專題19 解答壓軸題型：幾何綜合題（解析版）備戰(zhàn)2024年福建中考數(shù)學(xué)真題模擬題

第第頁專題19解答壓軸題型：幾何綜合題一、解答題1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個(gè)定點(diǎn)．于點(diǎn)，交于點(diǎn)．是由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長線相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點(diǎn)，如圖2．求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再證明、，即可證明結(jié)論；（2）如圖1：設(shè)與的交點(diǎn)為，先證明可得，再證明可得，最后運(yùn)用角的和差即可解答；（3）如圖2：延長交于點(diǎn)，連接，先證明可得，再證可得；進(jìn)而證明即，再說明則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．【詳解】（1）解：是由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，，．，．．，．．（2）解：如圖1：設(shè)與的交點(diǎn)為，

，，，．，，．又，．，．（3）解：如圖2：延長交于點(diǎn)，連接，

，，．是的中點(diǎn)，．又，，．，，．由（2）知，，．

，，，，即．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)30°【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，得到，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，證得，得到，設(shè)，，則，得到α+β的關(guān)系即可．【詳解】（1）∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；（2）結(jié)論：．證明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，

∴，∴，即∠ADB＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)為邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，的延長線交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求的大??；（3）求證：．【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）見解析【分析】（1）設(shè)直線與相交于點(diǎn)T，證明是的中位線即可；（2）連接，取的中點(diǎn)O，連接，證明點(diǎn)，F(xiàn)，B，G四點(diǎn)共圓即可；（3）設(shè)，則，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理找到k與a的關(guān)系，根據(jù)列比例求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)直線與相交于點(diǎn)T，∵點(diǎn)A與關(guān)于對(duì)稱，∴垂直平分，即．∵E，F(xiàn)為邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，即．（2）連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．∴，∴，又，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴．取的中點(diǎn)O，連接，在和中，，∴，∴點(diǎn)，F(xiàn)，B，G都在以為直徑的上，∴．（3）設(shè)，則．由（2）得，∴，即，∴．設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，∴．在中，由勾股定理，得．又∵，∴，∴．∵，∴，∴．由（2）知，，又∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本小題考查正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、圓的基本概念與性質(zhì)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、運(yùn)算能力，考查空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？家荒＃┰谒倪呅蜛BCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°時(shí)，直接寫出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖1，當(dāng)α≠90°時(shí)，（1）中結(jié)論是否還成立，說明理由；（3）如圖2，O為AC中點(diǎn)，M為AB上一點(diǎn)，BM＝AD，求的值．【答案】（1）CD＝CB；（2）仍然有CD＝CB，理由見解析；（3）＝2．【分析】（1）∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，得出∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得CD＝CB，（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延長線于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得CE＝CF，再證△CDF≌△CBE（AAS）即可；（3）延長DO至點(diǎn)N，使ON＝DO，連接AN，先證△AON≌△COD（SAS），可得∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，再證△AND≌△BCM（SAS），得出CM＝DN＝2DO即可．【詳解】證明：（1）CD與CB的數(shù)量關(guān)系為：CD＝CB．∵∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．α＝90°，∴∠ADC=180°-α=90°=∠ABC，∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CB⊥AB，∴CD＝CB，故答案為：CD＝CB；（2）仍然有CD＝CB，理由如下：過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延長線于F，則∠CEB＝∠CFD＝90°，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，∴∠CDF＝α＝∠ABC，在△CDF和△CBE中，∴△CDF≌△CBE（AAS），∴CD＝CB；（3）延長DO至點(diǎn)N，使ON＝DO，連接AN，在△AON和△COD中，，∴△AON≌△COD（SAS），∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，∴CD∥AN，∴∠DAN+∠ADC＝180°，∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，在△AND≌△BCM中，，∴△AND≌△BCM（SAS），∴CM＝DN＝2DO，∴＝2．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)與倍分，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)與倍分，利用輔助線構(gòu)造全等圖形是解題關(guān)鍵．5．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，，，半圓的直徑．點(diǎn)與點(diǎn)重合，半圓以的速度從左向右移動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)、始終在所在的直線上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，半圓與的重疊部分的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，則的最大值為_________；的最小值為________．（2）在平移過程中，當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，求半圓與重疊部分的面積；（3）當(dāng)為何值時(shí)，半圓與的邊所在的直線相切？【答案】（1）24cm，cm；（2）；（3）或或【分析】（1）當(dāng)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí)如圖①，過點(diǎn)作于，與半圓交于點(diǎn)，此時(shí)最小，，，所以；（2）當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，如圖②，點(diǎn)移動(dòng)了，設(shè)半圓與交于點(diǎn)，連接、，，；（3）當(dāng)半圓與直線相切時(shí)，運(yùn)動(dòng)的距離為0或12，所以（秒或6（秒；當(dāng)半圓與直線相切時(shí)，如圖③，連接，則，，，，移動(dòng)的距離為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒．【詳解】解：解（1）當(dāng)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí)如圖①，過點(diǎn)作于，與半圓交于點(diǎn)，此時(shí)最小，，，，在中，，，故答案為，；（2）當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，如圖②，點(diǎn)移動(dòng)了，設(shè)半圓與交于點(diǎn)，連接、．為直徑，，，，，，；（3）當(dāng)半圓與直線相切時(shí)，運(yùn)動(dòng)的距離為0或12，（秒或6（秒；當(dāng)半圓與直線相切時(shí)，如圖③，連接，則，，，，，移動(dòng)的距離為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒，綜上所述，當(dāng)為0或6或時(shí)，半圓與的邊所在的直線相切．【點(diǎn)睛】本題考查了圓綜合知識(shí)，熟練掌握勾股定理以及圓切線定理是解題的關(guān)鍵．要注意分類討論.6．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）在矩形中，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，連接．

