遼寧省沈陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023年沈陽(yáng)市高中一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.設(shè)集合'={0」，2,3,4},則AB=（）

A.{1}B.{0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合間的交集運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：AB={0,l}.

故選：B.

2.設(shè)XGR,則“爐<1”是“2工<1”的C

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】分別解不等式f<1和丁<1，根據(jù)小范圍推大范圍，分析判斷即可.

詳解】若/<1，解得即解集;

若2、<1=2°，注意到>=2"在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，解得x<0；

故"―1<X<1”是“x<0”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

3.已知a=（2,l）,6=（x,l）,且a+b與2a-b平行，貝也等于（）

A.10B.-10C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出向量a+b與2a-6的坐標(biāo)，然后利用向量共線坐標(biāo)公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤?（2,1）,b=（尤,1）,所以a+6=（2+尤,2）,2a—6=（4—x,l）,

若a+b與2a-b平行，則（2+x）xl=2x（4—x）,得尤=2.

故選：C.

4.從含有三件正品和一件次品的產(chǎn)品中任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是（）

1111

A.-B.-C.—D.-

6432

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式直接計(jì)算.

【詳解】有三件正品（用1,2,3表示）和一件次品（用0表示）的產(chǎn)品中任取兩件的樣本空間

Q=｛（0,1）,（0,2）,（0,3）,（1,2）,（1,3）,（2,3）｝,恰有一件次品A=｛（0,1）,（0,2）,（0,3）｝,

由古典概型得P（A）=%=2=5，

故選：D.

5.已知函數(shù)y=/（x+l）的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)y=/（2x—l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

~1-|「3

A.—,1B.—,2C.[-1,1]D.[3,5]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】?函數(shù)y=/（x+l）的定義域?yàn)閇L2],即1WXW2,可得2WX+1W3,

.?.函數(shù)丁=/（"的定義域?yàn)閇2,3],

3

令2<2x—1<3,解得一

2

-3-

故函數(shù)y=/（2x—1）的定義域?yàn)?,2.

故選：B.

6.設(shè)P是二ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+2BA=3BP>貝I（）

A.2PA+PC=0B.PA+2PC=0C.2PA-PC=0D.PA-2PC=0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算求解.

,uunULT、,uiruur、uir

【詳解】由3C+2A4=33P，貝“PC—尸3)+2(9一尸3)=—3尸3,

整理得2PA+PC=O.

故選：A.

7.已知幕函數(shù)/(x)=J(ae&的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)g,4,且〃a+l)</(3),則"的取值范圍為()

A.(-00,2)B,(2,+00)

C.(7,-4)。(2,+8)D.?2)

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)已知條件求出了(幻的解析式，再根據(jù)/(*)的單調(diào)性和奇偶性求解即可.

【詳解】由題意可知，/(1)=(1r=4,解得，?=-2,

故/。)=無(wú)一2,易知，/(無(wú))為偶函數(shù)且在(0,+co)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?(。+1)</(3),

所以|。+1|>3,解得，。<-4或a>2.

故a的取值范圍為(-oo,-4)D(2,+8),

故選：C.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=Lg(x)=at2+Z?x(a,Z?eR,a<0),若y=/(X)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有

三個(gè)不同的公共點(diǎn)A(%，x),3(*2，%)，。(毛，為)，為<々<%3，則下列判斷正確的是()

A.xl+x2<0B.x2+x3<0C.y1+y2<0D.%+為<0

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合圖象可判斷BD,將方程可化為±=以+匕，根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷A,然后可判斷C.

X

【詳解】如圖，在同個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)〃x)=Lg(x)=ax-+bx(a,b^R,a<0),

由題意得一=依2+區(qū)的三個(gè)解滿足％]<0<%2<%3，故BD錯(cuò)誤;

方程可化為二=改+6，

X

i

^=axl+b

I1

則有彳；，且由〃<0,得a%i+b>i%2+b，所以即片一￥二（石+弓）（石一%2）<0,

ax2+b

11X+x

所以為+2。，％+為=7+兀=之9:"A錯(cuò)誤,C正確.

