高一數(shù)學(xué)寒假（人教B版 第二冊(cè)）第06講 平面向量初步（教師卷）

第06講平面向量初步【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】平面向量及其線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量稱為向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小稱為向量的模(或大小)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量.(3)單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.(4)平行向量(共線向量)：如果兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個(gè)向量平行.通常規(guī)定零向量與任意向量平行.(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向如下：①當(dāng)λ>0時(shí)，與a的方向相同；②當(dāng)λ<0時(shí)，與a的方向相反.(2)當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0.λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理如果存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)，則b∥a.4.向量模的不等式向量a，b的模與a＋b的模之間滿足不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.向量基本定理與向量的坐標(biāo)1.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，如果c＝xa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線，則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得c＝xa＋yb.2.平面向量的坐標(biāo)一般地，給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量e1，e2，對(duì)于平面內(nèi)的向量a，如果a＝xe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y).3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示假設(shè)平面上兩個(gè)向量a，b滿足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).(2)向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式如果向量a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(3)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x2y1＝x1y2.平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：給定兩個(gè)非零向量a，b，在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則稱[0，π]內(nèi)的∠AOB為向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉.(2)向量的垂直：當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，稱向量a與向量b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量垂直.(3)數(shù)量積的定義：一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時(shí)，稱|a||b|cos〈a，b〉為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)，記作a·b,即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(4)數(shù)量積的幾何意義：①投影向量：設(shè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，過A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A′，B′，則稱向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))__為向量a在直線l上的投影向量或投影.②投影的數(shù)量：一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量與投影的長度有關(guān)，投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù)，也可能是負(fù)數(shù).③兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積a·b，等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.1.兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個(gè)向量.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：平面向量及其線性運(yùn)算1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；②已知向量，則四點(diǎn)必在一直線上；③若，則；④共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】對(duì)于A，單位向量的方向不確定，故起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)不一定相同，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，向量，則四點(diǎn)共線或，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，當(dāng)時(shí)，不一定平行，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若三點(diǎn)共線，則，此時(shí)起點(diǎn)不同，終點(diǎn)相同，故D錯(cuò)誤，故選：A2．如圖所示，已知在中，是邊上的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由于是邊上的中點(diǎn)，則..故選：B.3．在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】在平行四邊形中，，所以．故選：B．考點(diǎn)二：向量基本定理與向量的坐標(biāo)4．已知向量，若，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A．3或 B．或1 C．3或1 D．或【答案】C【詳解】，，則，即解得或3.故選：C.5．已知向量，，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】∵，，∴，∴.故選：C.6．如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）A．-3 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，又,所以.故選：C.考點(diǎn)三：平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用7．向量，，則（

）A． B．C． D．與的夾角為0°【答案】C【詳解】對(duì)于A，，所以與不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以與不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)榕c不平行，所以與的夾角不為0°，故D錯(cuò)誤.故選：C.8．已知是的邊上一點(diǎn)，且，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，則為銳角，由，可得，因?yàn)?，則，則，所以，，則，可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：A.9．如圖所示，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，，設(shè)，（），則，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故選：B【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．已知點(diǎn)、，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，,整理得.故選：A2．如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】在中由向量加法的三角形法則得：，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,所以.在中由向量加法的三角形法則得：又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點(diǎn)，所以所以.故選：B.3．已知平面向量，，若存在實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B．12 C． D．1【答案】D【詳解】由得，，或，∵，∴，從而．故選：D．4．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，解?故選：D.5．已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椴怀^5，所以，解得：，故選：C.6．在中，點(diǎn)D在邊AB的延長線上，，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB的延長線上，，所以，即,所以.又，由平面向量基本定理可得：，.故選：B7．在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DE交AC于F，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)槭荁C的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：D.8．梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E在線段BD上，點(diǎn)F在線段AC上，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，，，．故選：D二、多選題9．已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則【答案】AD【詳解】對(duì)于A，若，則，解得：，A正確；對(duì)于B，若，則，解得：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若向量與向量的夾角為鈍角，則，解得，由上可知，此時(shí)兩向量不共線，D正確.故選：AD.10．在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是與，軸正方向相同的單位向量，對(duì)于直角，若，，則實(shí)數(shù)可能的取值為（

）A．－1 B．2 C．－6 D．【答案】AC【詳解】解：由題可設(shè)，則，，，因?yàn)闉橹苯侨切?，則或或，若，則，解得，若，則，解得，若，則，即，則，無解，故實(shí)數(shù)可能的取值為-1，-6.故選：AC.三、填空題11．已知，若滿足且，則___________.【答案】【詳解】設(shè)，，由于且，所以，解得，所以.故答案為：12．已知點(diǎn)，，，，則向量在方向上的數(shù)量投影為______．【答案】【詳解】，所以向量在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.四、解答題13．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且滿足﹐.設(shè)向量，.(1)用，表示：(2)若，求的值.【答案】(1)(2)(1)；(2)；因?yàn)椋?，因此存在唯一的?shí)數(shù)使得，，即.根據(jù)平面向量基本定理，，解得，因此.14．已知向量，，，．(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．(3)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)且（1）因?yàn)?，，，．?），，，，解得．（3）與的夾角是鈍角，，且，，且，解得且．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點(diǎn)O，M為BO中點(diǎn).設(shè)向量，(1)用，表示(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，BD，AC相交于點(diǎn)O所以，因?yàn)镸為BO中點(diǎn)，（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，由，，，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以，，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為【能力提升】一、單選題1．在中，，分別在，上，且，，，交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，過點(diǎn)作的平行線交于在中，為中位線，又在中，所以故選：A2．已知，若非零向量滿足，則（

）A． B．10 C．3 D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，，則，.故選：A3．已知向量，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)橄蛄浚?故選：B4．在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.設(shè)，則,又，且三點(diǎn)共線，則共線，即，使得，即，又不共線，則有，解得，所以，.故選：D.5．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為；②；③；④向量在向量上的投影向量為（其中是與同向的單位向量）.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榘诉呅螢檎诉呅?，所以，所以與的夾角為，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，顯然不成立，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，所以，，所以，③正確；對(duì)于④，，向量在向量上的投影向量為，④正確，故選：B.二、填空題6．已知為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則為的________心．【答案】重【詳解】如圖，取的中點(diǎn)由．得，又，故，則與共線，又，有公共點(diǎn)，故三點(diǎn)共線，且，因此可得為的重心．故答案為：重.7．在中，點(diǎn)是邊上（不包含頂點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值______.【答案】##【詳解】如圖，可知x，y均為正，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為.