線性系統(tǒng)理論課件

緒論1784年,JamesWatt發(fā)明蒸汽機調速裝置——反饋的應用。1877年，E.J.Routh穩(wěn)定性分析——代數判據。1868年，J.C.Maxwell穩(wěn)定判據（系數代數判據）。1895年，A.Hurwitz穩(wěn)定性分析——代數判據。1945年，H.W.Bode頻率法。1948年，W.R.Evans根軌跡法。至此，古典控制理論（傳遞函數法）體系確定。1.控制理論的發(fā)展史①局限于線性定常系統(tǒng)：難以解決非線性、時變系統(tǒng)等問題。②采用輸入/輸出描述（傳函），忽視了系統(tǒng)結構的內在特性，難以解決多輸入多輸出系統(tǒng)（耦合）。③處理方法上，只提供分析方法，而不是綜合方法。故設計方法為試行錯誤法，無法得到“最好的設計”。2.古典控制理論的局限性1950年代，是個控制理論的“混亂時期”。1960年代，產生了“現代控制理論”（狀態(tài)空間法）。

Bellman動態(tài)規(guī)劃法

Pontryagin極大值原理

Kallman可控、可觀性理論極點配置觀測器內模原理至1970年代前半期，為狀態(tài)空間法的全盛時期。①在把握控制系統(tǒng)的動力學本質（內在特性）的基礎上，進行合理的設計。②控制性能指標是明確的，可以得到最佳設計（系統(tǒng)化的設計方法）。③需要知道描述控制系統(tǒng)全體的數學模型（缺一不可）。④難以利用人們的經驗，直觀性差。

1970年代后期，狀態(tài)空間法的應用，遇到了困難，進入了反省時期。

3.狀態(tài)空間法的特點（與古典控制理論比較）1980年代，在計算機技術的支持下，多變量系統(tǒng)的頻域設計法出現了。

H.H.Rosenbrock;A.G.J.Macfarlane英國學派最優(yōu)控制自適應控制魯棒控制

H∞控制模糊控制線性系統(tǒng)理論的重要性在于它的基礎性，其大量的概念、方法、原理和結論，對于系統(tǒng)和控制理論的許多學科分支，如最優(yōu)控制、非線性控制、隨機控制、系統(tǒng)辯識、信號檢測和估計、過程控制、數字濾波和通訊系統(tǒng)等，成為學習和研究這些學科的必不可少的預備知識。4.學習線性系統(tǒng)理論的重要性：研究對象為線性系統(tǒng)：實際系統(tǒng)理想化了的模型，可用線性微分方程或差分方程來描述。研究動態(tài)系統(tǒng)，動力學系統(tǒng)：用一組微分方程或差分方程來描述，對系統(tǒng)的運動和各種性質給出嚴格和定量的數學描述。5.線性系統(tǒng)理論的研究對象（P1）例：某系統(tǒng)的數學描述為L，任意兩個輸入變量u1和u2以及任意兩個有限常數c1和c2，必有：L(c1u1+c2u2

)=c1

L(u1)+c2

L(u2)數學處理上的簡便性，可使用的數學工具：數學方程具有線性屬性時，則為線性系統(tǒng)，滿足疊加性。數學變換（傅里葉變換，拉普拉斯變換）、線性代數實際系統(tǒng)——非線性的，有條件地線性化。線性定常系統(tǒng)——方程中每個系數均為常數。線性時變系統(tǒng)——方程中有為時間t的函數的系數研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律和改變這個運動規(guī)律的可能性和方法。建立系統(tǒng)結構、參數、行為和性能間的確定的和定量的關系。分析問題：研究系統(tǒng)運動規(guī)律，認識系統(tǒng)。綜合問題：研究改變運動規(guī)律的可能性和方法，改造系統(tǒng)。6.線性系統(tǒng)理論的主要任務建立系統(tǒng)的數學模型變量：狀態(tài)變量、輸入變量、輸出變量、擾動變量。參量：系統(tǒng)的參數或表征系統(tǒng)性能的參數。常量：不隨時間改變的參數。時間域模型：微分方程組或差分方程組。頻率域模型：傳遞函數和頻率響應。建模方法：實驗法、解析法。定量分析：系統(tǒng)對于某個輸入信號的響應和性能。定性分析：穩(wěn)定性、能控性、能觀測性等。1950年代中期：經典線性系統(tǒng)理論數學基礎：拉普拉斯變換數學模型：傳遞函數分析和綜合方法：頻率響應法適用于：單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)多輸入—多輸出系統(tǒng)難于處理7.線性系統(tǒng)理論的發(fā)展過程1960年代：現代線性系統(tǒng)理論傳遞函數：外部輸入—輸出描述狀態(tài)空間法：內部描述單入—單出系統(tǒng)、多入—多出系統(tǒng)能控性和能觀測性：表征系統(tǒng)結構特性的概念1960年代后期，1970年代：幾何理論：從幾何方法角度來研究線性系統(tǒng)的結構和特征代數理論：以抽象代數為工具多變量頻域理論：推廣經典頻率法8.線性系統(tǒng)理論的主要學派①線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法狀態(tài)方程和輸出方程：輸入變量、狀態(tài)變量和輸出變量間關系的向量方程。時間域方法數學基礎是線性代數分析和綜合：矩陣運算和矩陣變換。②線性系統(tǒng)的幾何理論對線性系統(tǒng)的研究化為狀態(tài)空間中的幾何問題。數學工具：幾何形式的線性代數。能控性和能觀測性表述為不同的狀態(tài)子空間的幾何性質。新概念：（A，B）不變子空間，（A，B）能控子空間。優(yōu)點：簡捷明了，不用矩陣運算，幾何方法的結果比較容易化為相應的矩陣運算，抽象。③線性系統(tǒng)的代數理論用抽象代數工具研究線性系統(tǒng)。把系統(tǒng)的各組變量間關系看作為某些代數結構之間的映射關系。線性系統(tǒng)的描述和分析——形式化和抽象化，變?yōu)榧兇獾拇鷶祮栴}。④多變量頻域方法以狀態(tài)空間法為基礎，采用頻率域的系統(tǒng)描述和頻率域的計算方法，來分析和綜合線性定常系統(tǒng)。1.頻率域設計方法多輸入—多輸出系統(tǒng)化為一系列單輸入—單輸出系統(tǒng)來處理，把經典頻率法推廣到多變量系統(tǒng)中。英國學派：羅森布羅克、麥克法倫等提出。2.多項式矩陣設計方法數學模型：傳遞函數矩陣的矩陣分式描述。多項式矩陣計算和變換。分析和綜合線性定常系統(tǒng)的理論和方法。羅森布羅克、沃羅維奇70年代初提出。優(yōu)點：物理直觀性強，便于設計調整等。

9.本書論述的范圍時間域理論和復頻率域理論狀態(tài)空間法和多項式矩陣法時間域理論，描述系統(tǒng)的數學模型向量方程的形式：一階微分方程組和變換方程組，狀態(tài)方程和輸出方程。復頻率域理論，描述系統(tǒng)的數學模型在拉普拉斯變換域內：輸出y和輸入u間的外部描述，G(s)稱之為傳遞函數矩陣，N(s)D-1(s)和A-1(s)B(s)是G(s)的多項式矩陣分式描述。時間域理論部分的安排

