四川省眉山市2023屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題(含答案)

眉山市高中2023屆第二次診斷性考試

數(shù)學(xué)(理工類)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1.已知(l+i)2z=2+i,貝Uz=()

1.1.-1.31.

A.—iB.11iC.—FiD.-----i

22244

2.設(shè)全集為R,集合AhX五∣≤θ[,3={x∣x>l},貝IIAC(QB)=()

A.∣Λ∣-3<Λ<2}B.{x∣-3≤x<l}C.{x∣-3≤x≤l}D.∣Λ∣1<X≤2∣

3.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動(dòng)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗(yàn)區(qū)種植了某農(nóng)作物.為

了解該品種農(nóng)作物長(zhǎng)勢(shì)，在實(shí)驗(yàn)區(qū)隨機(jī)選取了IOO株該農(nóng)作物苗，經(jīng)測(cè)量，其高度(單位:Cm)均在區(qū)間[10,20]

內(nèi)，按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記

高度不低于16Cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”.則所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為()

A.20B.40C.60D.88

4.數(shù)學(xué)與音樂(lè)有著緊密的關(guān)聯(lián),我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音一般來(lái)說(shuō)并不是純音,而是由多種波疊加而成的復(fù)合音.如

圖為某段樂(lè)音的圖像，則該段樂(lè)音對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可以為()

A.y=sinX÷-sin2x+-sin3xB.y=sinx——sin2x——sin3x

2323

C.y=sinx+'cos2x+'cos3xD.y=cosx+I-COCS2x+l-CCOS3X

-2323

5.已知，CoS2α+2sin2a=l,則sina=()

?√542√5

A.B.--C.一D.

5555

6.一個(gè)四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖均為上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,腰長(zhǎng)為2的等腰梯形,

則該四棱臺(tái)的體積為()

ZΞ?

A.256

B.—C.28√3D.56

33

7.已知實(shí)數(shù)m。滿足Iog24<log2b<θ,則下列各項(xiàng)中一定成立的是()

ba

A.?∕a>?[bB.sin2a<sin2bC.Iognβ<logfteD.a<b

8.已知四棱柱ABCZ)-44CQl的底面是正方形，AB=2,A4,=2√L點(diǎn)BI在底面ABC。的射影為BC

中點(diǎn)H,則直線AA與平面ABCZ)所成角的正弦值為()

√143√7√6

A.——B.一C.D.

4443

9.已知函數(shù)/(x)=J^SinX-CoSX.給出下列結(jié)論:①f是小)的最小值;②函數(shù)“同在-

11yr

上單調(diào)遞增；③將函數(shù)y=2sinx的圖象上的所有點(diǎn)向左平移——個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)y=∕(x)的圖

6

象.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.φ(3)C.②③D.①②③

10.已知直線I:y=MX+2)僅>0)與拋物線y2=4x交于點(diǎn)4,8,以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)7)(2,0),

則網(wǎng)=()

A.4B.6C.8D.10

o

11.在菱形ABC。中，AB=2,ZA=60,將ZkjBQD繞對(duì)角線8。所在直線旋轉(zhuǎn)至3PQ,使得AP=J

則三棱錐P-ΛBO的外接球的表面積為（）

Sπ20420Λ∕15^25π

A.—B.------C.------------D.------

33273

12.若存在Λn∈[-1,2],使不等式Xo+G—1）InaNW+e2/-2成立，則4的取值范圍是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知AB=（1,2）,AC=（2,7）,Wq=1,則實(shí)數(shù).=.

14.已知（x+α）（x-2）5的展開(kāi)式中含r項(xiàng)的系數(shù)為一60,則α=.

r2V2

15.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=x+2與雙曲線。：亍―R=l（α>0,b>0）的兩條漸近線從左往右順次交

于A,3兩點(diǎn).若2|。4|=|0同，則雙曲線C的離心率為.

16.Z?A?SC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若（2a—c）COSB=∕?CoSC,且匕=JJ,則ZkABC

周長(zhǎng)的最大值為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都

必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）某商店銷售某種產(chǎn)品，為了解客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了200名客戶，其評(píng)價(jià)結(jié)果為“一

般”或“良好”，并得到如下列聯(lián)表：

____________________________唯___________________________

男20100120

女305080

合計(jì)50150200

（1）通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有99%的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系？

（2）該商店在春節(jié)期間開(kāi)展促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品共有如下兩個(gè)銷售方案.

