2023年秋高中數(shù)學(xué)第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：函數(shù)的極值課件人教A版

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值第1課時函數(shù)的極值學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解函數(shù)的極值及相關(guān)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極值．(數(shù)學(xué)運算)3．體會導(dǎo)數(shù)在求極值中的應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運算)4．能利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)極值等相關(guān)的問題．(數(shù)學(xué)運算)必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”．說的是廬山的高低起伏，錯落有致，在群山之中，各個山峰的頂端，雖不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點．由此聯(lián)想廬山的連綿起伏形成好多的“峰點”與“谷點”．這就是我們這節(jié)課研究的函數(shù)的極值．知識點1極值點與極值(1)極小值點與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點處的函數(shù)值都小，f′(a)＝__；而且在點x＝a附近的左側(cè)________，右側(cè)_________，就把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，_____叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．0f′(x)＜0f′(x)＞0f(a)(2)極大值點與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點處的函數(shù)值都大，f′(b)＝_；而且在點x＝b附近的左側(cè)_______，右側(cè)________，就把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，________叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為______；極大值、極小值統(tǒng)稱為____．0f′(x)＞0f′(x)＜0f(b)極值點極值提醒極值點是函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點，因此若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，則f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)．知識點2求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是______；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是______．極大值極小值1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)極大值一定比極小值大． (

)[提示]極大值不一定比極小值大，∴(1)錯誤；(2)每一個函數(shù)都至少有一個極大值或極小值． (

)[提示]有的函數(shù)可能沒有極值．∴(2)錯；(3)若f′(x0)＝0，則x0一定是極值點． (

)[提示]若f′(x0)＝0，且導(dǎo)函數(shù)有變號零點，x0才是極值點，故(3)錯誤．×××2．函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(

)A．無極大值點，有四個極小值點B．有三個極大值點，兩個極小值點C．有兩個極大值點，兩個極小值點D．有四個極大值點，無極小值點√C

[設(shè)y＝f′(x)的圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．故選C．]3．(多選)下列四個函數(shù)中，在x＝0處取得極值的函數(shù)是(

)A．y＝x3

B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2xBC

[對于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3單調(diào)遞增，無極值；對于B，y′＝2x，x＞0時y′＞0，x＜0時y′＜0，∴x＝0為極值點；對于C，根據(jù)圖象，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴C符合；對于D，y＝2x單調(diào)遞增，無極值．故選BC．]√√關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1不含參數(shù)的函數(shù)求極值類型2含參數(shù)的函數(shù)求極值類型3由極值求參數(shù)的值或取值范圍類型4極值問題的綜合應(yīng)用類型1不含參數(shù)的函數(shù)求極值【例1】

(1)函數(shù)f(x)＝lnx－x的極大值與極小值分別為(

)A．極小值為0，極大值為－1B．極大值為－1，無極小值C．極小值為－1，極大值為0D．極小值為－1，無極大值√

(2)(多選)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋1，則(

)A．f(x)有兩個極值點B．f(x)有三個零點C．點(0，1)是曲線y＝f(x)的對稱中心D．直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線

√√

√

反思領(lǐng)悟

求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟(1)定義域：求函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0全部的根x0，即導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點；(4)列表：方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間，把x，f′(x)，f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個表格內(nèi)；(5)結(jié)論：若導(dǎo)數(shù)f′(x)在x0附近左正右負，則函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；若左負右正，則函數(shù)f(x)取得極小值．

[解]

由題意可得f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．解方程f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2．解不等式f′(x)>0，可得x<－2或x>2，此時f(x)遞增．解不等式f′(x)<0，可得－2<x<2，此時f(x)遞減．

[思路引導(dǎo)]對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點2和2a的大小，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值．

(2)當a<1時，2a<2，當x變化時，f(x)，f′(x)隨x的變化情況如表：x(－∞，2a)2a(2a，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

