2022-2023學年江蘇省常州市某學校高二（下）學情調(diào)研數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年江蘇省常州市某學校高二（下）學情調(diào)研數(shù)學試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若向量五=(1,1,0)石=(2,x,y),且五〃a則I至I=()

A.2B.2?[~2C.√-6D.2√^6

2.若直線，的方向向量為石，平面ɑ的法向量為匯則可能使“∕ɑ的是()

A.K=(1,0,0)，n=(-2,0,0)B.?=(1,3,5)，n=(1,0,1)

C.b=(0,2,1),C=(-1,0,-1)D.K=(1,-1,3)>n=(0,3,1)

3.已知點A(1,2,3)關于OXy平面的對稱點為B,而點B關于%軸的對稱點為C,貝IJl沆f∣=()

A.2√^0B.2√1JC.2√l5D.8

4.若蒼=(-l,x+l,x),K=(2-X,0,3).且五與方的夾角為鈍角，則X的取值范圍是()

A.(~∞(j)B.(j,+∞)

C.(-∞,-l)u(-l,∣)D.(?,3)U(3,+∞)

5.已知五=(I,一1,0),b=(0,1,1)-c=(1,2,771),若五，b>1共面,則實數(shù)Jn=()

A.—1B.3C.1D.—2

6.直線/的方向向量為濟=（Ll,0）,且［過點A（1,1,1）,則點P（2,2,-l）到直線/的距離為（）

A.√-2B.√^^3C.2D.3

7.已知矩形ABC。，P為平面ABCD外一點PA_L平面4BCD,且M,N,分別為PC,PD上的

點，且麗=祝,麗=2布,麗=X亞+y而+z而，則x+y+z=（）

11C5

A.2-2-6-D.1

8.如圖，已知正方體ABCD-4B1GD1，E,F,G分別是

CC1，GDl的中點,則（）

A.直線4尸與直線EG相交

B.直線BlDI〃平面EFG

C.直線BBl與平面EFG相交

D.直線4。

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.空間中三點4(0,1,0),B(2,2,0),C(-l,3,l).。是坐標原點，則()

A.∣AB∣=λΓ5

B.ABIAC

C.點C關于平面。孫對稱的點為(1,一3,1)

D.屈與前夾角的余弦值是空

11

10.下列結(jié)論正確的是()

A.若向量五，b，下是空間一組基底，則為一B,a+c,22—3另也是空間的一組基底

B.直線/的方向向量不=(0,3,0),平面α的法向量是過=(0,—5,0),則“∕ɑ

C.若亞=(2,T-4)，AC=(4,2,0)>AP=(0,-4,-8).則點P在平面ABC內(nèi)

D.若向量記垂直于向量五和石，向量元=2丘+43,(4,NeR且4,μ≠0),則記//元

11.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的

正方體圖案，如圖1,把三片這樣的達?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示

的幾何體.如圖3中每個正方體的棱長為1,貝∣J()

A.COS而用=|

B.CQ=-2AB-AD+2AAi

C.點CI到直線CQ的距離是?

D.異面直線CQ與BD所成角的正切值為S

12.在棱長為1的正方體ABCD-&BlCIDI中，點P滿足存=AB+xAA^+yAD,x∈[0,1],

ye[0,1],則()

A.當x=y時，有且僅有一點P滿足DBlIAlP

B.若4P與平面CGBIB所成角的大小為也則x+2y的最大值為門

C.當x+y=l時，滿足到直線4B1的距離與到平面ZBCD的距離相等的點P有兩個

D.E、F分另I」為AD的中點，若存在；I,μeR,使印=A屁+〃前成立，則點P的軌跡

長度為浮

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對不在平面4BC內(nèi)的任意一點0,^AM=xOA+1OB+

l^OC,則X的值為.

14.已知向量五=(2,0,1)為平面α的法向量，點4(—1,1,2)在α內(nèi)，則點P(l,2,3)到平面ɑ的距

離為.

15.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上,

E,尸分別為4B,BC的中點.設異面直線EM與4F所成的角為。，則CoS。的最大值為.