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.某廠家對(duì)其新購(gòu)進(jìn)的4000件原料產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位：mm）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方

圖，其中分組的區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],低于60視為不合

B.a=0.015

C.不合格的產(chǎn)品數(shù)為100件D.產(chǎn)品長(zhǎng)度的平均值約為70.5

【答案】ABD

【解析】

【分析】運(yùn)用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1、頻數(shù)及平均數(shù)公式計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)轭l率分布直方圖中［70,80）的矩形的高度最高，所以長(zhǎng)度在［70,80）的產(chǎn)品數(shù)最多,

故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，由0.01*10+10。+0.02*10+0.03*10+10。+0.01*10=1得。=0.015,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?000x（0.01x10+0.015XI。）=10。。，所以不合格產(chǎn)品數(shù)為1000件，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，x=45x0.10+55x0.15+65x0.20+75x0.30+85x0.15+95x0.10=70.5,故D項(xiàng)正確.

故選：ABD.

10.設(shè)集合A={-3,x+2,d—4耳，且5eA,則x的值可以為（）

A.3B.-1C.5D.-3

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系運(yùn)算求解，注意檢驗(yàn)，保證集合的互異性.

【詳解】???5eA,則有：

若x+2=5,則x=3,此時(shí)7―4%=9—12=—3,不符合題意，故舍去；

若了2一4%=5，則1=-1或%=5,

當(dāng)x=—1時(shí)，A={-3,1,5},符合題意；

當(dāng)x=5時(shí),A={-3,7,5},符合題意；

綜上所述：1=-1或x=5.

故選：BC.

11.已知函數(shù)/（%）=尤2—1,g（x）=-x2+l,則下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.“X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C.八%）與g（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱D."力與g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)稱性的定義逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)A：無(wú)）=（—尤）2—1=無(wú)2_1=/（無(wú)），故〃龍）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

例如"0）=—1，不滿足/（r）=—"X），故”X）的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤;

對(duì)B：：g(—%)=—(—x『+l=f2+i=g(x),故g(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，B正確；

對(duì)C：/(x)=x2-l=-(-x2+l)=-^(x),故/(%)與g(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，C正確；

對(duì)D：/(-x)=x2-l=-(-x2+l)=----(-x)2+l=—g(—x),故/(%)與g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

D正確；

故選：BCD.

12.若關(guān)于龍的方程="的解集中只含有一個(gè)元素，則滿足條件的實(shí)數(shù)上可以為()

x—尤x

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】ABD

【解析】

【分析】將方程變形為V—4%+1—左=0(XHO,且xwl)分別討論x=0,x=l,A=0的情況即可

求解，或者根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況進(jìn)行求解.

【詳解】法一：顯然xwO,且xwl,原方程變形得2x+左=(%—1廣，即爐―4尤+1—左=0，

若x=0,此時(shí)％=1,方程的解集為{4},

若％=1,此時(shí)左=—2,方程的解集為{3},

若A=0,此時(shí)左=—3,方程的解集為{2}.

法二：原方程等價(jià)于左=12—4x+l(xw0,1),

在平面直角坐標(biāo)系中做出函數(shù)丁=——41+0,1)的圖象如圖，

當(dāng)x=0,y=l,當(dāng)x=l,y=-2,當(dāng)x=2,y=-3

此圖象和直線y=左的交點(diǎn)只有一個(gè)，所以滿足條件的實(shí)數(shù)人可以為-3,-2,L

故選：ABD

y

「

-1O|\123AX

第II卷（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某高中的三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，該?，F(xiàn)在要了解學(xué)

生對(duì)校本課程的看法，準(zhǔn)備從全校學(xué)生中抽取50人進(jìn)行訪談，若采取分層抽樣，且按年級(jí)來(lái)分層，則高一

年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)是.

