2023年高考數(shù)學(xué)搶分秘籍（新高考專用）1 排列組合題型歸類（9大題型）（解析版）

秘籍01排列組合題型歸類

r高考預(yù)測(cè)

概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆

題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題食☆☆☆☆

考向預(yù)測(cè)排列組合題型考察

事應(yīng)試秘籍

排列組合和二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，有了多選題型后常和概率結(jié)合起來(lái)考察，所以需要考生對(duì)

于排列組合的基礎(chǔ)題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當(dāng)然在掌握題型的基礎(chǔ)

上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運(yùn)用好排列組合的解題思維。

【題型一】人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空

人坐座位模型：

特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來(lái)坐，來(lái)的是誰(shuí)；5、必要時(shí)，座位拆遷，剩

余座位隨人排列。

主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。

出現(xiàn)兩個(gè)實(shí)踐重疊，必要時(shí)候，可以使用容斥原理來(lái)等價(jià)處理：

容斥原理〃(AU8)=〃(A)+MB)-〃(AcB)

:典例剖析

1.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場(chǎng)，

且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

【答案】C

【分析】記事件A:2位男生連著出場(chǎng)，事件8:女生甲排在第一個(gè)，利用容斥原理可知所求出場(chǎng)順序的排法

種數(shù)為6-[“(A)+〃(8)-〃(4c8)],再利用排列組合可求出答案.

【詳解】

記事件A:2位男生連著出場(chǎng)，即將2位男生捆綁，與其他3位女生形成4個(gè)元素，所以，事件A的排法種數(shù)

為〃(A)=&&=48,

記事件5:女生甲排在第一個(gè)，即將甲排在第一個(gè)，其他四個(gè)任意排列，所以，事件B的排法種數(shù)為

"(B)=8=24,

事件ACB:女生甲排在第一位，且2位男生連著，那么只需考慮其他四個(gè)人，將2位男生與其他2個(gè)女生形

成三個(gè)元素，所以，事件AB的排法種數(shù)為用A；=12種，

因此，出場(chǎng)順序的排法種數(shù)8—〃（Au8）=8-[〃（A）+〃（8）—“（4c8）]

=120—(48+24-12)=60種，故選C.

2.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了

國(guó)際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼，多次為祖國(guó)贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往A,B,C等3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援

任務(wù),若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì),其中甲救援隊(duì)只能去B,

C兩個(gè)數(shù)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法數(shù)是（）

A.72B.84C.88D.100

【答案】D

【詳解】若甲去B點(diǎn)，則剩余4人，可只去AC兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去A,5c3個(gè)點(diǎn).

當(dāng)剩余4人只去A,C兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，人員分配為1,3或2,2,

此時(shí)的分配方法有C；C-A；+,Aj=14；

A；

當(dāng)剩余4人分為3組去AB,C3個(gè)點(diǎn)時(shí)，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個(gè)小組即可,

此時(shí)的分配方法有C1A；=36,

綜上可得，甲去B點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)是14+36=50.

同理，甲去C點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)也是50.

所以，不同的安排方法數(shù)是50+50=100.

故選：D.

3.（2023春?湖南,高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某高校計(jì)劃在今年暑假安排編號(hào)為A,B,C,D,E,F

的6名教師，到4個(gè)不同的學(xué)校進(jìn)行宣講，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中8,。必須安排在同一個(gè)學(xué)校.則

不同的安排方法共有（）

A.96種B.144種C.240種D.384種

【答案】C

【詳解】將這6名教師分成四組，再分配到不同的學(xué)校.若教師人數(shù)依次為3,1,1,1,則不同的安排方法種數(shù)

為：C：xA：=96種;

若教師人數(shù)依次為2,2,1,1,則不同的安排方法種數(shù)為：C；xA：=144種,

故不同的安排方法共有96+144=240種.

故選：C.

『名校模擬

1.（2023?遼寧盤(pán)錦?盤(pán)錦市高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┯?名男生，4名女生，在下列不同條件下，錯(cuò)誤的是（）

A.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種

B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種

C.全體站成一排，女生必須站在一起有144種

D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種.

【答案】C

【詳解】對(duì)于A：任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有C；x2x1=70種,

故A正確；

對(duì)于B：先排女生，將4名女生全排列，有A：種方法，

再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有A；種

方法，故共有A：?A；=1440種方法，故B正確.