方案一：按原價(jià)的8折銷售；

方案二：顧客購(gòu)買該產(chǎn)品時(shí)，可在一個(gè)裝有4張“每滿200元少80元”，6張“每滿200元少40元”共10張優(yōu)惠券

的不透明箱子中，隨機(jī)抽取1張，購(gòu)買時(shí)按照所抽取的優(yōu)惠券進(jìn)行優(yōu)惠.

己知該產(chǎn)品原價(jià)為260（元/件）.顧客甲若想采用方案二的方式購(gòu)買一件產(chǎn)品，估計(jì)顧客甲需支付的金額；你

認(rèn)為顧客甲選擇哪種購(gòu)買方案較為合理?

附表及公式：

P(κ2≥扁)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

其中K2=_____"34)2_____

n=a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+c)(8+d)

18.（12分）已知數(shù)列｛0,,｝是公差為2的等差數(shù)列，4+4=4，｛4｝是公比大于O的等比數(shù)列，R=3,

b3-b2-18.

（1）求數(shù)列｛a,,｝和｛2｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列｛%｝滿足q,=α∕,,,求｛c,,｝的前〃項(xiàng)和7；.

19.（12分）如圖，在三棱錐P—A3C中，H為aABC的內(nèi)心，直線AH與BC交于M,ZPAB=ZPAC,

ZPCA=ZPCB.

（1）證明：平面∕?MJ_平面ABC；

（2）若A3J_BC,PA=AB=3,BC=A,求二面角M-PA-C的余弦值.

20.（12分）已知橢圓E：［+2=l（a＞力＞°）經(jīng)過(guò)4（0,1），7（—§,一|）兩點(diǎn)，M,N是橢圓E上異于T

的兩動(dòng)點(diǎn)，且NM4T=NN4T,若直線4例，AN的斜率均存在，并分別記為占，k2.

（1）求證：匕網(wǎng)為常數(shù)；

（2）求Z?AΛW面積的最大值.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=oe,—/有兩個(gè)極值點(diǎn)匹，x2（x∣＜x2）.

（1）求”的取值范圍；

（2）若e?,+（e-2）w≥Xχw,求幾的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在直角坐標(biāo)系XOy中，直線/的參數(shù)方程為〈V'(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸

［y=t

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為Ap2sin2θ=3(p2-l).

(1)求C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與曲線C交于A,B,求IAB卜

23.［選修4一5：不等式選講］(10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=∣2x-3∣+∣2x+l∣.

(1)解不等式/(x)≤6-x;

1198

(2)令/(x)的最小值為T,正數(shù)X,y,Z滿足x+y+2z=T,證明：——+——+——≥-.

x+1y+1z+25

理科數(shù)學(xué)參考解答及評(píng)分參考

1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.D8.C9.B10.C11.B12.D

13.214.-15.√1016.3√3

2

?,,200×(20×50-30×100)2100,?

17.解析：(1)由題，得K?=-----------------------------L=——≈11.11>6.635,因此，有99%x的把l握認(rèn)為

50×150×120×809

客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān).

(2)顧客甲若想采用方案二的方式購(gòu)買一件產(chǎn)品，設(shè)可能支付的金額為X,X的值可能為180,220.

46

由題P(X=I80)=歷=0.4；P(X=220)=-=0.6,則E(X)=I80x0.4+220x0.6=204(元)，

顧客甲若采用方案二的方式購(gòu)買一件產(chǎn)品，需支付金額的估計(jì)值為204元.

顧客甲若采用方案一的方式購(gòu)買一件產(chǎn)品，需支付金額為206x0.8=208(元).

所以，該顧客采用方案二的方式購(gòu)買較為合理.

18.解析：(1)由己知q+q+4=q+6,所以q=2,所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=2〃.

設(shè)等比數(shù)列他,｝的公比為g,由4=3,打一打=18則3d-3q=18,即/—4—6=0,解得q=3,

q=-2(舍去)，所以數(shù)列抄“｝的通項(xiàng)公式為2=3".