16.空間直角坐標系。一久yz中，經(jīng)過點PO?,yt),Zo)且法向量為記=(4,B,C)的平面方程為

Tl(X-X0)+B(y-yo)+C(Z-ZO)=0，經(jīng)過點P(Xo,y0,Zo)且一個方向向量為五=

(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直線2的方程為4fl=Wfi=常fi,閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)

給出平面ɑ的方程為3x-2y+z-I=0,直線I是兩個平面X-2y+7=0與2y+z+1=0

的交線，則平面α的一個法向量為,直線I與平面α所成角的正弦值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖在平行六面體4BCD-AIBICIDI中，底面4BCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱A&=2且

?A1AD=?A1AB=60°,前=2兩，點M為BC中點，設荏=HAD=b<AAi=c:

(1)用向量示b,己的線性組合表示向量而；

(2)求MN的長.

18.(本小題12.0分)

已知A(1,2,0),β(0,4,0),C(2,3,3).

(1)求荏與y軸正方向的夾角的余弦值；

⑵已知點P(-3,m,n)在直線4C上，求m+n的值；

(3)若南與通+義而分別是平面α與平面B的法向量且ɑ1β,求/1的值.

19.(本小題12.0分)

如圖，正方體4BCD-&B1GD1的棱長為2,點E為BBl的中點.

(1)求點。到平面ADiE的距離為由

(2)求BCl到平面ADiE的距離.

20.(本小題12.0分)

直三棱柱4BC—力IBlCl中，AA1=AB=AC=2,ACLAB,D為中點，E為中點，F(xiàn)

為CD中點.

(1)求證：EF〃平面/8C；

(2)求直線BE與平面CCIO夾角的正弦值；

(3)求平面ACC與平面CCiC夾角的余弦值.

21.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，?ABC=90o,AB=BC=4,D,E分別為BC,AC的中點，APBC

為正三角形，平面PBCL平面ABC.

(1)求點B到平面PAC的距離；

(2)在線段PC上是否存在異于端點的點M,使得平面CPAC和平面MDE夾角的余弦值為?？若

存在，確定點M的位置；若不存在，說明理由.

22.(本小題12.0分)

某人設計了一個工作臺，如圖所示，工作臺的下半部分是個正四棱柱ZBCD-其

底面邊長為4,高為1,工作臺的上半部分是一個底面半徑為/N的圓柱體的四分之一，點P為

圓弧E2F2(包括端點)上的動點.

(1)若DBl1平面AEF時，求點P與當?shù)淖疃叹嚯x.

(2)若。山2=3,當點P在圓弧E2F2(包括端點)上移動時，求平面PalCl與平面為BICl所成的銳

二面角的正切值的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:因為五〃豆所以至=4落BP(2,x,y)=λ(l,l,O),

2=2

即X=4,解得方=(2,2,0)，

y=0

所以IBl=√22+22=2y]~2.

故選：B.

根據(jù)向量共線建立坐標之間的等式關系，求出了，進而求I石I即可.

本題主要考查共線向量的性質(zhì)，考查模的運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)“∕ɑ時，b-n=0,分別判斷4、B、C、D是否滿足條件即可.

本題考查了向量語言表述線面的垂直和平行關系的應用問題，是基礎題.

【解答】

解：若“∕α,則Gk=0，

而4中B■元=—2,不滿足條件；

B中石?n=1+5=6＞不滿足條件；

C中加元=—1，不滿足條件；

。中行?元=一3+3=0，滿足條件.

故選：D.

3.【答案】B

【解析】解：點4(1,2,3)關于OXy平面的對稱點為B,

而B關于久軸的對稱點為C,

.?.B(1,2,-3),C(I,一2,3),

.?.BC=(0,-4,6),

則I網(wǎng)=√0+(-4)2+62=2√l3?

故選:B.

利用對稱性分別求出B,C,由此能求出結(jié)果.

本題考查兩點間距離的求法，考查對稱點，向量坐標運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，

是基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：因為五=(一l,x+l,x),K=(2-%,0,3).