課程共分5章，著重講授線性系統(tǒng)理論的狀態(tài)空間分析方法，目的是讓學生結合線性系統(tǒng)理論的學習，掌握狀態(tài)空間分析和綜合方法，學會運用狀態(tài)空間分析這一線性系統(tǒng)理論中的基本工具。第1章緒論第2章討論線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。主要講授狀態(tài)空間分析的數學模型--狀態(tài)空間表達式的建立；狀態(tài)空間的線性變換;多輸出多輸出系統(tǒng)的傳遞函數陣。第3章討論線性系統(tǒng)的運動分析。主要介紹連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的求解;狀態(tài)轉移矩陣的性質和計算。第4章討論線性系統(tǒng)的結構性問題。主要介紹動態(tài)系統(tǒng)的兩個基本結構性質狀態(tài)能控性和能觀性，狀態(tài)能控性/能觀性在狀態(tài)空間結構分解和線性變換中的應用；能控/能觀規(guī)范形；結構分解。第5章討論系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性。主要介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義，分析狀態(tài)穩(wěn)定性的李雅普諾夫理論和方法;著重討論李雅普諾夫第二法以及在線性系統(tǒng)中的應用，李雅普諾夫函數的構造等。第6章討論線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合問題。主要介紹狀態(tài)空間分析方法在系統(tǒng)控制與綜合中的應用，內容為狀態(tài)反饋與極點配置；系統(tǒng)鎮(zhèn)定；狀態(tài)觀測器。Matlab軟件概述Matlab程序設計語言是美國Mathworks公司20世紀80年代中期推出的高性能數值計算軟件。經過20余年的開發(fā)、擴充與不斷完善，Matlab已經發(fā)展成為功能強大、適合多學科應用的大型系統(tǒng)軟件,成為數值計算、控制系統(tǒng)仿真與設計、信號處理等領域的最重要的軟件。Matlab已經成為線性代數、控制理論、數理統(tǒng)計、數字信號處理、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的基本仿真計算與設計的工具，成為大學學習的必修內容?？刂葡到y(tǒng)Matlab計算及仿真的優(yōu)秀性能

Matlab及其工具箱的開發(fā)，使得它在科學計算與工程應用上愈來愈普遍。由于Matlab的強大功能與便捷應用，加之豐富的控制領域的工具箱，所以它特別適合用來對控制系統(tǒng)進行計算與仿真。在控制領域，Matlab成為主要仿真分析與設計計算的軟件的原因如下。A.Matlab運算功能強大，它提供的大量的基于矩陣的數值計算方法可以解決控制理論及控制系統(tǒng)分析、設計里經常遇到的計算問題。B.Mathworks公司先后與世界上許多知名自動控制專家在他們擅長的領域上合作，編寫了具有特殊功能的工具箱，使得Matlab從一個數值運算工具變成自動控制計算與仿真的工具。Matlab的控制工具箱里，系統(tǒng)門類齊全，已覆蓋了控制系統(tǒng)的各個領域，每一個工具箱都是當今世界上該控制領域里的最權威、最先進的計算與仿真程序軟件。目前，Matlab軟件包含的與控制領域直接相關的工具箱有如下幾類?；究刂品椒?控制系統(tǒng)工具箱、系統(tǒng)辨識工具箱、儀表控制工具箱、最優(yōu)化控制工具箱。專用控制方法:魯棒控制工具箱、

分析綜合工具箱、LMI(線性不等式)控制工具箱、多變量頻域設計工具箱、預測控制工具箱、定量反饋理論工具箱。相關信號處理與優(yōu)化方法:信號處理工具箱、神經網絡工具箱、模糊邏輯工具箱、遺傳算法與直接搜索工具箱。C.Matlab內容豐富，擴充能力強，編程效率高。不僅Matlab的開發(fā)者可以編制軟件程序，使用者同樣可以為實現新功能或特殊功能開發(fā)、編制軟件程序，并將其放到Matlab里去。D.Matlab語言語句簡單，容易學習與使用。E.Matlab界面友好，用戶樂于使用。Matlab的強大方便的圖形功能，可以使得重復、繁瑣的計算與繪圖勞動被簡單、輕松的計算機操作所代替。而且數據計算準確，圖形繪制精密。隨著Matlab軟件的出現，它的眾多工具箱與Simulink仿真工具，為控制系統(tǒng)的計算與仿真提供了一個強有力的工具，使控制系統(tǒng)的計算與仿真的傳統(tǒng)方法發(fā)生了革命性的變化。Matlab已經成為國際、國內控制領域內最流行的計算與仿真軟件，成為控制領域工作者必備的基本工具。

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

典型控制系統(tǒng)由被控對象、傳感器、執(zhí)行器和控制器組成。

被控過程具有若干輸入端和輸出端。

數學描述方法：輸入－輸出描述（外部描述）:高階微分方程、傳遞函數矩陣。

狀態(tài)空間描述（內部描述）：基于系統(tǒng)內部結構，是對系統(tǒng)的一種完整的描述。2.1

系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

典型控制系統(tǒng)方框圖執(zhí)行器被控對象傳感器控制器控制輸入觀測y控制u被控過程x反饋控制被控過程1.動態(tài)過程數學描述的兩種基本類型。一個系統(tǒng)用下圖的一個方塊來表征。系統(tǒng)輸入：環(huán)境對系統(tǒng)的作用。系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)對環(huán)境的作用。統(tǒng)稱為系統(tǒng)的外部變量內部變量：刻畫系統(tǒng)在每個時刻所處狀況的變量。x1,x2,…,xn，體現了系統(tǒng)的行為。數學描述、數學模型：反映系統(tǒng)變量間因果關系和變換關系。系統(tǒng)的外部描述：輸入—輸出描述，不完全的描述。不表征系統(tǒng)的內部結構和內部變量，只反映外部變量間的因果關系，即輸出和輸入間的因果關系。例：線性定常、單輸入—單輸出系統(tǒng)，外部描述為線性常系數微分方程其中：ai和bj

為實常數。i=1,2,…,n-1；j=1,2,…,n-1假定初始條件為零，取拉氏變換。復頻率域描述，即傳遞函數。系統(tǒng)的內部描述，狀態(tài)空間描述，完全的描述。兩個數學方程組成：狀態(tài)方程：微分方程或差分方程。內部變量組和輸入變量組間的因果關系。輸出方程：代數方程。內部變量組、輸入變量組和輸出變量組間的轉換關系。外部描述外部描述把系統(tǒng)的輸出取為系統(tǒng)外部輸入的直接響應，顯然這種描述把系統(tǒng)當成一個“黑匣”，認為系統(tǒng)的內部結構和內部信息全然不知，系統(tǒng)描述直接反映了輸出變量與輸入變量間的動態(tài)因果關系。

內部描述內部描述是基于系統(tǒng)內部結構分析的一類數學模型，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學特性。

(1)狀態(tài)狀態(tài)是完全地描述動態(tài)系統(tǒng)運動狀況的信息，系統(tǒng)在某一時刻的運動狀況可以用該時刻系統(tǒng)運動的一組信息表征，定義系統(tǒng)運動信息的集合為狀態(tài)。(2)狀態(tài)變量

