2022-2023學年上海市高一年級上冊末數(shù)學模擬試題（含解析）

2022-2023學年上海市高一上學期末數(shù)學模擬試題

（含解析）

一、填空題

1.已知點⑶6）在某幕函數(shù)圖像上，則該幕函數(shù)為>=.

【答案】I

【分析】待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】解：設卜=/,因為點（3,6）在某幕函數(shù)圖像上，

所以3"=百，得a=g，

所以，該幕函數(shù)為y-x

故答案為：/

2.函數(shù)/（力=右的定義域是.

【答案】（v,0）U（0,一）

【解析】由分式分母不為0,解不等式即可.

【詳解】由得xwO,故函數(shù)〃x）的定義域為（YO,0）U（0,+?0.

故答案為：（YO,0）U（0,+?））

3.已知2"=6,6*=8.則必=.

【答案】3

【分析】由題知。=log?6,/>=log68,再根據(jù)換底公式計算仍即可；

【詳解】解：因為2〃=6,6〃=8,所以。=1。&6,Z）=log68,

所以而=log26-log68=^q3皿2=?

噫2?og62

故答案為：3

4.方程32X-3X+I+2=0的解為.

【答案】x=0或晦2

【分析】利用換元法，令3'=/,即可進一步求解.

【詳解】令3，=f,

則方程化為*-3/+2=0，

解得f=l或f=2,

即3』或3*=2,

故答案為：x=0或log32.

5.已知sina=-(,則cos(a+/=.

3

【答案】-##0.6

【分析】利用誘導公式求得正確答案.

【詳解】cosfa+^=-sina=|.

3

故答案為：—

6.函數(shù)y==的單調(diào)減區(qū)間為

x-2

【答案】(-8,2)和(2,+8)

【分析】分離參數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得歹=士的單調(diào)區(qū)間，進而可求解.

【詳解】巴=(2)+3=］+上,由于函數(shù)y=J的單調(diào)減區(qū)間為(-8,2)和(2,+8).

x-2x-2x-2x-2

故函數(shù)夕=二Y4-=1的單調(diào)減區(qū)間為(F,2)和(2,+8).

故答案為：(-8,2)和(2,+8)

7.已知y=/(x)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，且04x41時/(x)=x(2*-l),則/(-1)=.

【答案】T

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求解.

【詳解】由于04XW1時/(x)=x(2，-l),故〃1)=2J1=1,

由V=/(x)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)可得/(-I)=-/(1)=-1.

故答案為：-1

8.設《€卜2,0,；,1,21,且對任意xe(0,l),都有J>x，則左的取值范圍是.

【答案】.2,03

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】因為函數(shù)了=“'(0<“<1)在(-8,+8)上是減函數(shù)，

所以對任意xe(0,l),都有x?>x，得％<1,

則％的取值范圍是卜2,0,；｝.

故答案為：1-2,0,-1

/、\2x+2,x<0

9.已知函數(shù)/(x)=,則函數(shù)y=f[/(x)]的所有零點之和為_____________.

Ilog]X,X>Vr

4

【答案】y

【分析】利用分段函數(shù)，分類討論，即可求出函數(shù)y=/[/(x)]的所有零點，從而得解.

31

【詳解】時，2x+2=0,x=-l,由/(工)二一1,可得2%+2=—1或log3X=T,.?.x=-Q或x=§；

x>0時，log3x=0,x=l,由/(x)=l,可得2x+2=l或,.?.x=-g或x=3；

?.?函數(shù)?[/(切的所有零點為3,所以所有零點的和為(-斗；+(-小3=2

4

故答案為：—.

10.已知函數(shù)/(x)=log”(加-/x+6)在(_肛1)上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

2

【答案】[2,3]

1

a+—>\t

2

a>0

【分析】由題知卜="2一。2工+6>0在(_8,1)上恒成立，進而得<2N、八，再解不等式即可得答

a-a"+6>0

案.

【詳解】解：因為函數(shù)/(x)=l°g“+；(af-42x+6)在(-8,1)上是嚴格減函數(shù),

所以，y一。2工+6>0在(一8,1)上恒成立,

故Q>0且一。2%+6在(-00,1)上單調(diào)遞減,

1?

Q+—>1

2

Q>0「1

即有2八Z解得。目2,3.

a-a"+6>0*L」

所以，實數(shù)。的取值范圍是[2,3].

故答案為：[2,3].

11.己知函數(shù)”》)=/+2-2-，+3,若實數(shù)/6滿足/(2/)+/(從—。=6,則“向芯的最大值

為.

3

【答案】:##0.75

4

【分析】由題知〃x)滿足任意xeR,都有/(x)+/(-x)=6,進而得2/+/=1,再根據(jù)基本不等

式求解即可.

