數(shù)學培優(yōu)競賽新方法(九年級)-第22講-幾何最值

第22講幾何最值知識縱橫幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量〔如線段長度、角度大小、圖形面積等〕的最大值或最小值。求幾何最值問題的根本方式有：1.特殊位置與極端位置法：先考慮特殊位置或極端位置，確定最值的具體數(shù)據(jù)，在進行一般情況下的推證。2.幾何定理〔公理〕法：應用幾何中的不變量性質(zhì)、定理.3.數(shù)行結(jié)合法：揭示問題中變動元素的代數(shù)關系，構(gòu)造一元二次方程、二次函數(shù)等。例題求解【例1】如圖，在銳角中，，，的平分線交于點，點、分別是和上的動點，那么的最小值?！碴兾魇≈锌碱}〕例1例1思路點撥畫折線為直線，綜合運用軸對稱、垂線段最短等知識。【例2】如圖，在中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點C且與AB相切的動圓與CB、CA分別相交于點E、F，那么線段EF的最小值〔〕。A.B.4.75C.5D4.8〔蘭州市中考題〕例2思路點撥設O與AB相切與T，連OC、OT,EF為O直徑，那么EF=OE+OF=OC+OT,將問題轉(zhuǎn)化為求OC+OT的最小值。例2【例3】如圖，正方形的邊長為4cm，點是邊上不與點B、C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設BP的長為cm，CQ的長為cm.求點P在BC上運動的過程中y的最大值；當cm時，求的值.〔河南省中考題〕思路點撥利用相似形建立與的函數(shù)關系式，由此導出的最大值例3例3【例4】如圖，平行四邊形ABCD，AB=a，BC=b〔a>b〕,P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于Q，求AP=BQ的最小值.〔永州市競賽題〕思路點撥設AP=x，把AP、BQ分別用x的代數(shù)式表示，運用不等式或〔當且僅當a=b時取等號〕來求最小值.例4例4例5【例5】如圖，在四邊形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC、AD的延長線交于P，求AB·S△PAB的最小值.例5圖形折疊【例6】在等腰中，==5，=6.動點、分別在兩腰、上〔M不與A、B重合，N不與A、C重合〕，且MN//BC，將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P.當為何值時，點恰好落在上？〔2〕設，與等腰重疊局部的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關系式.當x為何值時，y的值最大，最大值是多少？.〔2011年寧夏中考題〕例6例6學力訓練根底夯實如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長為6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，那么PM+PN的最小值是_______。第1題〔荊門市中考題〕第1題如圖，將兩張長為8、寬為2的矩形紙條交叉，使重疊局部是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值，那么菱形周長的最大值是________。第2題〔煙臺市中考題〕第2題動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如下圖，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A處，折痕為PQ．當點A在BC邊上移動時，折疊的端點P、Q也隨之移動。假設限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，那么點A’在BC邊上可移動的最大距離為_______。〔河南省中考題〕第3題第3題4．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,AD=DC=4，BC=8。點N在上，CN=2,E是AB中點，在AC上找一點M，使EM+MN的值最小，此時最小值一定等于〔〕。A.6B.8C.4D.第4題〔呼和浩特市中考題〕第4題5．如圖，在等腰中，，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、邊上運動，且保持AD=CE，連接DE、DF、EF.在此運動變化的過程中，以下結(jié)論：①△DEF是等腰三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③DE長度的最小值為4；④四邊形CDFE的面積保持不變；⑤△CDE面積的最大值為8.其中正確的結(jié)論是〔〕。A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤第5題〔重慶市中考題〕第5題6．如圖，A(-3,0)，b(0,-4)，P為雙曲線〔〕上任意一點，過P作PC⊥X軸于C點，PD⊥Y軸于D點，那么四邊形ABCD面積的最小值為〔〕。A.22B.23C.24D.26第6題〔杭州市中考題〕第6題如圖，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P，BC：CA=4：3，點P在半圓弧AB上運動〔不與A、B重合〕，過C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．

〔1〕求證：AC?CD=PC?BC；

〔2〕當點P運動到AB弧中點時，求CD的長；

〔3〕當點P運動到什么位置時，△PCD的面積最大？并求這個最大面積S．〔荊門市中考題〕第7題第7題8.工程師有一塊長AD為12分米，寬AB為8分米的鐵板，截去了長AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五邊形中結(jié)的矩形MGCH，M必須在線段EF上．

〔1〕假設截得矩形MGCH的面積為70平方分米，求矩形MGCH的長和寬．

〔2〕當EM為多少時，矩形MGCH的面積最大？并求此時矩形的周長．〔鄂州市中考題〕第8題第8題能力拓展9．如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4，BC=3，P為AB上一動點，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，那么線段EF長度的最小值是___________。第9題〔“新知杯”上海市競賽題〕第9題10．如圖，邊長為2的正三角形ABC，兩頂點A，B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，那么OC長的最大值是_______________。第10題〔濰坊市中考題〕第10題11．如圖，矩形ABCD中，AB=12，AD=3，E、F分別為AB、DC上的兩個動點，那么AF+FE+EC的最小值為________。〔四川省競賽題〕第11題第11題12．凸四邊形ABCD中，AB+AC+CD=16，那么AC=______、BD=________時，四邊形ABCD面積最大，最大值是_______?！驳诰艑谩叭A杯賽”試題〕13．△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，角A=60°，BC=2根號3，那么r的取值范圍是______?！驳?3題〕〔第19屆江蘇省競賽題〕〔第13題〕14．如圖，△ABC的面積為1，點D、G、E和F分別在邊AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．那么梯形DEFG面積的最大可能值為__________。第14題〔上海市競賽題〕第14題15．如圖，∠MON=40°，P是∠MON中的一定點，點A、B分別在射線OM、ON上移動，當△PAB周長最小時，求∠APB的的值為〔〕A.80°B.100°C.120°D.140°第15題〔武漢市競賽題〕第15題16．直線被以為圓心、為半徑的圓所截的最短弦長為〔〕A.B.C.D.〔2011年武漢市中考題〕17．如圖.y的正半軸上有兩點A(0，a)，B〔0，b〕，其中b>a>0，在x軸正半軸上取點C，使角ACB最大，求C坐標.〔河北省競賽題〕18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點M、N分別在BC、CD上，使得△CMN的周長為2.求：〔1〕∠MAN的大小；

〔2〕△MAN面積的最小值．第18題〔“宇振杯”上海市競賽題〕第18題綜合創(chuàng)新19．如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點．思考如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間〔包括AB，CD〕，其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設∠MOP=α．當α=度時，點P到CD的距離最小，最小值為．探究一在圖1的根底上，以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=度，此時點N到CD的距離是．探究二將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)．〔1〕如圖3，當α=60°時，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；〔2〕如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定α的取值范圍．(參考數(shù)據(jù)：〕第19題第19題20．如圖，在正方形ABCD內(nèi)，兩個動圓⊙O1與⊙O2互相外切，且⊙O1與邊AB、AD相切，⊙O2與邊BC、C