定義完全表征動態(tài)系統(tǒng)時間域運動行為的信息組中的元素為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量組常用符號x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它們相互獨立（即變量的數目最?。?。

2.狀態(tài)的基本概念【例2-1】確定圖2－1所示電路的狀態(tài)變量。

圖2－1RLC電路

要唯一地確定t時刻電路的運動行為，除了要知道輸入電壓u(t)外，還必須給出流過電感上的初始電流i(t0)和電容上的初始電壓uC(t0)

，或者說uC(t)和i(t)這兩個變量可用來完全地描述該電路的運動行為，且它們之間是獨立的，故uC(t)和i(t)是該電路的狀態(tài)變量。

并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨立變量假定電容器初始電壓值均為0，有因此，只有一個變量是獨立的，狀態(tài)變量只能選其中一個，即用其中的任意一個變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為。實際上，三個串并聯的電容可以等效為一個電容。(3)狀態(tài)向量

設x1(t),x2(t),…,xn(t)是系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，把這些狀態(tài)變量看作向量x(t)的分量，則x(t)就稱為狀態(tài)向量，記為(4)狀態(tài)空間

以x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標軸構成的一個n維歐氏空間，稱為狀態(tài)空間。

圖1-3多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖

(5)狀態(tài)方程

描述系統(tǒng)狀態(tài)變量間或狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸入變量間關系的一個一階微分方程組(連續(xù)系統(tǒng))或一階差分方程組（離散系統(tǒng)），稱為狀態(tài)方程?！纠?-2】建立圖2－1所示RLC電路的狀態(tài)方程。

取電容上的電壓uC(t)和電感中的電流i(t)作為狀態(tài)變量，根據電路原理有將上式中狀態(tài)變量的一階導數放在方程左邊，其余項移至方程右邊，整理得一階微分方程組為：上式即為圖1所示電路的狀態(tài)方程，并將其寫成向量-矩陣形式，即

令，記式中,式（1-4）可簡寫為

狀態(tài)方程和輸出方程合起來構成對一個動態(tài)系統(tǒng)完整的描述，稱為動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。

圖1－2所示電路,若uC(t)為輸出,取x1=uC(t)，x2=i(t)作為狀態(tài)變量，則其狀態(tài)空間表達式為：(6)狀態(tài)空間表達式2.2系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的分類

系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述是其動力學特征的完整的表征。各類系統(tǒng)在結構上和特性上的質的差別，將表現為它們的狀態(tài)空間描述在類型上的不同。線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)向量方程和 的所有元都是變量x1，…，xn和u1，…，ur的線性函數，則相應的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。向量方程和至少包括一個元是變量x1，…，xn和u1，…，ur的非線性函數，則相應的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)?，F實中的一切實際系統(tǒng)嚴格地說都屬于非線性系統(tǒng)。1.線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

若向量方程中和的所有組成元都是變量和的線性函數，則稱相應的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。而線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可表示為如下形式：

式中，各個系數矩陣分別為

其中x為n維的狀態(tài)向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為n

n維的系統(tǒng)矩陣;B為n

r維的輸入矩陣;C為m

n維的輸出矩陣;D為m

r維的直聯矩陣(前饋矩陣，直接轉移矩陣)。對前面引入的狀態(tài)空間模型的意義，有如下討論:狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性,其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內部的狀態(tài)變量的關系。系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內部各狀態(tài)變量之間的關聯情況,它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。輸入矩陣B又稱為控制矩陣,它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關系。直聯矩陣D則表示了輸入對輸出的直接影響，許多系統(tǒng)不存在這種直聯關系，即直聯矩陣D=0。2.線性時變系統(tǒng)和定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量自然是時間的函數，而矩陣，，和的各個元素如果與時間有關，則稱這種系統(tǒng)是線性時變系統(tǒng)。

矩陣，，和的各個元素如果與時間無關，則稱這種系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)

式中的各個系數矩陣為常數矩陣

為簡便，線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡記為

(A,B,C,D)。幾種簡記符的意義:當系統(tǒng)的輸出與輸入無直接關系（即）時，稱為慣性系統(tǒng)；相反，系統(tǒng)的輸出與輸入有直接關系（即）時，稱為非慣性系統(tǒng)。大多數控制系統(tǒng)為慣性系統(tǒng)，所以，它們的動態(tài)方程為3.離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

當系統(tǒng)的各個變量只在離散的時刻取值時，這種系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)簡稱離散系統(tǒng)。其狀態(tài)空間描述只反映離散時刻的變量組之間的因果關系和轉換關系。是用來表示離散的時刻，那么離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的最一般形式為：

對于線性離散時間系統(tǒng)，則上述狀態(tài)空間描述還可進一步化為如下形式：4.確定性系統(tǒng)和隨機系統(tǒng)（P32）確定系統(tǒng)是指系統(tǒng)的特性和參數是按確定的規(guī)律變化的，其各個輸入變量（包括控制和擾動）也是按確定的規(guī)律而變化的。不確定系統(tǒng)，系統(tǒng)的特性和參數的變化不能用確定的規(guī)律來描述，或者作用于系統(tǒng)的變化（包括控制和擾動）是隨機變化，或者兩者兼而有之。5.狀態(tài)空間模型的結構圖（P41）

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結構圖的方式表達出來,以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關系。不僅適用于多輸入多輸出系統(tǒng)，當然也適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。系統(tǒng)結構圖主要有三種基本元件:積分器,加法器,比例器,其表示符如圖2-2所示。圖2-2系統(tǒng)結構圖中的三種基本元件例線性時變系統(tǒng)的結構圖如圖2-3所示。值得注意的是：圖中的信號傳輸線一般是表示列向量，方框中的字母代表矩陣，每一方框的輸入輸出關系規(guī)定為：輸出向量=(方塊所示矩陣)×(輸入向量)圖2-3多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的結構圖

建立被控對象的數學模型是進行系統(tǒng)分析和綜合的第一步，是控制理論和工程的基礎.2.3狀態(tài)空間表達式的建立這種根據系統(tǒng)的物理機理建立對象的數學模型的方法稱為機理建模。機理建模主要根據系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關系。以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關系。如電感的電壓和電流滿足的動態(tài)關系.2.3.1.由物理機理直接建立狀態(tài)空間表達式：在實際工程系統(tǒng)中，許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量(或信息)的能力。例如，機械動力學系統(tǒng)中的彈簧和運動中的質量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞;化工熱力學系統(tǒng)中的物質中的熱量的儲存與傳遞;化工反應系統(tǒng)中的反應物質的物料傳遞和平衡的信息。對這些系統(tǒng)，根據其物理和化學變化的機理，由相應描述這些變化的物理和化學的定理、定律和規(guī)律等，可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動靜態(tài)關系式。因此，在選擇適宜的狀態(tài)變量后，可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。建立狀態(tài)空間模型的關鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間模型的前提狀態(tài)變量的主要選取辦法系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導數上述狀態(tài)變量的數學投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標準形式的變量）下面通常見的剛體力學系統(tǒng)、流體力學系統(tǒng)、典型化工(熱工)過程、機電能量轉換系統(tǒng)討論如何建立狀態(tài)空間模型。

【例2-3】圖2-4表示某電樞控制的直流電動機，其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感，J為轉動慣量，負載為摩擦系數為f的阻尼摩擦。試列寫以電樞電壓u(t)為輸入，軸的角位移