【答案】15

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣原則直接計(jì)算即可

【詳解】由題意，從全校2000人中抽取50人訪談，按照年級(jí)分層，則高一年級(jí)應(yīng)該抽自-x600=15人.

2000

故答案為：15

41

14.已知實(shí)數(shù)〃力滿足3〃+—=1,若對(duì)于Va,beR+f-+3b＞m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

ba

【答案】（f,27）

【解析】

【分析】利用基本不等式“1”的代換求4+3"最小值，結(jié)合已知不等式恒成立求參數(shù)范圍即可.

a

【詳解】由3。+巧=1得：［工+3匕］（3。+3=3+4~+9"+12215+2^^=27,

b八bJab

41

當(dāng)且僅當(dāng)一二9H?,即。=一，人二6時(shí)等號(hào)成立，

ab9

所以工+3。的最小值為27,

a

又加＜工+3。恒成立，故加＜27.

a

故答案為：（3,27）

15.己知函數(shù)/（九）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①/（0）/（2）<0,②”力無(wú)零點(diǎn).寫出一個(gè)符合題意的函

數(shù)/（%）=.（結(jié)果不能寫成分段函數(shù)的形式）

【答案】工（答案不唯一）

【解析】

【分析】寫出滿足兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)即可.

【詳解】函數(shù)/（x）=L同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：

x-1

①"0）/（2）=力六=-1<0，

②一無(wú)零點(diǎn).

X-1

故答案為：（答案不唯一）.

x-1

16.若Ina,ln〃是方程2%2+4x+l=0的兩個(gè)根，則（inaj+^42+〃匕=.

【答案】―7—

e22

【解析】

?1

【分析】把Ina代入方程2%2+4x+l=0,化簡(jiǎn)得（In。）+ln^2=--,再利用兩根之和及對(duì)數(shù)運(yùn)算得

ab=g,即可求解.

e

【詳解】由ln〃是方程2/+41+1=0的根，則2（ln〃『+41na+l=0,

1?C]

所以（Ina）9+21n^=--,即（in。）+lntz2,

又由Ina,InZ?是方程2*+4x+l=0的兩個(gè)根，

所以lna+lnZ?=—2,即ln（aZ?）=—2,所以〃人二?一、二，

211

所以（in〃）+In/+cib——~H——.

故答案為：—

e22

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(1)解關(guān)于尤的方程：—-------=-------—；

x+1x+2x+3x+4

(2)求關(guān)于x不等式(a+l)x+aw。的解集.

【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)方法一：化分式為整式解分式方程；方法二：整理得

(2x+5)-~J——~上一^-7-=0,分析求解；

'7(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)

(2)分類討論兩根的大小關(guān)系解一元二次不等式.

【詳解】(D(方法一)方程兩邊同乘(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)得

(x+2)(x+3)(x+4)—(x+l)(x+3)(x+4)=(x+l)(x+2)(x+4)—(x+l)(x+2)(x+3),

即(x+3)(x+4)=(x+l)(x+2),所以7x+12=3x+2,

解得x=—?jiǎng)t解集為｛一

(方法二)原方程可化為'+—L='+=-,

x+1x+4x+2x+3

2%+5_2%+5

即(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)?

即(2%+5)-------r-7----72----r=0,

|_(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)

因?yàn)?___________1=(x+2)(x+3)-(x+l)(x+4)=_________2_________主°

(x+l)(x+4)(x+2)(x+3)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)，

所以2x+5=0,解得x=—：，則解集為

(2)原不等式可化為(x—l)(x—a)W0,

令(x—l)(x—a)=0,解得x=l或x=a,

當(dāng)a=l時(shí)，解集為｛1｝；

當(dāng)a<1時(shí)，解集為｛x|aWxWl｝；

當(dāng)a>l時(shí)，解集為｛x|14尤W。｝.

18.已知函數(shù)/（x）=x+d-5（%>0）.

