線性系統(tǒng)理論課件

緒論1784年,JamesWatt發(fā)明蒸汽機(jī)調(diào)速裝置——反饋的應(yīng)用。1877年，E.J.Routh穩(wěn)定性分析——代數(shù)判據(jù)。1868年，J.C.Maxwell穩(wěn)定判據(jù)（系數(shù)代數(shù)判據(jù)）。1895年，A.Hurwitz穩(wěn)定性分析——代數(shù)判據(jù)。1945年，H.W.Bode頻率法。1948年，W.R.Evans根軌跡法。至此，古典控制理論（傳遞函數(shù)法）體系確定。1.控制理論的發(fā)展史①局限于線性定常系統(tǒng)：難以解決非線性、時(shí)變系統(tǒng)等問(wèn)題。②采用輸入/輸出描述（傳函），忽視了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在特性，難以解決多輸入多輸出系統(tǒng)（耦合）。③處理方法上，只提供分析方法，而不是綜合方法。故設(shè)計(jì)方法為試行錯(cuò)誤法，無(wú)法得到“最好的設(shè)計(jì)”。2.古典控制理論的局限性1950年代，是個(gè)控制理論的“混亂時(shí)期”。1960年代，產(chǎn)生了“現(xiàn)代控制理論”（狀態(tài)空間法）。

Bellman動(dòng)態(tài)規(guī)劃法

Pontryagin極大值原理

Kallman可控、可觀性理論極點(diǎn)配置觀測(cè)器內(nèi)模原理至1970年代前半期，為狀態(tài)空間法的全盛時(shí)期。①在把握控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)（內(nèi)在特性）的基礎(chǔ)上，進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。②控制性能指標(biāo)是明確的，可以得到最佳設(shè)計(jì)（系統(tǒng)化的設(shè)計(jì)方法）。③需要知道描述控制系統(tǒng)全體的數(shù)學(xué)模型（缺一不可）。④難以利用人們的經(jīng)驗(yàn)，直觀性差。

1970年代后期，狀態(tài)空間法的應(yīng)用，遇到了困難，進(jìn)入了反省時(shí)期。

3.狀態(tài)空間法的特點(diǎn)（與古典控制理論比較）1980年代，在計(jì)算機(jī)技術(shù)的支持下，多變量系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)法出現(xiàn)了。

H.H.Rosenbrock;A.G.J.Macfarlane英國(guó)學(xué)派最優(yōu)控制自適應(yīng)控制魯棒控制

H∞控制模糊控制線性系統(tǒng)理論的重要性在于它的基礎(chǔ)性，其大量的概念、方法、原理和結(jié)論，對(duì)于系統(tǒng)和控制理論的許多學(xué)科分支，如最優(yōu)控制、非線性控制、隨機(jī)控制、系統(tǒng)辯識(shí)、信號(hào)檢測(cè)和估計(jì)、過(guò)程控制、數(shù)字濾波和通訊系統(tǒng)等，成為學(xué)習(xí)和研究這些學(xué)科的必不可少的預(yù)備知識(shí)。4.學(xué)習(xí)線性系統(tǒng)理論的重要性：研究對(duì)象為線性系統(tǒng)：實(shí)際系統(tǒng)理想化了的模型，可用線性微分方程或差分方程來(lái)描述。研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：用一組微分方程或差分方程來(lái)描述，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和各種性質(zhì)給出嚴(yán)格和定量的數(shù)學(xué)描述。5.線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象（P1）例：某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為L(zhǎng)，任意兩個(gè)輸入變量u1和u2以及任意兩個(gè)有限常數(shù)c1和c2，必有：L(c1u1+c2u2

)=c1

L(u1)+c2

L(u2)數(shù)學(xué)處理上的簡(jiǎn)便性，可使用的數(shù)學(xué)工具：數(shù)學(xué)方程具有線性屬性時(shí)，則為線性系統(tǒng)，滿足疊加性。數(shù)學(xué)變換（傅里葉變換，拉普拉斯變換）、線性代數(shù)實(shí)際系統(tǒng)——非線性的，有條件地線性化。線性定常系統(tǒng)——方程中每個(gè)系數(shù)均為常數(shù)。線性時(shí)變系統(tǒng)——方程中有為時(shí)間t的函數(shù)的系數(shù)研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和改變這個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可能性和方法。建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間的確定的和定量的關(guān)系。分析問(wèn)題：研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，認(rèn)識(shí)系統(tǒng)。綜合問(wèn)題：研究改變運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可能性和方法，改造系統(tǒng)。6.線性系統(tǒng)理論的主要任務(wù)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變量：狀態(tài)變量、輸入變量、輸出變量、擾動(dòng)變量。參量：系統(tǒng)的參數(shù)或表征系統(tǒng)性能的參數(shù)。常量：不隨時(shí)間改變的參數(shù)。時(shí)間域模型：微分方程組或差分方程組。頻率域模型：傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)。建模方法：實(shí)驗(yàn)法、解析法。定量分析：系統(tǒng)對(duì)于某個(gè)輸入信號(hào)的響應(yīng)和性能。定性分析：穩(wěn)定性、能控性、能觀測(cè)性等。1950年代中期：經(jīng)典線性系統(tǒng)理論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：拉普拉斯變換數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)分析和綜合方法：頻率響應(yīng)法適用于：?jiǎn)屋斎搿獑屋敵鼍€性定常系統(tǒng)多輸入—多輸出系統(tǒng)難于處理7.線性系統(tǒng)理論的發(fā)展過(guò)程1960年代：現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論傳遞函數(shù)：外部輸入—輸出描述狀態(tài)空間法：內(nèi)部描述單入—單出系統(tǒng)、多入—多出系統(tǒng)能控性和能觀測(cè)性：表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的概念1960年代后期，1970年代：幾何理論：從幾何方法角度來(lái)研究線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特征代數(shù)理論：以抽象代數(shù)為工具多變量頻域理論：推廣經(jīng)典頻率法8.線性系統(tǒng)理論的主要學(xué)派①線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法狀態(tài)方程和輸出方程：輸入變量、狀態(tài)變量和輸出變量間關(guān)系的向量方程。時(shí)間域方法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是線性代數(shù)分析和綜合：矩陣運(yùn)算和矩陣變換。②線性系統(tǒng)的幾何理論對(duì)線性系統(tǒng)的研究化為狀態(tài)空間中的幾何問(wèn)題。數(shù)學(xué)工具：幾何形式的線性代數(shù)。能控性和能觀測(cè)性表述為不同的狀態(tài)子空間的幾何性質(zhì)。新概念：（A，B）不變子空間，（A，B）能控子空間。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)捷明了，不用矩陣運(yùn)算，幾何方法的結(jié)果比較容易化為相應(yīng)的矩陣運(yùn)算，抽象。③線性系統(tǒng)的代數(shù)理論用抽象代數(shù)工具研究線性系統(tǒng)。把系統(tǒng)的各組變量間關(guān)系看作為某些代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系。線性系統(tǒng)的描述和分析——形式化和抽象化，變?yōu)榧兇獾拇鷶?shù)問(wèn)題。④多變量頻域方法以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)，采用頻率域的系統(tǒng)描述和頻率域的計(jì)算方法，來(lái)分析和綜合線性定常系統(tǒng)。1.頻率域設(shè)計(jì)方法多輸入—多輸出系統(tǒng)化為一系列單輸入—單輸出系統(tǒng)來(lái)處理，把經(jīng)典頻率法推廣到多變量系統(tǒng)中。英國(guó)學(xué)派：羅森布羅克、麥克法倫等提出。2.多項(xiàng)式矩陣設(shè)計(jì)方法數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述。多項(xiàng)式矩陣計(jì)算和變換。分析和綜合線性定常系統(tǒng)的理論和方法。羅森布羅克、沃羅維奇70年代初提出。優(yōu)點(diǎn)：物理直觀性強(qiáng)，便于設(shè)計(jì)調(diào)整等。

