新教材一輪復(fù)習(xí)人教A版第9章第2節(jié)用樣本估計(jì)總體學(xué)案

第二節(jié)用樣本估計(jì)總體

------\必備知識(shí)?回顧教材重“四基”/------

一'教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.頻率分布直方圖

(1)頻率分布表的畫法.

第一步：求極差,決定組數(shù)和組距，組距=黯；

第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)

間；

第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.

(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖).

［頻率/組距

0.030--τ-∣

0.025--j-∏

0.015-H-I---

0.010b-÷4-------1

NjmmoO”分?jǐn)?shù)

橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示磊，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)

的頻率.

2.頻率分布折線圖

頻率分布折線圖：用線段連接頻率分布直方圖中各個(gè)矩形上面一邊的史點(diǎn)，

就得到頻率分布折線圖.

微提醒???

頻率分布直方圖中的常見結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo).

(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊

中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

^^3.中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)

⑴中位數(shù).

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)

據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

(2)眾數(shù).

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(3)平均數(shù).

一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),〃個(gè)數(shù)據(jù)汨，X2,…，X"的

.—1

平均數(shù)X=Z(Xl+x2-I-----HX").

(4)百分位數(shù).

①第〃百分位數(shù)的定義：

一般地，一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有

〃％的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100—〃)％的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

②計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第〃百分位數(shù)為第2項(xiàng)

數(shù)據(jù)；若，是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第吐D項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

4.樣本的數(shù)字特征

如果有"個(gè)數(shù)據(jù)Xl,X2,…，Xnf那么

—1

平均數(shù)為X=.X1+X2~!-----∣~X"),

標(biāo)準(zhǔn)差為—X2+%2--X2+...+x,∣-X2]>

?1———

方差為$2=,[(X]-X:+Cm-X-+...+(X"-X歸.

微提醒■■■

(1)若數(shù)據(jù)無I,尤2,…，%的平均數(shù)為X,則〃猶∣+α,mx2-?^a,7nx3+0,...?

mxn+a的平均數(shù)是mx+o.

(2)若數(shù)據(jù)X1,X2,...,X"的方差為S?,則數(shù)據(jù)Orl+力，axi+b,...,axn+b

的方差為a2s2.

二'基本技能?思想?活動(dòng)體驗(yàn)

i.判斷下列說法的正誤，對的打“小，錯(cuò)的打“X”.

（1）平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.N）

（2）一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.（X）

（3）頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻

率越大.W）

2.一個(gè)容量為32的樣本，，則該組樣本的頻數(shù)為（）

A.4B.8C.12D.16

H1

B解析：設(shè)頻數(shù)為〃，則為=0.25,所以〃=32X^=8.

3.數(shù)據(jù)12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位數(shù)是（）

A.14B.17C.19D.23

D解析：因?yàn)?X70%=5.6,所以第70百分位數(shù)是第六項(xiàng)數(shù)據(jù)23.

4.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為

87,89,90,91,92,93,94,96,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）

A.91.5和91.5

C.91和91.5D.92和92

A解析：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)為87,89,90,91,92,93,94,96,

91+92

所以中位數(shù)是一廠=91.5,

87+89+90+91+92+93+94+96,上

平均數(shù)%=----------------3---------------二91.5.故選A.

5.已知樣本容量為200,在樣本的頻率分布直方圖中，共有〃個(gè)小矩形.若

中間一個(gè)小矩形的面積等于其余（〃一1）個(gè)小矩形面積和的"，則該組的頻數(shù)為

50解析：設(shè)除中間一個(gè)小矩形外的（〃一1）個(gè)小矩形面積的和為p,則中間

一個(gè)小矩形面積為%.由題意，得p+；p=l,所以p=（,則中間一個(gè)小矩形的面

積為:p=（,200×50,即該組的頻數(shù)為50.

\關(guān)鍵能力?研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”/

考點(diǎn)1頻率分布直方圖—綜合性

「典例引領(lǐng)」

例某市為了了解人們對“經(jīng)濟(jì)內(nèi)循環(huán)”的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同

職業(yè)的人舉辦了一次“經(jīng)濟(jì)內(nèi)循環(huán)”知識(shí)競賽，滿分為IOO分(90分及以上為認(rèn)

知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了X人，按年齡分成5組，第一組：［20,25),第

二組：［25,30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),第五組：［40,45］,得到如

圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.

I?頻率/組距

i0.07［?--］~I?

0.06~I

202530354045年齡/歲

⑴求尤.

(2)求抽取的九人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù)).

(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層隨機(jī)抽

樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1?5組.從這

5個(gè)按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識(shí)競賽，分別代

表相應(yīng)組的成績，年齡組中1?5組的成績分別為93,96,97,94,90,職業(yè)組中1?5

組的成績分別為93,98,94,95,90.

(i)分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差；

(ii)以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對“經(jīng)濟(jì)內(nèi)循環(huán)”的

認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢?

