2022-2023學(xué)年上海市田家炳中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022-2023學(xué)年上海市田家炳中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列各式中最小值為2的是（） A． B．+ C． D．sinx+參考答案：C【考點】基本不等式． 【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；不等式． 【分析】變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出． 【解答】解：A.=+＞2，不正確； B．a(chǎn)b＜0時，其最小值小于0，不正確； C.==+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)=1時取等號，滿足題意． D．sinx＜0時，其最小值小于0，不正確． 故選：C． 【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.已知是虛數(shù)單位，則等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D3.將函數(shù)y=sin（x﹣）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個單位，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為（）A．y=sin（x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sinx D．y=sin（x﹣）參考答案：D【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解，注意三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．【解答】解：將函數(shù)y=sin（x﹣）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象對應(yīng)的解析式為y=sin（x﹣），再將所得圖象向左平移個單位，則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故選：D．4.過函數(shù)f(x)=x3－x2圖象上一個動點作函數(shù)的切線，則切線傾斜角的范圍為（）A．[0，] B．[0，)∪[，π)C．[，π)D．(，]參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的值域得到切線傾斜角正切值的范圍，則傾斜角的范圍可求．【解答】解：由函數(shù)，得f′（x）=x2﹣2x，設(shè)函數(shù)圖象上任一點P（x0，y0），且過該點的切線的傾斜角為α（0≤α＜π），則f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴過函數(shù)圖象上一個動點作函數(shù)的切線，切線傾斜角的范圍為[0，）∪[，π）．故選B．5.參考答案：B略6.不等式的解集是

(

)A、

B、

C、

D、參考答案：A略7.一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三柱的側(cè)面積為

參考答案：B8.函數(shù)f（x）=x+cosx在[0，π]上的最小值為（）A．﹣2 B．0 C．﹣ D．1參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．【解答】解：∵f′（x）=1﹣sinx≥0，∴函數(shù)f（x）是在[0，π]上的增函數(shù)，即f（x）min=f（0）=1，故選：D．9.動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必經(jīng)過定點（）A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）參考答案：B【考點】直線與圓的位置關(guān)系；拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由拋物線的解析式確定出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，根據(jù)動圓恒與直線x+2=0相切，而x+2=0為準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義可得出動圓一定過拋物線的焦點．【解答】解：由拋物線y2=8x，得到準(zhǔn)線方程為x+2=0，焦點坐標(biāo)為（2，0），∵動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，∴動圓必經(jīng)過定點（2，0）．故選B【點評】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及拋物線的簡單性質(zhì)，熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10.已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合M∩N為(

)A.{3,–1}

B.3,–1

C.(3,–1)

D.{(3,–1)}參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a，b是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，給出以下四個命題：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，則b∥α；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β；④若a⊥β，α⊥β，則a∥α，其中所有正確的命題的序號是__________．參考答案：①③①若，，①正確；（兩平行線中一條垂直于平面，則另一條也垂直于該平面）②若，，則，，②錯誤；③若，，則，③正確；（垂直于同一直線的兩平面平行）故答案：①③．12.不等式的解集是為

參考答案：（-2,1）13.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生5名，外科醫(yī)生6名，現(xiàn)要派4名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，如果要求內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生中都有人參加，則有

種選法（用數(shù)字作答）．參考答案：310

略14.已知變量滿足約束條件，則的最大值是_______．參考答案：9略15.若圓x2+y2=4與圓x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，則實數(shù)m=．參考答案：±3【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓相外切，可得圓心距等于半徑之和，求得m的值．【解答】解：圓x2+y2=4的圓心為（0，0）、半徑為2；圓x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圓心為（m，0）、半徑等于1的圓．根據(jù)兩圓相外切，可得圓心距等于半徑之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案為：±3．16.若圓B：x2+y2+b=0與圓C：x2+y2﹣6x+8y+16=0沒有公共點，則b的取值范圍是

