2023-2024學年遼寧省遼東區(qū)域高二年級下冊期中考試數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年遼寧省遼東區(qū)域高二下學期期中考試數(shù)學

模擬試題

第I卷（60分）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題意）

1.已知數(shù)列滿足《=2,”2-α,,+∣,則包=（）

5443

A.-B.-?C.-D.一

4354

【正確答案】A

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系即可求解.

1Cl。13o14。15

［詳解］由------可得。〃+】=2-------,所以。2=2-------=—,a3=2------=-9a4=2------=—,

a

2-afl+ιn%2a23a34

故選：A

2.從1、2、3、4、5、6中任取兩個數(shù),事件A：取到兩數(shù)之和為偶數(shù),事件B：取到兩數(shù)均為偶數(shù),則尸（8?A?=

1111

BC

5一4-3-2-

【正確答案】D

【分析】根據(jù)條件概率公式可得解.

【詳解】事件A分為兩種情況：兩個均為奇數(shù)和兩個數(shù)均為偶數(shù),

所以尸（Z）=CL手P(AB)

=gC；5

由條件概率可得：P（BM）=等襄?

產(chǎn)（“）2

故選D.

本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題.

3.在2022北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有

的浪漫傳達給了全世界，我國古代天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)

氣的唇長損益相同，即太陽照射物體影子的長度增長或減少的量相同，周而復始，已知二十四節(jié)氣及唇長

變化如圖所示，若冬至、立春、春分號長之和為三丈一尺五寸，雨水的唇長為九尺五寸，則小暑號長為（一

丈=十尺=一百寸）（）

鼻長逐漸變小

60小，

大.小.

M:川∣wr??ɑ?a

郭長逐羸支大

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

【正確答案】B

【分析】設(shè)冬至唇長為。尺，相鄰兩個節(jié)氣愚長減少或增加的量為“（4〉0）,依題意表示各節(jié)氣的唇長,

即可得到方程組，解得。、d,從而代入計算可得.

【詳解】設(shè)冬至唇長為。尺，相鄰兩個節(jié)氣署長減少或增加的量為4（4〉0）,

則立春號長為a-3d尺，春分署長為a-6d尺，雨水署長為“-41尺，小暑暑長為a—Ild尺，

所以小暑暑長為a—111=13.5—11x1=2.5（尺），即小暑辱長為二尺五寸.

故選：B.

4.為調(diào)查某企業(yè)環(huán)境污染整治情況，得到了7組成對數(shù)據(jù)如下表所示：

第X年1234567

污染指數(shù)Y6.15.24.54.73.83.43.1

由上表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于X的回歸直線方程為j>=-0?475x+α,據(jù)此計算樣本點（2,5.2）處的殘差（殘差

=實際值-預測值）為（）

A.-0.25B.0.25C.0.15D.-0.15

【正確答案】D

【分析】利用樣本中心求解α=6.3,即可求解x=2時的預測值，由殘差定義即可求解.

6.1+5.2+4.5+4.7+3.8+3.4+3.1

【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得嚏==4.4,

故將樣本中心（4,4.4）代入y=-0.475x+a得。=6.3,

故步=—0.475X+6.3,因此當x=2時，y=-0.475×2+6.3=5.35,

所以樣本點（2,5.2）處的殘差為5.2-5.35=-0.15,

故選：D

5.設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝滿足％+%=10，a2+a4^5,則…4的最大值為（）

A.32B.16C.128D.64

【正確答案】D

【分析】結(jié)合已知條件，求出｛4｝的通項公式，然后求解當4時〃的范圍，進而可得到答案.

【詳解】因為等比數(shù)列｛q,｝滿足4+%=10,4+。4=5，

%+%5_1

所以q-

《+%IO2

?5

從而q+%=q+qg=—(21=10=>ɑ1=8,

故/=a?-=24-t),則數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)列,

當。〃≥1時，〃≤4,

故（囚&L%）π>ax=卬。2%4=2**"°=64.

故選：D.

6.某市醫(yī)療保險實行定點醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則，參加保險人員可自主選擇四家醫(yī)

療保險定點醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機構(gòu)，若甲、乙兩名參加保險人員所在的地區(qū)附近有

A,B,C三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們對社區(qū)醫(yī)院的選擇是相互獨立的，則甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院

的概率為（）

1812

A.-B.-C.—D.—

9933

【正確答案】D

【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合對立事件的概率求法運算求解.