反思領(lǐng)悟

1．判斷一個函數(shù)是否有極值的方法判斷一個函數(shù)是否有極值，不僅要求解f′(x)＝0，還要根據(jù)函數(shù)的極值定義，函數(shù)在某點處若存在極值，則應(yīng)在該點的左右鄰域是單調(diào)的，并且單調(diào)性相反；若單調(diào)性相同，則不是極值點．2．分類討論求極值求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值時，有時需要用分類討論的思想才能解決問題．討論的依據(jù)有兩種：一是看參數(shù)是否對f′(x)的零點有影響，若有影響，則需要分類討論；二是看f′(x)在其零點附近的符號的確定是否與參數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，則需要分類討論．[跟進訓(xùn)練]2．若函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函數(shù)f(x)的極值．

(2)當a＞0時，令f′(x)＝0，解得x＝a．當0＜x＜a時，f′(x)＜0；當x＞a時，f′(x)＞0．∴f(x)在x＝a處取得極小值，且f(a)＝a－alna，無極大值．綜上可知，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當a＞0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－alna，無極大值．類型3由極值求參數(shù)的值或取值范圍【例3】

(1)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(

)A．(－1，2)B．(－3，6)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)√D

f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因為f(x)既有極大值又有極小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0，解得a>6或a<－3．(2)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則a＝(

)A．4或－3

B．4或－11C．4 D．－3√

反思領(lǐng)悟

已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，進而研究函數(shù)性質(zhì)時，應(yīng)注意兩點：(1)常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．[跟進訓(xùn)練]3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，求a，b的值．

當a＝1，b＝3時f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，且僅當x＝－1時，f′(x)＝0，此時函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去．當a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)·(x＋3)．當x∈(－∞，－3)時，f′(x)＞0，此時f(x)為增函數(shù)；當x∈(－3，－1)時，f′(x)＜0，此時f(x)為減函數(shù)；當x∈(－1，＋∞)時，f′(x)＞0，此時f(x)為增函數(shù)．故f(x)在x＝－1處取得極小值．∴a＝2，b＝9．類型4極值問題的綜合應(yīng)用【例4】已知函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a(a為實數(shù))，若方程f(x)＝0有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍．[思路引導(dǎo)]求出函數(shù)的極值，要使f(x)＝0有三個不同實根，則應(yīng)有極大值大于0，極小值小于0，由此可得a的取值范圍．[解]

令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1．當x<－1時，f′(x)>0；當－1<x<1時，f′(x)<0；當x>1時，f′(x)>0．所以當x＝－1時，f(x)有極大值f(－1)＝2＋a；當x＝1時，f(x)有極小值f(1)＝－2＋a．因為方程f(x)＝0有三個不同實根，

[母題探究]1．(變條件)本例中，若方程f(x)＝0恰有兩個根，則實數(shù)a的值如何求解？[解]

由例題知，函數(shù)的極大值f(－1)＝2＋a，極小值f(1)＝－2＋a，若f(x)＝0恰有兩個根，則有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2．2．(變條件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一個實根，求實數(shù)a的范圍．[解]

由例題可知，要使方程f(x)＝0有且只有一個實根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2．反思領(lǐng)悟

解決函數(shù)零點的注意點(1)研究函數(shù)零點(方程根)的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極大值、極小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．(2)解決由函數(shù)零點(方程根)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．

x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)0312341．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R有唯一的極值點，且x＝1是f(x)的極小值點，則(

)A．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≥0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≤0B．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≥0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0C．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0D．當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≤0C

[由極小值點的定義，知極小值點左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值是左負右正，又函數(shù)f(x)，x∈R有唯一的極值點，所以當x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0．故選C．]√2．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為(

)A．1，－3

B．1，3C．－1，3 D．－1，－31234√

3．函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e]上的極大值為________．1234－1

4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是______________________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，∴方程f′(x)＝0有兩個不相等的實根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]1234(－∞，－1)∪(2，＋∞)回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：(1)函數(shù)極值的求解依據(jù)與步驟是什么？[提示]一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟是：①求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f′(x)；②解方程f′(x