解：×5=0.05,所以4=0.05,所以X=120.

95

(2)設(shè)中位數(shù)為αXX5+(α-30)X0.06=0.5,解得α=亍仁32,則中位數(shù)為

32.

—]

(3)(i)5個(gè)年齡組成績的平均數(shù)為X∣=5×(93+96+97+94÷90)=94,

方差為^=∣×[(-1)2+22+32+02+(-4)2]=6.

—?

5個(gè)職業(yè)組成績的平均數(shù)為X2=5×(93+98+94+95+90)=94,

方差為s3=g><[(-1)2+42+02÷l2+(-4)2]=6.8.

(ii)從平均數(shù)來看兩組的認(rèn)知程度相同，從方差來看年齡組的認(rèn)知程度更穩(wěn)

定(感想合理即可).

解題通法

1.頻率分布直方圖的性質(zhì).

頻率

(1)小長方形的面積=組距義￡^T=頻率；

(2)各小長方形的面積之和等于1;

(3)小長方形的高=當(dāng)稱，所有小長方形的高的和為了看.

2.要理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)

系.

「多維訓(xùn)練」

1.(多選題)(2020?嘉祥縣第一中學(xué)高三模擬)在某次高中學(xué)科知識(shí)競賽中，對

4000名考生的參賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分

組的區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),60分以下

視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，則下列說法中正確的

是()

A.成績在[70,80)的考生人數(shù)最多

B.不及格的考生人數(shù)為IooO

C.

D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分

ABC解析：××10=0.25,因此，不及格的人數(shù)為4000X0.25=1000,

故B正確；考生競賽成績的平均分約為45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3

+85X0.15+95X0.1=70.5,故C正確；因?yàn)槌煽冊冢?0,70）的頻率為0.45,在［70,80）

的頻率為0.3,所以中位數(shù)為70+10X,0.3）n71.67,故D錯(cuò)誤.

2.某車間加工零件的數(shù)量X與加工時(shí)間y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

零件數(shù)M個(gè)）11141516

加工時(shí)間y（分鐘）3032364042

該車間的負(fù)責(zé)人作出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)X,y是線性相關(guān)的，并求出y關(guān)于X的

線性回歸方程￡=源+需（其中。是常數(shù)）.據(jù)此回歸模型可以預(yù)測，加工20個(gè)零

件所需要的加工時(shí)間約為（）

A.45分鐘B.46分鐘C.47分鐘D.48分鐘

D解析：由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得三=；（9+11+14+15+16）=13,

_1

γ=^（30+32+36+40+42）=36,即樣本中心點(diǎn)為（13,36）.

將樣本中心點(diǎn)（13,36）代入回歸方程，可得36=分X13+皆，解得分=行，所

以回歸方程為￡=居x+^當(dāng)X=20時(shí)，Q=瑞X20+^^=￥^????48（分鐘）.

考點(diǎn)2統(tǒng)計(jì)圖表——綜合性

「典例引領(lǐng)」

例?*（1）（多選題）（2020.德州一模）某市教體局對全市高三年級(jí)的學(xué)生身高進(jìn)

行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，他們的身高都處在A,B,C,D,E五個(gè)

層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計(jì)圖表，則下面敘述正確的是（）

女生身高情況直方圖男生身高情況扇形圖

"J

x

24

21

18

15

12

9

6

3

A.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)

B.樣本中B層人數(shù)最多

C.樣本中E層男生人數(shù)為6

D.樣本中D層男生人數(shù)多于女生人數(shù)

ABC解析：樣本中女生人數(shù)為9+24+15+9+3=60,男生人數(shù)為100—

60=40,A正確.樣本中A層人數(shù)為9+40X10%=13;樣本中B層人數(shù)為24

+40×30%=36;樣本中C層人數(shù)為15+40×25%=25;樣本中D層人數(shù)為9

+40×20%=17;樣本中E層人數(shù)為3+40X15%=9,B正確.樣本中E層次男

生人數(shù)為40X15%=6,C正確.樣本中D層次男生人數(shù)為40X20%=8,女生

人數(shù)為9,女生人數(shù)多于男生人數(shù)，D錯(cuò)誤.

