數(shù)學人教A版必修2學案2-3-3直線與平面垂直的性質(zhì)2-3-4平面與平面垂直的性質(zhì)

2．3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2．3.4平面與平面垂直的性質(zhì)[目標]1.記住直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并能應用定理解決有關問題；2.記住平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能應用定理解決有關問題；3.能綜合運用直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定和性質(zhì)解決有關問題．[重點]直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)及應用．[難點]直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理的理解，直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定和性質(zhì)的綜合應用．知識點一直線與平面垂直的性質(zhì)[填一填]1．文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．簡記為：若線面垂直則線線平行．2．符號語言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?b∥a.3．圖形語言：[答一答]1．兩條平行線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面嗎？提示：垂直．因為兩條平行線中的一條垂直于這個平面，所以這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，所以另一條直線也垂直于這兩條相交直線，故另一條也垂直于這個平面．2．分別垂直于兩個平行平面的兩條直線是否平行？提示：平行．因為一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面的平行平面，所以這兩條直線垂直于同一個平面，所以這兩條直線平行．3．垂直于同一條直線的兩平面平行嗎？提示：平行．如圖，過直線l作兩個平面，分別與兩個平面α，β相交于a，a′，b，b′，∵l⊥α，∴l(xiāng)⊥a，l⊥b.∵l⊥β，∴l(xiāng)⊥a′，l⊥b′.∴a∥a′，b∥b′.又a與b相交，a′與b′相交，∴α∥β.∴垂直于同一條直線的兩個平面平行．知識點二平面與平面垂直的性質(zhì)[填一填]1．文字語言：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．2．符號語言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a?α,α∩β＝l,a⊥l))?a⊥β.3．圖形語言：[答一答]4．應用定理若分別去掉以下兩個條件，探究定理是否成立．(1)將條件a?α去掉，結(jié)論是否成立？(2)將條件a⊥l去掉，結(jié)論是否成立？提示：(1)不一定成立，如下圖讓a⊥α，這時也有a⊥l，但a與β不垂直．(2)不成立，如下圖直線a?α，但a與直線l不垂直，顯然a與β不垂直．5．若兩個平面互相垂直，一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與另一個平面的關系是什么？提示：若α⊥β，l⊥α，在β內(nèi)作a與α，β的交線垂直，則a⊥α，∴a∥l.∴l(xiāng)∥β或l?β，即直線l與平面β平行或在平面β內(nèi)．類型一線面垂直性質(zhì)定理的應用[例1]如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點．求證：平面BCE⊥平面CDE.[證明]如圖，取CE的中點G，連接FG，BG，AF.∵F為CD的中點，∴GF∥DE，且GF＝eq\f(1,2)DE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE.則GF∥AB.又∵AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB.則四邊形GFAB為平行四邊形．于是AF∥BG.∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又∵CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDE，∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直，證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關性質(zhì).[變式訓練1]如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點．證明：(1)∵四邊形ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D又CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)如圖，連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，∴ON綊eq\f(1,2)CD綊eq\f(1,2)AB，∴ON∥AM，又MN∥OA，∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴ON＝AM.∵ON＝eq\f(1,2)AB，∴AM＝eq\f(1,2)AB，∴M是AB的中點．類型二面面垂直性質(zhì)定理的應用[例2]如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°，且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.[證明](1)如圖，連接PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，則PG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD.∵BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．則BG⊥AD.又∵AD∩PG＝G，且AD，PG?平面PAD.∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又∵BG，PG為平面PBG內(nèi)兩條相交直線，∴AD⊥平面PBG.∵PB?平面PBG，∴AD⊥PB.證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：1兩個平面垂直；2直線必須在其中一個平面內(nèi)；3直線必須垂直于它們的交線.[變式訓練2]如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC＝90°，∠PBA≠90°.求證：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAB.證明：(1)因為BC∥平面PAD，而BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.因為AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.(2)如圖，自P點作PH⊥AB于H，因為平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.因為BC?平面ABCD，所以BC⊥PH.因為∠PBC＝90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是點H與B不重合，即PB∩PH＝P.因為PB，PH?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因為BC?平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB.類型三垂直關系的綜合應用[例3]如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別為CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[證明](1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因為AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形．所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.掌握線線、線面、面面垂直的性質(zhì)和判定是三種垂直相互轉(zhuǎn)化的關鍵.由線面垂直可知線與面內(nèi)任何一條直線都垂直；由線面垂直亦可得到面面垂直面面垂直的判定.因此說線面垂直是線線垂直和面面垂直的樞紐.[變式訓練3]如圖所示，A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動．(1)當平面ADB⊥平面ABC時，求CD的長；(2)當△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．解：(1)如圖，取AB的中點E.連接DE，CE.因為△ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB.當平面ADB⊥平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，故DE⊥CE.由已知可得，DE＝eq\r(3)，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋EC2)＝2.(2)當△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD.證明如下：①當D在平面ABC內(nèi)時，因為AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD.②當D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)，知AB⊥DE.因為AC＝BC，所以AB⊥CE.又因為DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述，總有AB⊥CD.1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是(C)A．b∥αB．b?αC．b⊥αD．b∩α＝A2．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是(C)A．相交B．異面C．平行D．不確定解析：因為l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可證m⊥α，所以l∥m.3．設α-l-β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么(C)A．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行B．a(chǎn)與b可能垂直，也可能平行C．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行解析：當a，b都與l平行時，則a∥b，所以A、D錯，如圖，若a⊥b，過a上一點P在α內(nèi)作a′⊥l，因為α⊥β，所以a′⊥β，又b?β，∴a′⊥b，∴b⊥α，而l?α，∴b⊥l，與b和l不垂直矛盾，所以B錯．4．如圖，在三棱錐P-ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝eq\r(5).解析：∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).5．已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求證：l⊥γ.證明：方法1：如圖1，在γ內(nèi)取一