對(duì)于C：將女生看成一個(gè)整體，考慮女生之間的順序，有A：種情況，

再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有A：種情況，

2.（2023?云南昭通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）2022年11月初，新冠疫情突襲昭通市魯?shù)榭h，昭通市統(tǒng)一指揮、眾志

成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅(jiān)固堡壘.現(xiàn)有甲、乙等5名醫(yī)務(wù)人員參加某小區(qū)社區(qū)志愿服務(wù)活動(dòng)，他們被分派

到核酸檢驗(yàn)和掃碼兩個(gè)小組，且這兩個(gè)組都至少需要2名醫(yī)務(wù)人員，則甲、乙兩名醫(yī)務(wù)人員不在同一組的

分配方案有（）

A.8種B.10種C.12種D.14種

【答案】C

【詳解】先將甲、乙兩名醫(yī)護(hù)人員分配到兩組，有A；=2種方案，再將剩下的3名醫(yī)務(wù)人員分到核酸檢驗(yàn)

和掃碼兩個(gè)小組，有C；A；=6種方案，所以甲、乙兩名醫(yī)務(wù)人員不在同一組的分配方案有2x6=12種方案.

故選：C.

故共有A：?A：=576種方法，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D：若甲站在排尾則有A：種排法，若甲不站在排尾則有A；A；A；種排法,

故有A：+A：A；A；=3720種排法，故D正確;

故選：C.

3.（2023春?重慶沙坪壩,高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）文字的雛形是圖形，遠(yuǎn)古人類常常通過(guò)創(chuàng)設(shè)一些簡(jiǎn)單

的圖形符號(hào)，借助不同的排列方式，表達(dá)不同的信息，如圖.如果有兩個(gè)""，兩個(gè)和兩個(gè)"".把它們從

上到下擺成一列來(lái)傳遞一些信息，其中第一個(gè)位置確定為"同一種圖形不相鄰，那么可以傳遞的信息數(shù)

量有（）

A.8個(gè)B.10個(gè)C.12個(gè)D.14個(gè)

【答案】B

【詳解】列舉得：....X-X-x..JX,.：x?x-,_xX,^X_x,

..x「rx,dX，x,.：X)xA,?xX..,

共10種，

故選:B.

【題型二】人坐座位模型2：染色（平面、空間）

染色問(wèn)題：

1.用了幾種顏色

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開(kāi)始。

空間幾何體L可以“拍扁”，轉(zhuǎn)化為平面圖形

?典例剖析

1.（2023春?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為

代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍A8CO四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，

要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（）

A.12B.24C.48D.84

【答案】D

【詳解】由題意可知：四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：

當(dāng)種植的鮮花為兩種時(shí)：A和C相同，8和￡＞相同，共有A；=12種種植方法；

當(dāng)種植鮮花為三種時(shí)：A和C相同或8和。相同，此時(shí)共有2C；A；=2x4x6=48種種植方法；

當(dāng)種植鮮花為四種時(shí)：四個(gè)區(qū)域各種一種，此時(shí)共有A：=4x3x2xl=24種種植方法，

綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為12+48+24=84種，

故選：D.

2.（2022春?山東煙臺(tái)?高二煙臺(tái)二中?？茧A段練習(xí)）某景區(qū)內(nèi)有如圖所示的一個(gè)花壇，此花壇有9個(gè)區(qū)域需

栽種植物，要求同一區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物，且圓環(huán)的3個(gè)區(qū)域種植綠色植物，

中間的6個(gè)扇形區(qū)域種植鮮花.現(xiàn)有3種不同的綠色植物和3種不同的鮮花可供選擇，則不同的栽種方案共

有（）

A.400種B.396種C.380種D.324種

【答案】B

【詳解】圓環(huán)的3個(gè)區(qū)域種植綠色植物共有q=6種.如圖.中間的6個(gè)區(qū)域種植鮮花可分為3類:

第一類，A,C,E均種相同植物，有'=3x2x2x2=24種;

第二類，A,C,E種2種不同植物，有外=4"仁*2、1X1=36種；

第三類，ACE種的植物各不相同，有M=A；xlxIxl=6種.

故由乘法原理和加法原理得到不同的栽種方案共有6x（24+36+6）=396種.

故選：B

3.如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色

可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是（）

A.420B.210C.70D.35

【答案】A

【解析】【分析】

將不同的染色方案分為：AC相同和AC不同兩種情況，相加得到答案.