9.本書論述的范圍時(shí)間域理論和復(fù)頻率域理論狀態(tài)空間法和多項(xiàng)式矩陣法時(shí)間域理論，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型向量方程的形式：一階微分方程組和變換方程組，狀態(tài)方程和輸出方程。復(fù)頻率域理論，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在拉普拉斯變換域內(nèi)：輸出y和輸入u間的外部描述，G(s)稱之為傳遞函數(shù)矩陣，N(s)D-1(s)和A-1(s)B(s)是G(s)的多項(xiàng)式矩陣分式描述。時(shí)間域理論部分的安排

課程共分5章，著重講授線性系統(tǒng)理論的狀態(tài)空間分析方法，目的是讓學(xué)生結(jié)合線性系統(tǒng)理論的學(xué)習(xí)，掌握狀態(tài)空間分析和綜合方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用狀態(tài)空間分析這一線性系統(tǒng)理論中的基本工具。第1章緒論第2章討論線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。主要講授狀態(tài)空間分析的數(shù)學(xué)模型--狀態(tài)空間表達(dá)式的建立；狀態(tài)空間的線性變換;多輸出多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。第3章討論線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析。主要介紹連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的求解;狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和計(jì)算。第4章討論線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性問(wèn)題。主要介紹動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)性質(zhì)狀態(tài)能控性和能觀性，狀態(tài)能控性/能觀性在狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)分解和線性變換中的應(yīng)用；能控/能觀規(guī)范形；結(jié)構(gòu)分解。第5章討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。主要介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義，分析狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法;著重討論李雅普諾夫第二法以及在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用，李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造等。第6章討論線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合問(wèn)題。主要介紹狀態(tài)空間分析方法在系統(tǒng)控制與綜合中的應(yīng)用，內(nèi)容為狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置；系統(tǒng)鎮(zhèn)定；狀態(tài)觀測(cè)器。Matlab軟件概述Matlab程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言是美國(guó)Mathworks公司20世紀(jì)80年代中期推出的高性能數(shù)值計(jì)算軟件。經(jīng)過(guò)20余年的開(kāi)發(fā)、擴(kuò)充與不斷完善，Matlab已經(jīng)發(fā)展成為功能強(qiáng)大、適合多學(xué)科應(yīng)用的大型系統(tǒng)軟件,成為數(shù)值計(jì)算、控制系統(tǒng)仿真與設(shè)計(jì)、信號(hào)處理等領(lǐng)域的最重要的軟件。Matlab已經(jīng)成為線性代數(shù)、控制理論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)字信號(hào)處理、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的基本仿真計(jì)算與設(shè)計(jì)的工具，成為大學(xué)學(xué)習(xí)的必修內(nèi)容?？刂葡到y(tǒng)Matlab計(jì)算及仿真的優(yōu)秀性能

Matlab及其工具箱的開(kāi)發(fā)，使得它在科學(xué)計(jì)算與工程應(yīng)用上愈來(lái)愈普遍。由于Matlab的強(qiáng)大功能與便捷應(yīng)用，加之豐富的控制領(lǐng)域的工具箱，所以它特別適合用來(lái)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算與仿真。在控制領(lǐng)域，Matlab成為主要仿真分析與設(shè)計(jì)計(jì)算的軟件的原因如下。A.Matlab運(yùn)算功能強(qiáng)大，它提供的大量的基于矩陣的數(shù)值計(jì)算方法可以解決控制理論及控制系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)里經(jīng)常遇到的計(jì)算問(wèn)題。B.Mathworks公司先后與世界上許多知名自動(dòng)控制專家在他們擅長(zhǎng)的領(lǐng)域上合作，編寫了具有特殊功能的工具箱，使得Matlab從一個(gè)數(shù)值運(yùn)算工具變成自動(dòng)控制計(jì)算與仿真的工具。Matlab的控制工具箱里，系統(tǒng)門類齊全，已覆蓋了控制系統(tǒng)的各個(gè)領(lǐng)域，每一個(gè)工具箱都是當(dāng)今世界上該控制領(lǐng)域里的最權(quán)威、最先進(jìn)的計(jì)算與仿真程序軟件。目前，Matlab軟件包含的與控制領(lǐng)域直接相關(guān)的工具箱有如下幾類。基本控制方法:控制系統(tǒng)工具箱、系統(tǒng)辨識(shí)工具箱、儀表控制工具箱、最優(yōu)化控制工具箱。專用控制方法:魯棒控制工具箱、

分析綜合工具箱、LMI(線性不等式)控制工具箱、多變量頻域設(shè)計(jì)工具箱、預(yù)測(cè)控制工具箱、定量反饋理論工具箱。相關(guān)信號(hào)處理與優(yōu)化方法:信號(hào)處理工具箱、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱、模糊邏輯工具箱、遺傳算法與直接搜索工具箱。C.Matlab內(nèi)容豐富，擴(kuò)充能力強(qiáng)，編程效率高。不僅Matlab的開(kāi)發(fā)者可以編制軟件程序，使用者同樣可以為實(shí)現(xiàn)新功能或特殊功能開(kāi)發(fā)、編制軟件程序，并將其放到Matlab里去。D.Matlab語(yǔ)言語(yǔ)句簡(jiǎn)單，容易學(xué)習(xí)與使用。E.Matlab界面友好，用戶樂(lè)于使用。Matlab的強(qiáng)大方便的圖形功能，可以使得重復(fù)、繁瑣的計(jì)算與繪圖勞動(dòng)被簡(jiǎn)單、輕松的計(jì)算機(jī)操作所代替。而且數(shù)據(jù)計(jì)算準(zhǔn)確，圖形繪制精密。隨著Matlab軟件的出現(xiàn)，它的眾多工具箱與Simulink仿真工具，為控制系統(tǒng)的計(jì)算與仿真提供了一個(gè)強(qiáng)有力的工具，使控制系統(tǒng)的計(jì)算與仿真的傳統(tǒng)方法發(fā)生了革命性的變化。Matlab已經(jīng)成為國(guó)際、國(guó)內(nèi)控制領(lǐng)域內(nèi)最流行的計(jì)算與仿真軟件，成為控制領(lǐng)域工作者必備的基本工具。

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

典型控制系統(tǒng)由被控對(duì)象、傳感器、執(zhí)行器和控制器組成。

被控過(guò)程具有若干輸入端和輸出端。

數(shù)學(xué)描述方法：輸入－輸出描述（外部描述）:高階微分方程、傳遞函數(shù)矩陣。

狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）：基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是對(duì)系統(tǒng)的一種完整的描述。2.1

系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

典型控制系統(tǒng)方框圖執(zhí)行器被控對(duì)象傳感器控制器控制輸入觀測(cè)y控制u被控過(guò)程x反饋控制被控過(guò)程1.動(dòng)態(tài)過(guò)程數(shù)學(xué)描述的兩種基本類型。一個(gè)系統(tǒng)用下圖的一個(gè)方塊來(lái)表征。系統(tǒng)輸入：環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的作用。系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)對(duì)環(huán)境的作用。統(tǒng)稱為系統(tǒng)的外部變量?jī)?nèi)部變量：刻畫系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)刻所處狀況的變量。x1,x2,…,xn，體現(xiàn)了系統(tǒng)的行為。數(shù)學(xué)描述、數(shù)學(xué)模型：反映系統(tǒng)變量間因果關(guān)系和變換關(guān)系。系統(tǒng)的外部描述：輸入—輸出描述，不完全的描述。不表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只反映外部變量間的因果關(guān)系，即輸出和輸入間的因果關(guān)系。例：線性定常、單輸入—單輸出系統(tǒng)，外部描述為線性常系數(shù)微分方程其中：ai和bj

為實(shí)常數(shù)。i=1,2,…,n-1；j=1,2,…,n-1假定初始條件為零，取拉氏變換。復(fù)頻率域描述，即傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的內(nèi)部描述，狀態(tài)空間描述，完全的描述。兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成：狀態(tài)方程：微分方程或差分方程。內(nèi)部變量組和輸入變量組間的因果關(guān)系。輸出方程：代數(shù)方程。內(nèi)部變量組、輸入變量組和輸出變量組間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。外部描述外部描述把系統(tǒng)的輸出取為系統(tǒng)外部輸入的直接響應(yīng)，顯然這種描述把系統(tǒng)當(dāng)成一個(gè)“黑匣”，認(rèn)為系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部信息全然不知，系統(tǒng)描述直接反映了輸出變量與輸入變量間的動(dòng)態(tài)因果關(guān)系。