(1)如圖1，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．給出下列結(jié)論：①；②；③為等邊三角形，請(qǐng)任意選擇一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論加以證明；(2)如圖2，若，．①在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的長；②設(shè)，為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)結(jié)論①②正確，證明見解析(2)①；②【分析】（1）選擇①：先證明，由折疊的性質(zhì)可知，則，即可得到，再利用三角形外角的性質(zhì)證明，即可證明；選擇②：先證明四邊形是矩形，得到，則，由折疊的性質(zhì)可知，則，即可證明，進(jìn)而推出；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明③；（2）①由折疊的性質(zhì)可得，，則點(diǎn)F在以B為圓心，3為半徑的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，設(shè)，則，求出，則，在中利用勾股定理建立方程，解方程即可求出；②分圖2-1，圖2-1兩種情況，分別用x、y表示出的長，再在中利用勾股定理求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】（1）解：選①，證明如下：∵E為的中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∴，∴，∵，∴，即，∴；選②，證明如下：∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∴，∴，∵，∴；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明③；（2）解：①由折疊的性質(zhì)可得，∴點(diǎn)F在以B為圓心，3為半徑的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴；

②如圖2-1所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作，交于G，交于H，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，

∴，在中，，∴；∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；

如圖2-2所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作交延長線于G，交于H，同理可得，則，在中，由勾股定理得，∴，∴；綜上所述，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊問題，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問題等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）如圖1，中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且，連接，．

(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的面積；(3)直線與直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，求的最大值．【答案】(1)見解析(2)(3)4【分析】（1）通過證明，可得結(jié)論；（2）先求出的面積，由相似三角形的性質(zhì)可求解；（3）先確定點(diǎn)D在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由三角形中位線定理可求的長，即可求解．【詳解】（1）∵在，，，，∴，∵將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴∴，∴，∴；（2）如圖2，過點(diǎn)B作于H，