令五與方共線，則五=%方，即(一LX+l,x)=4(2-x,0,3),

-1=Λ(2-x)(X=-1

即,X+1=0，解得_1,

IA———

Ix=3∕lI3

此時五=(一1,0,—1),1=(3,0,3),即e=一3落五與石反向，

又五與方的夾角為鈍角，

所以N7<0且五與方不反向共線，

即—(2—x)+3x<0且％≠—1,

解得X<2且X≠-1.

故選：C.

令五與琳線，求出X的值，依題意五彳VO且弓與環(huán)反向共線，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到不等式

組求解即可.

本題考查空間向量坐標運算法則、向量數(shù)量積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：由五一

=(1,1,0),b=(0,1,1)，c=(lf2tτri)9

若落b,蕓共面，則蕓=A方+〃/?，

即

(l,2,m)=(λ,-λ+μtμ)1

I=A

所以2=-2+〃，

m=μ

解得4=1,μ=τn=3.

故選：B.

由空間向量的共面定理列方程組求出Tn的值.

本題考查了空間向量的共面定理的應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：”(1,1,1),P(2,2,-l),

：.AP=(1,1,-2),又沅=(1,1,0),

存在沅方向上的投影I存I?cos{AP?m)==^==√^^2,

點P(2,2,-l)到直線/的距離為d=J同2一(°)2=√-?！?=2.

故選：C.

利用向量投影和勾股定理即可計算.

本題主要考查向量投影，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：???麗=祝，PN=21W>

而=而+麗=IDP+∣PC=∣(?P-ΛD)+∣(ΛC-

1

=柄+

-2-

故％+y+z=?.

故選：B.

根據(jù)空間向量基本定理求解即可.

本題主要考查空間向量的基本定理,考查運算求解能力，屬于基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：建立如下圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為2,

則O(0,0,0),β(2,2,0).E(2,1,0),Λ1(2,0,2),F1(2,2,2),G(0,l,2),DI(0,0,2),F(0,2,1),

所以不=(-2,2,-1),OT=(-2,—2,0),兩=(0,0,2),項=(-2,0,-2),FG=(一2,0,2),前=

(-2,1,1)

對4設行與前的公垂向量為元=(χnynz1),貝F=-2巧+2月一Zi二°,

?[EG?n=-2x1+2Zl=O

可取方=(Ll,1)，又飛=(—2,1,0),

?AΛG?n?I—2+,+0∣

所以直線必尸與直線EG的距離d=嗑j」=J'+J≠0,故A不正確；

對設平面EFG的法向量為沆=(X,y,z),則

(?T=7*+2z=0從而可取隹=(LL1),

(EF?m=-2x+y+z=O

所以瓦%?m=-2×l+(-2)×1+0=-4≠0,因此直線BIDl與平面EFG不平行，故B不正

確；

對C,BB[-m=2≠0?故直線B/與平面EFG相交，所以C正確；

對。，砸=(-2,0,-2),與記=(1,1,1)不共線，故直線&D與平面EFG不垂直，故。不正確.

故選：C.

通過建立空間直角坐標，求空間直線的距離以及空間直線與平面的關系，從而能每一個選項進行

判斷.

本題考查了直線與平面的位置關系，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：4(0,1,0),8(2,2,0),C(-l,3,l),

則荏=(2,1,0),AC=(-1,2,1).BC=(-3,1,1).

^?AB?=√22+l2+02=√^^5＞故A正確；

AB-AC=2×(-1)+l×2+0×l=0.

故而J.而，故B正確；

點C關于平面OXy對稱的點為(一13-1),故C錯誤；

c°s＜被而＞=i??=一答,故〃錯誤?

故選:AB.

根據(jù)向量的模判斷4由向量的數(shù)量積判斷B,根據(jù)點關于面的對稱判斷C,由向量夾角的余弦公

式判斷以

本題主要考查向量的坐標運算，以及向量的數(shù)量積公式，向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎題.

10.【答案】AC

【解析】解：對于4若向量乙方兄是空間一組基底，

則6日+nb,pa+qc,xc+yb(m,n,p,q,x,y≠0)構成的向量均不共面，

所以五一B區(qū)+滂2口—3區(qū)也是空間的一組基底，故A正確；

對于B,直線，的方向向量五=(0,3,0),平面α的法向量是過=(0,—5,0),所以五=-5日，故(J.α,

故B錯誤；

對于C,設存=xAB+yAC=x(2,-l,-4)+y(4,2,0)=(0,-4,-8).