內(nèi)部描述內(nèi)部描述是基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析的一類數(shù)學(xué)模型，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特性。

(1)狀態(tài)狀態(tài)是完全地描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀況的信息，系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀況可以用該時(shí)刻系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的一組信息表征，定義系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)信息的集合為狀態(tài)。(2)狀態(tài)變量

定義完全表征動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)間域運(yùn)動(dòng)行為的信息組中的元素為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量組常用符號(hào)x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它們相互獨(dú)立（即變量的數(shù)目最小）。

2.狀態(tài)的基本概念【例2-1】確定圖2－1所示電路的狀態(tài)變量。

圖2－1RLC電路

要唯一地確定t時(shí)刻電路的運(yùn)動(dòng)行為，除了要知道輸入電壓u(t)外，還必須給出流過(guò)電感上的初始電流i(t0)和電容上的初始電壓uC(t0)

，或者說(shuō)uC(t)和i(t)這兩個(gè)變量可用來(lái)完全地描述該電路的運(yùn)動(dòng)行為，且它們之間是獨(dú)立的，故uC(t)和i(t)是該電路的狀態(tài)變量。

并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨(dú)立變量假定電容器初始電壓值均為0，有因此，只有一個(gè)變量是獨(dú)立的，狀態(tài)變量只能選其中一個(gè)，即用其中的任意一個(gè)變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為。實(shí)際上，三個(gè)串并聯(lián)的電容可以等效為一個(gè)電容。(3)狀態(tài)向量

設(shè)x1(t),x2(t),…,xn(t)是系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，把這些狀態(tài)變量看作向量x(t)的分量，則x(t)就稱為狀態(tài)向量，記為(4)狀態(tài)空間

以x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的一個(gè)n維歐氏空間，稱為狀態(tài)空間。

圖1-3多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖

(5)狀態(tài)方程

描述系統(tǒng)狀態(tài)變量間或狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸入變量間關(guān)系的一個(gè)一階微分方程組(連續(xù)系統(tǒng))或一階差分方程組（離散系統(tǒng)），稱為狀態(tài)方程。【例2-2】建立圖2－1所示RLC電路的狀態(tài)方程。

取電容上的電壓uC(t)和電感中的電流i(t)作為狀態(tài)變量，根據(jù)電路原理有將上式中狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)放在方程左邊，其余項(xiàng)移至方程右邊，整理得一階微分方程組為：上式即為圖1所示電路的狀態(tài)方程，并將其寫成向量-矩陣形式，即

令，記式中,式（1-4）可簡(jiǎn)寫為

狀態(tài)方程和輸出方程合起來(lái)構(gòu)成對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)完整的描述，稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

圖1－2所示電路,若uC(t)為輸出,取x1=uC(t)，x2=i(t)作為狀態(tài)變量，則其狀態(tài)空間表達(dá)式為：(6)狀態(tài)空間表達(dá)式2.2系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的分類

系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述是其動(dòng)力學(xué)特征的完整的表征。各類系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上和特性上的質(zhì)的差別，將表現(xiàn)為它們的狀態(tài)空間描述在類型上的不同。線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)向量方程和 的所有元都是變量x1，…，xn和u1，…，ur的線性函數(shù)，則相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。向量方程和至少包括一個(gè)元是變量x1，…，xn和u1，…，ur的非線性函數(shù)，則相應(yīng)的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。現(xiàn)實(shí)中的一切實(shí)際系統(tǒng)嚴(yán)格地說(shuō)都屬于非線性系統(tǒng)。1.線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

若向量方程中和的所有組成元都是變量和的線性函數(shù)，則稱相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。而線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可表示為如下形式：

式中，各個(gè)系數(shù)矩陣分別為

其中x為n維的狀態(tài)向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為n

n維的系統(tǒng)矩陣;B為n

r維的輸入矩陣;C為m

n維的輸出矩陣;D為m

r維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣，直接轉(zhuǎn)移矩陣)。對(duì)前面引入的狀態(tài)空間模型的意義，有如下討論:狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性,其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化。輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況,它主要決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。輸入矩陣B又稱為控制矩陣,它表示輸入對(duì)狀態(tài)變量變化的影響。輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對(duì)輸出的直接影響，許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系，即直聯(lián)矩陣D=0。2.線性時(shí)變系統(tǒng)和定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量自然是時(shí)間的函數(shù)，而矩陣，，和的各個(gè)元素如果與時(shí)間有關(guān)，則稱這種系統(tǒng)是線性時(shí)變系統(tǒng)。

矩陣，，和的各個(gè)元素如果與時(shí)間無(wú)關(guān)，則稱這種系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)

式中的各個(gè)系數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣

為簡(jiǎn)便，線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡(jiǎn)記為

(A,B,C,D)。幾種簡(jiǎn)記符的意義:當(dāng)系統(tǒng)的輸出與輸入無(wú)直接關(guān)系（即）時(shí)，稱為慣性系統(tǒng)；相反，系統(tǒng)的輸出與輸入有直接關(guān)系（即）時(shí)，稱為非慣性系統(tǒng)。大多數(shù)控制系統(tǒng)為慣性系統(tǒng)，所以，它們的動(dòng)態(tài)方程為3.離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

當(dāng)系統(tǒng)的各個(gè)變量只在離散的時(shí)刻取值時(shí)，這種系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)簡(jiǎn)稱離散系統(tǒng)。其狀態(tài)空間描述只反映離散時(shí)刻的變量組之間的因果關(guān)系和轉(zhuǎn)換關(guān)系。是用來(lái)表示離散的時(shí)刻，那么離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的最一般形式為：

對(duì)于線性離散時(shí)間系統(tǒng)，則上述狀態(tài)空間描述還可進(jìn)一步化為如下形式：4.確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)（P32）確定系統(tǒng)是指系統(tǒng)的特性和參數(shù)是按確定的規(guī)律變化的，其各個(gè)輸入變量（包括控制和擾動(dòng)）也是按確定的規(guī)律而變化的。不確定系統(tǒng)，系統(tǒng)的特性和參數(shù)的變化不能用確定的規(guī)律來(lái)描述，或者作用于系統(tǒng)的變化（包括控制和擾動(dòng)）是隨機(jī)變化，或者兩者兼而有之。5.狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖（P41）

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來(lái),以形象說(shuō)明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。不僅適用于多輸入多輸出系統(tǒng)，當(dāng)然也適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件:積分器,加法器,比例器,其表示符如圖2-2所示。圖2-2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件例線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-3所示。值得注意的是：圖中的信號(hào)傳輸線一般是表示列向量，方框中的字母代表矩陣，每一方框的輸入輸出關(guān)系規(guī)定為：輸出向量=(方塊所示矩陣)×(輸入向量)圖2-3多輸入多輸出線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的第一步，是控制理論和工程的基礎(chǔ).2.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的方法稱為機(jī)理建模。機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲(chǔ)存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系。以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系。如電感的電壓和電流滿足的動(dòng)態(tài)關(guān)系.2.3.1.由物理機(jī)理直接建立狀態(tài)空間表達(dá)式：在實(shí)際工程系統(tǒng)中，許多過(guò)程和元件都具有儲(chǔ)存和傳遞能量(或信息)的能力。例如，機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的彈簧和運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)量體都儲(chǔ)存有能量并能通過(guò)某種形式傳遞;化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲(chǔ)存與傳遞;化工反應(yīng)系統(tǒng)中的反應(yīng)物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息。對(duì)這些系統(tǒng)，根據(jù)其物理和化學(xué)變化的機(jī)理，由相應(yīng)描述這些變化的物理和化學(xué)的定理、定律和規(guī)律等，可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動(dòng)靜態(tài)關(guān)系式。因此，在選擇適宜的狀態(tài)變量后，可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。建立狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間模型的前提狀態(tài)變量的主要選取辦法系統(tǒng)儲(chǔ)能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導(dǎo)數(shù)上述狀態(tài)變量的數(shù)學(xué)投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量）下面通常見(jiàn)的剛體力學(xué)系統(tǒng)、流體力學(xué)系統(tǒng)、典型化工(熱工)過(guò)程、機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)討論如何建立狀態(tài)空間模型。