∵將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）如圖3，

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)D在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為P，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，有最大值，∵，∴，∴，∴DE的最大值為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023年福建省福州十九中中考模擬數(shù)學(xué)試卷（4月份））在中，，，是上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，是延長線上一點(diǎn)，與垂直，求證：．(2)過點(diǎn)作，為垂足，連接并延長交于點(diǎn)．①如圖2，若，求證：．②如圖3，若是的中點(diǎn)，直接寫出的值．（用含n的式子表示）【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）如圖1中，延長交于點(diǎn)．想辦法證明即可．（2）①如圖2中，作交的延長線于．利用全等三角形的性質(zhì)證明，再利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．②如圖3中，作交的延長線于，作于．不妨設(shè)，則．想辦法求出，（用，表示），即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1中，延長交于點(diǎn)．，，，，，，，，，，．（2）①證明：如圖2中，作交的延長線于．，，，，，∵，，，，，，，∵，．②解：如圖3中，作交的延長線于，作于．不妨設(shè)，則．則，∵，∴，，∴∴，∴，∴，∴，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．9．（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)校考二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點(diǎn)．(1)【嘗試初探】在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，與始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說明理由．(2)【深入探究】若，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求的值．(3)【拓展延伸】連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當(dāng)FH=BH時(shí)，當(dāng)FH=BF=nBE時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；（2）解：根據(jù)題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；（3）解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如圖，當(dāng)FH=BH時(shí)，∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如圖，當(dāng)FH=BF=nBE時(shí)，，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┒x：若三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為90°，則這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)若是“準(zhǔn)直角三角形”，，，則___________°；(2)如圖1，中，，，．若D是AC上的一點(diǎn)，，請(qǐng)判斷是否為準(zhǔn)直角三角形，并說明理由；(3)如圖2，在四邊形中，，，，，且是“準(zhǔn)直角三角形“，求的面積．【答案】(1)(2)是準(zhǔn)直角三角形，理由見解析(3)48或24【分析】（1）分和，兩種情況，進(jìn)行討論求解；（2）勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用三角函數(shù)，求出的長，推出，得到，利用外角的性質(zhì)，推出，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)C作于F，，交的延長線于E，易證，得到，，分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵是“準(zhǔn)直角三角形”，，，①當(dāng)時(shí)，則：，∴（不合題意，舍去）；②當(dāng)時(shí)，則：，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：是準(zhǔn)直角三角形，理由如下：∵中，，，，∴，，，∵，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴是準(zhǔn)直角三角形；（3）解：如圖，過點(diǎn)C作于F，，交的延長線于E，設(shè)，∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∵，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，∴設(shè)，則，∴，∴，∴；當(dāng)，又：，∴，又∵，∴，∴∴，∴．綜上所述：的面積為48或24．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；本題的綜合性強(qiáng)，理解并掌握準(zhǔn)直角三角形的定義，是解題的關(guān)鍵。11．（2023·福建三明·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的邊長為，點(diǎn)，分別是邊，．上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求周長的最小值；(3)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，，可得是等邊三角形，證明，即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)最短時(shí)，周長有最小值，當(dāng)與垂直時(shí)，最短，此時(shí)，根據(jù)三角形周長公式即可求解；（3）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1），，又四邊形是菱形，，是等邊三角形，，，又，，，，；（2），，，的周長為，當(dāng)最短時(shí)，周長有最小值．，，是等邊三角形，當(dāng)與垂直時(shí)，最短，此時(shí)，周長的最小值；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，，，，又，，，當(dāng)時(shí)，，又，，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·福建·模擬預(yù)測）在四邊形中，，平分，且．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過作，交于，若，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可推出與已知矛盾的結(jié)論，從而得出點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，設(shè)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為即可求解；（2）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)中位線和等角對(duì)等邊得出，，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)可得出，，，，利用等積法可得，再利用勾股定理得出，可得，，在中求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，然后在中再利用銳角三角函數(shù)可得出，最后建立關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵平分，，∴，∵，∴，∵在中，，此時(shí)與已知所得結(jié)論矛盾，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，設(shè)，∵平分，∴，，在四邊形中，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為；（2）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，∵平分，且，∴，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，在中，，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，在中，，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的長為．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和為，中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，平行線的性質(zhì)，等積法等知識(shí)點(diǎn)．通過添加適當(dāng)輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，等腰直角中，．(1)如圖1，若是內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連，求證：；(2)如圖2，若是外一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且，求證：；(3)如圖，若是斜邊的中點(diǎn)，為下方一點(diǎn)，且，，，則___________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而得到，可證明，即可；（2）連接交于點(diǎn)O，連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再證明，可得，從而得到，進(jìn)而得到，可得到，即可；（3）過點(diǎn)O作于點(diǎn)O，使，連接，并延長交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)N，先證明，可得，，從而得到，再由，以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再由勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）證明∶∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，連接交于點(diǎn)O，連接，∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)O，使，連接，并延長交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)N，∵是等腰直角三角形，是斜邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，在中，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．14．（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測）如圖，已知四邊形為矩形，，，，將沿翻折到．

(1)求證：；(2)求的長；(3)求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)得，再又折疊的性質(zhì)得即可證明；（2）根據(jù)翻折變換的特點(diǎn)和勾股定理結(jié)合方程思想解答即可；（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，利用勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴；（2）解：∵四邊形為矩形，，，∴，，∴，∵，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴，在中，；（3）解：過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，在中，，在中，，∴，解得：，∴，在Rt△FEG中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握這些性質(zhì)特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023·福建寧德·統(tǒng)考二模）如圖，已知和都是等腰直角三角形，，，．將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E落在內(nèi)部，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)延長，交直線于點(diǎn)F，連接．寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析【分析】（1）證明，，從而可得結(jié)論；（2）解法一：當(dāng)時(shí)，，證明．由（1）得，．即B，E，D三點(diǎn)共線．（如圖2），再利用勾股定理可得答案；解法二：過點(diǎn)C作，交延長線于點(diǎn)H．如圖3，當(dāng)時(shí)，，證明．求解．可得．由（1）得，從而可得答案；解法三：過點(diǎn)A作，交延長線于點(diǎn)I．當(dāng)時(shí)，證明，．設(shè)，則．再建立方程求解x，可得．由（1）得，從而可得答案；（3）設(shè)交于點(diǎn)H，作交BF于點(diǎn)G．由（1）得，證明．．可得．從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：和都是等腰直角三角形，．．即，，∴．．（2）解法一：當(dāng)時(shí)，，又，．由（1）得，，．即B，E，D三點(diǎn)共線．（如圖2）在中，，，，．