(t)為輸出的狀態(tài)空間模型。機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解1.設電動機勵磁電流不變，鐵心工作在非飽和區(qū)。按照圖2-4所描述的電動機系統(tǒng)，可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉動動力學方程其中Ea和M分別為如下電樞電勢和轉矩Ea=Ced

/dt,M=CMia其中Ce和Cm分別為電樞電勢常數和轉矩常數(含恒定的磁通量)

.因此，上述主回路電壓方程和軸轉動運動方程可記為2.選擇狀態(tài)變量.對于本例，若已知電樞電流ia(t)，角位移

(t)和其導數d/dt在初始時刻t0的值，以及電樞電壓u，則上述微分方程組有唯一解。因此，可以選擇狀態(tài)變量如下3.將狀態(tài)變量代入上述微分方程，則有如下狀態(tài)方程4.建立輸出方程y=x25.經整理，可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關系的常微分方程建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，分別討論由不含輸入量導數項和由含輸入量導數項的微分方程建立狀態(tài)空間模型。本節(jié)關鍵問題:如何選擇狀態(tài)變量關鍵2.3.2由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為，不包含有輸入量的導數項時的線性定系數常微分方程為

y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu

其中y和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入；n為系統(tǒng)的階次。本節(jié)問題的關鍵是如何選擇狀態(tài)變量。1.微分方程中不包含輸入量的導數項選擇狀態(tài)變量為如下相變量x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻劃系統(tǒng)的動態(tài)特性。（a）化為能控標準形將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程，有如下狀態(tài)方程和輸出方程y=x1將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有式（1-23）描述的狀態(tài)空間表達式稱為能控標準形該狀態(tài)空間模型可簡記為:其中通常將上述取輸出y和y的各階導數為狀態(tài)變量稱為相變量。該類系統(tǒng)矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣，這在后面的章節(jié)中可以看到?！纠?-4】將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”’+6y”+11y’+5y=6u解：本例中a1=6a2=11a3=5

b=6因此,當選擇輸出y及其1階與2階導數等相變量為狀態(tài)變量時,由式(1-23)可得狀態(tài)空間模型如下取狀態(tài)變量：（b）化為能觀測標準形整理得：則得能觀標準形狀態(tài)空間表達式：描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動態(tài)行為的微分方程的一般表達式為y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu2.微分方程中包含輸入量的導數項通常采用（1）待定系數法（P35）可利用輸出y和輸入u以及其各階導數的線性組合來組成狀態(tài)變量，其原則是:使狀態(tài)方程中不顯含輸出u的各階導數。（2）輔助變量法（P33）利用Laplace變換，引入輔助變量z根據待定系數法，選擇狀態(tài)變量如下其中

i(i=0,1,…,n)為待定系數。（一）待定系數法即：因此,有若待定系數

i(i=0,1,…,n)滿足如下關系式

0=b0

1=b1-a1

0

2=b2-a1

1-a2

0……

n

=bn-a1

n-1-…-an

0即i(i=0,1,…,n)滿足如下方程組則該高階微分方程可轉化描述為如下不含有輸入導數項的狀態(tài)空間模型（二）輔助變量法設

n

階微分方程為：Laplace變換，求傳遞函數引入輔助變量z返回到微分方程形式：以及選擇狀態(tài)變量如下：┆寫成矩陣形式注：如果輸入項的導數階次和輸出項導數階次相同，則有d?！纠?-5】已知描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解

（1）待定系數法選擇狀態(tài)變量如下其中于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為（2）輔助變量法引入輔助變量z選擇狀態(tài)變量于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為2.4線性時不變系統(tǒng)的特征結構由前面的討論可知，當選擇不同的狀態(tài)變量，則獲得不同的狀態(tài)空間模型描述。實際上，狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇下對系統(tǒng)的一種描述，它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同，并不具有唯一性和不變性。1.系統(tǒng)的特征值和特征向量狀態(tài)空間的線性變換，只是改變了描述系統(tǒng)的角度(或說坐標系)，系統(tǒng)的本質特征應保持不變。對于線性定常系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的特征值(極點)決定了系統(tǒng)的基本特性。特征值是系統(tǒng)不變的本質特征之一。定義設v是n維非零向量，A是n

n矩陣。若方程組Av=

v成立，則稱

為矩陣A的特征值，非零向量v為

所對應的矩陣A的特征向量。將上述特征值的定義式寫為(

I-A)v=0（2-27）其中I為n×n的單位矩陣。因此，由代數方程論可知，上式有非零特征向量v的解的充要條件為|

I-A|=0并稱上式為矩陣A的特征方程，而|

I-A|為A的特征多項式。將|

I-A|展開，可得|

I-A|=

n+a1

n-1+…+an-1+an=0其中ai(i=1,2,…,n)稱為特征多項式的系數。因此，n

n維的矩陣A的特征多項式為n階多項式。求解矩陣特征值的方法即為求解矩陣A的特征方程。n階的特征方程的n個根

1,

2,…,

n即為矩陣A的n個特征值。在得到特征值

i后，由式(2-27)可求得矩陣對應于

i的特征向量vi

。2.特征向量的計算如何求解特征值

i對應的特征向量?求解特征向量，即求如下齊次矩陣代數方程的非零解(

iI-A)vi=0由于

i為A的特征值，故

iI-A不可逆。因此，由代數方程理論可知，該方程組的解并不唯一。當特征方程存在重根時，線性獨立的特征向量可能不唯一。因此,就產生如下問題:問題:對應于特征值

i究竟有幾個獨立的特征向量?答案:矩陣的重特征值

i所對應的線性獨立的特征向量可能不止一個。它的獨立特征向量的數目等價于系統(tǒng)的維數與線性方程組(2-27)的線性獨立的方程數之差，即為n-rank(

iI-A)

因此，r重的特征值可能存在1至r個線性獨立的特征向量。由此，導出如下問題:獨立的特征向量數到底具有什么意義?它與特征值的重數之間有何關系?下面引入代數重數與幾何重數兩個概念。代數重數。由特征方程求得的特征值

i的重數稱為特征值

i的代數重數。幾何重數。特征值

i線性獨立的特征向量數稱為特征值

i的幾何重數。代數重數和幾何重數是兩個不同的概念。幾何重數具有幾何上空間表征的意義，它代表在空間分解上不變的幾何子空間的數目。而代數重數僅具有代數意義，它代表特征值在特征方程的重數。例2-6求如下矩陣的特征向量解：1.由特征方程|

I-A|=0求得系統(tǒng)的特征值。解該特征方程，可求得系統(tǒng)的特征值為

1=1

2=

3=2即2為系統(tǒng)的二重特征值，其代數重數為22.計算

1=1的特征向量。(

1I-A)v1=0解之得特征向量v1的通解為v1=[v11

v112v11]T令v11=1，解之得v1=[v11

v12

v13]T=[112]T3.

計算重特征值

2=

3=2的特征向量。按定義有(

2I-A)v2=0由于n-rank(

2I-A)=2因此，特征值應有2個獨立特征向量，故該重特征值的幾何重數亦為2。解之得特征向量v2的通解為v2=[v21

v22

v21]T令v21=1、v22=0和1、解之得v2=[101]T

和v3=[111]T即重特征值2有兩個線性獨立的特征向量。3.

