的坐標分別為聯(lián)立方程:

消去整理得,有

------7分若以MN為直徑的圓恰好過原點,則,所以,

------8分

所以,,即所以,即

-------10分

得

所以直線的方程為,或.------12分19.（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是實數(shù)．（1）若a=﹣，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直線y=g(x)﹣是曲線y=f（x）的一條切線，求實數(shù)a的值；（3）若a＜0，且b﹣a=，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值問題；（2）設出切點坐標，表示出切線方程，得到lnx0﹣x0+1=0，設t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可；（3）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個不同的零點，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）由題意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗↘從上表可知，當x=1時，f（x）取得極大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由題意，直線是曲線y=lnx+ax2的一條切線，設切點，∴切線的斜率為，∴切線的方程為，即，∴…（6分）∴l(xiāng)nx0﹣x0+1=0，設t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，當x∈（0，1）時，t'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此時．

…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（?。┊敥?≤a≤0時，當0＜x＜1時，h'（x）＞0，當x＞1時，h'（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點，…（12分）（ⅱ）當a＜﹣1時，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數(shù)h（x）在（0，1）上不間斷，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上存在零點，另外，當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上只有一個零點，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數(shù)h（x）在（1，+∞）上不間斷，∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上存在零點，另外，當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，故函數(shù)h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上只有一個零點，∴當﹣1≤a≤0時，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點，當a＜﹣1時，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有2個不同的零點，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．

…（16分）【點評】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．20.在平面直角坐標系中，以為極點，軸非負半軸為極軸建立坐標系，已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為:（為參數(shù)），兩曲線相交于兩點.求：（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若求的值.參考答案：21.已知正項等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值，進而求得，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）利用錯位相減求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）正項等比數(shù)列，，；（2），兩式相減可得.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查錯位相減求和法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

22.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5

（1）請在給出的坐標系內(nèi)畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程；（3）已知該廠技