高一數(shù)學(xué)寒假（人教B版 第三冊(cè)）第09講 同角三角函數(shù)基本式與誘導(dǎo)公式（教師卷）

第09講同角三角函數(shù)基本式與誘導(dǎo)公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2．會(huì)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明．重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理核心素養(yǎng)．3.了解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的意義和作用，理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程，重點(diǎn)培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．4.能運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)．【知識(shí)導(dǎo)航】知識(shí)點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式已知角α終邊上一點(diǎn)P(－3，－4)．(1)求sinα，cosα，tanα的值；(2)計(jì)算sin2α＋cos2α，eq\f(sinα,cosα)的值；(3)是否對(duì)任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))成立？若成立，試證明．提示：(1)sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3).(2)1，eq\f(4,3).(3)是．利用三角函數(shù)定義證明(略)．1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式成立的條件：當(dāng)α∈R時(shí)，sin2α＋cos2α＝1成立；當(dāng)α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z時(shí)，eq\f(sinα,cosα)＝tan_α成立．2．基本關(guān)系式的變形公式sin2α＋cos2α＝1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))知識(shí)點(diǎn)二角α與α＋2kπ(k∈Z)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系已知角β＝2kπ＋α，k∈Z.(1)角α與β的終邊有什么關(guān)系？(2)作出β的三角函數(shù)線，通過(guò)作圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)α，β的三角函數(shù)值有何關(guān)系？提示：(1)終邊相同．(2)(作圖略)．sinβ＝sinα，cosβ＝cosα，tanβ＝tanα.1．誘導(dǎo)公式①sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α．2．誘導(dǎo)公式①的作用：可以把絕對(duì)值大于2π的任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0～2π角的同名三角函數(shù)值問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)三角的旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)如圖，已知角α的終邊為OA，將射線OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到OB，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到OC；那么①指出角α＋θ的終邊，②指出角α－θ的終邊．③角α＋θ的終邊與角α－θ的終邊有怎樣的對(duì)稱(chēng)關(guān)系．提示：①射線OB②射線OC③關(guān)于直線OA對(duì)稱(chēng)一般地，角α的終邊和角β的終邊關(guān)于角eq\f(α＋β,2)的終邊所在的直線對(duì)稱(chēng)．知識(shí)點(diǎn)四角α與角－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．角α與角－α的終邊有怎樣的對(duì)稱(chēng)關(guān)系？提示：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．2．結(jié)合三角函數(shù)線，角α與角－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系如何？提示：(作圖略)利用三角函數(shù)線和兩角的對(duì)稱(chēng)關(guān)系得sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.1．誘導(dǎo)公式②：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．2．誘導(dǎo)公式②的作用：用正角的三角函數(shù)值表示負(fù)角的三角函數(shù)值．知識(shí)點(diǎn)五角α與π±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．任意角α與π－α的終邊有何位置關(guān)系？它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系怎樣？試用三角函數(shù)定義驗(yàn)證α與π－α的各三角函數(shù)值的關(guān)系．提示：α與π－α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示，設(shè)P1(x，y)是α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則π－α與單位圓的交點(diǎn)為P2(－x，y)，P1，P2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由三角函數(shù)定義知，sin(π－α)＝y(tǒng)＝sinα，cos(π－α)＝－x＝－cosα，tan(π－α)＝eq\f(y,－x)＝－tanα.2．你能利用誘導(dǎo)公式②③探究角α與π＋α的各三角函數(shù)值的關(guān)系嗎？提示：如cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cosα.1．誘導(dǎo)公式③：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．2．誘導(dǎo)公式④：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．知識(shí)點(diǎn)六角α與eq\f(π,2)－α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系如圖所示，設(shè)α是任意角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(x，y)，與角α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)的角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P2.(1)P2點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？提示：P2(y，x)．(2)eq\f(π,2)－α的終邊與角α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)嗎？它們的正弦、余弦值有何關(guān)系？提示：對(duì)稱(chēng)．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.誘導(dǎo)公式⑤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin_α．知識(shí)點(diǎn)七角α與eq\f(π,2)＋α，eq\f(3π,2)±α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系1．利用誘導(dǎo)公式②⑤探究α與eq\f(π,2)＋α的三角函數(shù)值的關(guān)系？提示：如coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,2)＋α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα.2．利用前面學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式，你能發(fā)現(xiàn)eq\f(3π,2)＋α與α、eq\f(3π,2)－α與α間的三角函數(shù)值的關(guān)系嗎？提示：如sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)＋α))＝－sin(eq\f(π,2)－α)＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.誘導(dǎo)公式⑥⑦⑧⑥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α．⑦coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sin_α，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cos_α．⑧coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sin_α，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cos_α．[點(diǎn)撥]誘導(dǎo)公式①～⑧可以統(tǒng)一概括為“k·eq\f(π,2)±α，(k∈Z)”的形式記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．其中“奇、偶”是指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k的奇偶性，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變．“符號(hào)”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)公式中，把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，而不是α函數(shù)值的符號(hào)．【知識(shí)預(yù)習(xí)】考點(diǎn)一：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1．若，且為第四象限角，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】為第四象限角，且.故選：D.2．已知α為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由可得，又α為第二象限角，所以.所以.故選：C.3．若，且是第二象限角，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由,且是第二象限角,得.故選:．4．已知,是第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】,故選：.5．已知,則的值為A．2 B． C．-2 D．【答案】B【詳解】由題意可知，，故選：B.考點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式6．已知，且為第三象限角，則A． B．- C． D．【答案】B【詳解】∵，∴.∵，∴，即，又∵為第三象限角，∴.故選B.7．已知sin＝，則cos(π＋α)的值為()A． B．－ C． D．－【答案】D【詳解】因?yàn)閟in＝cos＝，所以cos(π＋α)＝－cos＝－．故選D．8．已知，則的值為