【詳解】

按照那CO的順序：

當(dāng)AC相同時(shí)：染色方案為5x4x3x1x3=180

當(dāng)AC不同時(shí)：染色方案為5x4x3x2x2=240

不同的染色方案為：420種

故答案為A

學(xué)名校模擬

1.（2023秋,遼寧丹東?高二統(tǒng)考期末）如圖所示為某公園景觀的一隅，是由ABCDE五處區(qū)域構(gòu)成，現(xiàn)為了

美觀要將五處區(qū)域用鮮花裝飾，要求相鄰區(qū)域種植不同色的鮮花，有4種顏色鮮花可供選用，則不同的裝飾

方案數(shù)為（）

ABC

D

E

A.216B.144C.128D.96

【答案】B

【詳解】區(qū)域B有4種顏色鮮花可供選擇，區(qū)域A有.3種顏色鮮花可供選擇，區(qū)域。有3種顏色鮮花可供選

擇，

區(qū)域C、E各有2種顏色鮮花可供選擇,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的裝飾方案數(shù)為4x3x3x2x2=144利L

故選：B.

2.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)3種顏色給如圖所示的6個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂

2個(gè)圓，且相鄰2個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為（）

A.24B.30C.36D.42

【答案】B

【詳解】分2類（先涂前3個(gè)圓，再涂后3個(gè)圓.）：第1類，前3個(gè)圓用3種顏色，后3個(gè)圓也用3種顏

色，有A：C；C；=24種涂法；第2類，前3個(gè)圓用2種顏色，后3個(gè)圓也用2種顏色，有C；C；=6種涂法.綜

上，不同的涂法和數(shù)為24+6=30.

故選：B.

3.（2021春?廣東佛山?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某同學(xué)對(duì)如圖所示的小方格進(jìn)行涂色（一種顏色），若要求每

行、每列中都恰好只涂一個(gè)方格，則不同的涂色種數(shù)為（）

C.24D.48

【答案】C

【詳解】由題意可知：不同的涂色種數(shù)為：^=4x3x2x1=24,

故選：C

【題型三】分配問(wèn)題：球不同，盒不同

球不同，盒不同（主要的）

方法技巧：盒子可空，指數(shù)基形式，盒的球次累，盒子不可空"先分組再排列”分類討論

注意平均分組時(shí)需要除以組數(shù)的全排列。

:典例剖析

1.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

【答案】B

【詳解】先考慮第一類，即3個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)為：1,2,2,則

第1個(gè)盒子有：以=5,

第2個(gè)盒子有：C；=6,

第3個(gè)盒子有：《=1,

，第一類放法種數(shù)為5x6x1=30,

不同的放法種數(shù)有N=3x30=90.

2.將編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)小球分別放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，則每個(gè)盒子中所

放小球的編號(hào)奇偶性均不相同的概率為

【答案】C

【詳解】由題知，要求每個(gè)盒子都不空，則3個(gè)盒子中放入小球的個(gè)數(shù)可分別為3,1,1或2,2,1,

若要求每個(gè)盒子中小球編號(hào)的奇偶性不同則只能是2,2,1,

且放入同一盒子中的兩個(gè)小球必須是編號(hào)為一奇一偶，

6

P-

故所求概率為25

C；A；+等A；

故答案選C

3.將A,B,C,。四個(gè)小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球且A,8不能放

入同一個(gè)盒子中，則不同的放法種數(shù)為（）

A.15B.30C.20D.42

【答案】B

【詳解】當(dāng)放入一個(gè)盒子的是A,C時(shí)，有A；=6種不同的放法

當(dāng)放入一個(gè)盒子的是A,D時(shí)，有A；=6種不同的放法

當(dāng)放入個(gè)盒子的是瓦C時(shí)，有父=6種不同的放法

當(dāng)放入一個(gè)盒子的是B,D時(shí)，有用=6種不同的放法

當(dāng)放入一個(gè)盒子的是C，。時(shí)，有K=6種不同的放法

貝I］共有6x5=30種不同的放法

故選：B

十名校模擬

1.（2023春?浙江杭州?高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭

州舉行.甲、乙等5名杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者到羽毛球、游泳、射擊、體操四個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)志愿者只去

一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲去羽毛球場(chǎng)，則不同的安排方法共有（）

A.6種B.60種C.36種D.24種

【答案】B

【詳解】①羽毛球場(chǎng)安排2人，除中外的其余4人每人去一個(gè)場(chǎng)地，不同安排方法有A：種，

②羽毛球場(chǎng)只安排1人（甲），其余4人分成3組（211）再安排到剩余3個(gè)場(chǎng)地，不同安排方法有C；A；種，

所以不同的安排方法有A：+C：A；=24+36=60種.