【例2-3】圖2-4表示某電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)，其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感，J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，負(fù)載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦。試列寫以電樞電壓u(t)為輸入，軸的角位移

(t)為輸出的狀態(tài)空間模型。機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解1.設(shè)電動(dòng)機(jī)勵(lì)磁電流不變，鐵心工作在非飽和區(qū)。按照?qǐng)D2-4所描述的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程其中Ea和M分別為如下電樞電勢(shì)和轉(zhuǎn)矩Ea=Ced

/dt,M=CMia其中Ce和Cm分別為電樞電勢(shì)常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)(含恒定的磁通量)

.因此，上述主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可記為2.選擇狀態(tài)變量.對(duì)于本例，若已知電樞電流ia(t)，角位移

(t)和其導(dǎo)數(shù)d/dt在初始時(shí)刻t0的值，以及電樞電壓u，則上述微分方程組有唯一解。因此，可以選擇狀態(tài)變量如下3.將狀態(tài)變量代入上述微分方程，則有如下?tīng)顟B(tài)方程4.建立輸出方程y=x25.經(jīng)整理，可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，分別討論由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和由含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程建立狀態(tài)空間模型。本節(jié)關(guān)鍵問(wèn)題:如何選擇狀態(tài)變量關(guān)鍵2.3.2由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為，不包含有輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為

y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu

其中y和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入；n為系統(tǒng)的階次。本節(jié)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。1.微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)選擇狀態(tài)變量為如下相變量x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。（a）化為能控標(biāo)準(zhǔn)形將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程，有如下?tīng)顟B(tài)方程和輸出方程y=x1將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有式（1-23）描述的狀態(tài)空間表達(dá)式稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為:其中通常將上述取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相變量。該類系統(tǒng)矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣，這在后面的章節(jié)中可以看到?！纠?-4】將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”’+6y”+11y’+5y=6u解：本例中a1=6a2=11a3=5

b=6因此,當(dāng)選擇輸出y及其1階與2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí),由式(1-23)可得狀態(tài)空間模型如下取狀態(tài)變量：（b）化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形整理得：則得能觀標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間表達(dá)式：描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方程的一般表達(dá)式為y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu2.微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)通常采用（1）待定系數(shù)法（P35）可利用輸出y和輸入u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來(lái)組成狀態(tài)變量，其原則是:使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出u的各階導(dǎo)數(shù)。（2）輔助變量法（P33）利用Laplace變換，引入輔助變量z根據(jù)待定系數(shù)法，選擇狀態(tài)變量如下其中

i(i=0,1,…,n)為待定系數(shù)。（一）待定系數(shù)法即：因此,有若待定系數(shù)

i(i=0,1,…,n)滿足如下關(guān)系式

0=b0

1=b1-a1

0

2=b2-a1

1-a2

0……

n

=bn-a1

n-1-…-an

0即i(i=0,1,…,n)滿足如下方程組則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)空間模型（二）輔助變量法設(shè)

n

階微分方程為：Laplace變換，求傳遞函數(shù)引入輔助變量z返回到微分方程形式：以及選擇狀態(tài)變量如下：┆寫成矩陣形式注：如果輸入項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)階次和輸出項(xiàng)導(dǎo)數(shù)階次相同，則有d?！纠?-5】已知描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解

（1）待定系數(shù)法選擇狀態(tài)變量如下其中于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為（2）輔助變量法引入輔助變量z選擇狀態(tài)變量于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2.4線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由前面的討論可知，當(dāng)選擇不同的狀態(tài)變量，則獲得不同的狀態(tài)空間模型描述。實(shí)際上，狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇下對(duì)系統(tǒng)的一種描述，它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同，并不具有唯一性和不變性。1.系統(tǒng)的特征值和特征向量狀態(tài)空間的線性變換，只是改變了描述系統(tǒng)的角度(或說(shuō)坐標(biāo)系)，系統(tǒng)的本質(zhì)特征應(yīng)保持不變。對(duì)于線性定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的特征值(極點(diǎn))決定了系統(tǒng)的基本特性。特征值是系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征之一。定義設(shè)v是n維非零向量，A是n

n矩陣。若方程組Av=

v成立，則稱

為矩陣A的特征值，非零向量v為

所對(duì)應(yīng)的矩陣A的特征向量。將上述特征值的定義式寫為(

I-A)v=0（2-27）其中I為n×n的單位矩陣。因此，由代數(shù)方程論可知，上式有非零特征向量v的解的充要條件為|

I-A|=0并稱上式為矩陣A的特征方程，而|

I-A|為A的特征多項(xiàng)式。將|

I-A|展開(kāi)，可得|

I-A|=

n+a1

n-1+…+an-1+an=0其中ai(i=1,2,…,n)稱為特征多項(xiàng)式的系數(shù)。因此，n

n維的矩陣A的特征多項(xiàng)式為n階多項(xiàng)式。求解矩陣特征值的方法即為求解矩陣A的特征方程。n階的特征方程的n個(gè)根

1,

2,…,

n即為矩陣A的n個(gè)特征值。在得到特征值

i后，由式(2-27)可求得矩陣對(duì)應(yīng)于

i的特征向量vi

。2.特征向量的計(jì)算如何求解特征值

i對(duì)應(yīng)的特征向量?求解特征向量，即求如下齊次矩陣代數(shù)方程的非零解(

iI-A)vi=0由于

i為A的特征值，故

iI-A不可逆。因此，由代數(shù)方程理論可知，該方程組的解并不唯一。當(dāng)特征方程存在重根時(shí)，線性獨(dú)立的特征向量可能不唯一。因此,就產(chǎn)生如下問(wèn)題:問(wèn)題:對(duì)應(yīng)于特征值

i究竟有幾個(gè)獨(dú)立的特征向量?答案:矩陣的重特征值

i所對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立的特征向量可能不止一個(gè)。它的獨(dú)立特征向量的數(shù)目等價(jià)于系統(tǒng)的維數(shù)與線性方程組(2-27)的線性獨(dú)立的方程數(shù)之差，即為n-rank(

iI-A)

因此，r重的特征值可能存在1至r個(gè)線性獨(dú)立的特征向量。由此，導(dǎo)出如下問(wèn)題:獨(dú)立的特征向量數(shù)到底具有什么意義?它與特征值的重?cái)?shù)之間有何關(guān)系?下面引入代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)兩個(gè)概念。代數(shù)重?cái)?shù)。由特征方程求得的特征值

i的重?cái)?shù)稱為特征值

i的代數(shù)重?cái)?shù)。幾何重?cái)?shù)。特征值

i線性獨(dú)立的特征向量數(shù)稱為特征值

i的幾何重?cái)?shù)。代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)是兩個(gè)不同的概念。幾何重?cái)?shù)具有幾何上空間表征的意義，它代表在空間分解上不變的幾何子空間的數(shù)目。而代數(shù)重?cái)?shù)僅具有代數(shù)意義，它代表特征值在特征方程的重?cái)?shù)。例2-6求如下矩陣的特征向量解：1.由特征方程|

I-A|=0求得系統(tǒng)的特征值。解該特征方程，可求得系統(tǒng)的特征值為

1=1

2=

3=2即2為系統(tǒng)的二重特征值，其代數(shù)重?cái)?shù)為22.計(jì)算

1=1的特征向量。(

1I-A)v1=0解之得特征向量v1的通解為v1=[v11

v112v11]T令v11=1，解之得v1=[v11

v12

v13]T=[112]T3.

計(jì)算重特征值

2=

3=2的特征向量。按定義有(

2I-A)v2=0由于n-rank(

2I-A)=2因此，特征值應(yīng)有2個(gè)獨(dú)立特征向量，故該重特征值的幾何重?cái)?shù)亦為2。解之得特征向量v2的通解為v2=[v21

v22

v21]T令v21=1、v22=0和1、解之得v2=[101]T

和v3=[111]T即重特征值2有兩個(gè)線性獨(dú)立的特征向量。3.