【詳解】甲、乙均有3家社區(qū)醫(yī)院可以選擇，故共有3x3=9個基本事件,

31

記“甲、乙兩人選擇同一家社區(qū)醫(yī)院”為事件/,共有3個基本事件，其概率P（Z）=?∣=：,

所以甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率P（N）=I—尸（N）=|.

故選：D.

7.己知（αv+3）（x+l）4的展開式中/的系數(shù)為22,則展開式中X的奇數(shù)次幕項的系數(shù)之和為（

A.64B.32C.16D.8

【正確答案】B

【分析】根據(jù)二項式展開式的特征可得4=1,進而利用賦值法即可求解.

【詳解】（依+3）（》+1）4=依（》+1）4+3（》+1）4,故展開式中》2的系數(shù)為。（3：+3（^=22。α=l,

425

^≈?（x+3）（x+l）=α0+αlx+α2x+???+asx,則令X=1,4×16=α0+α1+α2H-----Fa5,

令X=-L得0=%—tz1+Λ2H------a5,兩式子相減可得%+%+%=—2—=32，

故選：B

8.若數(shù)列6，。2,4，%滿足則稱此數(shù)列為“次等比數(shù)列”.現(xiàn)從1，2,4,8,16,32這6個數(shù)中

隨機選取4個不同的數(shù)，則這4個數(shù)經(jīng)過適當?shù)呐帕泻罂梢詷?gòu)成“次等比數(shù)列”的概率是（）

1717

A.—B.—C.-D.—

1545315

【正確答案】D

【分析】由列舉法結(jié)合組合數(shù)公式以及古典概型概率公式得出這4個數(shù)具有“次等比數(shù)列”性質(zhì)的概率.

【詳解】從6個數(shù)中隨機選取4個不同的數(shù)共有C：=15種不同的選法，

因為1=2°,2=2∣,4=22,8=23,16=2?32=25,

所以具有“次等比數(shù)列，，性質(zhì)的4個數(shù)有：{1,2,4,8},{1}2,8,16},{1,2,16,32},

{1,4,8,32},{2,4,8,16},{2,4,16,32},{4,8,16,32}共7種，

_7

所以這4個數(shù)具有“次等比數(shù)列”性質(zhì)的概率為一.

15

故選：D

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多個選

項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分）

9.已知隨機變量X的分布如下，則（）

9?

A.E(X)=WB.E(3X+1)=2C.D(X)=-D.θ(3X+l)=3

39

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)數(shù)學期望和方差的公式求解.

12

【詳解】由分布列可知：a+24=1,.?.a=],由數(shù)學期望定義可知：E(X)=OXQ+Ix2〃=2〃=§,A

正確；

由E(aX+6)=αE(X)+瓦Q(QX+6)=/D(X)可知：E(3X+1)=3E(X)+1=3,B錯誤;

1??

由方差的定義可知：O(X)=(O—E(X))2x§+(l—E(X)『X1=g,C正確；

D(3X+1)=32JD(X)=2,D錯誤；

故選：AC.

10.如果數(shù)列｛αj為遞增數(shù)列，則｛4｝的通項公式可以為()

〃+]

2

A.an---------B.aιl=2n-↑C.an-2n-5nD.an-T-X

2?-1

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)作差法即可判斷BCD,舉反例即可判斷A.

【詳解】對于A,當q=2,%=l,故不是遞增數(shù)列，故A不符合，

對于B,。,用一/=2〃+1-（2〃-1）=2〉0,故是遞增數(shù)列，故B符合，

對于?,。,出一%=2（〃+1）2-5（〃+1）-（2〃2-5〃）=4〃-3>0,故為遞增數(shù)列，，C符合，

對于D,%+∣-α,=2"∣-l-（2"-l）=2">0,故為遞增數(shù)列，D符合，

故選：BCD

11.某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件/：該家庭中既有男孩又有女孩,

事件8：該家庭中至多有一個男孩，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若該家庭中有兩個小孩，則P（N）=0.5

B.若該家庭中有三個小孩，則P（B）=O.5

C.若該家庭中有兩個小孩，則N與B相互獨立

D.若該家庭中有三個小孩，則Z與B相互獨立

【正確答案】ABD

【分析】若該家庭中有兩個小孩，寫出對應(yīng)的樣本空間即可判斷A和C,若該家庭中有三個小孩，寫出對

應(yīng)的樣本空間，即可判斷B和D.