（2）（多選題）（2020.臨沂一模）某同學(xué)在微信上查詢到近十年全國高考報(bào)名人

數(shù)、錄取人數(shù)和山東夏季高考報(bào)名人數(shù)的折線圖，其中2019年的錄取人數(shù)被遮

擋了.他又查詢到近十年全國高考錄取率的散點(diǎn)圖，結(jié)合圖表中的信息判定下列

說法正確的是（）

人數(shù)/萬人

IOOO-1031

946933915912939942940

800-

5694698700

600-^f*675*^'''°"≡^

400-

65?658.75150558.69?660258.159.256

0A------▲▲-?----A------6▲▲T：

一全國報(bào)名人數(shù)（萬）?全國錄取人數(shù)（萬）

*山東報(bào)名人數(shù)（萬）

人數(shù)/萬人

?81.1

80-

?79.5

78-

761

76-?75.0

*74.9??*與45

74-

?72.374374.3一

72-

70-.69.5

68024681012

高考錄取率（％）

A.全國高考報(bào)名人數(shù)逐年增加

B.2018年全國高考錄取率最高

C.2019年高考錄取人數(shù)約為820萬

D.2019年山東高考報(bào)名人數(shù)在全國的占比最小

BCD解析：2016年的人數(shù)少于2015年人數(shù)，A錯(cuò)誤；2018年的錄取率為

81.1%,為最高，B正確；2019年高考錄取人數(shù)為1031X79.5%^820,C正確;

從2010—2019年山東高考報(bào)名人數(shù)在全國的占比分別為6.9%,6.3%,5.6%,

5.5%,5.9%,7.4%,6.4%,6.2%,6.1%,5.4%,D正確.

解題通法

統(tǒng)計(jì)圖表問題的解決方法

（1）首先要準(zhǔn)確地識(shí)圖，即要明確統(tǒng)計(jì)圖表中縱軸、橫軸及折線、區(qū)域等所

表示的意義，尤其注意數(shù)字變化的趨勢等；

（2）其次要準(zhǔn)確地用圖，會(huì)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)字計(jì)算樣本的數(shù)字特征，會(huì)

用統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體.

「多維訓(xùn)練」

1.（2020.鶴壁二模）中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，，，超過

世界高鐵總里程的余下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營里程（單位:萬公里）

的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（）

鐵路里程

高鐵里程

注：年代代碼1~5分別對應(yīng)年份2014~2018

A.每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營里程增加最顯著

B.從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營里程與年份正相關(guān)

C.2018年高鐵運(yùn)營里程比2014年高鐵運(yùn)營里程增長80%以上

D.從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營里程數(shù)依次成等差數(shù)列

D解析：選項(xiàng)A,B顯然正確；對于C,,1.6）＞0.8,選項(xiàng)C正確；1.6,1.9,

2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選D.

2.甲、乙、丙三家企業(yè)產(chǎn)品的成本分別為IoOoo,12000,15000,其成本

構(gòu)成如圖所示，則關(guān)于這三家企業(yè)下列說法錯(cuò)誤的是（）

IO(XX)120()015(XX)

（60%?/53%?/60%?

甲企業(yè)乙企業(yè)丙企業(yè)

材料□工資口費(fèi)用口

A.成本最大的企業(yè)是丙企業(yè)

B.費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè)

C.支付工資最少的企業(yè)是乙企業(yè)

D.材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè)

C解析：甲企業(yè)的成本為IOOO0;乙企業(yè)的成本為12000;丙企業(yè)的成本

為15000.故成本最大的是丙企業(yè)，故A正確.甲企業(yè)費(fèi)用支出為IooOOX5%=

500：乙企業(yè)費(fèi)用支出為12000義17%=2040;丙企業(yè)費(fèi)用支出為15OOOX15%

=2250.故費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè)，故B正確.甲企業(yè)支付工資為10

000×35%=3500：乙企業(yè)支付工資為12000X30%=3600;丙企業(yè)支付工資為

15000X25%=3750.故甲企業(yè)支付的工資最少，故C錯(cuò)誤.甲企業(yè)材料成本為

10000×60%=6000;乙企業(yè)材料成本為12000X53%=6360;丙企業(yè)材料成本

為15000X60%=9000.故材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè)，故D正確.故選C.

考點(diǎn)3樣本的數(shù)字特征——綜合性

「典例引領(lǐng)」

例?，（1）（2020.德州一模）某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場比賽得分用莖葉

圖表示，莖葉圖中甲得分的部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失（如圖），但甲得分的折線圖完好，則下

列結(jié)論正確的是（

A.甲得分的極差是H

B.

C.甲運(yùn)動(dòng)員得分有一半在區(qū)間［20,30］上

D.甲運(yùn)動(dòng)員得分的平均值比乙運(yùn)動(dòng)員得分的平均值高

D解析：甲得分的極差是28-9=19,A錯(cuò)誤；乙得分的中位數(shù)是一[I7=

16.5,B錯(cuò)誤；甲運(yùn)動(dòng)員得分在區(qū)間[20,30]上有3個(gè)，C錯(cuò)誤：甲運(yùn)動(dòng)員得分的

<9+12+13+13+15+20+26+28

平均值為--------------o----------------------=17,乙運(yùn)動(dòng)員得分的平均值為

O

9+14+15+16+17+18+19+20

=16,故D正確.

8

(2)抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下:

運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次

~Ψ~8791908993

Σ8990918892

則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績的方差為

—1—1

2解析：％甲=§(87+91+90+89+93)=90,xc=^×(89+9