【詳解】解：令g(x)=x3+2=2-，，因為g(T)=(-xy+2T-2、=-g(x)

所以，函數(shù)g(x)=x3+2、-2-、是R上的奇函數(shù)，

所以函數(shù)g(x)=/(x)-3關(guān)于(0,0)中心對稱，

所以，/(x)=/+2、-+3關(guān)于(0,3)中心對稱，

所以，/(x)滿足任意xeR,都有/(X)+/(-X)=6.

因為/(2叫+/(/_1)=6,

所以2a2+/>2_i=o，即2a2+/=i

所以aJl+2〃=--2aJl+2〃<--4"，"2〃=-=

22244

當且僅當2a=7?7方=逅，即。=逅，6=±g時取等號，

242

所以aj巧記的最大值為;.

故答案為：7

4

(x+1)2+ax<0

12.已知aeR,函數(shù)/(》)=1，若函數(shù)/(好的圖像上有且只有兩對點關(guān)于丁軸對稱,

——；----FX>0

[2I-'+2-I+I

則。的取值范圍是

31

【答案】(-不5)

【分析】運用對稱性及單調(diào)性求得x>0時，/G)的最大值，再求得關(guān)于y軸對稱的函數(shù)和圖象，

畫出/(x)和g(x)的圖象，結(jié)合圖象求得僅有兩個交點的a的范圍.

【詳解】令/(x)=21+2*1

則工(》)=21+2-向是由?)=2、+2T向右平移1個單位得到的，

而f(x)=2'+2T是R上的偶函數(shù)，且在(--0)上單減，在(0,+8)上單增，

.?./(x)=2i+2-e關(guān)于E對稱，且在(-8,1)上單減，在(1,+?))上單增,

即當x=l時，fi(x)min—2,

.?.當x>0時，函數(shù)/(x)=2i：2-〃，關(guān)于尸1對稱，且在(0」)上單增，在(1，+8)上單減，，當x

>0時，〃x)2=g；

1

，〃x)=2、T42r(x>。)的大致圖象如圖所示:

3；；，g(x)=(x-1)2+a

2-

-1-

-2-

若/(x)圖象僅有兩對點關(guān)于y軸對稱,

即/(x)(xVO)的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)圖象與/(x)(x>0)僅有兩個交點,

而當x<0時，f(x)=(x+1)2+a.

設其關(guān)于歹軸對稱的函數(shù)為g(x),

.'.g(x)—f(-x)=(x-1)2+a(x>0),.'.g(x)2a,

11?

又當x=0時，而當x=0時，(x-1)2+q=a+i,

21+2*2''+25

2I

當g(x)與/(x)僅有兩個交點時，。+1>］且。<萬，

??——<?<—，

52

綜上，。的取值范圍是(-1,I),

故答案為(一y).

【點睛】本題考查函數(shù)的最值求法和對稱性，注意運用數(shù)形結(jié)合思想方法和轉(zhuǎn)化思想，考查運算能

力，屬于中檔題.

二、單選題

13.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在(0,+8)上是增函數(shù)的是()

A.y=x2B.y=2x-1C.y=-D.y=x3

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合選項即可求解.

【詳解】對于A,y=f是偶函數(shù)，故不符合,

對于B,y=2*-1為非奇非偶函數(shù)，故不符合，

對于C,y=1在(0,+8)上是減函數(shù)，故不符合

X

對于D,y=x3奇函數(shù)，同時又在(0,+8)上是增函數(shù)，符合要求，

故選：D.

14.已知角a滿足tana<0,cosa>0,則a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各選項的符號判斷即可.

【詳解】解：由tana<0,得角a是第二或第四象限角；

又cosa>0,得角夕是第一或第四象限角.

綜上，。的終邊在第四象限.

故選：D

15.設>=/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且在(-紇,0)上是嚴格增函數(shù)，則下列一定正確的選項是()

J

A.〃1嗚5)>/[2]>/[2[B./(log35)>/^^>/^2

C./M^>/h^l>/(log35)D.口

【答案】A

【分析】求出函數(shù)y=/(x)在定義域上的單調(diào)性，比較log.Q,2一！和2t的大小即可得出70°85)，

r_3\/_5>

f2，，f2「2三者的大小關(guān)系.

k/\7

【詳解】解：由題意

：y=/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且在(-%0)上是嚴格增函數(shù)，

.../(X)在(0,+8)上也是嚴格增函數(shù).