【詳解】若該家庭中有兩個小孩，樣本空間為C=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝,共4

種情況，

/=｛（男，女），（女，男）｝，8=｛（男，女），（女，男），（女，女）｝,∕3=｛（男，女），（女，男）｝,

21321

則/與8不互斥，P（Z）=—=一，P（B）=―,0（/8）=—=—,

42442

于是P（AB）≠P（A）P（B）,所以/與8不相互獨立，則A正確、C錯誤；

若該家庭中有三個小孩，樣本空間為C=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），

（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝,共8種情況，

/=｛（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）｝，8=｛（男，

女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝,

∕B=｛（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）｝,則Z與B不互斥，

P（A）=-=-,P（B）=-=-,P（AB）=-,于是P（AB）=P（A）P（B）,

84828

所以4與8相互獨立，則C和D均正確.

故選：ABD

12.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一

個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶''的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當前

狀態(tài)決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)從甲、

乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行〃（〃wN"）次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為

X“，恰有1個黑球的概率為P”，則下列結(jié)論正確的是（）

A?B.P（Xl=2）=:

C.數(shù)列｛p“—是等比數(shù)列D.Xn的數(shù)學期望E（X“）=1

【正確答案】ACD

522

【分析】利用己知條件求出Pi=§,P(M=O)=§,P(Xl=2)=,即可判斷A,B；

5?231(3、

利用P.=AP,I+]P(X,I=0)+3P(X,1=2)推出PΛ,->-h可判斷C=

yJJ?Vn??√7

利用P(X=0)=P(x,,=2)=上步可判斷D.

11225

【詳解】由題意，p=—×-H—X—=—,故A正確；

x133339

I22122

P(Y=O)=-X-=-,P(X]=2)=_x_=_,故B錯誤；

v17339v7339

當n≥2(〃∈N*)時,

522

P〃=§P"T+jP(X"T=O)+^P(X"T=2)

52

Rl+HP-)+*%—)]

7J

1

=∣Λ,-ι+∣(-Pn-ι)

12

=-3PI+g

整理得P“-1=J(P"T_|)，

3532

159545

故可知∣p,,是以-Z為首項，以-，為公比的等比數(shù)列，故C正確；

I5J459

P(X"=1)=

12121

P(X"=o)=ZXWP,ι+三尸(Xi=O)=GP,T+鼻尸(XT=。)，

12121

P(X,=2)=[X∕P,,τ+[P(X"T=2)=&p“_|+~P(X,=2),

??JyJnl

因P(M=O)=P(M=2),

所以尸(X“=0)=P(X,,=2)=號，

E(X“)=0XP(X“=0)+1XP(X“=l)+2x尸(X“=2)=lxp,,+2x+%=l,

故D正確，

故選：ACD.

第∏卷(非選擇題)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線上)

2

13.一批產(chǎn)品的一等品率為從這批產(chǎn)品中每次抽取一件，有放回地抽取〃次，用X表示抽到的一等品

的件數(shù)，若E(X)∈Z,Q(X)eZ,則滿足條件的〃的一個取值為.

【正確答案】9(答案不唯一)

【分析】根據(jù)二項分布公式計算.

【詳解】顯然.?.E(X)=g",θ(X)=gχb-=

又E(X)∈Z,。(X)∈Z,.?.〃是9的倍數(shù)；

故答案為：9.

14.中國救援隊在國際救援中多次創(chuàng)造生命救援奇跡，為祖國贏得了榮譽，很好地展示了國家形象，增進

了國際友誼.現(xiàn)有5支救援隊前往3個不同受災(zāi)地區(qū)進行救援任務(wù)，若每支救援隊只能去其中的1個受災(zāi)地

區(qū)，且每個受災(zāi)地區(qū)至少安排1支救援隊，其中甲、乙兩個救援隊只能去同一個受災(zāi)地區(qū)，則不同的安排

方式共有種.

【正確答案】36

【分析】分類討論是否有其他救援隊與甲、乙兩個救援隊一起，結(jié)合組合數(shù)運算求解.

