九年級數(shù)學(xué)上冊講義（人教版）：實際問題與二次函數(shù)（學(xué)生版）

第14課實際問題與二次函數(shù)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)（1）能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大（小）值，提高解決問題的能力。（2）通過求最大面積、最大利潤等問題，體會二次函數(shù)是一類解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。知識精講知識精講知識點01列二次函數(shù)解應(yīng)用題列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．(2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題.(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．知識點02建立二次函數(shù)模型求解實際問題一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．【注意】(1)利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.(2)對于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個方面的問題：

①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

②學(xué)會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；

③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.知識點03利用二次函數(shù)求圖形面積的最值問題一些幾何圖形的面積與其相關(guān)邊長成二次函數(shù)關(guān)系時，可以用二次函數(shù)的最值求其最大面積。求矩形的最大面積時，通常用含有自變量x的代數(shù)式表示矩形的長與寬，根據(jù)矩形的面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值，同時要注意自變量的取值范圍。知識點04利用二次函數(shù)求最大利潤問題（1）利潤問題是本節(jié)的重點問題之一，在日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)，是考試熱點。對于這類問題，只要審清題意，記住利潤問題中的幾個公式，便可解決此類問題。①每件的利潤=銷售單價-成本單價；②總利潤=總銷售價-總成本價=每件利潤×銷售量。（2）利用二次函數(shù)的最值解答商品銷售中的“最大利潤”問題時，可采用以下步驟：①設(shè)出自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價或銷售量及銷售收入；②用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品的成本；③用因變量及含自變量的代數(shù)式分別表示銷售利潤，即可得到函數(shù)表達(dá)式；④根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出最值及取得最值時自變量的值，注意結(jié)果要符合實際意義及題意。知識點05利用二次函數(shù)解決拋物線型建筑物問題這類問題所給的問題情境常有一個拋物線型物體，比如拱橋或隧道這些問題都可以通過構(gòu)造二次承數(shù)的表達(dá)式來解決，解決這類問題般是利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想。

1．一般解題思路

(1)在示意圖中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將題目中所給條件轉(zhuǎn)化平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

(2)根據(jù)圖中坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的表達(dá)式。

(3)由二次函數(shù)的性質(zhì)去分析解決問題，檢驗問題的結(jié)果是否符合實標(biāo)意義，并作答。

2．卡車過拱橋(隧道)問題

在問題中，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是首要條件，有時函數(shù)表達(dá)式已經(jīng)給出，有時需要先求出來，求出函數(shù)表達(dá)式后有兩種方法可以判斷卡車能否從橋下通過：(1)固定卡車的寬，看橋是否足夠高（即相當(dāng)于已知x的值，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求y的值，然后與限制的高的值比較大?。?；(2)固定卡車的高，看橋是否足夠?qū)挘聪喈?dāng)于已知y的值，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求x的值，然后與限制的寬的值比較大小）能力拓展能力拓展考法01求幾何圖形面積的最值【典例1】如圖，一邊靠墻（墻有足夠長），其它三邊用12m長的籬笆圍成一個矩形（ABCD）花園，這個花園的最大面積是（

）A．18m2 B．12m2 C．16m2 D．22m2【即學(xué)即練】如圖，四邊形中，，若，則四邊形的面積最大值為（

）A．6 B．18 C．36 D．144【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線（為常數(shù)）與拋物線交于A、B兩點，且點A在軸左側(cè)，點P的坐標(biāo)為，連接PA，PB，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．6【即學(xué)即練】如果一個矩形的周長與面積的差是定值，我們稱這個矩形為“定差值矩形”.如圖，在矩形中，，，，那么這個“定差值矩形”的對角線的長的最小值為（）A． B． C． D．考法02利用二次函數(shù)解最大利潤問題【典例3】某種商品每件的進(jìn)價為30元，在某時間段內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100－x）件．若想獲得最大利潤，則定價x應(yīng)為（

）A．35元 B．45元 C．55元 D．65元【即學(xué)即練】某商品的利潤y（元）與售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+8x+9，且售價x的范圍是1≤x≤3，則最大利潤是（）A．16元 B．21元 C．24元 D．25元【典例4】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低5元，每天可多售出10件，下列說法錯誤的是（

）A．銷售單價降低15元時，每天獲得利潤最大B．每天的最大利潤為1250元C．若銷售單價降低10元，每天的利潤為1200元D．若每天的利潤為1050元，則銷售單價一定降低了5元【即學(xué)即練】某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，每天可售出450千克．當(dāng)售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克．設(shè)當(dāng)日銷售單價為（元/千克）（，且是按0.5的倍數(shù)上漲），當(dāng)日銷售量為（千克）．有下列說法：①當(dāng)時，②與之間的函數(shù)關(guān)系式為③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為42元/千克④若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克其中正確的是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④考法03利用二次函數(shù)解拱橋問題【典例5】如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測得水面寬AB＝1.6m，涵洞頂點O與水面的距離CO是2m，則當(dāng)水位上升1.5m時，水面的寬度為（