廣義特征向量和特征向量鏈某些重特征值的線性獨立特征向量數(幾何重數)小于其代數重數，從而使得矩陣所有特征值所對應的線性獨立特征向量數之和小于矩陣維數。為此，引入一組輔助的空間變換基向量--廣義特征向量和特征向量鏈。定義廣義特征向量是重特征值

i所對應的某個線性獨立的特征向量vj滿足如下方程組的向量vj,k:解上述方程組一直到無解為止，就可求得特征值

i的特征向量vj所對應的所有廣義特征向量vj,k。(2-51)重特征值

i的所有線性獨立特征向量vj及其對應的廣義特征向量vj,k的個數等于其代數重數，否則就還存在其他特征向量或廣義特征向量。值得指出的是，并不是重特征值

i的任何一組線性獨立的特征向量，都能求出所有的廣義特征向量。若

i的某一組特征向量vj及其相應廣義特征向量vj,k的個數小于該特征值的代數重數，則應重新選取其他一組線性獨立的特征向量并求取相應的廣義特征向量。重特征值

i的特征向量vj的廣義特征向量vj,1,vj,2,…組成的向量鏈稱為

i的特征向量vj對應的特征向量鏈。下面通過一個例子來簡單介紹線性空間的特征子空間分解。例,某5維線性空間,存在一個3重特征值和一個2重特征值。3重特征值有2個獨立特征向量，2重特征值有1個獨立特征向量。則該線性空間可分解為如下3個獨立的不變特征子空間。若該5維線性空間,3重特征值有1個獨立特征向量，2重特征值有2個獨立特征向量。則該線性空間可分解為如下3個獨立的不變特征子空間。例2-7

求如下矩陣的特征向量和特征向量鏈解1.

由特征方程|

I-A|=0可求得系統(tǒng)的特征值為

1=

2=

3=-1

即-1為系統(tǒng)的三重特征值，其代數重數為3。2.

計算對應于三重特征值-1的特征向量。按定義有(

1I-A)v1=0即由于n-rank(

1I-A)=2因此，該特征值應有2個獨立特征向量，故該重特征值的幾何重數亦為2。由于該重特征值的幾何重數小于代數重數，因此存在廣義特征向量。解之得如下特征向量的通解式v1=[v11

v12-(v11+v12)/2]T分別令兩組獨立的{v11

v12}即可求得三重特征值

1的兩個線性獨立的特征向量。三重特征值-1只有兩個獨立特征向量，其幾何重數為2。因此，重特征值-1的兩個獨立特征向量中有一個一定存在廣義特征向量。下面通過求廣義特征向量來輔助決定選取合適的v11和v12。3.計算對應于特征向量的廣義特征向量和特征向量鏈。按定義式(2-51)，特征向量v1的廣義特征向量v1,2滿足(

1I-A)v1,2=-v1即因此，根據方程的可解性，存在廣義特征向量的特征向量v1中的v11和v12滿足v11=-3v123倍關系此時的廣義特征向量的解為v1,2=[r1

r2-(r1+r2-v12)/2]T其中r1和r2為任意數。因此存在廣義特征向量的特征向量v1為和其對應的廣義特征向量可以分別取為v1=[v11

v12-(v11+v12)/2]T=[-3v12

v12

v12]T

=[1-1/3-1/3]Tv1,2=[r1

r2-(r1+r2-v12)/2]T=[12/3-1]T另外一個不存在廣義特征向量的三重特征值

1的特征向量為v2=[v11

v12-(v11+v12)/2]T=[10-1/2]T本例共求得3個特征向量和廣義特征向量。由于矩陣A的維數為3

3，因此對應于上述特征向量和廣義特征向量，已不存在其他廣義特征向量。故特征值

1對應于特征向量v1的特征向量鏈為v1和v1,2。對于傳遞函數G(s)，其特征方程為sn+a1sn-1+…+an=0若其特征方程的n個特征根s1,s2,…,sn互異，則用部分分式法可將G(s)表示為如下并聯分解其中k1,k2,…,kn為待定系數,其計算公式為自己推導1.傳遞函數中極點互異時的變換極點互異和有重極點

兩種情況討論如何通過傳遞函數建立狀態(tài)空間模型。狀態(tài)方程的因式分部法（補充）下面以k1計算式的推導過程為例說明的ki的計算式。將G(s)的乘以s-s1,有因此，由于特征根s1,s2,…,sn互異，有第2項將s1代入為0考慮到，輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足因此，若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足則，經反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為相應地，系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+knXn(s)因此，經拉氏反變換可得如下輸出方程y=k1x1+k2x2+…+knxn整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下狀態(tài)空間模型【例2-8】用部分分式法將對應的下述傳遞函數變換為狀態(tài)空間模型解由系統(tǒng)特征多項式s3+6s2+11s+6可求得系統(tǒng)極點為s1=-1s2=-2s3=-3于是有其中故當選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出,可得如下狀態(tài)空間模型結論：對角規(guī)范形，各個狀態(tài)變量間實現了完全解耦，可表成為n個獨立的狀態(tài)變量方程。如果系統(tǒng)矩陣A具有形式且其特征值s1,s2,…,sn兩兩不相等，則變換矩陣為當系統(tǒng)特征方程有重根時,傳遞函數不能分解成如式的情況,亦得不到如式(2-25)所示的狀態(tài)方程。不失一般性，為清楚地敘述變換方法，以下設系統(tǒng)特征方程有6個根，其值分別為s1,s1,s1,s4,s5,s5，即s1為3重極點，s2為2重極點。相應地，可將所對應的傳遞函數表示為2.傳遞函數中有重極點時的變換其中kij為待定系數，其計算公式為會推導嗎?其中l(wèi)為極點si的重數。下面以系數k13的計算公式的推導為例來說明kij的計算式將G(s)的乘以(s-s1)3,有第2項將s1代入為0。對等式兩邊求2次導數后因此，有考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足則有即有則經反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為相應地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)經拉氏反變換可得如下輸出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6因此,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型(1-26)系統(tǒng)矩陣A具有這種特定塊對角形式的狀態(tài)空間模型即為所謂約旦規(guī)范形?！纠?-9】用部分分式法將下述傳遞函數變換為狀態(tài)空間模型解由系統(tǒng)特征多項式s3+5s2+8s+4可求得系統(tǒng)有二重極點s1=-2和單極點s2=-1,于是有其中故當選擇狀態(tài)變量為G(s)分式串-并聯分解的各個一階慣性環(huán)節(jié)的輸出，可得如下狀態(tài)空間模型結論已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中系統(tǒng)矩陣若A的n個特征值

1,

2,…,

n所對應的特征向量線性獨立，則必存在變換矩陣P，使其進行狀態(tài)變換x=P

后為對角線規(guī)范形，即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為為對角線矩陣，并且變換矩陣P可取為P=[p1

p2…pn]其中pi為矩陣A對應于特征值

i的特征向量。2.5.1化狀態(tài)方程為對角線規(guī)范形2.5狀態(tài)方程的約當規(guī)范形【例2-10】試將下列狀態(tài)空間模型變換為對角線規(guī)范形解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為

1=-1

2=-2

3=-32.求特征值所對應的特征向量。由前述的方法可求得特征值

1,

2和

3所對應的特征向量分別為p1=[101]T

p2=[124]T

p3=[169]T3.取A的特征向量組成變換矩陣P并求逆陣P-1，即有4.計算各矩陣5.系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為2.5.2化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形系統(tǒng)存在重特征值且線性獨立特征向量數小于該特征值的重數時，則系統(tǒng)矩陣A不能變換成對角線矩陣。在此種情況下，A可變換成約旦矩陣，系統(tǒng)表達式可變換成約旦規(guī)范形。下面將分別討論約旦塊和約旦矩陣約旦規(guī)范形及其計算1.