故選：B.

2.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）高三年級(jí)的四個(gè)班到甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工廠中的一個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，

其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）

A.360種B.420種

C.369種D.396種

【答案】C

【詳解】解：方法1：直接法

以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為四類：

第一類，四個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；

第二類，有三個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案共有C；A：=4x4=16（種）；

第三類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他四個(gè)工廠，其分配方案共有C：x42=6x4x4=96（種）;

第四類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，其他班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案有C；x4、=4*=256（種）.

綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（種）.

方法2：間接法先計(jì)算四個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再去除甲工廠無(wú)人去的情況，

即：5x5x5x5-4x4x4x4=369（種）方案.

故選：C

3.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)與生活密不可分，在一次數(shù)學(xué)討論課上，老師安排5名同學(xué)講述圓、

橢圓、雙曲線、拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用，要求每位學(xué)生只講述一種曲線，每種曲線至少有1名學(xué)生講

述，則可能的安排方案的種數(shù)為（）

A.240B.480C.360D.720

【答案】A

【詳解】解：有四種曲線，要求每位學(xué)生只講述一種曲線,

c；c；c；c

則5名同學(xué)分成2,1,1,1四組，共有=10種情況,

再將四組學(xué)生分配給四種曲線，一共有A：=24種情況,

則可能的安排方案的種數(shù)為10x24=240種,

故選：A.

【題型四】分配問(wèn)題：球同，盒不同

球相同，盒子不同

方法技巧：盒子不可空用擋板法，盒子可空用接球法。

?典例剖析

1.將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.20D.48

【答案】C

【詳解】解：將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，即把7個(gè)相同的球分成4組，

因?yàn)槊總€(gè)盒子都有球，

所以每個(gè)盒子至少乂一個(gè)球，不妨將7個(gè)球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空插入3個(gè)隔板將

它們隔開(kāi)，即分成4組，不同插入方法共有C：=20種，

所以每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為20.

故選：C.

2.將5個(gè)相同的球放入3個(gè)不同的盒子中，可以存在盒子沒(méi)有球的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.21D.48

【答案】C

【詳解】解：假設(shè)三個(gè)盒子中都存在一個(gè)球，借出來(lái)變成5個(gè)球和3個(gè)虛擬的球分配到三個(gè)不同的盒子中

的問(wèn)題，因?yàn)橛薪栌羞€，所以是不可空的問(wèn)題再用擋板法。

將8個(gè)球擺成一排，中間形成7個(gè)空，只需在這7個(gè)空插入2個(gè)隔板將它們隔開(kāi),不同插入方法共有C；=21

種，

所以每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為21.

故選：C.

3.把20個(gè)相同的小球裝入編號(hào)分別為①②③④的4個(gè)盒子里，要求①②號(hào)盒每盒至少3個(gè)球，③④號(hào)

盒每盒至少4個(gè)球，共有種方法.

A.C；B.dC.C；A：D.

【答案】A

【詳解】設(shè)四個(gè)盒子中裝的小球個(gè)數(shù)分別為a,b,c,d,則a+b+c+d=20,要求①②號(hào)盒每盒至少3

個(gè)球，③④號(hào)盒每盒至少4個(gè)球，令vv=a-2,x=b-2,y=c-3,z=d-3,則w,x,y,z都大于

或等于1,且w+x+y+z=10,問(wèn)題相當(dāng)于將10個(gè)球分成四部分，在10個(gè)球的9個(gè)間隔里選三個(gè)隔開(kāi)，有

種方法，故選擇A

孕名校模擬

1.（2016?山東?高三階段練習(xí)）現(xiàn)有三本相同的語(yǔ)文書(shū)和一本數(shù)學(xué)書(shū)，分發(fā)給三個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少分得

一本，問(wèn)這樣的分法有種（）

A.36B.9C.18D.15

【答案】B

【詳解】解：分配方案為（2,1,1）,其中有且僅有一個(gè)學(xué)生拿兩本書(shū)，

若他拿兩本語(yǔ)文書(shū)，則此時(shí)共有種分法；

若他拿一本語(yǔ)文書(shū)一本數(shù)學(xué)書(shū)，則此時(shí)共有C；種分法;

因此共有C；A；+C；=9種分法.

故選：B.