【詳解】若只有甲、乙救援隊同去一個受災(zāi)地區(qū)，則不同的安排方式共有=18種；

若還有一支救援隊與甲、乙救援隊同去一個受災(zāi)地區(qū)，則不同的安排方式共有C；CC；=18種；

所以不同的安排方式共有18+18=36種.

故36.

15.某企業(yè)未引入新技術(shù)前，單件產(chǎn)品尺寸與標準品尺寸的誤差￡~N(O,\],其中加為單件產(chǎn)品的成本

(單位：元)，且尸(-2<￡<2)=0.683；引入新技術(shù)后，單件產(chǎn)品的成本不變，單件產(chǎn)品尺寸與標準品

尺寸的誤差若引入新技術(shù)后尸(-α<e<α)=0.683,則實數(shù)α=.(附：若

X~N.,σ),則尸(|X—er)=0.683,P(?X-μ?<2σ)=0.955,P(?X-μ?<3σ)=0.997.)

【正確答案】1

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出加的值，即可得解.

【詳解】因為且P(-2<￡<2)=0.683,所以J4=2,解得m=1,

所以引入新技術(shù)后，單件產(chǎn)品尺寸與標準品尺寸的誤差￡~N(0,l),

又尸(―。<e<4)=0.683,所以α=l.

故1

16.將數(shù)列｛5〃-4｝與數(shù)列｛/｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛%｝,則使得%>2023成立的?的最小

值為.

【正確答案】19

【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列｛%｝的通項形式，再分析不等式成立的最少項數(shù)作答.

【詳解】令數(shù)列｛5〃—4｝的第左項與數(shù)列｛/｝的第加項為公共項，即5左—4=∕√,左,7"∈N*,

于是左=竺土9=例里X”二D+1，則加+l=5i或加一l=5(i-l),ieN*,

55

即有左=i(5i-2)+l或左=(i—l)[5(i—l)+2]+l,ieN”,

因此5左一4=5i(5i—2)+1=(51—I)?或弘—4=5(z-l)[5(z-l)+2]+l=(5z-4)2,ieN*，

從而數(shù)列｛4｝是數(shù)列｛(5"-4)??｛(5∕7-l)21的項從小到大排列得到的，

顯然數(shù)列｛(5〃—4)2｝,｛(5〃一1『｝都是遞增的，

而當〃=9時，(5〃—41=4/=1681<2023,(5w-l)2=442=1936<2023,

當〃=10時，(5〃—I)?=49?=2401>2023,(?n-4)2=462=2116>2023,顯然462<492,

即數(shù)列｛%｝前18項均小于2023,第19項為2116,是第一個大于2023的項，

所以使得為>2023成立的n的最小值為19.

故19

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.在①/—②(〃—l)%=("+l)4ι這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.數(shù)

列｛4｝滿足q=l,當〃22時,

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)求數(shù)列4—I的前〃項和.

H(77+l)

【正確答案】(1)選擇條件見解析，a

n2-

/、2〃

(2)——

/7+1

an/1+1

【分析】(1)若選①利用累加法計算可得，若選②，可得工=—7,再利用累乘法計算可得;

an-?〃-1

IJl11

(2)由(1)知一=2----------,利用裂項相消法計算可得.

an?rιn+?)

【小問1詳解】

若選①，當〃≥2時，由?！ㄒ弧ǎ?/p>

得an=(%^an-?)÷^an-?~a-2)^1----h(42一%)+白］1+?一+2+1=

n2

顯然對于n=1上式也成立，所以｛%｝的通項公式an="（'I;

若選②，當〃≥2時，由（〃一1）%,得^一二m

w—l

所以%=%×-×-×...×^-×-^l-

%%an-2a∏-?

34+1?u

1H1+1∕

=1X-X-X×X=

12-2-12

顯然對于〃=1上式也成立，所以｛4｝的通項公式％=。（；1）；

【小問2詳解】

12J?I

由（1）知一---E=2一

an+?nn+?

1111

所以數(shù)列《一卜的前〃項和一+—+?"+一

a

an?1?2n

nfi1、?k?