(2)由(1)得%=2小3",所以q=2χ3+4χ32+6χ33+???+2"?3〃①

3^=2χ32+4×33+6×34+???+2(n-l)3,,+2n?3,l+l(2)

Φ-(2)W-27;,=2×3+2×32+2×33+??→2×3π-2n?3,'+l,所以

3(1—3"[33?+i

-T=3+32+33+-+3π-n?3π+'=-^-----?-n?3π+1,即—￡,=—3+、——n?3n+',所以

"1-322

n+

Tπ=-+^^--3'.

n22

19.解析：(1)證明：設(shè)PNJ_平面4BC于點(diǎn)M過(guò)N作NE_LA3于E,N/J,AC于尸，連接PE,PF.因

為PN上平面ABC,ABU平面ABC,所以PNLA3.又因?yàn)镹E上AB,所以ABL平面PNE,所以

ABLPE,同理AC上PF.在RfaPAE,也Z√?R中，∕PAE=∕PAF,Pb=Ph,W2?E^∕?P?F,

所以A尸=AE.在RtAANE,MZ?ANF中，AF^AE,AN=AN,故,所以

NE=NF.即N到48,AC的距離相等，同理N到BC,4C的距離相等，故N為BC的內(nèi)心，N與H

重合.所以PHj_平面ABC.又因?yàn)槭║平面APM,所以平面ZW，平面ABC

(2)由于AB_L3C,故可以以B為坐標(biāo)原點(diǎn),8C為X軸,BA為〉，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),

C(4,0,0),A(0,3,0).

設(shè)AABC的內(nèi)切圓半徑為r,則S^ABc=gx4x3=gr(3+4+5),故r=l.所以"(1,1,0),

AH=y∣r2+AE2=√5,PH7AP。-AH!=2,故P(l,l,2).所以“P=(0,0,2),/Z4=(-1,2,0),

zι?HP—2z.—0,

設(shè)平面A”P的法向量“=(%,y,z∣),則｛1令y=1,故平面AHP的一個(gè)法向量為

nl?HA=-xl+2必=0.

勺=(2,l,0).同理AP=(I,-2,2),AC=(4,-3,0),設(shè)平面ACP的法向量々=(Λ2,%,z2)，則

n?AP=X-2%+2Z=0,

222令％=

6,故平面ACP的一個(gè)法向量為n2=(6,8,5)?所以

n2?AC=4X2—3y2=0,

..ti?n44

COS(〃],〃,)=j-y=-,故二面角M-B4-C的余弦值為一.

r同i,同755

b'=1,a1=4,

20.解析：(1)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)47,代入橢圓E的方程，得(649解得4所以橢圓E的方

,25o7+25^r=1/=L

γ

程為：一+V=1.由NM4T=NM4T知AM與AN關(guān)于直線AT：y=x+l對(duì)稱，在AM上任取一點(diǎn)

4

1

E(Ao，%)，則玲關(guān)于直線>=χ+ι對(duì)稱的點(diǎn)為《'(yo-ι,??+ι),從而K=&%=比二^

XO

-G=??1'于是格=L

y=Z]X+1,

χ2得(4公+1卜2+防％=0,所以

(2)設(shè)點(diǎn)Λl(%,yJ,N(X2,%)，AM：y=4%+1，由<

—+/=I

I45

寸一舄‘同理“一由⑴有格=1'故"一言.

為方便，記匕=3并不妨設(shè)左>1,則于是

2

SΛAMN=?IAMI?IAN∣sinZMAN=^?AM?-?AN?√1-COSZMAN」J∣AM口AN「―(4M?AN『

—8%_￡64公

^?k2-ki?-?xix2?=^j--k.4W

(標(biāo)+(巧

乙乙K^TrV^ι14+A^2^k41)4+

223

32k(k-l)32k(k-?)V~jj32/<3232^8

(4?2+l)(4+?2)-4^+17?2+4-4-4r2+25-2√4×25-2x10-5

4A,2++J7

t=k-->0),當(dāng)且僅當(dāng)/=2,即左一時(shí)取等.所以，4AΛ/V面積的最大值為

k2k25

21.解析：⑴由題/(X)=馥'—d得,a)=。，一2χ,因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程/'(X)=O