2.（2022秋,遼寧本溪?高二?？茧A段練習(xí)）中國(guó)空間站已經(jīng)進(jìn)入正式建造階段，天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和

夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙將在2022年全部對(duì)接，形成“〃字結(jié)構(gòu).在中國(guó)空間站建造階段，有6名航天員共同停留在空間

站，預(yù)計(jì)在某項(xiàng)建造任務(wù)中，需6名航天員在天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙這三個(gè)艙內(nèi)同時(shí)進(jìn)行工

作，由于空間限制，每個(gè)艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（）

A.360種B.180種C.720種D.450種

【答案】D

【詳解】方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有3=90（種）不同的方案:

方案二：分別安排3人，2人，1人,共有C：C；C；A；=360（種）不同的方案.

所以共有90+360=450（種）不同的安排方案.

故選：D.

（多選）3.（2022春?江蘇蘇州?高二校考期中）下列說(shuō)法正確的為（）

A.6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有種不同的分法；

B.6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有種不同的分法;

C.6本相同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法；

D.6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人至少—■本，有540種不同的分法.

【答案】ACD

【詳解】對(duì)于A,6本不同的書(shū)中，先取2本給甲，再?gòu)氖Ｓ嗟?本中取2本給乙，

最后2本給丙，共有種不同的分法，故A正確：

對(duì)于B,6本不同的書(shū)中，先取1本作為?組，再?gòu)氖Ｓ嗟?本中取2作為?組，

最后3本2作為一組，共有C：C；C；=60種，再將3分給甲、乙、丙三人，

共有=360種,故B不正確；

對(duì)于C,6本相同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，利用擋板法=10種；

對(duì)于D,6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3種情況討論:

①一人4本，其他兩人各1本，共有C：C；C；C：=90；

②一人1本，一人2本，一人3本，共有=360種，

③每人2本，共有C：C：C；=90,

故共有90+360+90=540種.

故選：ACD

【題型五】代替元法：最短路徑

左右上下移動(dòng)的最短距離，可以把移動(dòng)方向看做字母，比如，向右是字母A,向上是字母B,則移動(dòng)幾步就

是幾個(gè)A,與B相同元素排列

代替元法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”

?典例剖析

1.如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點(diǎn)C,再由點(diǎn)C沿著置于水平面的正方體的棱爬行至

頂點(diǎn)8,則它可以爬行的不同的最短路徑有（）條

A.40B.60C.80D.120

【答案】B

【詳解】試題分析：螞蟻從A到C需要走五段路，其中三縱二豎，共有=10條路徑，從C至共有3x2=6

條路徑，根據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理可知，螞蚊從A到8可以爬行的不同的最短路徑有10x6=60條，故選B.

2.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能

力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的

飛行方式有多少種？

A.5B.25C.55D.75

【答案】D

【詳解】

由題意知：小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，共有以下四種情形：

一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，英有C；=5種

情況；

二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單

位，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，共有C；C；C：；=20種情況；

三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單

位，2次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有CC；C=30種情況；

四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行兩個(gè)單位，

有1次向負(fù)方向飛行且飛行一個(gè)單位，共有C；A；=20種情況；

故而共有5+20+30+20=75種情況，

故選：D.

（多選）3.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者

活動(dòng).小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道尸處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說(shuō)法正確的是

（）

————————

E

A.小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條

B.小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條

C.小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到尸處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為II

D.小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門(mén)口匯合，事件A：小明經(jīng)過(guò)尸；

事件&從尸到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則P（8|A）=尚

【答案】BC

【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動(dòng)，而不能向下、向左移

動(dòng)，

A：小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)為C；=3條，

錯(cuò)誤；

B：小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為C；=35條，

正確：

C：小明到F的最短路徑走法有=6條，再?gòu)氖幒托∪A一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老

年公寓共有35條，所以到尸處和小華會(huì)合?起到老年公寓的概率為*=塌，正確；

D：由題意知：事件A的走法有18條即P（A）=￡,事件由⑶的概率外人修卜竺然之，所以

3535x335

尸（例4）=為「=5,錯(cuò)誤.

故選：BC

學(xué)名校模擬「

1.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由

于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開(kāi)那段維修的路,

如圖，假設(shè)夏老師家在M處，學(xué)校在N處，A8段正在修路要繞開(kāi)，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（）

條

N

M

A.23B.24C.25D.26

【答案】D

【詳解】由Af到N的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有C；=35條路,

由M到A的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有C；=3條路，

由B到N的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有C；=3條路,

所以由M到N不經(jīng)過(guò)AB的最短路在有笛-C；C；=26.

故選：D.

（多選）2.（2023秋?江西吉安?高二江西省萬(wàn)安中學(xué)校考期末）如圖，小明、小紅分別從街道的E、F處出

發(fā)，到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則（）

□G?