．參考答案：{b|﹣4＜b＜0，或b＜﹣64}【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【專題】直線與圓．【分析】由題意可得，兩個圓相離或相內(nèi)含，若兩個圓相離，則由兩個圓的圓心距d大于兩個圓的半徑之和，求得b的范圍．若兩個圓相內(nèi)含，則由兩個圓的圓心距d小于兩個圓的半徑之差，求得b的范圍，再把這2個b的范圍取并集，即得所求．【解答】解：圓B：x2+y2+b=0表示圓心為O（0，0）、半徑等于的圓，（b＜0）；圓C：x2+y2﹣6x+8y+16=0即（x﹣3）2+（y+4）2=9表示圓心為（3，﹣4）、半徑等于3的圓．由題意可得，兩個圓相離或相內(nèi)含．若兩個圓相離，則由兩個圓的圓心距d大于兩個圓的半徑之和，即＞3+，求得﹣4＜b＜0．若兩個圓相內(nèi)含，則由兩個圓的圓心距d小于兩個圓的半徑之差，即＜|3﹣|，求得b＜﹣64，故答案為：{b|﹣4＜b＜0，或b＜﹣64}．【點評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個圓的位置關(guān)系的判定方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．17.圖1，2，3，4分別包含1，3，6和10個小三角形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第個圖包含小三角形的個數(shù)為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)的圖像在x=2處的切線與直線y＝x＋12平行。（1）求m的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最小值；（3）若且a+b+c=1，證明：。參考答案：（1）因為，所以解得或。又，所以。（2）由，解得。列表如下：x0（0，）（1

-0+0f（x）2遞減遞增2所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為。（3）因為函數(shù)，所以所以。當(dāng)時，，所以。又因為，所以。故，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時取等號。19.（本題滿分14分）如圖,四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且

BD⊥平面CDE，H是BE的中點,G是AE,DF的交點.

（1）求證GH∥平面CDE；（2）求證面ADEF⊥面ABCD.參考答案：20.（12分）已知直線l：y=x+m與拋物線y2=8x交于A、B兩點，（1）若|AB|=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】（1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦長公式可求；（2）由于OA⊥OB，從而有x1x2+y1y2=0，利用韋達(dá)定理可得方程，從而求出m的值．【解答】解：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分），﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）經(jīng)檢驗m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【點評】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理得運用，考查等價轉(zhuǎn)化問題的能力．21.已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．（1）證明：PF⊥FD；（2）判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；（3）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定．【分析】解法一（向量法）（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到PF⊥FD；（Ⅱ）求出平面PFD的法向量（含參數(shù)t），及EG的方向向量，進(jìn)而根據(jù)線面平行，則兩個垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造方程求出t值，得到G點位置；（Ⅲ）由是平面PAD的法向量，根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．解法二（幾何法）（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質(zhì)定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有，再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到EG∥平面PFD．從而確定G點位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案．【解答】解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則A（0，0，0），B（1，0，0），F(xiàn)（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）不妨令P（0，0，t）∵，∴，即PF⊥FD．（4分）（Ⅱ）設(shè)平面PFD的法向量為，由，得，令z=1，解得：．∴．

（6分）設(shè)G點坐標(biāo)為（0，0，m），，則，要使EG∥平面PFD，只需，即，得，從而滿足的點G即為所求．（8分）（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得，（9分）又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為（10分）∴，故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值為．（12分）解法二：（Ⅰ）證明：連接AF，則，，又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF（2分）又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴（4分）（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且，∴平面GEH∥平面PFD（7分）∴EG∥平面PFD．從而滿足的點G即為所求．

（8分）（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1（9分）取AD的中點M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A﹣PD﹣F的平面角（10分）∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴（12分）【點評】本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，空間直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定，其中解法一的關(guān)鍵是建立的空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，解法二的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面關(guān)系的判定，性質(zhì)．22.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，當(dāng)n≥2時，點（在f（