（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題得.故選D9．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故選C.10．已知，則（

）A． B．3 C． D．0【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋?，即．故選：A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】一、單選題1．已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，所以.故選：A.2．已知角終邊上一點(diǎn)，則（

）A．2 B．-2 C．0 D．【答案】B【詳解】解：由題意，角終邊上一點(diǎn)，∴∴，故選：B.3．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，且，所以，．故選：C．4．若，且為第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由于，且為第四象限角，所以，.故選：D5．已知角終邊在第一象限，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，在第一象限，則，所以.故選：C.6．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋?，又，即，解得，所以，故選：B.7．若且，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】，所以，又，所以，故是第三象限角.故選：C8．已知，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴，∴.故選：D．二、多選題9．已知，，那么的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】因?yàn)棰?，又sin2α+cos2α=1②，聯(lián)立①②，解得或，因?yàn)椋曰颍蔬x：BD10．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】解:因?yàn)?，所以，．所以．故選:AD三、填空題11．已知A為三角形內(nèi)角且，則________.【答案】##0.6【詳解】根據(jù)，且A為三角形內(nèi)角，所以為銳角，由題意得：，解得：，故答案為：.12．已知，則______．【答案】##0.75【詳解】解：由題意得：∵，∴．故答案為：四、解答題化簡(jiǎn)．13．（1）;14．（2）【答案】(1)(2)(1)；(2).15．已知，，求的值.【答案】【詳解】解：因?yàn)椋?，即，又，?lián)立可得，解得，因?yàn)?，所以，，所?16．已知為第三象限角，且．(1)化簡(jiǎn)；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)（1）（2）∵，∴又為第三象限角，∴【提升作業(yè)】一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，故選：A.2．已知為第四象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)闉榈谒南笙藿乔?，所以，也即，將兩邊同時(shí)平方可得：，所以，則，故選：.3．已知（

）.A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)?，由題意可知:,將分式的分子和分母分別除以，可得:,解得:.故選：.4．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，，平方得：，∴∴∵，∴，，∴，∴.故選：C.5．已知，則的值為（

）A． B．18 C． D．15【答案】A【詳解】，代入可算得原式的值為.故選：A二、填空題6．已知關(guān)于x的方程的兩根為和（），則m的值為_(kāi)______.【答案】【詳解】根據(jù)題意可得①，，①式平方可得，所以.故答案為：.7．__________.【答案】【