2%+4y=0

可得—％+2y=-4,解得即羽=2荏一而，則點P在平面ABC內(nèi)，故C正確;

—4x="8

對于。，若向量記垂直于向量1和E，向量元=4五+〃氏(尢〃eR)且九μ≠0,

所以向量元一定在向量五和石組成的平面內(nèi)，則沆_L元，故。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)空間向量基底定義可判斷4根據(jù)向量共線可判斷B；設存=X超+y而，求出X,y可得判

斷C；根據(jù)向量共面可判斷。.

本題主要考查了空間向量基本定理，考查了空間向量的線性運算，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：衣=而+的=-而+2西=一而+

2(AA^-AB)=-2AB-AD+2AA1,二選項8正確；

如圖以為為坐標原點，建立空間直角坐標系，

則BI(0,1,0),G(TJO),。(一1,0,0),Q(O,-1,1),其一1,1,一1),

.-.QCl=(-1,2,-1),CQ=(1,-2,2),PF=A^=(0,1,0)-

???Cos(CQPF)=C4x1=一條」?選項A錯誤；

lV?I?-Γ^?^??

設m=專薩=一9則點CI到直線CQ的距離d=J∣ρcΓ∣2-m2=J6-^=年二選項C正

確；

BD=硒=(-1,-1,0).???cos(CQ,BD)==%，

.?.tan(CQ,JD)=/17，；?選項D正確.

故選：BCD.

利用向量的線性運算求出血=-2荏-而+2標，所以選項8正確；以4為坐標原點，AiF所

在直線為X軸，所在直線為y軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求出選項A8的幾何量

判斷即得解.

本題考查向量的線性運算，坐標法的應用，點到直線的距離的求解，線線角的求解，屬中檔題.

12.【答案】BD

【解析】解：建系如圖，則根據(jù)題意可得:

71(0,0,0),B(0,1,0),C(l,l,l),D(l,0,0),

41(0,0,1),F1(0,1,1)，c1(l,l,l),D1(1,0,1)，

.?.AB=(0,1,0)，AA^=(0,0,l)>AD=(1,0,0).

.?.xΛ41=(0,0,?)'y^AD=(y,0,0)>

,

.?.AP=AB+xAA1+yAD=(y,1,x),??P(y,l,x)?

對選項A：當x=y時，P(X,l,x),西=(-1,1,1),A^P=(x,l,x-l),

.?.DK-A^P=-X+1+X-1=0,

???。/14止，.??滿足條件的P點有無數(shù)個，故A選項錯誤；

對選項B-.-.-AB上平面CGBIB,

.?.AB=(0,1,0)為平面CClBlB的一個法向量，

又而=(y,l,x),又AP與平面CGBlB所成角的大小為會

?__,I?ABAP?1√^^2

.?.Si”=Icos<4B,AP>∣=兩祠=高K=了，

化簡得M+y2=1,又％∈[0,1],y∈[0,1],

令X=CoS8,y-sinθ,θ∈[θ,?],

__]2

???%+2y=cosθ+2sinθ=√^5sin(0+口)≤√-5?其中sinp=-^=,cosφ=tanφ=

.?.當。+e=割寸，x+2y取得最大值占，即X+2y的最大值為仁，故B正確；

對選項C當％+y=l時，y=1-χf貝IJP(I-1,%),

2

?A1S1=(0,1,0)，AIP=(I-%,l,x—1),I4IPl=√3+2x—4%,

卡在彳瓦上的投影為陰膂=∣=ι,

MIBIl1

則點P到直線的距離d=JI2-I2=√2x2-4x+2-

???平面ABCD的一個法向量為甌=(0,0,1)>又屁=(1-X,l,x)，

???點P到平面ABCD的距離為券華=X,

???當點P到直線AlBl的距離與到平面ABCD的距離相等時，√2x2-4%+2=x，

即/-4X+2=0,又xe[0,1],.?.方程有一個解χ=2-√^Σ,

.??y=√^-l,即僅存在一個點P滿足條件，故C錯誤；

。選項：???E?尸分別為A4,AD的中點,

又A(0,0,0),D(LO,0)，AI(0,0,1)，

.?.E(O,O,∣),F?O,O).