廣義特征向量和特征向量鏈某些重特征值的線性獨(dú)立特征向量數(shù)(幾何重?cái)?shù))小于其代數(shù)重?cái)?shù)，從而使得矩陣所有特征值所對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立特征向量數(shù)之和小于矩陣維數(shù)。為此，引入一組輔助的空間變換基向量--廣義特征向量和特征向量鏈。定義廣義特征向量是重特征值

i所對(duì)應(yīng)的某個(gè)線性獨(dú)立的特征向量vj滿足如下方程組的向量vj,k:解上述方程組一直到無(wú)解為止，就可求得特征值

i的特征向量vj所對(duì)應(yīng)的所有廣義特征向量vj,k。(2-51)重特征值

i的所有線性獨(dú)立特征向量vj及其對(duì)應(yīng)的廣義特征向量vj,k的個(gè)數(shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù)，否則就還存在其他特征向量或廣義特征向量。值得指出的是，并不是重特征值

i的任何一組線性獨(dú)立的特征向量，都能求出所有的廣義特征向量。若

i的某一組特征向量vj及其相應(yīng)廣義特征向量vj,k的個(gè)數(shù)小于該特征值的代數(shù)重?cái)?shù)，則應(yīng)重新選取其他一組線性獨(dú)立的特征向量并求取相應(yīng)的廣義特征向量。重特征值

i的特征向量vj的廣義特征向量vj,1,vj,2,…組成的向量鏈稱為

i的特征向量vj對(duì)應(yīng)的特征向量鏈。下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)簡(jiǎn)單介紹線性空間的特征子空間分解。例,某5維線性空間,存在一個(gè)3重特征值和一個(gè)2重特征值。3重特征值有2個(gè)獨(dú)立特征向量，2重特征值有1個(gè)獨(dú)立特征向量。則該線性空間可分解為如下3個(gè)獨(dú)立的不變特征子空間。若該5維線性空間,3重特征值有1個(gè)獨(dú)立特征向量，2重特征值有2個(gè)獨(dú)立特征向量。則該線性空間可分解為如下3個(gè)獨(dú)立的不變特征子空間。例2-7

求如下矩陣的特征向量和特征向量鏈解1.

由特征方程|

I-A|=0可求得系統(tǒng)的特征值為

1=

2=

3=-1

即-1為系統(tǒng)的三重特征值，其代數(shù)重?cái)?shù)為3。2.

計(jì)算對(duì)應(yīng)于三重特征值-1的特征向量。按定義有(

1I-A)v1=0即由于n-rank(

1I-A)=2因此，該特征值應(yīng)有2個(gè)獨(dú)立特征向量，故該重特征值的幾何重?cái)?shù)亦為2。由于該重特征值的幾何重?cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù)，因此存在廣義特征向量。解之得如下特征向量的通解式v1=[v11

v12-(v11+v12)/2]T分別令兩組獨(dú)立的{v11

v12}即可求得三重特征值

1的兩個(gè)線性獨(dú)立的特征向量。三重特征值-1只有兩個(gè)獨(dú)立特征向量，其幾何重?cái)?shù)為2。因此，重特征值-1的兩個(gè)獨(dú)立特征向量中有一個(gè)一定存在廣義特征向量。下面通過(guò)求廣義特征向量來(lái)輔助決定選取合適的v11和v12。3.計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征向量的廣義特征向量和特征向量鏈。按定義式(2-51)，特征向量v1的廣義特征向量v1,2滿足(

1I-A)v1,2=-v1即因此，根據(jù)方程的可解性，存在廣義特征向量的特征向量v1中的v11和v12滿足v11=-3v123倍關(guān)系此時(shí)的廣義特征向量的解為v1,2=[r1

r2-(r1+r2-v12)/2]T其中r1和r2為任意數(shù)。因此存在廣義特征向量的特征向量v1為和其對(duì)應(yīng)的廣義特征向量可以分別取為v1=[v11

v12-(v11+v12)/2]T=[-3v12

v12

v12]T

=[1-1/3-1/3]Tv1,2=[r1

r2-(r1+r2-v12)/2]T=[12/3-1]T另外一個(gè)不存在廣義特征向量的三重特征值

1的特征向量為v2=[v11

v12-(v11+v12)/2]T=[10-1/2]T本例共求得3個(gè)特征向量和廣義特征向量。由于矩陣A的維數(shù)為3

3，因此對(duì)應(yīng)于上述特征向量和廣義特征向量，已不存在其他廣義特征向量。故特征值

1對(duì)應(yīng)于特征向量v1的特征向量鏈為v1和v1,2。對(duì)于傳遞函數(shù)G(s)，其特征方程為sn+a1sn-1+…+an=0若其特征方程的n個(gè)特征根s1,s2,…,sn互異，則用部分分式法可將G(s)表示為如下并聯(lián)分解其中k1,k2,…,kn為待定系數(shù),其計(jì)算公式為自己推導(dǎo)1.傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換極點(diǎn)互異和有重極點(diǎn)

兩種情況討論如何通過(guò)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型。狀態(tài)方程的因式分部法（補(bǔ)充）下面以k1計(jì)算式的推導(dǎo)過(guò)程為例說(shuō)明的ki的計(jì)算式。將G(s)的乘以s-s1,有因此，由于特征根s1,s2,…,sn互異，有第2項(xiàng)將s1代入為0考慮到，輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足因此，若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足則，經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為相應(yīng)地，系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+knXn(s)因此，經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k1x1+k2x2+…+knxn整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型【例2-8】用部分分式法將對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型解由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式s3+6s2+11s+6可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為s1=-1s2=-2s3=-3于是有其中故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出,可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型結(jié)論：對(duì)角規(guī)范形，各個(gè)狀態(tài)變量間實(shí)現(xiàn)了完全解耦，可表成為n個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量方程。如果系統(tǒng)矩陣A具有形式且其特征值s1,s2,…,sn兩兩不相等，則變換矩陣為當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時(shí),傳遞函數(shù)不能分解成如式的情況,亦得不到如式(2-25)所示的狀態(tài)方程。不失一般性，為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法，以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有6個(gè)根，其值分別為s1,s1,s1,s4,s5,s5，即s1為3重極點(diǎn)，s2為2重極點(diǎn)。相應(yīng)地，可將所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為2.傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換其中kij為待定系數(shù)，其計(jì)算公式為會(huì)推導(dǎo)嗎?其中l(wèi)為極點(diǎn)si的重?cái)?shù)。下面以系數(shù)k13的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例來(lái)說(shuō)明kij的計(jì)算式將G(s)的乘以(s-s1)3,有第2項(xiàng)將s1代入為0。對(duì)等式兩邊求2次導(dǎo)數(shù)后因此，有考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足則有即有則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6因此,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型(1-26)系統(tǒng)矩陣A具有這種特定塊對(duì)角形式的狀態(tài)空間模型即為所謂約旦規(guī)范形?！纠?-9】用部分分式法將下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型解由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式s3+5s2+8s+4可求得系統(tǒng)有二重極點(diǎn)s1=-2和單極點(diǎn)s2=-1,于是有其中故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式串-并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出，可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型結(jié)論已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中系統(tǒng)矩陣若A的n個(gè)特征值

1,

2,…,

n所對(duì)應(yīng)的特征向量線性獨(dú)立，則必存在變換矩陣P，使其進(jìn)行狀態(tài)變換x=P

后為對(duì)角線規(guī)范形，即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為為對(duì)角線矩陣，并且變換矩陣P可取為P=[p1

p2…pn]其中pi為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

i的特征向量。2.5.1化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形2.5狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形【例2-10】試將下列狀態(tài)空間模型變換為對(duì)角線規(guī)范形解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為

1=-1

2=-2

3=-32.求特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。由前述的方法可求得特征值

1,

2和

3所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為p1=[101]T

p2=[124]T

p3=[169]T3.取A的特征向量組成變換矩陣P并求逆陣P-1，即有4.計(jì)算各矩陣5.系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為2.5.2化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形系統(tǒng)存在重特征值且線性獨(dú)立特征向量數(shù)小于該特征值的重?cái)?shù)時(shí)，則系統(tǒng)矩陣A不能變換成對(duì)角線矩陣。在此種情況下，A可變換成約旦矩陣，系統(tǒng)表達(dá)式可變換成約旦規(guī)范形。下面將分別討論約旦塊和約旦矩陣約旦規(guī)范形及其計(jì)算1.