約旦塊和約旦矩陣矩陣的約旦塊的定義為由l個約旦塊Ji組成的塊對角的矩陣稱為約旦矩陣，如J=block-diag{J1

J2…Jl}下述矩陣均為約旦矩陣上述第一個約旦矩陣有兩個約旦塊,分別為1

1維的特征值2的約旦塊和3

3維的特征值-1的約旦塊;第二個約旦矩陣有三個約旦塊,分別為1

1維的特征值3的約旦塊以及1

1維和2

2維的特征值-1的兩個約旦塊。2.

約旦規(guī)范形及其計算定義系統(tǒng)矩陣A為約旦矩陣的狀態(tài)空間模型稱為約旦規(guī)范形。與對角線規(guī)范形一樣，約旦規(guī)范形也是線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析中一種重要的狀態(tài)空間模型。對于任何有重特征值且其線性獨立特征向量數小于其維數的矩陣，雖然不能通過相似變換化成對角線矩陣,但可經相似變換化為約旦矩陣。定義廣義特征向量是重特征值

i所對應的某個線性獨立的特征向量vj滿足如下方程組的向量vj,k結論已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=Ax+Bu若A的共有p(p<n)個互異的特征值，l(p

l

n)個線性獨立特征向量pi則必存在變換矩陣P，使其進行狀態(tài)變換x=P

后為約旦規(guī)范形，即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中系統(tǒng)矩陣為約旦矩陣，并且變換矩陣P可取為P=[P1P2

…Pl]變換矩陣PP=[P1P2

…Pl]中的Pi為矩陣A對應于線性獨立特征向量pi的特征向量組成的如下分塊矩陣若pi和pi,j為對應與特征值

i的獨立特征向量和廣義特征向量，則必有【例2-11】試將下列狀態(tài)空間模型變換為約旦規(guī)范形解1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為

1=

2=

3=2

4=-12.求特征值所對應的特征向量P11=[11-11/3]TP21=[100-1]T和廣義特征向量P22=[110-1]T特征值-1的特征向量為P31=[0001]T3.取A的特征向量和廣義特征向量組成變換矩陣P并求逆陣P-1，即有4.計算各矩陣5.系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為2.6由狀態(tài)空間描述導出傳遞函數陣對于SISO線性定常系統(tǒng)，標量傳遞函數表達了系統(tǒng)輸入與輸出間的信息動態(tài)傳遞關系。對于MIMO線性定常系統(tǒng)，將每個輸入通道至每個輸出通道之間的標量傳遞函數按序排列成的矩陣函數,即傳遞函數陣下面將從狀態(tài)空間模型出發(fā)，分別討論MIMO系統(tǒng)的傳遞函數陣的定義由狀態(tài)空間表達式建立系統(tǒng)的傳遞函數陣2.6.1傳遞函數陣的定義在引入傳遞函數陣概念之前，需將標量函數拉氏變換的定義擴展到向量函數和矩陣函數。為此，定義對向量函數和矩陣函數的拉氏變換為分別對該向量函數和矩陣函數的各個元素求相應的拉氏變換對r維輸入、m維輸出的MIMO系統(tǒng)，若其輸入輸出的拉氏變換分別為U(s)和Y(s)，則系統(tǒng)的輸入輸出間的動態(tài)關系可表示為Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)稱為傳遞函數陣，其每個元素為標量傳遞函數。G(s)的形式為其中Gij(s)描述了第i個輸出與第j個輸入之間的動態(tài)傳遞關系。2.6.2求傳遞函數陣前面已經介紹了SISO系統(tǒng)從傳遞函數求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，下面將介紹其逆問題，即怎樣從狀態(tài)空間表達式求系統(tǒng)的傳遞函數陣。主要內容有傳遞函數矩陣的推導前面已經介紹了SISO系統(tǒng)從傳遞函數求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，下面將介紹其逆問題，即怎樣從狀態(tài)空間表達式求系統(tǒng)的傳遞函數陣。已知MIMO線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為其中x為n維狀態(tài)向量;u為r維輸入向量;y為m維輸出向量。對上式取拉氏變換,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分別為x(t)、u(t)和y(t)的拉氏變換；x(0)為x(t)的在初始時刻t=0的值。由于傳遞函數陣描述的是系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)傳遞關系，不考慮系統(tǒng)初始條件的影響。因此令x(0)=0，于是由狀態(tài)方程的拉氏變換式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)將上述X(s)代入輸出方程，有Y(s)=[C(sI-A)-1B+D]U(s)因此，可得線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數陣為G(s)=C(sI-A)-1B+D若對于輸入與輸出間無直接關聯項(即D=0)的系統(tǒng)，則有G(s)=C(sI-A)-1BG(s)計算的求解方法有實用算式（P68）和拉氏變換法【例2-12】求如下系統(tǒng)的傳遞函數解(1)先計算逆矩陣C(sI-A)-1B代數余子式(2)由傳遞函數計算公式可得由于狀態(tài)變換僅對狀態(tài)變量進行，保持系統(tǒng)的輸入和輸出變量及它們間的動靜態(tài)關系不變。因此，有如下結論:描述系統(tǒng)輸入與輸出間動態(tài)傳遞關系的傳遞函數陣對狀態(tài)變換具有不變性。2.7系統(tǒng)系統(tǒng)在坐標變換下的特性從上一節(jié)的討論可知，同一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，即使其維數相同，但其具體結構和系數矩陣也是多種多樣的，如系統(tǒng)矩陣A可以為對角線矩陣的或者約旦矩陣的,也可以為其他形式的（如能控標準形）。即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。為何同一個系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間模型?原因:狀態(tài)變量的不同選擇這就產生了一個問題:各種不同選擇的狀態(tài)變量之間，以及它們所對應的狀態(tài)空間模型之間的關系如何?對于一個n階動態(tài)系統(tǒng)，可通過選擇適當的n個狀態(tài)變量以建立狀態(tài)空間模型來描述它。但是，這n個狀態(tài)變量的選擇卻不是唯一的。這一點可利用線性代數中的基底不唯一來理解。一個n維線性獨立的狀態(tài)變量向量，在n維狀態(tài)空間中構成一個坐標系，即相當于空間中的一個基底。根據線性代數知識，在這個空間中還存在另外的坐標系，且與原坐標系存在一個線性變換關系。1.狀態(tài)空間的線性變換狀態(tài)變量是一組實變量，它們所組成的狀態(tài)空間為一個實線性空間。由線性代數知識可知，線性空間中，隨著表征空間坐標的基底的選取的不同，空間中的點關于各種基底的坐標亦不同。這些基底之間的關系為進行了一次坐標變換，而空間中的點的坐標則相當于作了一次相似變換。如，在右圖所示的平面直角坐標系中，A點在兩個坐標系下的坐標存在如下變化關系(其中P為非可逆的變換矩陣)n維空間中的旋轉變換、極坐標變換，線性空間中的相似變換，都屬于空間變換。其中旋轉變換和相似變換還屬于線性變換。狀態(tài)空間中由于狀態(tài)變量的不同選擇類似于線性空間中的坐標架的不同選擇，同一個系統(tǒng)不同選擇狀態(tài)變量組之間存在類似于線性空間不同坐標架之間的線性變換,因此我們將在狀態(tài)空間中坐標變換稱為狀態(tài)空間的線性變換。上述狀態(tài)變量向量x與