.?.BE=(O,-1,?),FF=(i,-1,0),

.?.D^=λBE+μBF=λ(O,-l,∣)+μ(∣,-l,O)=^l-λ-〃,務

又印=(y-l,l,x-l),

(?y~i3

.?.<匕-λ…—μ=】1,???%+y=

又X€[0,1],y∈[0,1],設M(LlW),N*1,1),

???點P的軌跡為平面CGBlB中的線段MN,

且其長度為MN=J(I-今2+(1_I.+(61)2=子,故。正確.

故選：BD.

建立空間直角坐標系，根據(jù)向量關系式確定動點位置或軌跡，然后逐項進行判斷即可求解.

本題考查立體幾何的綜合應用，向量法求解線線垂直問題，向量法求解線面角問題，向量法求解

點面距問題，軌跡長度問題，屬中檔題.

13.【答案】一|

【解析】解：因為祠=Xa3+g赤+g旅，

所以兩一瓦？=X歷[+3而+：能，

即而r=(x+l)OA+^OB+^OC,

因為點M,A,B,C四點共面，所以(x+1)+：+g=1,

所以乂=_|,

故答案為：-

把已知關系式化為麗=(X+1)E+"而+；元，然后根據(jù)因為點M,A,B,C四點共面，所

以0+1)+：+：=1,即可求解.

本題考查了平面向量基本定理的應用，考查了學生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題.

14.【答案】√3

【解析】解：由4(-1,1,2),P(l,2,3),得方=(一2,-L-1)，

.?.Λ4?n=-4-1=-5>

設點P(l,2,3)到平面α的距離為d,

則d=畫?∣8S同科=同I?黑r需=六=C

故答案為：√^^5.

利用向量求法可得點到平面的距離.

本題考查點、線、面間的距離計算，考查空間向量的應用，是基礎題.

15.【答案】I

【解析】

【分析】

本題考查建立空間直角坐標系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題.

【解答】

解：根據(jù)已知條件，AB,AD,4Q三直線兩兩垂直，

分別以這三直線為X,y,Z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

如圖所示建系，設48=1,則方=(lg,O),F(∣,0,0).

設M(O,y,l)(0≤y≤l),則前=(-g,y,l),

∣-∣+∣y∣

故CoSe=

尸1、!+y2+ι

2q-y)=J_.(2-2y)2=_1_I8y÷l

CJ4y2+5-Ny∣4y2+5-Cq4/+5'

令8y+1=t,1≤t≤9,

8y+l16、1

則鏟石=碑；≥g,當且僅當t=l取等號，

故cos。=7??J1-韶≤√?×JIY

122

=KXK=+

當y=0時，取到最大值.

16.【答案】(3,—2,1)*

【解析】解：??,平面α的方程為3%-2y+z-l=0,

???平面α的法向量可取西>=(3,-2,1),

又平面X-2y+7=0的法向量為而=(1,-2,0),

平面2y÷z+l=0的法向量為宿=(0,2,1),

直線1是兩個平面X-2y+7=0與2y+z+1=0的交線，

設兩平面X-2y+7=0與2y+z÷1=0的交線的方向向量為沅=(xfy,z),

由R咤一：-θ令y=1,則％=2,z=—2,則沆=(2,1,—2),

令直線L與平面α所成角的平面角為仇

Msin0=Icos<m,mΓ>I=jggi=7?i=?j5.

故答案為：(3,—2,1)；穿

先求出三個平面的法向量，設兩平面的交線的方向向量為沆=(X,y,z),并求出其坐標，即得直線

1與平面α所成角的正弦值.

本題考查平面的法向量、直線與平面所在角及其正弦值的求法等基礎知識，考查運算求解能力，

是中檔題.