???在)=2-"中，y=函數(shù)單調(diào)遞減，故]>2-!>2-]

在y=log3X中，函數(shù)單調(diào)遞增，logs5>log?3=1

35

A-

log35>l>2^>22

.?./(晦5)>/■產(chǎn)>/產(chǎn))

故選：A.

x9xeP

16.設函數(shù)歹=/(x)=1'」其中P,M是R的兩個非空子集.又規(guī)定

——M

.x

/(2)="?=/(x)，xeP},/(M)={y|y=/(x),x€M},則下歹|J說法：

(1)一定有Pc”=0

(2)一定有/(P)CI/(M)=0

(3)若PuA/wR,則Z(P)U4(M)#R

(4)若尸UM=R,則力(P)U4(M)=R

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】對于(1)根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可得；(2)舉特例尸={-1},"={1}驗證不成立；對于(4)

舉特例P=(-嗎1),“=[1,+8)驗證不成立,對于(3)根據(jù)(4)來判斷正確與否.

【詳解】函數(shù)/(x)是分段函數(shù)，不同段的定義域沒有公共部分，

故尸cM=0一定成立，因此(1)正確；

當尸={一1},"={1}時，由題意得4(尸)={-1},/(屈)={-1}

顯然4尸)Cl/(")={-[}*0,故(2)不正確；

對于(4)：當尸=(Y』),〃=口,+8)時，顯然滿足PU〃=R成立，根據(jù)已知的規(guī)定，有

/(尸)=(-8,1),4(")=(0」],則Z(P)UN(M)=(-8,1)WR,因此(4)不正確；

對于(3)：當PUM=R時，/(P)U/(〃)=R不一定成立，故當PuMwR時，顯然Z(P)UN(M)*R

一定成立，因此(3)正確，

所以正確的個數(shù)是2個.

故選:C.

三、解答題

17.對于角。，

…7

(1)若sina+cosa=—,求sinacosa的值：

⑵若tana=3,求cos.+sinac,a的值

sin-a+2cosa

【答案】⑴-普

4

一?

'Q),11

【分析】(1)根據(jù)(sina+cosa)2=1+2sinacoscr可構(gòu)造方程求得結(jié)果;

(2)分子分母同除cos?a,即可配湊為關(guān)于tana的式子，代入tana的值即可.

，,,49

【詳解】(1)V(sina+cosa)=sin2cz+2sinacosa+cos2a=1+2sinacosa=----,

.cos-a+sinacosa1+tana1+34

(2)-----------------=?—；-----=----=—.

sin-a+2cos-atan-a+29+211

18.設函數(shù)y=/(x),其中/(*)=十|x-a|.

(1)若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，求實數(shù)。的值；

(2)若ae(2,3),記g(x)=/(x)-10,求證：函數(shù)y=g(x)在［2,4］上有零點.

【答案】(1)0

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)/(1)=/(-1)求出。=0,在驗證a=0時.，/⑶為偶函數(shù)即可;

(2)利用。e(2,3)結(jié)合零點存在性定理即可證明.

【詳解】(1)若函數(shù)V=/(x)是偶函數(shù)，則/(1)=〃T),BP|1-?|=|-1-?I>

所以1-“=-1-a或1-a=1+a,所以a=0,

此時/(x)=f|x|,f(-x)=(-x)21-x|=x21x|=f(x),滿足/(x)為偶函數(shù)，

所以4=0.

(2)因為g(x)=/(x)-10=x2

所以g(2)=4|2-a|-10=4|a-2|-10,g(4)=1614-a|-10=16|a-4|-10,

因為aw(2,3),所以。-2e(0,l),a-4€(-2,-1),

所以g⑵=4|a-2|-10e(-10,-6),g(4)=16|a-4|-10e(6,22),

所以當ae(2,3)時，g(2)g(4)<0恒成立,

故函數(shù)V=g(x)在［2,4］上有零點.

19.某市為了刺激當?shù)叵M，決定發(fā)放一批消費券.已知每投放a(O<a44,aeR)億元的消費券，這

批消費券對全市消費總額提高的百分比》隨著時間x(天)(xeR,x20)的變化的函數(shù)關(guān)系式近似為

|i^,0<x<2

夕=也”，其中f(x)=7-x,2<x47,若多次投放消費券，則某一時刻全市消費總額提高的百分

100,x>7

比為每次投放的消費券在相應時刻對消費總額提高的百分比之和.

(1)若第一次投放2億元消費券，則接下來哪段時間內(nèi)能使消費總額至少提高40%?

(2)政府第一次投放2億元消費券，4天后準備再次投放機億元的消費券，將第二次投放消費券后過

了x天(xeR,04x42)時全市消費總額提高的百分比記為g(x).若存在x0G[0,2],使得

g(x0)>80%,試求，〃的最小值.