間的變換，稱為狀態(tài)的線性變換。由線性代數知識可知，它們之間必有如下變換關系2.狀態(tài)的線性變換設描述同一個線性狀態(tài)空間的兩個n維的狀態(tài)變量向量分別為其中P為n

n維的非奇異變換矩陣。值得指出的是:變換矩陣P只有為非奇異的，才能使x和

間的變換關系是等價的、唯一的和可逆的。兩種表達式式之間存在什么關系?3.狀態(tài)空間模型的線性變換設在狀態(tài)變量x和

下，系統(tǒng)狀態(tài)空間模型分別為將變換關系x=P

代入

(A,B,C,D)的狀態(tài)方程中有將上式與狀態(tài)空間模型

比較，則線性系統(tǒng)(A,B,C,D)在線性變換矩陣P下的各矩陣具有如下對應關系由于變換矩陣P非奇異，因此有則有2.8組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述由兩個或兩個以上的子系統(tǒng)，按一定方式聯接構成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)（P74）串聯、并聯、反饋三種類型本章中涉及的計算問題主要有控制系統(tǒng)模型的建立、控制系統(tǒng)模型間的轉換、狀態(tài)及狀態(tài)空間模型變換和組合系統(tǒng)模型的計算。下面分別介紹基于Matlab的上述問題的程序編制和計算方法。2.9Matlab問題在Matlab中，有4種數學模型表示線性定常系統(tǒng)(LTI)的模型，分別是傳遞函數模型、零極點增益模型、狀態(tài)空間模型、Simulink結構圖模型。前3種模型是用數學表達式描述，第4種基于傳遞函數的圖形化形式——動態(tài)結構圖的模型。這4種模型都有連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)兩種模型。2.9.1控制系統(tǒng)模型種類與轉換1.傳遞函數模型線性定常系統(tǒng)可以是連續(xù)系統(tǒng)，也可以是離散系統(tǒng)。2種系統(tǒng)基于Matlab的傳遞函數模型和狀態(tài)空間模型基本一致。下面對SISO系統(tǒng)Matlab中的傳遞函數模型的表示和建立。線性定常連續(xù)系統(tǒng)一般以常系數線性常微分方程來描述。對于一個SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其常微分方程描述為:在Matlab中，多項式a0sn+a1sn-1+…+an常用數組表達，如n階多項式可用n+1個元素的數組表達為[a0

a1…an]其中，數組元素按多項式中“s”的降冪順序排列，其中的“0”不能省略。因此傳遞函數的分子與分母多項式可以用2個數組表達num=[b0

b1…bn]den=[a0

a1…an]對應的經拉氏變換得到的傳遞函數模型為在Matlab中，傳遞函數模型變量的數據結構為

tf

類，可采用函數命令tf()來描述分子和分母多項式的數組組合，建立控制系統(tǒng)的傳遞函數模型。tf()函數命令的主要調用格式為sys=tf(num,den)或直接為sys=tf([b0

b1…bn],[a0

a1…an])經過上述命令，變量sys即表示上述連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數模型。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為在Matlab中，狀態(tài)空間模型變量的數據結構為

ss

類，可以用函數ss()來建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。2.狀態(tài)空間模型ss()函數的主要調用格式為sys=ss(A,B,C,D)式中，A,B,C,D為已經賦值的適宜維數的數組(矩正)。若輸入的矩陣維數不匹配，ss()函數將顯示出錯信息，指出系統(tǒng)矩陣維數不匹配。Matlab問題

試在Matlab中建立如下連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型Matlab程序如下。A=[01;-2-3];B=[0;1];C=[10];D=0;sys=ss(A,B,C,D)%輸入狀態(tài)空間模型的各矩陣%沒有直聯矩陣D時,補適宜維數的零矩陣%

建立Matlab的狀態(tài)空間模型

對Matlab的狀態(tài)空間模型變量sys，描述狀態(tài)空間模型的4個矩陣A、B、C和D可分別由sys.a、sys.b、sys.c和sys.d獲得。如在Matlab程序執(zhí)行后有這里sys.a、sys.b、sys.c和sys.d為一般2維數組結構，可以對其進行直接計算處理。如在執(zhí)行Matlab程序后，執(zhí)行賦值語句sys.c=[02]則修改了系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的輸出矩陣C為[02]。3.狀態(tài)空間模型到傳遞函數模型的轉換Matlab提供了非常方便地轉換各種模型的函數，如由狀態(tài)空間模型轉換為傳遞函數模型、由傳遞函數模型求狀態(tài)空間模型。由于系統(tǒng)的傳遞函數模型是惟一的，由狀態(tài)空間模型轉換為傳遞函數模型可以直接采用建立傳遞函數模型的tf()函數，但其輸入變量格式不同。由狀態(tài)空間模型求解傳遞函數模型問題的調用格式為:連續(xù)系統(tǒng):con_tf=tf(con_ss)其中，con_ss為已賦值的連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，con_tf為求得的連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數模型。如在執(zhí)行Matlab程序后,執(zhí)行語句sys_tf=tf(sys_2)則有如下結果即為所求的狀態(tài)空間模型對應的傳遞函數模型。Transferfunction:1-------------s^2+3s+24.傳遞函數模型到狀態(tài)空間模型的轉換由于狀態(tài)變量的選擇不同，狀態(tài)空間模型并不惟一，因此由傳遞函數模型轉換得到的狀態(tài)空間模型有許多不同的類型。在Matlab中，主要有函數ss()和canon()提供由傳遞函數模型到狀態(tài)空間模型的轉換，可以得到3種類型的狀態(tài)空間模型:等效(equivalent)實現狀態(tài)空間模型、模態(tài)(modal)規(guī)范形和友矩陣(companion)實現。模態(tài)規(guī)范形和友矩陣實現分別對應于狀態(tài)空間模型的對角線規(guī)范形和能控規(guī)范I形。若要求解如約旦規(guī)范形、能控、能觀規(guī)范形等其他類型的狀態(tài)空間模型,則需自己編制相應的Matlab程序。下面是Matlab提供的如下轉換函數：轉換函數ss()