3）?nn+1；?+1Jn+l

18.為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對IOO名患者中的一部分患者采用了A療法，另一部分患者采用

了B療法，并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形圖，如下:

□治愈

□非治愈

根據(jù)圖表，得到以下關(guān)于治療方法和治愈情況的2x2列聯(lián)表:

未治愈治愈

A療法Xy

B療法Z18

（1）求2x2列聯(lián)表中的X,AZ的值，并判斷是否有95%的把握認為此種疾病是否治愈與治療方法有關(guān);

（2）現(xiàn)從采用X療法的患者中任取2名，設(shè)治愈的患者數(shù)為《，求J的分布列與期望.

【正確答案】（1）X=20,y=20,Z=42；有

（2）分布列見解析，1

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解XJ，z,完善列聯(lián)表，根據(jù)公式求力2,并與臨界值對比分析;

（2）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分別求分布列和期望.

【小問1詳解】

X=yrχ=20

由題意可得<x+y=100-z-18,解得，y=20

z_7z=42

,18^3

所以列聯(lián)表為

未治愈治愈總計

A療法202040

B療法421860

總計6238100

,2_IOOX(20ul8-20χ42>

?Z——40x60x62x38

因為4.075>3.841,所以有95%的把握認為此種疾病是否治愈與治療方法有關(guān).

【小問2詳解】

由題意可知：J的取值為0、1、2,

2112

則尸偌=O)=浮C=41Q，Pq=I)=士C畛C竺=7生0，p(?=2)=?C=-19,

,2,

ISCO789)Cw39I'CO78

故自的分布列為

012

192019

P

783978

19.農(nóng)民脫貧致富，已經(jīng)成為當下中國社會的大政方針，近年來全面建成小康社會取得偉大歷史成就，脫

貧攻堅戰(zhàn)取得決定性勝利，為實現(xiàn)脫貧目標，某縣積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟，對本地特產(chǎn)進行廣告宣傳，取

得了社會效益和經(jīng)濟效益的雙豐收.

（1）該縣統(tǒng)計了2022年6?12月這7個月的月廣告投入X（單位：萬元）和月銷量y（單位：萬件）的數(shù)

據(jù)如表所示：

月廣告投入X/萬元1234567

月銷量W萬件28323545495260

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該縣這7個月的月廣告投入X和月銷量y的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并用相關(guān)系數(shù)說明

是否可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系；

（2）該縣為精準了解本地特產(chǎn)廣告宣傳的導向作用，在購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機抽取300人進行調(diào)研,

對因廣告宣傳導向而購買特產(chǎn)客戶的年齡段和性別統(tǒng)計結(jié)果是：客戶群體中青年人約占15%,其中男性為

20%；中年人約占50%,其中男性為35%；老年人約占35%,其中男性為55%,以樣本估計總體，視頻率

為概率，在所有購買該縣特產(chǎn)的客戶中隨機抽取一名客戶.

（i）求抽取的客戶是男性的概率；

（ii）若抽取的客戶是男客戶，則他是哪個年齡段的可能性最大.（請直接寫出答案）

77,____

參考數(shù)據(jù)：ZXa=I354,Z（B-歹y=820,71435?37.88；

i=l/=1

Yjxiyi-nxy

參考公式：相關(guān)系數(shù)>=1="汩“

22

J∑(χi-χ)∑(yi-y)

VZ=I/=1

【正確答案】(1)0.99,可以

(2)(i)0.3975：(i?)老年人

【分析】（1）由相關(guān)系數(shù)的計算公式即可代入求值，

（2）根據(jù)全概率計算公式可求解抽到男性的概率，由貝葉斯公式即可求解老年人的可能性最大.

【小問1詳解】

_1+2+3+4+5+6+7__28+32+35+45+49+52+60q

由已知可得,X=--------------------------=4,y=-----------------------------------------=43,

7

^(x,.-x)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,

/=1

7

Yjxiyi-lxy

_1354-7χ4χ43_15075

所以，尸=I7，='7≈0.99.

χ22√820×28—4√M35?2×37.88

J∑(i-^∑(yl-y)

J=I

因為y與X的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明V與X的線性相關(guān)程度較高，從而可以用線性回歸模型擬合N與X

的關(guān)系.