．解法二：過點(diǎn)C作，交延長線于點(diǎn)H．如圖3，、當(dāng)時(shí)，，又，．．，．在中，，．．由（1）得，．．解法三：過點(diǎn)A作，交延長線于點(diǎn)I．當(dāng)時(shí)，，又，．．．設(shè)，則．在中，，．．，（舍去）．．由（1）得，．．（3）．理由：設(shè)交于點(diǎn)H，作交于點(diǎn)G．由（1）得，．，．．．．，即．，，．．．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用運(yùn)算知識(shí)解題是關(guān)鍵．16．（2023·福建廈門·廈門市第十一中學(xué)校考二模）如圖，、均為等邊三角形，，．將繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接、．(1)在圖①中證明；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，連接，求的面積；(3)在的旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出的面積的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）先判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，進(jìn)而得出，再用含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．（3）過作于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，如圖⑤，當(dāng)與在同一條直線上，且點(diǎn)在的外部時(shí)，的面積最大，如圖⑥，當(dāng)與在同一條直線上，且點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，在和中，，；（2）如圖②，連接，同（1）的方法得，，，，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作，交的延長線于，則，在等邊中，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，，，，，；（3）過作于，是等邊三角形，，，如圖③，當(dāng)與在同一條直線上，且點(diǎn)在的外部時(shí)，的面積最大，，如圖④，當(dāng)與在同一條直線上，且點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，的面積最小，，綜上所述，的面積的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)校考模擬預(yù)測）（1）問題背景：如圖，中，，點(diǎn)在上，于，求證：；（2）嘗試應(yīng)用：如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，，，，求四邊形的面積．（3）拓展創(chuàng)新：如圖，，，，，，直接寫出的長．【答案】（1）見解析（2）156（3）【分析】（1）證明，即可得證．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解，求出的長，三角形的面積公式求出的長，進(jìn)而得到的長，利用（1）中模型，得到，求出的長，進(jìn)而求出的長，利用四邊形的面積，進(jìn)行求解即可；（3）延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同法（1）以及等積法，分別求出的長，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴，同法（1）可得：，即：，∴，∴，∴四邊形的面積．（3）延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，又：，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同法（1）可得：，即：，∴，解得：（負(fù)值已舍掉）；∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和相似三角形．18．（2023·福建福州·?？家荒＃┮阎涸谥?，，，是的中點(diǎn)，以為直徑的分別交、于點(diǎn)、，點(diǎn)位于點(diǎn)下方，連接交于點(diǎn)．(1)求證：F是的中點(diǎn)；(2)如圖1，如果，求的長；(3)如圖2，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，再根據(jù)圓周角定理得到，最后利用三線合一證明即可；（2）連接．在中，求出，即可解決問題．（3）連接，設(shè)交于，連接，，．想辦法用表示，，證明，推出，延長構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題．根據(jù)點(diǎn)位于點(diǎn)下方，確定的取值范圍即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，D是中點(diǎn)，∴，∵是直徑，∴，即，∴F是中點(diǎn)；（2）解：如圖，連接．在中，，，，，是的直徑，，，，，，，在中，．（3）解：如圖，連接，設(shè)交于，連接，，．，是的直徑，直線經(jīng)過點(diǎn)，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，∴，即，可得，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．19．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)校考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接．設(shè)，(1)試用含的代數(shù)式表示；(2)作，垂足為G，點(diǎn)G在AF的延長線上，連接，試判斷與的位置關(guān)系，并加以證明；(3)把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接，若是等腰三角形，求的值．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)或【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，可求，由等腰三角形的性質(zhì)求出即可得到答案；（2）通過證明，，，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得，可證；（3）由于，故分兩種情況：當(dāng)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，由“”可證，可得，即可求解；當(dāng)時(shí)，可證點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，由此即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖1，連接，∵四邊形是正方形，∴，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：，證明如下：如圖2，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，，，四點(diǎn)共圓，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴；如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，∴，∵，，∴，，，又∵，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∵，∴，∴三點(diǎn)共線∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴；綜上所述：的值為或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓的有關(guān)知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是矩形，對(duì)角線與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】根據(jù)，可得，結(jié)合即可得到證明；過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)四邊形是矩形，可得，，根據(jù)，可得，得到，在與中利用三角函數(shù)列等式即可得到證明；【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∵；（2）證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在矩形中，，∴，∵，，∴，，∴，∴，在中，，在中，，∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．21．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學(xué)校考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，把△ABE沿著直線AE翻折得到△AFE，且點(diǎn)F恰好落在AD邊上，連接BF．（1）求△DEF的周長；（2）求sin∠BFE的值．【答案】（1）12；（2）【分析】解法一：（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得出BD的長度，然后由折疊的性質(zhì)得出，則的周長為，代入相應(yīng)的數(shù)值即可計(jì)算；（2）作于點(diǎn)，首先由得出，然后利用求出FG的長度，利用勾股定理求出BF的長度，則，則答案可求；解法二：（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得出BD的長度，然后由折疊的性質(zhì)得出，則的周長為，代入相應(yīng)的數(shù)值即可計(jì)算；（2）延長交于點(diǎn)，首先軸對(duì)稱性質(zhì)可得，進(jìn)而得出為等腰直角三角形，然后利用得出，進(jìn)而求出BE,EF的長度，然后利用勾股定理求出BF的長度，進(jìn)而求出FN的長度，再利用勾股定理求出EN的長度，最后利用即可求解．【詳解】解法一:四邊形是矩形，．在中，，由勾股定理得．由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，，的周長；作于點(diǎn)，，．，，解得．在中，，由勾股定理得．在中，，．解法二：同解法一；如圖2，延長交于點(diǎn)，記的交點(diǎn)為,由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，又，為等腰直角三角形，且，，，即，解得，．在中，，由勾股定理得，．在中，，由勾股定理得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形和折疊問題，掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖1，在正方形中，E是對(duì)角線延長線上的一點(diǎn)，線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)F，并延長與的延長線相交于點(diǎn)H．①如圖2，若，求的值；②如圖3，與相交于點(diǎn)Q，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”證明即可；（2）①證明，再列出比例式即可求解；②由①可得，列出比例式，再設(shè)出正方形的邊長，求出，作于M，根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可．【詳解】（1）證明：在正方形中，∴，，∵線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∴，∴∴．（2）解：①在正方形中，E是對(duì)角線延長線上的一點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，