約旦塊和約旦矩陣矩陣的約旦塊的定義為由l個(gè)約旦塊Ji組成的塊對(duì)角的矩陣稱為約旦矩陣，如J=block-diag{J1

J2…Jl}下述矩陣均為約旦矩陣上述第一個(gè)約旦矩陣有兩個(gè)約旦塊,分別為1

1維的特征值2的約旦塊和3

3維的特征值-1的約旦塊;第二個(gè)約旦矩陣有三個(gè)約旦塊,分別為1

1維的特征值3的約旦塊以及1

1維和2

2維的特征值-1的兩個(gè)約旦塊。2.

約旦規(guī)范形及其計(jì)算定義系統(tǒng)矩陣A為約旦矩陣的狀態(tài)空間模型稱為約旦規(guī)范形。與對(duì)角線規(guī)范形一樣，約旦規(guī)范形也是線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析中一種重要的狀態(tài)空間模型。對(duì)于任何有重特征值且其線性獨(dú)立特征向量數(shù)小于其維數(shù)的矩陣，雖然不能通過(guò)相似變換化成對(duì)角線矩陣,但可經(jīng)相似變換化為約旦矩陣。定義廣義特征向量是重特征值

i所對(duì)應(yīng)的某個(gè)線性獨(dú)立的特征向量vj滿足如下方程組的向量vj,k結(jié)論已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=Ax+Bu若A的共有p(p<n)個(gè)互異的特征值，l(p

l

n)個(gè)線性獨(dú)立特征向量pi則必存在變換矩陣P，使其進(jìn)行狀態(tài)變換x=P

后為約旦規(guī)范形，即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中系統(tǒng)矩陣為約旦矩陣，并且變換矩陣P可取為P=[P1P2

…Pl]變換矩陣PP=[P1P2

…Pl]中的Pi為矩陣A對(duì)應(yīng)于線性獨(dú)立特征向量pi的特征向量組成的如下分塊矩陣若pi和pi,j為對(duì)應(yīng)與特征值

i的獨(dú)立特征向量和廣義特征向量，則必有【例2-11】試將下列狀態(tài)空間模型變換為約旦規(guī)范形解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為

1=

2=

3=2

4=-12.求特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量P11=[11-11/3]TP21=[100-1]T和廣義特征向量P22=[110-1]T特征值-1的特征向量為P31=[0001]T3.取A的特征向量和廣義特征向量組成變換矩陣P并求逆陣P-1，即有4.計(jì)算各矩陣5.系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為2.6由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)陣對(duì)于SISO線性定常系統(tǒng)，標(biāo)量傳遞函數(shù)表達(dá)了系統(tǒng)輸入與輸出間的信息動(dòng)態(tài)傳遞關(guān)系。對(duì)于MIMO線性定常系統(tǒng)，將每個(gè)輸入通道至每個(gè)輸出通道之間的標(biāo)量傳遞函數(shù)按序排列成的矩陣函數(shù),即傳遞函數(shù)陣下面將從狀態(tài)空間模型出發(fā)，分別討論MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣的定義由狀態(tài)空間表達(dá)式建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣2.6.1傳遞函數(shù)陣的定義在引入傳遞函數(shù)陣概念之前，需將標(biāo)量函數(shù)拉氏變換的定義擴(kuò)展到向量函數(shù)和矩陣函數(shù)。為此，定義對(duì)向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的拉氏變換為分別對(duì)該向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的各個(gè)元素求相應(yīng)的拉氏變換對(duì)r維輸入、m維輸出的MIMO系統(tǒng)，若其輸入輸出的拉氏變換分別為U(s)和Y(s)，則系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)關(guān)系可表示為Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)稱為傳遞函數(shù)陣，其每個(gè)元素為標(biāo)量傳遞函數(shù)。G(s)的形式為其中Gij(s)描述了第i個(gè)輸出與第j個(gè)輸入之間的動(dòng)態(tài)傳遞關(guān)系。2.6.2求傳遞函數(shù)陣前面已經(jīng)介紹了SISO系統(tǒng)從傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，下面將介紹其逆問(wèn)題，即怎樣從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。主要內(nèi)容有傳遞函數(shù)矩陣的推導(dǎo)前面已經(jīng)介紹了SISO系統(tǒng)從傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，下面將介紹其逆問(wèn)題，即怎樣從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。已知MIMO線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為其中x為n維狀態(tài)向量;u為r維輸入向量;y為m維輸出向量。對(duì)上式取拉氏變換,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分別為x(t)、u(t)和y(t)的拉氏變換；x(0)為x(t)的在初始時(shí)刻t=0的值。由于傳遞函數(shù)陣描述的是系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)傳遞關(guān)系，不考慮系統(tǒng)初始條件的影響。因此令x(0)=0，于是由狀態(tài)方程的拉氏變換式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)將上述X(s)代入輸出方程，有Y(s)=[C(sI-A)-1B+D]U(s)因此，可得線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為G(s)=C(sI-A)-1B+D若對(duì)于輸入與輸出間無(wú)直接關(guān)聯(lián)項(xiàng)(即D=0)的系統(tǒng)，則有G(s)=C(sI-A)-1BG(s)計(jì)算的求解方法有實(shí)用算式（P68）和拉氏變換法【例2-12】求如下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解(1)先計(jì)算逆矩陣C(sI-A)-1B代數(shù)余子式(2)由傳遞函數(shù)計(jì)算公式可得由于狀態(tài)變換僅對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行，保持系統(tǒng)的輸入和輸出變量及它們間的動(dòng)靜態(tài)關(guān)系不變。因此，有如下結(jié)論:描述系統(tǒng)輸入與輸出間動(dòng)態(tài)傳遞關(guān)系的傳遞函數(shù)陣對(duì)狀態(tài)變換具有不變性。2.7系統(tǒng)系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性從上一節(jié)的討論可知，同一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，即使其維數(shù)相同，但其具體結(jié)構(gòu)和系數(shù)矩陣也是多種多樣的，如系統(tǒng)矩陣A可以為對(duì)角線矩陣的或者約旦矩陣的,也可以為其他形式的（如能控標(biāo)準(zhǔn)形）。即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。為何同一個(gè)系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間模型?原因:狀態(tài)變量的不同選擇這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題:各種不同選擇的狀態(tài)變量之間，以及它們所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間的關(guān)系如何?對(duì)于一個(gè)n階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，可通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)膎個(gè)狀態(tài)變量以建立狀態(tài)空間模型來(lái)描述它。但是，這n個(gè)狀態(tài)變量的選擇卻不是唯一的。這一點(diǎn)可利用線性代數(shù)中的基底不唯一來(lái)理解。一個(gè)n維線性獨(dú)立的狀態(tài)變量向量，在n維狀態(tài)空間中構(gòu)成一個(gè)坐標(biāo)系，即相當(dāng)于空間中的一個(gè)基底。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，在這個(gè)空間中還存在另外的坐標(biāo)系，且與原坐標(biāo)系存在一個(gè)線性變換關(guān)系。1.狀態(tài)空間的線性變換狀態(tài)變量是一組實(shí)變量，它們所組成的狀態(tài)空間為一個(gè)實(shí)線性空間。由線性代數(shù)知識(shí)可知，線性空間中，隨著表征空間坐標(biāo)的基底的選取的不同，空間中的點(diǎn)關(guān)于各種基底的坐標(biāo)亦不同。這些基底之間的關(guān)系為進(jìn)行了一次坐標(biāo)變換，而空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)則相當(dāng)于作了一次相似變換。如，在右圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)存在如下變化關(guān)系(其中P為非可逆的變換矩陣)n維空間中的旋轉(zhuǎn)變換、極坐標(biāo)變換，線性空間中的相似變換，都屬于空間變換。其中旋轉(zhuǎn)變換和相似變換還屬于線性變換。狀態(tài)空間中由于狀態(tài)變量的不同選擇類似于線性空間中的坐標(biāo)架的不同選擇，同一個(gè)系統(tǒng)不同選擇狀態(tài)變量組之間存在類似于線性空間不同坐標(biāo)架之間的線性變換,因此我們將在狀態(tài)空間中坐標(biāo)變換稱為狀態(tài)空間的線性變換。上述狀態(tài)變量向量x與