（1）證明：函數(shù)/（X）在（2,+8）上單調(diào)遞增；

（2）討論關(guān)于x的方程|〃%）|=女傳eR）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)（直接寫出結(jié)論即可）.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義分析證明；

（2）原題意等價(jià)于函數(shù)y=|/（九）|與常函數(shù)丁=人的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)y=|/（無(wú)）|的圖象，數(shù)形結(jié)合處

理問(wèn)題.

小問(wèn)1詳解】

任取e（O,4w）,

則/（%）―/（々）=x[+—-5-x2+--5=（龍|-、）（/*2—4）,

X

、X\J\27

令A(yù)；,%￡（2,+00）,且玉<冗2，

則玉一元2<0,玉％2>4>0,x[x2-4>0,

所以/（%）—/（%）<0，即/（七）</（%），

故函數(shù)/（X）在（2,+8）上單調(diào)遞增.

【小問(wèn)2詳解】

關(guān)于X的方程|〃刈=左（左eR）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)y=|/（x）|與常函數(shù)y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

由⑴可得：/&）-”々）="-%）%2-4）,

%元2

令玉,々e（0,2）,且看<%2，

則萬(wàn)一/<0,0<xxx2<4,xxx2-4<0,

所以/(七)一/(%)>°，即/(%)>/(%),

故函數(shù)/(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，

結(jié)合(1)可得：函數(shù)/(同在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，故/⑺2/(2)=—1,

4

令----5>0,且X>0,整理得%之一5%+4>0，解得4或0v九vl,

x

故函數(shù)/(%)的圖象如圖所示：

可得函數(shù)y=|/(%)|的圖象如圖所示:

對(duì)于函數(shù)y=|f(x)|與常函數(shù)y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

則有：當(dāng)左<0時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)；

當(dāng)k=0或左>1時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；

當(dāng)％=1時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；

當(dāng)0<女<1時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).

19.新能源汽車具有節(jié)約燃油能源、減少?gòu)U氣排放、有效保護(hù)環(huán)境等優(yōu)點(diǎn).據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2022年9月底，我國(guó)

新能源汽車保有量為1149萬(wàn)輛，占汽車總保有量的3.65%.小楊哥準(zhǔn)備以9萬(wàn)元的價(jià)格買一輛新能源汽車作

為出租車(不作它用)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，此汽車使用H(?eN*,n<8)年的總支出為(0.251+0.25")萬(wàn)元，

每年的收入為5.25萬(wàn)元.

(1)此汽車從第幾年起開始實(shí)現(xiàn)盈利？

(2)此汽車使用多少年報(bào)廢最合算？

(①利潤(rùn)=收入-支出；②出租車最合算的報(bào)廢年限一般指使年平均利潤(rùn)最大時(shí)的使用年數(shù))

【答案】(1)第3年起開始盈利

(2)使用6年報(bào)廢最合算

【解析】

【分析】⑴表達(dá)出，=-0.25(“2—20"+36),HeN*,l<H<8,由—0.25(/—20"+36)>0,解出答

案；

(2)設(shè)汽車使用〃年的年平均利潤(rùn)為z萬(wàn)元，表達(dá)出z=-025、+7-20)利用基本不等式求出最值，得

到此汽車使用6年報(bào)廢最合算.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)此汽車使用〃年的總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，

則y=5.25〃一(0.254+0.25〃)-9=-0.25M2+5n—9=-0.25(川一20"+36),neN*,l<H<8,

由y>0得，-0.25(〃2一20"+36)>0,

解得2<〃<18,

所以從第3年起開始盈利；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)此汽車使用〃年的年平均利潤(rùn)為z萬(wàn)元，

…-0.25(/_20"+36)cc/36、八

則z=------------------=-025n+---20

n\n)

因由基本不等式得：?+—>2.L—=12,

〃丫〃

所以z=-0.251+史-2o]w-O.25x(12-20)=2,當(dāng)且僅當(dāng)羽=〃，即〃=6時(shí)取等號(hào)，

\n_)n

答：所以此汽車使用6年報(bào)廢最合算.