∴，，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，即，解得，（負(fù)值舍去），；②∵，∴，由①可知，，∴，設(shè)出正方形的邊長為m，則，∵，∴，解得，（負(fù)值舍去），作于M，則，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)判定定理進(jìn)行證明推理．23．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到線段，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，分別交、于點(diǎn)、．

(1)當(dāng)時(shí)，求的大?。?2)當(dāng)時(shí)，試寫出線段與滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若為線段的中點(diǎn)，求的長．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意作圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差即可求出；再根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得出，連接，可證明是直角，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）過點(diǎn)作，通過證明，再利用相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，當(dāng)時(shí)，，∵，∴；（2），證明如下：連接，

，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，；（3）過點(diǎn)作，則，

，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？级＃┰谥校?，，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，，以為斜邊在其一側(cè)制作等腰直角三角形．連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，①如圖2，（1）中線段與線段的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】（1）；（2）①成立，理由見解析；②平行四邊形，理由見解析；【分析】（1）如圖1，證明，由平行線分線段成比例可得，由的余弦值可得；（2）①根據(jù)兩邊成比例，夾角相等，證明，即可得；②如圖3，過作，連接,交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件證明，根據(jù)平行線分線段成比例可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)以及①的結(jié)論可得,根據(jù)三角形內(nèi)角和以及可得，進(jìn)而可得，即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）如圖1，，，，是以為斜邊等腰直角三角形，,，，，，，，即；（2）①仍然成立，理由如下：如圖2，，，，是以為斜邊等腰直角三角形，,，，，即，，，，，，即；②四邊形是平行四邊形，理由如下：如圖3，過作，連接,交于點(diǎn)，，，，，，，是以為斜邊等腰直角三角形，，，，三點(diǎn)共線，，，，，，，，，，，，，由①可知，，是以為斜邊等腰直角三角形，,，，，，，，，即，，，，四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．25．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖①，在正方形中，點(diǎn)，分別在，邊上，，，垂足為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn).(1)求證：；(2)求的值（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖②，當(dāng)時(shí)，連接并延長，交于點(diǎn)，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到全等，再依據(jù)全等三角形的判定可以得到線段相等；(2)先根據(jù)正方形得到平行，再利用平行線分線段成比例得到結(jié)論；(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得相似三角形，再根據(jù)相似比可以得到線段的關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴.∵在正方形中，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：延長交于點(diǎn)，在正方形中，，，又∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（3）證明：∵，，∴，設(shè)正方形的邊長為，則，∴在中，由勾股定理得，∵在正方形中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵在正方形中，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握常用輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．26．（2023·福建廈門·廈門市湖里中學(xué)?？寄M預(yù)測）矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且不與點(diǎn)、重合．將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；

②如圖2，直線與的延長線交于點(diǎn)，連交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)證明見解析(2)①；②，理由見解析【分析】（1）由折疊、矩形的性質(zhì)可得，，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）①由題意知，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，計(jì)算求解即可；②如圖，過作，交于，則，由折疊、矩形的性質(zhì)可得，，，，則，，是的中點(diǎn)，即，由，可得，由，可得，則，由是的中點(diǎn)，即，根據(jù)，可得與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：由折疊、矩形的性質(zhì)可得，，∴，∴；（2）①解：由題意知，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，∴的值為；②解：與的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：如圖，過作，交于，

∴，由折疊、矩形的性質(zhì)可得，，，，∴，∴，∴是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴與的數(shù)量關(guān)系為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、折疊的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．27．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為得到，記點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接，，射線與交于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，①求的度數(shù)；（用含的式子表示）②若，證明：四邊形為平行四邊形；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在的情形？若存在，求出此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①；②見解析(2)存在的情形，此時(shí)或【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)，，所以，進(jìn)而可得；②由已知，在中，，可得，由旋轉(zhuǎn)可得，，，得到，再證明則問題可證；（2）當(dāng)，，不共線時(shí)，過點(diǎn)作的平行線與延長線交于點(diǎn)，連接，．證明四邊形為平行四邊形，再證明，得到則可推出；當(dāng)，，共線時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合．可證明進(jìn)而可得．【詳解】（1）①∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，∴，，∴．∵，∴．②∵在中，，∴，∴．∴旋轉(zhuǎn)角，，由①可知，，，，∴．∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．（2）①當(dāng)點(diǎn)，，不共線時(shí)，如圖，過點(diǎn)作的平行線與延長線交于點(diǎn)，連接，．由（1）①可知，，∵，∴∵，∴，∴．∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴點(diǎn)為，的中點(diǎn)，即，．∵當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∴，∴，∴，②當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合．∵，且，∴，此時(shí)．綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中存在的情形，此時(shí)或．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論是數(shù)學(xué)思想，具體問題具體分析．28．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）在矩形中，，為上一點(diǎn)，將沿折疊，得到．