規(guī)范形轉換函數canon()常微分方程(傳遞函數)轉換為狀態(tài)空間模型函數dif2ss()在狀態(tài)空間分析方法中，狀態(tài)及狀態(tài)空間模型變換是一個非常重要工具和分析方法基礎。在這里，涉及的主要計算問題有狀態(tài)空間模型的變換;特征值、特征向量與廣義特征向量的計算;一般狀態(tài)空間模型到約旦規(guī)范形的變換。Matlab及其所附帶的線性代數、符號計算以及控制系統(tǒng)設計工具箱中提供了部分可直接調用的用于這些問題的計算的函數，但有些計算需要自己編制相應的函數和程序。2.9.2狀態(tài)及狀態(tài)空間模型變換1.狀態(tài)空間模型的變換Matlab提供在給定變換矩陣下，計算狀態(tài)空間模型變換的可直接調用函數ss2ss()，其調用格式為:sysT=ss2ss(sys,T)其中，sys和sysT分別為變換前與變換后(輸入與輸出)的狀態(tài)空間模型變量;T為給定的變換矩陣。函數ss2ss進行的狀態(tài)變換為,將狀態(tài)空間模型

(A,B,C,D)變換為2.特征值、特征向量與廣義特征向量的計算Matlab提供直接計算特征值和特征向量的函數為eig()，其調用格式為:d=eig(A)[V,D]=eig(A)其中，第1種格式為只計算所有特征值，輸出格式為將所有特征值排成向量;第2種格式可同時得到所有特征向量和特征值，輸出格式為所有特征值為對角線元素的對角線矩陣D，所有特征向量為列向量并排成矩陣V。Matlab的函數eig()不能直接計算廣義特征向量，要計算廣義特征向量則需要符號計算工具箱的函數jordan()，其調用格式為J=jordan(A)[V,J]=jordan(A)其中，第1種調用格式為只計算A矩陣對應的約旦矩陣J;第2格式可同時得到所有廣義特征向量和約旦矩陣J,其中廣義特征向量為列向量并排成矩陣V。3.一般狀態(tài)空間模型到約旦規(guī)范形的變換Matlab沒有直接提供將一般狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形(對角線規(guī)范形為其一個特例)的函數，但可利用符號計算工具箱提供的計算約旦矩陣和廣義特征向量的函數jordan()求解廣義特征向量，進而構造變換矩陣求解約旦規(guī)范形。課外思考.打印機皮帶驅動系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程

在計算機外圍設備中，常用的低價位噴墨式或針式打印機都配有皮帶驅動器。它用于驅動打印頭沿打印頁面橫向移動。下圖給出了一個裝有直流電機的皮帶驅動式打印機的例子。其光傳感器用來測定打印頭的位置，皮帶張力的變化用于調節(jié)皮帶的實際彈性狀態(tài)。下圖為打印機皮帶驅動器的基本模型。模型中記皮帶彈性系數為k

,滑輪半徑為r，電機軸轉角為，右滑輪的轉角，為打印頭質為m打印頭的位移為y(t)。光傳感器用來測量y(t)，光傳感器的輸出電壓為，且?？刂破鬏敵鲭妷簽椋瑢ο到y(tǒng)進行速度反饋注意到。可知皮帶張力，分別為于是作用在質量m上的皮帶凈張力為其中為第一個狀態(tài)變量，表示打印頭實際位移y與預期位移r之間的位移差。則質量m的運動方程為取第二個狀態(tài)變量于是有定義第三個狀態(tài)變量的導數

推導電機旋轉的運動方程：當L=0時，電機電樞電流而電機轉矩為，于是有（1-3）

設作用在驅動皮帶上的擾動轉矩為，則電機驅動皮帶的有效轉矩為。顯然，只有有效轉矩驅動電機軸帶動滑輪運動，因此有由于故得在上式中代入（1-3)以及得到最后得到式（1-1）、（1-2）、（1-3）構成了描述打印機皮帶驅動系統(tǒng)的一階運動微分方程組，其向量矩陣形式為本章小結本章的目的是力圖讓讀者建立起狀態(tài)、狀態(tài)空間與狀態(tài)空間變換的概念，掌握狀態(tài)空間模型的建立方法，打下進行狀態(tài)空間分析的基礎。本章2.1節(jié)首先引入了現代控制理論數學模型的基礎概念：狀態(tài)、狀態(tài)空間和狀態(tài)空間模型，從而為不僅能夠研究控制系統(tǒng)的輸入輸出關系，也能夠研究系統(tǒng)內部物理的和數學定義的狀態(tài)與輸入輸出的關系提供了方法。更進一步，也為能夠方便地進行多變量控制系統(tǒng)的分析綜合與設計提供了有效的數學工具。本章2.2介紹了動態(tài)系統(tǒng)的基本分類。狀態(tài)空間模型可以根據系統(tǒng)的機理經過推理獲得，例如2.3節(jié)介紹的電網絡、剛體力學系統(tǒng)、電樞控制的直流電動機典型的化工(熱工)系統(tǒng)等，也可以從其他形式的數學模型轉換得來，微分(差分)方程、傳遞函數、傳遞關系方框圖等2.4節(jié)描述線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間的特性，主要介紹特征值、特征向量。2.5節(jié)介紹的狀態(tài)空間變換以及將系統(tǒng)轉化為約旦(對角)規(guī)范型的方法，為以后系統(tǒng)的分析、綜合與設計提供了最基本的數學工具。2.6節(jié)介紹的傳遞函數(矩陣)的分析與計算方法，不僅能為系統(tǒng)的分析和設計提供比較直觀的輸入輸出關系、能有更為確切的物理解釋。2.7節(jié)以線性變換為基礎，描述了同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間模型之間的變換、等效化簡的方法。2.8節(jié)介紹組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。

線性系統(tǒng)的運動分析3.1引言分析分為定量分析和定性分析定量分析：對系統(tǒng)的運動規(guī)律進行精確的研究，即定量地確定系統(tǒng)由外部激勵作用所引起的響應。定性分析對決定系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結構具有重要意義的幾個關鍵性質，如能控性、能觀性、穩(wěn)定性等。狀態(tài)空間描述的建立為分析系統(tǒng)的行為和特性提供了可能性。進行分析的目的：揭示系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律和基本特性。運動分析的實質狀態(tài)方程:x’=Ax+Bux(0)=x0t≥0分析：從數學模型出發(fā)，定量地和精確地定出系統(tǒng)運動的變化規(guī)律，為系統(tǒng)的實際運動過程作出估計。數學：給定初始狀態(tài)x0和外輸入u作用，求解出狀態(tài)方程的解。由初始狀態(tài)和外輸入作用所引起的響應。系統(tǒng)的運動是對初始狀態(tài)和外輸入作用的響應，但運動的形態(tài)主要是由系統(tǒng)的結構和參數所決定的，即由參數矩陣所決定的。狀態(tài)方程的解x(t)給出了系統(tǒng)運動形態(tài)對系統(tǒng)的結構和參數的依賴關系。解的存在性和唯一性條件狀態(tài)方程的滿足初始條件的解存在且唯一時，對系統(tǒng)的運動分析才有意義。時變系統(tǒng)而言，矩陣A(t)和B(t)的所有元在時間定義區(qū)間[t0,ta]上均為t的實值連續(xù)函數，而輸入的元u(t)在時間定義區(qū)間[t0,ta]上是連續(xù)實函數，則其狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一。對于線性定常系統(tǒng)：系數矩陣A

和B均為常陣，只要其元的值為有限值，則條件滿足，解存在且唯一。這些條件對于實際的物理系統(tǒng)總是能滿足的，但從數學的觀點而言，條件