間的變換，稱為狀態(tài)的線性變換。由線性代數(shù)知識(shí)可知，它們之間必有如下變換關(guān)系2.狀態(tài)的線性變換設(shè)描述同一個(gè)線性狀態(tài)空間的兩個(gè)n維的狀態(tài)變量向量分別為其中P為n

n維的非奇異變換矩陣。值得指出的是:變換矩陣P只有為非奇異的，才能使x和

間的變換關(guān)系是等價(jià)的、唯一的和可逆的。兩種表達(dá)式式之間存在什么關(guān)系?3.狀態(tài)空間模型的線性變換設(shè)在狀態(tài)變量x和

下，系統(tǒng)狀態(tài)空間模型分別為將變換關(guān)系x=P

代入

(A,B,C,D)的狀態(tài)方程中有將上式與狀態(tài)空間模型

比較，則線性系統(tǒng)(A,B,C,D)在線性變換矩陣P下的各矩陣具有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系由于變換矩陣P非奇異，因此有則有2.8組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述由兩個(gè)或兩個(gè)以上的子系統(tǒng)，按一定方式聯(lián)接構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)（P74）串聯(lián)、并聯(lián)、反饋三種類型本章中涉及的計(jì)算問(wèn)題主要有控制系統(tǒng)模型的建立、控制系統(tǒng)模型間的轉(zhuǎn)換、狀態(tài)及狀態(tài)空間模型變換和組合系統(tǒng)模型的計(jì)算。下面分別介紹基于Matlab的上述問(wèn)題的程序編制和計(jì)算方法。2.9Matlab問(wèn)題在Matlab中，有4種數(shù)學(xué)模型表示線性定常系統(tǒng)(LTI)的模型，分別是傳遞函數(shù)模型、零極點(diǎn)增益模型、狀態(tài)空間模型、Simulink結(jié)構(gòu)圖模型。前3種模型是用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述，第4種基于傳遞函數(shù)的圖形化形式——?jiǎng)討B(tài)結(jié)構(gòu)圖的模型。這4種模型都有連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)兩種模型。2.9.1控制系統(tǒng)模型種類與轉(zhuǎn)換1.傳遞函數(shù)模型線性定常系統(tǒng)可以是連續(xù)系統(tǒng)，也可以是離散系統(tǒng)。2種系統(tǒng)基于Matlab的傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型基本一致。下面對(duì)SISO系統(tǒng)Matlab中的傳遞函數(shù)模型的表示和建立。線性定常連續(xù)系統(tǒng)一般以常系數(shù)線性常微分方程來(lái)描述。對(duì)于一個(gè)SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其常微分方程描述為:在Matlab中，多項(xiàng)式a0sn+a1sn-1+…+an常用數(shù)組表達(dá)，如n階多項(xiàng)式可用n+1個(gè)元素的數(shù)組表達(dá)為[a0

a1…an]其中，數(shù)組元素按多項(xiàng)式中“s”的降冪順序排列，其中的“0”不能省略。因此傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式可以用2個(gè)數(shù)組表達(dá)num=[b0

b1…bn]den=[a0

a1…an]對(duì)應(yīng)的經(jīng)拉氏變換得到的傳遞函數(shù)模型為在Matlab中，傳遞函數(shù)模型變量的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為

tf

類，可采用函數(shù)命令tf()來(lái)描述分子和分母多項(xiàng)式的數(shù)組組合，建立控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。tf()函數(shù)命令的主要調(diào)用格式為sys=tf(num,den)或直接為sys=tf([b0

b1…bn],[a0

a1…an])經(jīng)過(guò)上述命令，變量sys即表示上述連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為在Matlab中，狀態(tài)空間模型變量的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為

ss

類，可以用函數(shù)ss()來(lái)建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。2.狀態(tài)空間模型ss()函數(shù)的主要調(diào)用格式為sys=ss(A,B,C,D)式中，A,B,C,D為已經(jīng)賦值的適宜維數(shù)的數(shù)組(矩正)。若輸入的矩陣維數(shù)不匹配，ss()函數(shù)將顯示出錯(cuò)信息，指出系統(tǒng)矩陣維數(shù)不匹配。Matlab問(wèn)題

試在Matlab中建立如下連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型Matlab程序如下。A=[01;-2-3];B=[0;1];C=[10];D=0;sys=ss(A,B,C,D)%輸入狀態(tài)空間模型的各矩陣%沒(méi)有直聯(lián)矩陣D時(shí),補(bǔ)適宜維數(shù)的零矩陣%

建立Matlab的狀態(tài)空間模型

對(duì)Matlab的狀態(tài)空間模型變量sys，描述狀態(tài)空間模型的4個(gè)矩陣A、B、C和D可分別由sys.a、sys.b、sys.c和sys.d獲得。如在Matlab程序執(zhí)行后有這里sys.a、sys.b、sys.c和sys.d為一般2維數(shù)組結(jié)構(gòu)，可以對(duì)其進(jìn)行直接計(jì)算處理。如在執(zhí)行Matlab程序后，執(zhí)行賦值語(yǔ)句sys.c=[02]則修改了系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的輸出矩陣C為[02]。3.狀態(tài)空間模型到傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換Matlab提供了非常方便地轉(zhuǎn)換各種模型的函數(shù)，如由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型、由傳遞函數(shù)模型求狀態(tài)空間模型。由于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型是惟一的，由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型可以直接采用建立傳遞函數(shù)模型的tf()函數(shù)，但其輸入變量格式不同。由狀態(tài)空間模型求解傳遞函數(shù)模型問(wèn)題的調(diào)用格式為:連續(xù)系統(tǒng):con_tf=tf(con_ss)其中，con_ss為已賦值的連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，con_tf為求得的連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型。如在執(zhí)行Matlab程序后,執(zhí)行語(yǔ)句sys_tf=tf(sys_2)則有如下結(jié)果即為所求的狀態(tài)空間模型對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)模型。Transferfunction:1-------------s^2+3s+24.傳遞函數(shù)模型到狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換由于狀態(tài)變量的選擇不同，狀態(tài)空間模型并不惟一，因此由傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換得到的狀態(tài)空間模型有許多不同的類型。在Matlab中，主要有函數(shù)ss()和canon()提供由傳遞函數(shù)模型到狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換，可以得到3種類型的狀態(tài)空間模型:等效(equivalent)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型、模態(tài)(modal)規(guī)范形和友矩陣(companion)實(shí)現(xiàn)。模態(tài)規(guī)范形和友矩陣實(shí)現(xiàn)分別對(duì)應(yīng)于狀態(tài)空間模型的對(duì)角線規(guī)范形和能控規(guī)范I形。若要求解如約旦規(guī)范形、能控、能觀規(guī)范形等其他類型的狀態(tài)空間模型,則需自己編制相應(yīng)的Matlab程序。下面是Matlab提供的如下轉(zhuǎn)換函數(shù)：轉(zhuǎn)換函數(shù)ss()

規(guī)范形轉(zhuǎn)換函數(shù)canon()常微分方程(傳遞函數(shù))轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型函數(shù)dif2ss()在狀態(tài)空間分析方法中，狀態(tài)及狀態(tài)空間模型變換是一個(gè)非常重要工具和分析方法基礎(chǔ)。在這里，涉及的主要計(jì)算問(wèn)題有狀態(tài)空間模型的變換;特征值、特征向量與廣義特征向量的計(jì)算;一般狀態(tài)空間模型到約旦規(guī)范形的變換。Matlab及其所附帶的線性代數(shù)、符號(hào)計(jì)算以及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具箱中提供了部分可直接調(diào)用的用于這些問(wèn)題的計(jì)算的函數(shù)，但有些計(jì)算需要自己編制相應(yīng)的函數(shù)和程序。2.9.2狀態(tài)及狀態(tài)空間模型變換1.狀態(tài)空間模型的變換Matlab提供在給定變換矩陣下，計(jì)算狀態(tài)空間模型變換的可直接調(diào)用函數(shù)ss2ss()，其調(diào)用格式為:sysT=ss2ss(sys,T)其中，sys和sysT分別為變換前與變換后(輸入與輸出)的狀態(tài)空間模型變量;T為給定的變換矩陣。函數(shù)ss2ss進(jìn)行的狀態(tài)變換為,將狀態(tài)空間模型