【答案】(1)接下來的1~5天內(nèi)，能使消費總額至少提高40%

(2)1

【分析】(1)將問題轉(zhuǎn)化為/(x”2,分別在各段區(qū)間內(nèi)解不等式即可求得結(jié)果；

(2)分別表示出第一次投入和第二次投入帶來的消費總額提高的百分比，由此可得g(x),由

g(x)480%可分離變量得到m2+4x+6有解,令,=3+x,/,⑺=二“一3丫+4(f-3)+6,結(jié)合

3+xv't

對勾函數(shù)單調(diào)性可確定的最小值，即I1+4.+6的最小值,進而得到結(jié)果

3+x

【詳解】(1)當。=2時，y=?；若^240%,則/(x"2；

當04x42時，/(x)=-->2,解得：14x42；

J-X

當2<x<7時，/(x)=7-x>2,解得：2<x<5；

當x>7時，〃力=022不成立；

綜上所述：14x45,即接下來的1~5天內(nèi)，能使消費總額至少提高40%.

(2)記第一次投放2億元優(yōu)惠券對全市消費總額提高的百分比必，第二次投放切億元對對全市消費

總額提高的百分比為力,

2[7《+4)]3-xw3+x

當04x42時，乂=

10丁%一萬菰丁

則g(x)=M+%=^^+白|^280%=：有解,

D1U5~XJ

即相之匚寸土牝e有解；

3+X

令f=3+x,則fw[3,5],x=t-3,

令硝)」("3,4(”3)+6=》+；&-24罔川6(3g，

y=2f+，在［3,2石］上單調(diào)遞減，在［273,5］上單調(diào)遞增，

???在［3,2行］上單調(diào)遞增，在［26,5］上單調(diào)遞減，

\61/\6?—2x~+4x+6、6

又〃(3)=2,h(5)=-,即———=-)

V/min

m>^,則，〃的最小值為

20.設aeR,已知函數(shù)5=/(x)=k>g3(x+a).

(1)當。=2時，用定義證明y=/(x)是(-2,用)上的嚴格增函數(shù)；

(2)若定義在［-2,2］上的奇函數(shù)y=g(x)滿足當04x42時,g(x)=/(x),求g(x)在區(qū)間［-2,0］上的反

函數(shù)丁=/?(x)：

⑶對于(2)中的g(x),若關(guān)于x的不等式轉(zhuǎn)］>1-log：4在［0,2］上恒成立，求實數(shù)f的取值

范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)y=〃(x)=l-(；)',xe［-l,0］

⑶(-5,37］

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義可以求出參數(shù)，從而根據(jù)反

函數(shù)的定義即可求出反函數(shù)解析式：(3)將不等式的右側(cè)轉(zhuǎn)化為特殊的函數(shù)值，再利用已經(jīng)證明的

函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】(1)當a=2時，7=/W=log3U+2).

x+

任取再>x2>-2,/(^)-/(x2)=log3(x,+2)-log3(x2+2)=logj-J—

因為再>%>一2，所以演+2>9+2>0,

口r石+2..x.+2_

即="噫岸>0

所以/(%)-/(%)>0，y=/(x)是(-2,m)上的嚴格增函數(shù).

(2)由題意得當04x42時，g(x)=/'(x)=log3(x+a),

又g(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),即g(0)=0,得。=1.

所以當04x42時，g(x)=log3(x+l),

由g(x)=-g(-x)得當-24x40時，g(x)=-log3(-x+l),

g(x)e[-l,0].

令尸一唾3(-工+1),則_》+1=3-，得x=l-(J\

故g(x)在區(qū)間[-2,0]上的反函數(shù)…⑴=1-,%6[-1,0].

[log,(x+17),0<x<2,AT,

(3)g(x)=n0」八是[-2,2]上的嚴格增函數(shù),

[-log3(-x+1),-2<x<0

關(guān)于X的不等式工^|>l-log34在[0,2]上恒成立，

又；t-y

g(-)=lTog?4所以g

9+3-2

1/—染

即,42恒成立,令3'=機€[1,9],

39+3**2

19zn+18>?;<(19w+18).=37

得\/min

—叫t>(-3-2/n)=-5

\/max

故實數(shù)，的取值范圍是(-5,37].

21.設V=/(x)是一個定義域為R的函數(shù).若S是R的一個非空子集,且對于任意的SGS,都有

f(x+s)-f(x)=s,則稱y=〃x)是S-關(guān)聯(lián)的.

(1)判斷函數(shù)y=f和函數(shù)y=[x]是否是⑴-關(guān)聯(lián)的，無需說明理由.([X]表示不超過x的最大整數(shù))

⑵若函數(shù)N=/(x)是{2}-關(guān)聯(lián)的，且在[0,2)上，/(x)=2S解不等式2</(x)<4.

(3)已知正實數(shù)滿足。<6,且函數(shù)y=/(x)是演,3-關(guān)聯(lián)的,求/(x)的解析式.

【答案】(1)函數(shù)y=Y不是{1}-關(guān)聯(lián)的，函數(shù)y=[x]是