□

□

￡

?

A.小紅到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為3

B.小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35

C.若小明不經(jīng)過(guò)尸處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為32

D.若小明先到戶處與小紅會(huì)合，再與小紅一起到老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的

最短路徑條數(shù)為18

【答案】ABD

【詳解】由圖知，要使小紅、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動(dòng)，而不能向下、向左移

動(dòng)，

對(duì)于選項(xiàng)A,小紅到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)

為C；=3條，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為C；=35

條，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,小明到F的最短路徑走法有=6條，再?gòu)氖幒托〖t一起到老年公寓的路徑最短有3條，所

以到F處和小紅會(huì)合一起到老年公寓的共有6x3=18條路徑，故D正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)D可知，小明不經(jīng)過(guò)產(chǎn)處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35-18=17,

故選項(xiàng)C不正確.

故選：ABD

3.（2022秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學(xué)?？计谀┯幸坏缆肪W(wǎng)如圖所示，通過(guò)這一路網(wǎng)從4點(diǎn)出發(fā)

不經(jīng)過(guò)C、D點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的最短路徑有種.

【答案】24

【詳解】

如圖，由已知可得，應(yīng)從A點(diǎn)，先到E點(diǎn),再到戶點(diǎn)，最后經(jīng)點(diǎn)G到8點(diǎn)即可.

第一步：由A點(diǎn)到E點(diǎn)，最短路徑為4步,最短路徑方法種類為=4；

第二步：由E點(diǎn)到尸點(diǎn)，最短路徑為3步,最短路徑方法種類為=3；

第三步：由尸點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)G到8點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為C；C：=2.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，最短路徑有4x3x2=24種.

故答案為：24.

【題型六】代替元法：空車位停車等

這類題大多可以用字母元來(lái)代替轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題從而解決問(wèn)題。

?典例剖析

1.某單位有8個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好有3個(gè)

連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

【答案】C

【詳解】給8個(gè)車位編號(hào)：1,2,3,4,5,6,7,8,

當(dāng)1,2,3號(hào)為空時(shí)，有4xA：種停放方法；

當(dāng)2,3,4號(hào)為空時(shí)，有3xA：種停放方法；

當(dāng)3,4,5號(hào)為空時(shí),有3xA：種停放方法;

當(dāng)4,5,6號(hào)為空時(shí)，有3xA：種停放方法;

當(dāng)5,6,7號(hào)為空時(shí)，有3xA：種停放方法;

當(dāng)6,7,8號(hào)為空時(shí)，有4x4：種停放方法;

所以不同的停放方法的種數(shù)為4A：+3A：+3A：+3A：+3A；+4A：=20A：=20x24=480種.

故選：C.

方法二代替元法：四輛車標(biāo)記為ABCD,四個(gè)空車位，三個(gè)組合一起，標(biāo)記為3,剩余一個(gè)標(biāo)記為1,則變成

數(shù)字1,3與四個(gè)字母排列，且數(shù)字不相鄰，插空法即可禺8=480

2.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其

中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有

種

【詳解】直接代替無(wú)法，標(biāo)記為123456與AAA排列，只選不排。為

3.現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲

車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

【答案】40

【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)

空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個(gè)空上，有1,1,1,4；1,1,2,3；1,2,2,2

三種分組方法，則不同的分組方法共有用+C：=20種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的停放方式共有

2x20=40種.

『名校模擬

1.（2023?上海?高二專題練習(xí)）某辦公樓前有7個(gè)連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號(hào)的車輛停放，恰有兩

輛車停放在相鄰車位的方法有種.

【答案】120

【詳解】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進(jìn)行捆綁看作一個(gè)元素，有A；=6種方法；

另一輛看作另一個(gè)元素，這兩個(gè)元素不相鄰，將這兩個(gè)元素插入另外4個(gè)車位形成的5個(gè)空位中，有A；=20

種，

因此共有A；A：=120種.

故答案為：120

2.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）某停車場(chǎng)行兩排空車位，每排4個(gè)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車,

若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有（）

A.288種B.336種C.384種D.672種

【答案】D

【詳解】甲乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時(shí)，2A>A；種方案，

丙、丁選?輛與甲、乙停泊在同一排，另輛單獨(dú)-排，2A[A]A；種方案，

所以共有2A；.A：+2A；?A：?A；=672種方案.