(1)如圖（1），若點(diǎn)恰好在邊上，點(diǎn)在上，且，連接．求證：；(2)如圖（2），若點(diǎn)在矩形內(nèi)部，延長交邊于點(diǎn)，延長交邊于點(diǎn)，且，，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）方法一：由折疊可得，，，設(shè)，則則，在中，，根據(jù)，即可得證；方法二：連接，則，證明，即可得證；

（2）連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，設(shè)，在中，勾股定理，解得．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，．由，可得，由折疊可知，即可得證．【詳解】（1）解：方法一：∵四邊形是矩形，∴，．

由折疊可得，，．

∴設(shè)，則，

在中，．

∴．∴．

方法二：∵四邊形是矩形，∴，．

由折疊可得，，．

如圖，連接，

∴．∴．

∵，∴，∴，∴．

又，∴．∴．（2）連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，

∵，∴．∴．∴．

設(shè)，在中，．∴，解得．∴．

∴．∵，，∴．

∴，即．∴，．

∴．∴．

∴在以為直徑的圓上，

∴．由折疊可知．

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形性質(zhì)與判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．29．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到．(1)如圖1，當(dāng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，邊的延長線交于點(diǎn)，連接．求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在中線的延長線上，且時(shí)，的延長線交于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出為等腰三角形，從而得出，有三角形內(nèi)角和得出，再通過角之間的關(guān)系推出最后結(jié)論．設(shè)，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)推出，由直角三角形內(nèi)角之間關(guān)系得，，進(jìn)而得出，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出，設(shè)，所以，有對(duì)應(yīng)角相等推出，得出，進(jìn)而表示出，再得出最后結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，．，，又，，即．，，，＝，即．（2）如圖2，設(shè)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，在等腰中，，，，．，．是斜邊上的中線，，，即，，，，，，．，．又，，即，，，．設(shè)，則，．，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、相似三角形的判定及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的知識(shí)，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)邊和角相等是解答本題的關(guān)鍵．30．（2023·福建廈門·福建省同安第一中學(xué)校考一模）在中，，，．將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，直線，交于點(diǎn)P．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接．①求的面積；②求的值；（2）如圖2，連接，若F為中點(diǎn)，求證；C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【答案】（1）①10．②．（2）證明見解析部分【分析】（1）①過點(diǎn)作于．證明四邊形是矩形，推出，利用勾股定理求出，可得結(jié)論．②利用面積法求出，再利用勾股定理求出，推出，可得結(jié)論．（3）如圖2中，連接，取的中點(diǎn)，連接，．想辦法證明，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①過點(diǎn)作于．，，，四邊形是矩形，，在中，，由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可知，，．②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，．（2）如圖2中，連接，取的中點(diǎn)，連接，．，，，，是由旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，、、三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明．31．（2023·福建三明·?？家荒＃┰诰匦沃校B接，線段是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，平移線段得到線段（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），連接，分別交，于點(diǎn)，，連接．(1)求證：；(2)求的大小；(3)若，，求矩形的面積（用含有，的式子表示）．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接，，根據(jù)平移的性質(zhì)，得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)平行公理，得出，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)平行四邊形的判定定理，得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（2）延長，交的延長線于點(diǎn)，由（1）可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出，再根據(jù)題意，得出，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出，再根據(jù)“角角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出，進(jìn)而得出是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得出答案；（3）根據(jù)題意，得出為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)（2）得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)對(duì)頂角相等，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，得出，再根據(jù)相似三角形的判定定理，得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)等量代換，得出，據(jù)此即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵線段平移得到線段，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵四邊形是矩形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴；（2）解：延長，交的延長線于點(diǎn)，由（1）可知：，∴，∵，∴，∴，∵線段是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴，∵線段是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（3）解：∵為等腰直角三角形，∴，由（2）可知：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)、平行公理、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)頂角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在正確作出輔助線，并熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．32．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）在五邊形中，四邊形是矩形，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．與交于點(diǎn)G，將直線繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若，且，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由見解析(3)【分析】（1）由題意知：，，，從而得知，由三角形的內(nèi)角和定理得知，由旋轉(zhuǎn)得知，從而，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，則已知和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得出：，，點(diǎn)在直線上，，證明，得到，等量代換可得結(jié)論；（3）連接，證明，得到，從而得到，由等腰三角形三線合一知：，由（2）可知，，，在中，由勾股定理求出，從而得出線段的長．【詳解】（1）證明：∵是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴∵將直線繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)F，∴，從而，∴；（2）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，如圖：則，，，，∴，，∴點(diǎn)在直線上，，在和中，∴，∴，而，∴；（3）若，且，則，連接，如圖：在和中，，∴，∴，而，∴，∵，∴，由（2）可知，，，在中，由勾股定理，得：，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和構(gòu)造輔助線是解決問題的關(guān)鍵．33．（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）點(diǎn)是直線上的定點(diǎn)，等邊的邊長為，頂點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)沿著射線方向平移，的延長線與射線交于點(diǎn)，且在平移過程中始終有，連接，，交于點(diǎn)，如圖所示．(1)以為圓心，為半徑作圓，交射線于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在⊙O上時(shí)，求的長；②⊙O的半徑為，當(dāng)平移距離為時(shí)，判斷點(diǎn)與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)在平移過程中，是否存在的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)到直線的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①；②點(diǎn)在⊙O上，見解析(2)存在，【分析】（1）①根據(jù)圓的基本性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出半徑的長，最后根據(jù)弧長公式求解即可；②過點(diǎn)作于，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出的長，進(jìn)而求出半徑的長，再根據(jù)三角函數(shù)求出的長，最后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)與判定證出即可得解；（2）解法一：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，連接，先根據(jù)證出，得到，進(jìn)而得到，設(shè)，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進(jìn)而得出，再根據(jù)三角函數(shù)得到和關(guān)于的代數(shù)式，最后根據(jù)，列方程求解出，即可得出的長；解法二：過點(diǎn)作于，先證出，得到，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出的代數(shù)式，進(jìn)而得出的代數(shù)式，根據(jù)列方程求解出，即可得出的長．【詳解】（1）①∵點(diǎn)在上，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴在中，，∵在中，，∴，∴；②點(diǎn)在上，理由如下：過點(diǎn)作于，，，∴在中，，∴，，∴，∴，∵，，∴，，即，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)在上；（2）解法一：存在的情形，理由如下：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，連接，若存在，則，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴在中，，∴，∴，∴在中，，∴，∵在中，，∴，∴，∵，∴，解得，此時(shí)，，∴當(dāng)平移距離為時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為．解法二：存在的情形，理由如下：過點(diǎn)作于，若存在，則，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∴，又∵，∴①，化簡得，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是方程①的解，∵，∴，∴，此時(shí)，，∴當(dāng)平移距離為時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和圓的綜合題，運(yùn)用到了圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角函數(shù)，弧長公式，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形的性質(zhì)等眾多知識(shí)點(diǎn)，復(fù)雜程度高，綜合性強(qiáng)．34．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）在中，，的平分線交于點(diǎn)D，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與在的同一側(cè)，且，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)求證：A，D，E三點(diǎn)在同一直線上；(3)如圖2，若，，求的長．【答案】(1)(2)見解析(3)10【分析】（1）由，可得，由平分，可得，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）如圖1，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，由旋轉(zhuǎn)得，，由，，可得，由平分，可得，則，由，，可得，進(jìn)而可證A，D，E三點(diǎn)在同一直線上；（3）如圖2，過點(diǎn)D作于G，由角平分線的性質(zhì)定理可得，由，可得，證明，則，在中，由勾股定理得，則，，在中，由勾股定理得，證明，則，即，解得，，在中，由勾股定理得，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為；（2）證明：如圖1，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，