(A,B,C,D)變換為2.特征值、特征向量與廣義特征向量的計(jì)算Matlab提供直接計(jì)算特征值和特征向量的函數(shù)為eig()，其調(diào)用格式為:d=eig(A)[V,D]=eig(A)其中，第1種格式為只計(jì)算所有特征值，輸出格式為將所有特征值排成向量;第2種格式可同時(shí)得到所有特征向量和特征值，輸出格式為所有特征值為對(duì)角線元素的對(duì)角線矩陣D，所有特征向量為列向量并排成矩陣V。Matlab的函數(shù)eig()不能直接計(jì)算廣義特征向量，要計(jì)算廣義特征向量則需要符號(hào)計(jì)算工具箱的函數(shù)jordan()，其調(diào)用格式為J=jordan(A)[V,J]=jordan(A)其中，第1種調(diào)用格式為只計(jì)算A矩陣對(duì)應(yīng)的約旦矩陣J;第2格式可同時(shí)得到所有廣義特征向量和約旦矩陣J,其中廣義特征向量為列向量并排成矩陣V。3.一般狀態(tài)空間模型到約旦規(guī)范形的變換Matlab沒(méi)有直接提供將一般狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形(對(duì)角線規(guī)范形為其一個(gè)特例)的函數(shù)，但可利用符號(hào)計(jì)算工具箱提供的計(jì)算約旦矩陣和廣義特征向量的函數(shù)jordan()求解廣義特征向量，進(jìn)而構(gòu)造變換矩陣求解約旦規(guī)范形。課外思考.打印機(jī)皮帶驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程

在計(jì)算機(jī)外圍設(shè)備中，常用的低價(jià)位噴墨式或針式打印機(jī)都配有皮帶驅(qū)動(dòng)器。它用于驅(qū)動(dòng)打印頭沿打印頁(yè)面橫向移動(dòng)。下圖給出了一個(gè)裝有直流電機(jī)的皮帶驅(qū)動(dòng)式打印機(jī)的例子。其光傳感器用來(lái)測(cè)定打印頭的位置，皮帶張力的變化用于調(diào)節(jié)皮帶的實(shí)際彈性狀態(tài)。下圖為打印機(jī)皮帶驅(qū)動(dòng)器的基本模型。模型中記皮帶彈性系數(shù)為k

,滑輪半徑為r，電機(jī)軸轉(zhuǎn)角為，右滑輪的轉(zhuǎn)角，為打印頭質(zhì)為m打印頭的位移為y(t)。光傳感器用來(lái)測(cè)量y(t)，光傳感器的輸出電壓為，且?？刂破鬏敵鲭妷簽?，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行速度反饋?zhàn)⒁獾??？芍埩?，分別為于是作用在質(zhì)量m上的皮帶凈張力為其中為第一個(gè)狀態(tài)變量，表示打印頭實(shí)際位移y與預(yù)期位移r之間的位移差。則質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)方程為取第二個(gè)狀態(tài)變量于是有定義第三個(gè)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)

推導(dǎo)電機(jī)旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：當(dāng)L=0時(shí)，電機(jī)電樞電流而電機(jī)轉(zhuǎn)矩為，于是有（1-3）

設(shè)作用在驅(qū)動(dòng)皮帶上的擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩為，則電機(jī)驅(qū)動(dòng)皮帶的有效轉(zhuǎn)矩為。顯然，只有有效轉(zhuǎn)矩驅(qū)動(dòng)電機(jī)軸帶動(dòng)滑輪運(yùn)動(dòng)，因此有由于故得在上式中代入（1-3)以及得到最后得到式（1-1）、（1-2）、（1-3）構(gòu)成了描述打印機(jī)皮帶驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的一階運(yùn)動(dòng)微分方程組，其向量矩陣形式為本章小結(jié)本章的目的是力圖讓讀者建立起狀態(tài)、狀態(tài)空間與狀態(tài)空間變換的概念，掌握狀態(tài)空間模型的建立方法，打下進(jìn)行狀態(tài)空間分析的基礎(chǔ)。本章2.1節(jié)首先引入了現(xiàn)代控制理論數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)概念：狀態(tài)、狀態(tài)空間和狀態(tài)空間模型，從而為不僅能夠研究控制系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，也能夠研究系統(tǒng)內(nèi)部物理的和數(shù)學(xué)定義的狀態(tài)與輸入輸出的關(guān)系提供了方法。更進(jìn)一步，也為能夠方便地進(jìn)行多變量控制系統(tǒng)的分析綜合與設(shè)計(jì)提供了有效的數(shù)學(xué)工具。本章2.2介紹了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的基本分類。狀態(tài)空間模型可以根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理經(jīng)過(guò)推理獲得，例如2.3節(jié)介紹的電網(wǎng)絡(luò)、剛體力學(xué)系統(tǒng)、電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)典型的化工(熱工)系統(tǒng)等，也可以從其他形式的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換得來(lái)，微分(差分)方程、傳遞函數(shù)、傳遞關(guān)系方框圖等2.4節(jié)描述線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間的特性，主要介紹特征值、特征向量。2.5節(jié)介紹的狀態(tài)空間變換以及將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為約旦(對(duì)角)規(guī)范型的方法，為以后系統(tǒng)的分析、綜合與設(shè)計(jì)提供了最基本的數(shù)學(xué)工具。2.6節(jié)介紹的傳遞函數(shù)(矩陣)的分析與計(jì)算方法，不僅能為系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供比較直觀的輸入輸出關(guān)系、能有更為確切的物理解釋。2.7節(jié)以線性變換為基礎(chǔ)，描述了同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間模型之間的變換、等效化簡(jiǎn)的方法。2.8節(jié)介紹組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析3.1引言分析分為定量分析和定性分析定量分析：對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行精確的研究，即定量地確定系統(tǒng)由外部激勵(lì)作用所引起的響應(yīng)。定性分析對(duì)決定系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有重要意義的幾個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)，如能控性、能觀性、穩(wěn)定性等。狀態(tài)空間描述的建立為分析系統(tǒng)的行為和特性提供了可能性。進(jìn)行分析的目的：揭示系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和基本特性。運(yùn)動(dòng)分析的實(shí)質(zhì)狀態(tài)方程:x’=Ax+Bux(0)=x0t≥0分析：從數(shù)學(xué)模型出發(fā)，定量地和精確地定出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，為系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程作出估計(jì)。數(shù)學(xué)：給定初始狀態(tài)x0和外輸入u作用，求解出狀態(tài)方程的解。由初始狀態(tài)和外輸入作用所引起的響應(yīng)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是對(duì)初始狀態(tài)和外輸入作用的響應(yīng)，但運(yùn)動(dòng)的形態(tài)主要是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定的，即由參數(shù)矩陣所決定的。狀態(tài)方程的解x(t)給出了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形態(tài)對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的依賴關(guān)系。解的存在性和唯一性條件狀態(tài)方程的滿足初始條件的解存在且唯一時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析才有意義。時(shí)變系統(tǒng)而言，矩陣A(t)和B(t)的所有元在時(shí)間定義區(qū)間[t0,ta]上均為t的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，而輸入的元u(t)在時(shí)間定義區(qū)間[t0,ta]上是連續(xù)實(shí)函數(shù)，則其狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一。對(duì)于線性定常系統(tǒng)：系數(shù)矩陣A

和B均為常陣，只要其元的值為有限值，則條件滿足，解存在且唯一。這些條件對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)總是能滿足的，但從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)而言，條件