17.【答案】解：(1)連接AM如圖所示：

,"?---->■■■?1>?1?>

VAM=ABBM=AB+/8。=48+,(84+40)=

AB

^AB+^AD=^(a+b),

俞=∣麗=∣西+硒=|@+辦

.?.MW=ΛW-AM=∣(K+c)-i(α+K)=-∣α+?+∣C;

?MMO?

(2)因為平行六面體ABCD-AlBlC15，?A1AD=?A1AB=60°,

AA1=2,且底面ABCD是邊長為1的正方形，

所以IRl=I,巧I=I,|下|=2,a-b=0,a?c=bc=l×2×cos600=1,

由⑴知I而『=(一綱+笆+|。2=［同2+表向2+前研2一步萬一|方々+的々

1142258----->√-58

=5+?+9×44-3+9=?,?-??MN?^~.

【解析】(I)根據(jù)空間向量基本定理及向量共線定理將而轉(zhuǎn)化為蒼，E，下即可；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，兩邊同時平方，根據(jù)向量數(shù)量積定義及模的公式計算結(jié)果即可.

本題考查了向量的數(shù)量積運算，考查向量的線性運算，考查向量的模的計算，屬中檔題.

18.【答案】解：(I)AB=(一1,2,0),設。為坐標原點，在y軸正半軸取點D(0,1,0),則前=(0,1,0).

■cos<ABOD>=宿歷=---

cos<Ab,υυ>-l^πz^l-^-ξ-5，

四與y軸正方向的夾角的余弦值為看；

(2)元=(1,1,3)，AP=(-4,m-2,n),

???點P在直線4C上，???存在;I,使*=4宿BP(-4,m-2,n)=Λ(1,1,3),

(λ=—4

?Im—2=λf解得m=-2,n=-12,

U=32

???m+n=—14；

(3)根據(jù)題意，ABL(AB+λAC),

.?.AB-(AB+λAC)=AB2+λAB-AC=5+4=0，解得％=-5-

【解析】(1)可求出荏=(一1,2,0),可設O為坐標原點，在y軸正半軸取點D(0,1,0),然后求出cos<

AB1OD>即可；

(2)可得出而=4而，從而得出(-4,m-2,n)=4(1,1,3),進而可求出τn,n的值，從而求出m+n

的值；

(3)根據(jù)題意得出而1(AB+λAC),從而得出赤?(AB+AAC)=0?進行數(shù)量積的坐標運算即可

求出a的值.

本題考查了向量夾角的余弦公式，向量坐標的數(shù)量積運算，根據(jù)點的坐標求向量的坐標的方法,

向量垂直的充要條件，共線向量基本定理，考查了計算能力，屬于基礎題.

19.【答案】解：(1)以Zλ4,DC,DDl所在的直線分別為％,y,Z軸，建系如圖,

則4(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),DI(0,0,2),E(2,2,l),

.?.AE=(0,2,1),砧=(-2,0,2).

設平面ADlE的一個法向量為亢=(x,y,z),

,,(n?AD=-2%+2Z=ODT"巾---?

則rlL一1，取Trn=(2,-1,2),又DDl=(0,0,2),

(幾?AE=2y+z=0

???點D到平面ADIE的距離d=嚕1==上

∣n∣√4+1+43

(2)由(1)可得平面ADlE的法向量為針=(2,-1,2),

???B(2,2,0),C1(0,2,2),

：.西二(-2,0,2).

???BC1?n=2×(—2)+(―1)×0+2×2=0>

.?.BCiLn,又BClC平面他E，

???BCI〃平面ADiE,

；?BCi到平面AOlE的距離可以轉(zhuǎn)化為點B到平面4。住的距離，

由而=(0,2,0),

所以BCl到平面ADIE的距離為￡=嚅=7=====|.

【解析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量法求點。到平面4D]E的距離為d即可；

(2)利用法向量的來證明線面平行，將BCl到平面ADlE的距離進行轉(zhuǎn)化為點到面的距離即可.

本題考查點面距的求解，線面距的求解，向量法的應用，屬中檔題.