2?Or2—2X

有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即方程a=Ir有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,設(shè)MX)=工，則/(%)=——,知χ<1,u?x)>0,

2

則〃(x)單調(diào)遞增，尤>1時(shí)，√(x)<0,則〃(x)單調(diào)遞減，所以，X=I時(shí)，"(X)取得極大值“(1)=—,

?Y

又XVO時(shí)，w(x)<O;x>0時(shí)，w(x)>0,且xf+8時(shí)，w(x)→0,所以，方程α=-有兩個(gè)不同實(shí)

數(shù)根時(shí)，有0<α<?∣.即〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，4的取值范圍是(0，).

2

(2)由(1)可知，/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)再，￡是方程。,一2%=O的兩根，且0<α<丁0<x,<l<x2,

xx

則有ae'=2xl>O,ae^=Ix2>O,兩式相除，得*F=型，則有乙一玉=InZ>0.由

X1X1

2+(e—2)巡-e?五

exi+(e-2)w≥4x∣%2得(X2-XI)[e^+(e-2)x2]>λxλx1In-,所以/14-------------------M,令

%InX

菁

2+(e—2)/—e?一

f='>l,令〃U)=----------------L?〉1)，則需/l≤∕z(∕)恒成立，

/⑺J(I)/+e]黑：(e-2)/+e,令咐二心一圻+e]InTTe-2片+e,則

θ'(/?=2(e-2)"n∕-2-(e-2)r+e?L令Pa)="(/)=2(e-2)rln？-2-(e-2)r+e-,

p'(f)=2(e-2)ln∕+2(e-2)-e???-e+2在(l,+∞)上遞增，可知〃'⑴<(),p'(e)>(),則存在ZO∈(l,e),

使得p'(fo)=O,當(dāng)∕∈(l∕o)時(shí)，〃'(/)<(),則〃(/)即"(f)單調(diào)遞減，當(dāng)fe&+8)時(shí)，〃'?)>(),

即“⑺單調(diào)遞增，又“⑴=0,0'(e)>(),所以存在Ae(l,e),使得“(4)=0,當(dāng)∕e(U)時(shí)，°'(∕)<0,

9(。單調(diào)遞減，∕e(f∣,+∞)時(shí)，d(∕)>0,夕(。單調(diào)遞增，又O(I)=O(e)=0,所以∕e(l,e)時(shí)，0(。<0,

則〃⑺<0,Mf)單調(diào)遞減，f∈(e,+8)時(shí)，0(。>(),〃'(7)>(),〃⑺單調(diào)遞增，所以∕=e時(shí)，

2

A(r)n,n=Me)=(e—I)?,2的取值范圍是4≤(^-l).

X=OCOSa代入402sin?=3仿2,得4y2=?/

22.解析：⑴將?θX2+y2—3,即曲線C的直角坐

y=psin0'7'

標(biāo)方程為：3x2-y2-3=0.

x=2+-t,(/為參數(shù)),代入曲線C的方程,有3(2+立√2

(2)直線/的參數(shù)方程可改寫為《2=3,

12

y=τ

2

整理得2r+6囚+9=0.從而4+/2=—3百，tλt2=I,所以IAB∣=M721=J(4+.)2_4也=3.

14113

23.解析：(1)當(dāng)％<-耳時(shí)，/(Λ)=-2X+3-2Λ-1≤6-x,解得-^≤X<——;當(dāng)——≤x≤-時(shí),,

222

?33

/(x)=-2x+3+2x+l≤6-x,解得一5<%<5；當(dāng)x>j時(shí)，/(x)=2x-3+2x+l≤6-x,解得

QO44

-<χ≤-,綜上所述，原不等式的解集為lx—=4≤x≤28

2535

i3

(2)由題/(x)=∣2x-3∣+∣2x+l∣≥∣2x-3-(2x+l)∣=4,當(dāng)且僅當(dāng)(2x-3)(2x+l)≤0即一ι≤x≤]時(shí)

取“等號(hào)”，故/(x)的最小值T=4,即x+y+2z=4.

--------1-----1----1