20.在一ABC中，CA=a，CB=b，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且ED=2EC,AE延

長(zhǎng)線與交于點(diǎn)尸.

(1)用向量。與b表示4E；

（2）用向量。與。表示A/7.

【答案】（1）—ci-\—b

66

（2）—QH—b

5

【解析】

【分析】（1）利用向量的加減法則及數(shù)乘向量運(yùn)算求解即可；

51―ULUUUUI

（2）根據(jù)E,F,A三點(diǎn)共線，得人尸=——+—再設(shè)b二〃CB,得到Ab=—a+通過(guò)平面向

66

量基本定理求出X,4,即可求出向量AF.

【小問(wèn)1詳解】

UUL111

由CA=a，CB=b，D為AB的中點(diǎn)，得CD=—a+—b,

一1一1?1---一5-1-

又由ED=2EC,得CE=—CD=—a+—b,所以=—G4=——a+-b.

36666

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)AF=XAE，則AF=—+:4人，①

66

uuuLUII

設(shè)CF=〃CB,則A/=CF—C4=—a+〃Z?……②

因?yàn)閍，匕不共線，由①②得|6，解得<所以AF=—a+!).

-2=//

〔6尸

21.足球號(hào)稱世界第一大體育運(yùn)動(dòng)，2022卡塔爾世界杯剛剛落下帷幕.主辦方為了調(diào)查球迷對(duì)本次世界杯

的滿意度，從來(lái)自本地（A地區(qū)）和外地（3地區(qū)）的球迷中，分別隨機(jī)調(diào)查了20名球迷，得到他們對(duì)本

力地區(qū)8地區(qū)

459

52357

屆世界杯的滿意度評(píng)分，如莖葉圖所示：86426147

88664372346

98652181233

75529135

（1）設(shè)只表示A地區(qū)20名球迷滿意度的方差，片表示B地區(qū)20名球迷滿意度的方差，則只s；；（用

“<”或“>”填空，不要求寫出計(jì)算過(guò)程）;

（2）計(jì)算B地區(qū)的85%分位數(shù)；

（3）根據(jù)滿意度評(píng)分，將滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):

滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級(jí)1級(jí)（不滿意）2級(jí)（滿意）3級(jí)（非常滿意）

從A地區(qū)和8地區(qū)分別隨機(jī)抽取1名球迷，記事件C：“A地區(qū)球迷的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)球迷的滿意

度等級(jí)”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用調(diào)查樣本的頻率估計(jì)地區(qū)總體概率，求。的概率.

【答案】（1）<

（2）87

（3）—

25

【解析】

【分析】（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的集中程度可得出京、的大小關(guān)系；

（2）利用百分位數(shù)的定義可計(jì)算出8地區(qū)85%分位數(shù)；

（3）設(shè)事件40=1,2,3）分別表示抽取A地區(qū)1名球迷的滿意度為i級(jí)，則4、4、4兩兩互斥，設(shè)事件

4（/=1,2,3）分別表示抽取8地區(qū)1名球迷的滿意度為/級(jí)，則見(jiàn)、B2、員兩兩互斥，可得

c=A3B2+A4+,利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得尸（C）的值.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)锳地區(qū)的數(shù)據(jù)更集中，則A地區(qū)的方差越小，則

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)B地區(qū)的20個(gè)數(shù)據(jù)由小到大依次為4、打、L、甌，

由20x0.85=17,得85%分位數(shù)等于%十%=生土里=87.