20.【答案】解：⑴證明：在直三棱柱ABC-/!聞。］中,

AA11平面&BC,HAC1AB,則AlCl1A1B1,

以aA、Tl1B1,&Cl所在直線分別為X、y、Z軸，建立如

下圖所示的空間直角坐標系，

則4(2,0,0)、8(220)、C(2,0,2)?AI(0,0,0)、

Bl(0,0,2)、Cl(0,0,2)、D(0,1,0)>E(l,0,0),F(IW,1),

EF=(θ,?,l).易知平面4BC的一個法向量為記=

(1,0,0),

.?.FF?τn=0.故前1沆，???EF仁平面4BC,故EF//平面4BC；

(2)由(1)知京=(2,0,0)，C^D=(0,1,-2).EB=(1,2,0)，

設平面CClD的法向量為丘=(x1,y1,z1),

則■二-

一、

cos<.ErBS,u>=—EB-U=-4

IEBHUl5

直線BE與平面CClD夾角的正弦值為強

(3)由(I)知飛=(2,0,2),A^D=(0,1,0),

設平面4CD的法向量為方=(x2,y2,z2),

:?叱=2A?+2Z2=0,取LT),

則

V?√4]D—=0

UV1√Tθ

.?.COS<u,v>—

∣∏∣?∣v∣__√^5×ΛΛ^2--^0

.??平面&CD與平面CGD夾角的余弦值為qi

【解析】⑴以點必為坐標原點，&A、A1B1,4C1所在直線分別為x、y、Z軸建立空間直角坐標

系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立;

(2)利用空間向量法可求得直線BE與平面CClD夾角的正弦值;

(3)利用空間向量法可求得平面4CD與平面CGD夾角的余弦值.

本題考查向量法證明線面平行，向量法求解線面角問題，向量法求解面面角問題，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)連接PD,??FPBC是正三角形，又。為BC中點,

?PD1BC,

?.?平面PBCL平面4BC,平面PBCn平面ABC=BC,PDC5FffiPBC,

.?.PDI5FlHlzlfiC,又DB,DEcs^iSiABC,：.PDlDB,PD1DE,

?ABC=90o,D,E分別為BC,AC的中點，

.?.DE//AB,AB1BC,?BC1DE,

如圖，以。為坐標原點，DB,DE,DP分別為％,y,Z軸，建立空間直角坐標系,

VAB=BC=4,則Z)(0,0,0),5(2,0,0),C(-2,0,0).4(2,4,0),P(0,0,2√^3)>F(0,2,0),

設平面PAC的法向量記=(尤,y,z),

?.?PC=(-2,0,-2√-3).AC=(-4,-4,0).

∣j∣∣CPC?n=-2x—2y∕~3z=0

l取z=1,得元=(-√~3,<^3,1),

(^4C?n=-4x-4y=0

"PB=(2,0,-2√3),

二點B到平面.C的距離d=嚅I=將=學.

(2)由(1)知元=(-C,√■召,1)是平面PAC的一個法向量,

由題可設麗=4正，且;Ie((U),則麗=4(-2,0,-2/3)=(-24,0,—20)，

.?.^DM=^DP+^PM=(0,0,2√3)+(-2λ,0,-2>Λ3λ)=(-2λ,0,2√^-2y∏λ),

設平面MDE的法向量為沅=(a,b,c),

VDE=(0,2,0)，

..您?記=-2%+(2)-2口板=。，取c=4,則沅=(√^-C4,(M),

WE?m=2b=0

???平面CP4C和平面MDE夾角的余弦值為?,

.??∣cos<n,m>∣=∣?∣3"?3+0+a∣_C

√-7×J4Λ2-6λ+3

解得a=T或;1=1,

???存在點M,使得平面24C和平面MDE夾角的余弦值為?，此時M為PC的中點.

【解析】(I)根據(jù)線面關系證得PDIDB,PDA.DE,BC1DE,則以。為坐標原點，DB,DE,DP

所在直線分別為％,y,Z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果.

(2)求出平面PAC,平面MnE的法向量，利用向量法能求出結(jié)果.

本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、點到平面的距離、二面角的余弦值等基礎知識，考查運算求解

能力，是中檔題.

22.【答案】解：(I)如圖，以。為原點，以DC,DA所

在直線為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設—771,

則D(0,0,0),Z)2(0,0,l+m),E(√^Σ,O,1),F(