由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴A，D，E三點(diǎn)在同一直線上．（3）解：如圖2，過點(diǎn)D作于G，

∵，即，平分，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，在中，由勾股定理得，∵，，∴，∴，即，解得，∴，在中，由勾股定理得，∴的長為10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．35．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在矩形中，為上一點(diǎn)，將沿折疊，得到．

(1)如圖1，若點(diǎn)恰好在邊上，點(diǎn)在上，且，連接．求證：．(2)如圖2，若點(diǎn)在矩形內(nèi)部，延長交邊于點(diǎn)，延長交邊于點(diǎn)，連接，且，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由折疊可證明，設(shè)，即可求解；（2）先證明，在中用勾股定理求出，證明，求出，從而證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊可得，，∴設(shè)，則，在中，，∴，∴．（2）解：連接，如圖所示，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∵，∴，∴，∴，設(shè)，在中，，∵，，∴，∴，解得．∴．∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．∴點(diǎn)在以E為圓心為直徑的圓上，∴．由折疊可知．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何折疊，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)和正確做出輔助線是解題關(guān)鍵．36．（2023·福建莆田·?？家荒＃┤鐖D，中，，以直角邊為腰，向外作等腰直角三角形，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．(1)探究：與的數(shù)量關(guān)系；(2)求證：；(3)若，，求的長．【答案】(1)(2)見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于得到，再由即可得到；（2）延長至M點(diǎn)，使得，連接，再證，得到，，接著證明，即有，則結(jié)論的證明；（3）過D點(diǎn)作，將的延長線于N點(diǎn)，先求出，則有，結(jié)合（2）的結(jié)論可得，則利用勾股定理即可求出，再證明，即可求出、，進(jìn)而可得，再利用勾股定理可求得，則可得．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）延長至M點(diǎn)，使得，連接，如圖，∵，∴，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）過D點(diǎn)作交的延長線于N點(diǎn)，如圖，∵在等腰中，斜邊，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵在（2）中，，∴，