故選：D

3.甲、乙、丙、丁、戊五位媽媽相約各帶一個(gè)小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動(dòng)車出行，每輛電動(dòng)車只

能載兩人，其中孩子們表示都不坐自己媽媽的車，甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，則她們坐車不同的搭配

方式有

A.12種B.11種C.10種D.9種

【答案】B

【詳解】

設(shè)五位媽媽為ABCDE,五個(gè)小孩為必cde,對(duì)五個(gè)小孩進(jìn)行排練后坐五位媽媽的車即可，

由于甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，故排列的第五個(gè)位置一定是。，

對(duì)其余的四個(gè)小孩進(jìn)行排列：

bcde,bced,bdce,bdec,becd,bedc；

chde,ched,cdbe,cdeh,cehd,cedb；

dhce,dhec,dcbe,dceb,dehc,dech?

ebcd,ebdc,ecbd,ecdb,edbc,edcb.

共有24中排列方法，其中滿足題意的排列方法為：

bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,

共有11種.

本題選擇8選項(xiàng).

【題型七】環(huán)排問(wèn)題：直排策略

環(huán)排問(wèn)題即為手拉手圍一圈的模型，此類問(wèn)題以一人為中心考慮，比如三人手拉手圍一圈，以其中一人為

中心將其一分為二，即變成中間兩人全排列問(wèn)題，再合起來(lái)即為--圈。

?典例剖析

1.（2022春?江蘇蘇州?高二昆山震川高級(jí)中學(xué)?？计谥校┈F(xiàn)有8個(gè)人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人

不全相鄰的排法種數(shù)為（）

A.B.A；-A〉A(chǔ)；C.D.A；-A；.A；

【答案】D

【詳解】8個(gè)人圍成一圈，有'=A；種.

其中甲、乙、丙三人相鄰，看做一個(gè)整體，由

所以甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為A；-A>A；.

故答案為：D

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）A,B,C,D,E,尸六人圍坐在一張圓桌周圍開(kāi)會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，

必須坐最北面的椅子，B,C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（）

A.60種B.48種C.30種D.24種

【答案】B

【詳解】首先，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，

考慮8、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個(gè)座位，位置可以互換，

根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式，得到，4A；,接下來(lái)，考慮其余三人的情況，

其余位置可以互換，可得A；種，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到4xA；xA；=48種，

故選B.

『名校模擬

1.（2021春,遼寧?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，其中一個(gè)排列“甲乙丙”與

該排列旋轉(zhuǎn)一個(gè)或幾個(gè)位置后得到的排列“乙丙甲"或"丙甲乙"是同一個(gè)排列.現(xiàn)有機(jī)位同學(xué)，若站成一排,

且甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共有6（）種，那么這位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，不同的站法總數(shù)為（）

A.24B.48C.60D.120

【答案】A

【詳解】因站成一排時(shí)甲在乙左與甲在乙右的站法數(shù)相同，而m位同學(xué)站成一排有M，則＜4：=60,解

得m=5,

甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一個(gè)圓，“甲乙丙〃、“乙丙甲〃或〃丙甲乙”是同一排列，

其中每一個(gè)排列可以拆成以任意一個(gè)人為排首的直線排列3個(gè)，3人圍成一個(gè)圓的排列數(shù)為;A；,

由此可得〃個(gè)人圍成一個(gè)圓的排列數(shù)為」A,；,5位同學(xué)圍成一個(gè)圓的排列數(shù)為!々=24.

n5

故選：A

2.（2018春?北京海淀?高二統(tǒng)考期中）有這5名同學(xué)圍成一圈，從A起按逆時(shí)針?lè)较蛞来窝h(huán)

報(bào)數(shù)，規(guī)定：A第一次報(bào)的數(shù)為1,B第一次報(bào)的數(shù)為3.此后，后一個(gè)人所報(bào)的數(shù)總是前兩個(gè)人所報(bào)的數(shù)的

乘積的個(gè)位數(shù)字，如此繼續(xù)下去.則A第10次報(bào)的數(shù)應(yīng)該為

A.2B.4C.6D.9

【答案】D

【詳解】第一輪五人依次報(bào)數(shù)為：第二輪五人依次報(bào)數(shù)為：第三輪五人

1,3,3,9,7；3,1,3,3,9；

依次報(bào)數(shù)為：7,3,1,3,3；第四輪五人依次報(bào)數(shù)為：9,7,3,1,3；第五輪五人依次報(bào)數(shù)為：3,9,7,

3,1；第六輪五人依次報(bào)數(shù)為：3,3,9,7,3；第七輪五人依次報(bào)數(shù)為：1,3,3,9,7；與第一輪重復(fù)，

所以第十輪五人依次報(bào)數(shù)為：9,7,3,1,3；即A第10次報(bào)的數(shù)應(yīng)該為9,選D.

