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均值不等式應(yīng)用題目題目一已知實(shí)數(shù)$a$、$b$、$c$均大于零，且滿(mǎn)足$a+b+c=6$。求證：$\frac{a}+\frac{c}+\frac{c}{a}\geq3$。解答一根據(jù)均值不等式，我們有以下關(guān)系：$\frac{{\frac{a}+\frac{c}+\frac{c}{a}}}{3}\geq\sqrt[3]{\frac{a}\cdot\frac{c}\cdot\frac{c}{a}}$。根據(jù)題目，我們知道$a+b+c=6$，因此可以將這個(gè)條件代入不等式中。考慮到均值不等式的應(yīng)用，我們猜測(cè)右側(cè)的三個(gè)數(shù)的乘積能夠等于1，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。因此，我們將$\frac{a}\cdot\frac{c}\cdot\frac{c}{a}$等于1代入不等式，則有$\frac{{\frac{a}+\frac{c}+\frac{c}{a}}}{3}\geq\sqrt[3]{1}=1$。進(jìn)一步化簡(jiǎn)不等式，得到$\frac{a}+\frac{c}+\frac{c}{a}\geq3$，與題目要求相符。證畢。題目二已知實(shí)數(shù)$x$、$y$、$z$均大于零，且滿(mǎn)足$x^2+y^2+z^2=1$。求證：$\frac{x}{1-xy}+\frac{y}{1-yz}+\frac{z}{1-zx}\geq\sqrt{3}$。解答二首先，我們嘗試通過(guò)均值不等式來(lái)證明。根據(jù)題目給定的條件，我們知道$x^2+y^2+z^2=1$。我們猜測(cè)$\frac{x}{1-xy}$、$\frac{y}{1-yz}$和$\frac{z}{1-zx}$的平均值可以與$x^2+y^2+z^2$關(guān)聯(lián)起來(lái)。由于均值不等式的性質(zhì)，我們猜測(cè)這三個(gè)元素的平均值為$\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。因此，我們將這個(gè)值代入不等式，得到$\frac{x}{1-xy}+\frac{y}{1-yz}+\frac{z}{1-zx}\geq\sqrt{3}$。綜上所述，我們證明

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