22

【小問(wèn)3詳解】

解：設(shè)事件4?=1,2,3）分別表示抽取A地區(qū)1名球迷的滿意度為i級(jí)，則4、4、4兩兩互斥，

設(shè)事件與（/=1,2,3）分別表示抽取3地區(qū)1名球迷的滿意度為/級(jí)，則與、與、鳥兩兩互斥，

131

且有aG=1,2,3）與鳥0=1,2,3）相互獨(dú)立,由題意得P（A）=丁P（4）=丁尸（4）=丁

o73

p(4)=/p⑻二,m)=-,

又有c=4與++4片，且人為、4片、4片互斥，

故尸(c)=P(A3B2+A4+44)=尸(&與)+P(A3B1)+P(A2B1)

=P(A,)P闖+P(A)P⑻+P(4)P⑶=(x|+(x蔣+|x梟

22.指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)又稱為爆炸式增長(zhǎng)，其中一條結(jié)論是：當(dāng)a>l時(shí)，指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)在區(qū)間［0,4上的平均

變化率隨t的增大而增大.

已知實(shí)數(shù)a,b,滿足a%〃+log,*=0.

(1)比較次;+1和a+Z?的大??；

(2)當(dāng)。=2時(shí)，比較丁和工的大小；

b

(3)當(dāng)a=2時(shí)，判斷(2萬(wàn)+1—q)(3〃—2)的符號(hào).

【答案】⑴ab+\<a+b

⑵2b=-

b

(3)(2H1-新)(3〃-2)<0

【解析】

【分析】(1)分析可得a%〃>0，log.6<0=log",結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析運(yùn)算，注意討論。和

Q>1；

x

⑵方法一：利用反證法證明；方法二：構(gòu)建函數(shù)p(x)=2z2+iog2x,q(x\=2--,結(jié)合單調(diào)性分

X

析運(yùn)算；方法三：構(gòu)建/(x)=xlog2%,結(jié)合單調(diào)性分析運(yùn)算；

(3)構(gòu)建g(x)=2"-工，結(jié)合單調(diào)性分析可得2>6再根據(jù)題意結(jié)論分析可得匕〉避二1,即可得結(jié)

''x32

果.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得：a>Q,b>0,則a%">0，

所以10ga6<0=10gal,

當(dāng)。時(shí)，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，解得匕〉1,

所以(a—1)(〃—1)<0；

當(dāng)時(shí)，則y=1。乩%在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，解得0<》<1,

所以(a—1)(〃—1)<0；

綜上所述：(a—1)(〃—1)<0,

即一a—Z?+lv0,所以〃/?+1<a+Z?.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)a=2時(shí)，貝U2'/+log2匕=0,

(方法一)①假設(shè)外>,，則b>log,'=—log,b,即b+log,6〉0,

bb

由2">,，且">0,所以2%2>L/=b,則m/+iog/A^+bg",

bb

所以"/+匕8之萬(wàn)〉。，與已知矛盾，故假設(shè)不成立；

②假設(shè)2"〈,，則bvlogz'u—logzb，即b+log2b<0,

bb

由2&<,，且">0,所以2%2<!”2=人，貝|2%2+iog°/,<6+iog,z，,

bb

同理可得2，/+log2匕<0,與已知矛盾，假設(shè)不成立；

③當(dāng)2"=,，則6=2"，

b

hb

可得2b~+log"='x〃+lOg22=b-b=O,符合題意；

b

由①②③可得：2b=-.

b

A2

(方法二)iS^(x)=2x+log2x,則6是夕(x)的零點(diǎn)，

對(duì)\/%,兀2e(0,+8)，且占<%2，

：>=2工，y=x2,y=log2X在(0,+。)單調(diào)遞增，貝ij0<2通<2*,0<x；<x；,log2石<log29，

可得2*x；<2*君,2*x；+log2xl<2*尤;+log2x2,

即/?(%;)</?(X2),故p(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

"(力有唯一的零點(diǎn)6,

設(shè)4@)=2工_，，

x

對(duì)X/須,％G(0,+°°)，且石<%2，

?.?y=2Zy=—,都在(0,+。)單調(diào)遞增，貝IJ2國(guó)<2電，一」<一工，

X玉元2

可得2為_工<2*

再x2

即4(為)<4(/)，故q(x)在(0,+