【小問2詳解】

(i)分別設(shè)抽取的客戶為青年人、中年人、老年人為事件4、4、4,抽到男性為事件8.由己知可得,

P(4)=0.15,P⑷=0.5,P(A3)=0.35,

P(8∣4)=0?2,P(8∣4)=0?35,P(8∣∕J=0?55,

故抽取的客戶是男性的概率為

p(5)=p(4)?p(5∣4)+p(4)p(3∣4)+p(4)?p(5∣4)

=0.15X0.2+0.5X0.35+0.35×0.55=0.3975.

(ii)老年人.理由如下:由于抽取的客戶是男客戶，

尸(4)P(例4)0.15×0.212

則他是中青年年齡段的可能性為

P(B)0.3975-―159

P(Λ)?P(^∣A)_0.5x0.3570

是中老年年齡段的人的可能性為-

P(B)0.3975--T59

尸(4>P(3|4)_O55XO35_77

是老年人年齡段的人的可能性為

P(B)0.3975159

所以老年人年齡段的可能性最大.

20.已知數(shù)列｛4.｝滿足α∣=4,且an+i=3an-2/J+1.

(1)證明：｛?！耙弧ǎ堑缺葦?shù)列，并求｛《,｝的通項公式;

為奇數(shù)

(2)記數(shù)列?,｝滿足“=<求數(shù)列也｝的前2〃項和

4,-〃,〃為偶數(shù)

【正確答案】(1)證明見解析，a,,=3"+n

⑵*τ

【分析】(1)由等比數(shù)列的定義即可求證，

(2)由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【小問1詳解】

4+ι=3%-2〃+1變形得：α,,,∣-("+l)=3αr,-3"=3(α,,-/?),

4Z,,,—(〃+l)、

又q-l=3≠0,故衛(wèi)1二一L=3,所以(｛α“一〃｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.

α“一〃

從而α"一〃=3”,即a“=3"+〃.

【小問2詳解】

,2”—為奇數(shù),

由(I)知為偶數(shù)'故數(shù)列｛4｝1的奇數(shù)項是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是

以9為首項，9為公比的等比數(shù)列，所以

&=(偽+4+-+邑"+92+“+-+&)=〃+3*4+^1^1=2〃2.〃+^^.

21-98

21.2023年是我國全面貫徹黨的二十大精神的開局之年，3月初我們迎來了十四屆全國人大一次會議和全

國政協(xié)十四屆一次會議的勝利召開.2023年全國兩會順利結(jié)束以后，為調(diào)查學生對兩會相關(guān)知識的了解情

況，某市對全市高中生開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)從全市參與該活動的學生中隨機抽取IooO名學生，

得到了他們兩會知識問答得分的頻率分布直方圖如下，由頻率分布直方圖可認為該市高中生兩會知識問答

得分近似地服從正態(tài)分布N(∕∕,σ?2),其中〃近似為樣本平均數(shù)亍，σ?2近似為樣本方差并已求得

元=72.5和S?=37.5.

(1)若該市恰有3萬名高中生，試估計這些高中生中兩會知識問答得分位于區(qū)間(66.4,84.7)的人數(shù)；

(2)若規(guī)定得分在84.7以上的為優(yōu)秀，現(xiàn)從全市高中生中任意抽取一個進行訪談，如果取到的學生得分

不是優(yōu)秀，則繼續(xù)抽取下一個，直到取到得分優(yōu)秀的學生為止，如果抽取次數(shù)的期望值不超過7,且抽取

的總次數(shù)不超過〃，求〃的最大值.

(附：√375≈6.b0.9756≈0.859?0.9757≈0.838.0.9758?0.817.若則

P(μ-b<X<"+b)=0.68,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.95)

【正確答案】(1)24450

(2)7

【分析】(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出給定區(qū)間的概率，即可估計人數(shù);

(2)先求出優(yōu)秀的概率，然后求出幾何分布列，利用錯位相減法求出期望，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及題目數(shù)據(jù)求

出〃的最大值.

【小問1詳解】

由題意，全市高中生中兩會知識問答得分X近似服從正態(tài)分布N(72.5,37.5),

則〃=72.5,cr=a6.1,所以〃-b=66.4,"+2b=84.7,

而P(〃-er<X<〃+2cr)=gp(〃-cr<X<〃+cr)+；P(〃-2cr<X<∕√+2σ)=0.815,

所以該市3萬名高中生中兩會知識問答得分位于區(qū)間(66.4,84.7)的人數(shù)約為30000x0.815=24450(人)；

【小問2詳解】

1-O95