【題型八】數(shù)列思想：上樓梯等

1.斐波那契數(shù)列數(shù)列構(gòu)造求解

2.可以把臺(tái)階轉(zhuǎn)化為數(shù)字化型，一次一階，記為數(shù)字1,一步兩階記為數(shù)字2,以此類推，這樣上臺(tái)階轉(zhuǎn)化

為數(shù)字1,2,。。排列，注意重復(fù)元素的排列

7典例剖析

1.欲登上第10級(jí)樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，則不同的走法共有

A.34種B.55種

C.89種D.144種

【答案】C

【詳解】解法1：分類法：

第一類：沒(méi)有一步兩級(jí)，則只有一種走法；

第二類：恰有一步是一步兩級(jí)，則走完10級(jí)要走9步，9步中選一步是一步兩級(jí)的，有=9種可能走法；

第三類：恰有兩步是一步兩級(jí)，則走完10級(jí)要走8步，8步中選兩步是一步兩級(jí)的，有C；=28種可能走

法；

依此類推，共有-C；+C：=89,故選(C).

解法2：遞推法：

設(shè)走3級(jí)有a,：種走法，這些走法可按第一步來(lái)分類，

第一類：第一步是一步一級(jí)，則余下的“一1級(jí)有a—種走法；

第二類：第一步是一步兩級(jí)，則余下的“一2級(jí)有a針:種走法，

于是可得遞推關(guān)系式a。=0-1-,又易得的=La：=2，由遞推可得可：=89,故選(C).

2.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子

數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、.....,在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被遞

推的方法定義：=/⑵=1，/(〃)=/(〃—1)+/(〃-2乂〃22,這種遞推方法適合研究生活中

很多問(wèn)題.比如：一六八中學(xué)食堂一樓到二樓有15個(gè)臺(tái)階，某同學(xué)一步可以跨一個(gè)或者兩個(gè)臺(tái)階，則他到二

樓就餐有()種上樓方法.

A.377B.610C.987D.1597

【答案】C

【詳解】由題意若只有一個(gè)臺(tái)階，則有/(1)=1種上樓方法；

若有兩個(gè)臺(tái)階，則有"2)=2種上樓方法；

若有三個(gè)臺(tái)階，則有/(3)=3種上樓方法；

若有四個(gè)臺(tái)階，則有/(4)=5種上樓方法；

以此類推：

若要到達(dá)第"個(gè)臺(tái)階，前一步可能在第個(gè)臺(tái)階上再跨一臺(tái)階上去，也可能是在第個(gè)2個(gè)臺(tái)階上跨兩個(gè)臺(tái)

階上去，

回滿足"〃)="〃-1)+/(〃-2乂〃22,〃€叱)，符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，由此規(guī)律列舉出前15項(xiàng)：

1>2、3、5、8、13、21、34、55、89、144,233、377、610、987

團(tuán)有15個(gè)臺(tái)階，則他到二樓就餐有987種上樓方法.

故選：C.

3.設(shè)整數(shù)數(shù)列為,電，…，4。滿足4o=3q,生+/=2。5，且4+|€{1+0,2+《},，=1,2,…,9,則這樣的數(shù)

列的個(gè)數(shù)為.

【答案】80

【詳解】設(shè)々=4+i-4e{l,2}（i=l,2,,9）,則有2囚=4（,-4=4+仇++4…①，

b2+b3+b4=a5-a2=a^-a5=b5+也+4…②，

用f表示么也也中值為2的項(xiàng)數(shù)，

由②知，r也是4也也中值為2的項(xiàng)數(shù)，其中f《{0,1,2,3},

所以打,打，也的取法數(shù)為（C；丫+（C；丫+（C；丫+（C；丫=20,

取定瓦也，也后,任意指定仇也的值，有2?=4種方式.

由①知,應(yīng)取偽w{l,2}使得。］+&+L+%為偶數(shù)，

而這樣的4的取法是唯一的，并且確定了整數(shù)4的值，

進(jìn)而數(shù)列4,4，，仇唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)滿足條件的數(shù)列4，%，，?,?,

綜上可知，滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為20x4=80.

故答案為：80.

譽(yù)名校模擬

1.（2020?上海?高三專題練習(xí)）某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上

兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（）

A.45種