九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教學(xué)：第3課時(shí) 兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似

新知一覽圖形的相似相似三角形相似三邊成比例的兩個(gè)三角形相似平行線分線段成比例相似三角形的性質(zhì)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似位似位似圖形的概念及畫法平面直角坐標(biāo)系中的位似相似三角形應(yīng)用舉例相似三角形的判定兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似第3課時(shí)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似27.2.1相似三角形的判定第二十七章相似1.回憶我們學(xué)習(xí)過(guò)的判定三角形相似的方法.類比證明三角形全等的方法，猜想證明三角形相似還有哪些方法？2.類似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通過(guò)

兩邊和夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似呢？復(fù)習(xí)引入

利用刻度尺和量角器畫△ABC

和△A′B′C′，使∠A

=∠A′，量出BC及B′C′的長(zhǎng)，它們的比值等于k嗎？再量一量?jī)蓚€(gè)三角形另外的兩個(gè)角，你有什么發(fā)現(xiàn)？△ABC與△A′B′C′有何關(guān)系？?jī)蛇叧杀壤見(jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似合作探究?jī)蓚€(gè)三角形相似改變k的值和∠A的大小，是否有同樣的結(jié)論？我們來(lái)證明一下前面得出的結(jié)論：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上取點(diǎn)

D，使A′D=AB．過(guò)點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求證：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴∴A′E=AC.

又∠A′=

∠A，∴△A′DE≌△ABC.

∴△A′B′C′∽△ABC.∵A′D=AB，

，∴BACDEB'A'C'由此得到利用兩邊和夾角來(lái)判定三角形相似的定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．符號(hào)語(yǔ)言：∵，∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.歸納：在△ABC和

△A′B′C′中，對(duì)于△ABC和△A′B′C′，如果∠C=∠C′，這兩個(gè)三角形一定會(huì)相似嗎？試著畫畫看.

不一定，如下圖，因?yàn)椴荒茏C明構(gòu)造出來(lái)的三角形一定和原三角形全等.ABC思考：A′B′B″C′結(jié)論：

如果兩個(gè)三角形兩邊成比例，但相等的角不是這兩邊的夾角，那么這兩個(gè)三角形不一定相似，相等的角一般應(yīng)是成比例的兩邊的夾角才能判定相似.典例精析例

1

根據(jù)下列條件，判斷△ABC

和△A′B′C′是否相似，并說(shuō)明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵，

，

∴又∠A′=

∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.1.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，

BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.ACBFED證明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.練一練∴例

2

如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.證明：∵△ABC與△ADE都是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC．∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．∴△ABC∽△ADE．ABCDE解：∵AE=1.5，AC=2，

ACBED例3

如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長(zhǎng).∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．∴∴提示：解題時(shí)要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊.證明：∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.

∴△ADC∽△CDB.∴∠ACD=∠B.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.例4

如圖，在

△ABC

中，CD是邊AB上的高，且

，求證：∠ACB=90°．ABCD∵，方法總結(jié)：解題時(shí)需注意挖掘隱含條件，如垂直關(guān)系（三角形的高）可轉(zhuǎn)化為90°

角等.1.判斷對(duì)錯(cuò)：(1)兩個(gè)等邊三角形相似．()(2)兩個(gè)直角三角形相似．()(3)兩個(gè)等腰直角三角形相似．()(4)有一個(gè)角是

50°

的兩個(gè)等腰三角形相似．()×√√×2.如圖，D是△ABC一邊BC上一點(diǎn)，連接AD，使

△ABC∽△DBA

的條件是

(

)A.AC:BC

=

AD:BD

B.AC:BC

=

AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD3.如圖，△AEB和△FEC

(填“相似”

或“不相似”).

54303645EAFCB相似4.如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB

=

6，BC

=

4，AC

=

5，CD

=，求AD的長(zhǎng)．ABCD解：∵AB

=

6，BC

=

4，AC

=

5，CD

=，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA．

∴．∴5.如圖，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，

求證：△ABC∽△AED.

ABCDE證明：∵AB·AD=AE·AC，

∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE

=∠CAE+∠BAE，

即∠DAE=∠BAC．∴△ABC∽△AED.解析：當(dāng)△ADP∽△ACB時(shí)，AP:AB=

AD:AC，∴AP:12=

6:8，解得AP=9；當(dāng)△ADP∽△ABC時(shí)，AD:AB=

AP:AC，∴6:12=AP:8，解得AP=4.∴答案為9或4．6.如圖，已知△ABC

中，D