∴在中，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形中兩銳角互余等知識(shí)，構(gòu)造是解答本題的關(guān)鍵．37．（2023·福建南平·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某校數(shù)學(xué)興趣小組在一次學(xué)習(xí)活動(dòng)中，對(duì)一些特殊幾何圖形具有的性質(zhì)進(jìn)行了如下探究：

(1)發(fā)現(xiàn)問題∶如圖1，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為腰作等腰，使，，連接，求證：．(2)類比探究：如圖2，在等腰中，，，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在正方形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，M是正方形的中心，連接，若正方形的邊長為12，，求的面積．【答案】(1)詳見解析(2)存在最小值，5(3)【分析】（1）由，推證進(jìn)而證得，從而．（2）連接，易證，得，再證，從而

，得，確定點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑，即N在的邊上運(yùn)動(dòng)，由垂線段最短及直角三角形性質(zhì)知時(shí)，最小，的最小值==5；（3）連接，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P，如圖，由正方形性質(zhì)可證得，，所以，于是，；設(shè)由勾股定理求得，在中，，進(jìn)一步求得三角形面積．【詳解】（1）解：∵∴∴

∵．∴．

∴．（2）存在最小值．理由：連接，在等腰與等腰中∴

∴∴∵∴∴

∴∴點(diǎn)N在的邊上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，最小，的最小值==5（3）連接，過點(diǎn)M作于點(diǎn)P如圖，∵M(jìn)為正方形的中心，∴．

∵四邊形為正方形∴．∴．∴∵∴∴，設(shè)∵由勾股定理得：解得：，(舍去)∴在中，，∴【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、正方形性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等；能夠靈活根據(jù)題設(shè)條件求證三角形相似，進(jìn)而得到線段、角的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．38．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，相交于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)G．

(1)求的大?。?2)在上取點(diǎn)M，使得，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)N，求證：C，N，M三點(diǎn)在同一條直線上．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)，證明，推出，可得解決問題；（2）連接，，易證，可知，，，四點(diǎn)共圓，得，可證，進(jìn)而可得，，由菱形性質(zhì)可得，可證，可得，，進(jìn)而得，證得，可得，由，可得，即可證得，，三點(diǎn)在同一條直線上．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，，∴和△是等邊三角形，∴，，，又∵，∴，∴，∴，∴；（2）證明：連接，，

∵△是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，，四點(diǎn)共圓，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，則，∴，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，則，，∴，∵∴，∴，，則，即，∴，∴，∵，∴，∴，，三點(diǎn)在同一條直線上．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．39．（2023·福建龍巖·校考一模）如圖，已知四邊形是矩形，點(diǎn)在的延長線上，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，求的長；（3）連接，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）；（3）見詳解【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及已知證得△EAF≌△DAB，則有即可證得結(jié)論；（2）設(shè)AD=a,AB=b，利用矩形性質(zhì)知AF∥BC，得△AEF∽△BEC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到a,b的方程，變形整理即可；（3）在EF上截取EM=DG，進(jìn)而證明△EMA≌△DGA，得到∠EAM=∠DAG，AM=AG，則證得△MAG為等腰直角三角形，即可得證結(jié)論．【詳解】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，∴∠EAF=∠DAB=90°，又∵，∴∠BGE=90°，∴∠E+∠ABD=90°，又∠ADB+∠ABD=90°，∴∠E=∠ADB∵AE=AD，∴△AEF≌△ADB(ASA)，∴．(2)在矩形ABCD中，AD=BC，AD//BC，∴△AEF∽△BEC，∴，設(shè)AD=a,AB=b，則，得a2?ba?b2=0，∴（負(fù)值舍去），故，∴，∴，∵AD=2，∴；(3)如圖，在線段EG上取點(diǎn)M，使得EM=DG，在ΔAEM與ΔADG中，AE=AD，∠E=∠1，EM=DG，∴△AEM≌△ADG(SAS)，∴AM=AG，∠3=∠4，∴∠MAG=∠5+∠3=∠5+∠4=90°，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，涉及知識(shí)面廣，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，提取相關(guān)信息，利用截長補(bǔ)短等解題方法確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．40．（2023·福建廈門·廈門雙十中學(xué)校考三模）中，，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，以點(diǎn)為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求線段的長；(2)如圖2，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，點(diǎn)在線段的延長線上，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，寫出一個(gè)的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)，總有，并證明．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）解得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出是直角三角形，進(jìn)而勾股定理即可求解；（2）根據(jù)題分別表示出，即可求解；（3）設(shè)的值為．任取滿足條件的點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，證明，便可得結(jié)論．【詳解】（1）∵中，，，，∴，，∵，∴，∴；（2）∵中，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即；（3）設(shè)的值為．

，，，．任取滿足條件的點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，，∴,．

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，對(duì)稱的性質(zhì)，