）A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m【即學(xué)即練】如圖是拋物線形的拱橋，當(dāng)水面寬4m時，頂點離水面2m，當(dāng)水面寬度增加到6m時，水面下降（）A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m【典例6】如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，水面在l時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面3米，水面寬4米．如果按圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，那么拋物線的解析式是_____．【即學(xué)即練】某橋梁的橋洞可視為拋物線，，最高點C距離水面4m，以AB所在直線為x軸（向右為正向），若以A為原點建立坐標(biāo)系時，該拋物線的表達(dá)式為，已知點D為拋物線上一點，位于點C右側(cè)且距離水面3m，若以點D為原點，以平C行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標(biāo)系時，該物線的表達(dá)式為___________．考法04利用二次函數(shù)求噴水、投球等實際問題【典例7】從某幢建筑物2.25米高處的窗口A用水管向外噴水，水流呈拋物線，如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面3米，那么水流落點B與墻的距離OB是（

）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米【即學(xué)即練】如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（

）A． B． C． D．【典例8】如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為h＝10t﹣5t2，則小球飛行的最大高度為_____m．【即學(xué)即練】如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．一小球被拋出后，距離地面的高度h（米）和飛行時間t（秒）滿足下面函數(shù)關(guān)系式：h=﹣5t2+20t﹣14，則小球距離地面的最大高度是（

）A．2米 B．5米 C．6米 D．14米2．在地球上同一地點，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時間相同．物體的下落距離h（m）與下落時間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式為h＝gt2．其中g(shù)取值為9.8m/s2．小莉進(jìn)行自由落體實驗，她從某建筑物拋下一個小球，經(jīng)過4s后落地，則該建筑物的高度約為（

）A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m3．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝154．如圖，用繩子圍成周長為的矩形，記矩形的一邊長為，矩形的面積為．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B．C． D．5．某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（

）A． B． C． D．6．向空中發(fā)射一枚炮彈，第x秒時的高度為y米，且高度與時間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮彈在第6秒與第18秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒7．據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為萬噸，如果2019年至2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，那么關(guān)于的函數(shù)解析式為_________．8．如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱．AB//x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm則右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為___（不用寫x的取值范圍）．9．某商場經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．（1）若商場每天要獲得銷售利潤2000元，銷售單價應(yīng)定為多少元？（2）求銷售單價定為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？10．如圖，ABCD是一塊邊長為4米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點E在AB邊上，點G在AD的延長線上，DG

=2BE．設(shè)BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不需寫自變量的取值范圍）；（2）根據(jù)改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，請問此時BE的長為多少米？題組B能力提升練1．如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線y=-0.01（x-20）2+4，橋拱與橋墩AC的交點C恰好位于水面，且AC⊥x軸，若OA=5米，則橋面離水面的高度AC為（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即的長度）是1米．當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭8米時，達(dá)到最大高度1.8米，水流噴射的最遠(yuǎn)水平距離是（

）A．20米 B．18米 C．10米 D．8米3．飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行時間t（單位：秒）的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)滑行時間為10秒時，滑行距離為450米；當(dāng)滑行時間為20秒時，滑行距離為600米，則飛機的最大滑行距離為（

）A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米4．使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）（0＜x≤90）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某種家用燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕角度x與燃?xì)饬縴的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o角度約為（

）A．37.5° B．40°C．42.5° D．45°5．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，點是射線上的動點（點不與點，點重合），點在線段的延長線上，且,連接,．設(shè)，的面積為，下列圖象能正確反映出與的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．6．某超市銷售一種商品，每件成本為元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每月的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式，若要求銷售單價不得低于成本，為每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為多少元？每月最大利潤是多少？（

）A．元，元 B．元，元C．元，元 D．元，元7．某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數(shù)表達(dá)式是，該型號飛機著陸后滑行的最大距離是______．8．如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進(jìn)出，開了3道寬為1米的門．設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達(dá)式為__；自變量x的取值范圍為__．9．為滿足市場需求，某超市在中秋節(jié)前夕購進(jìn)價格為12元/盒的某品牌月餅，根據(jù)市場預(yù)測，該品牌月餅每盒售價14元時，每天能售出200盒，并且售價每上漲1元，其銷售量將減少10盒，為了維護(hù)消費者利益，物價部門規(guī)定：該品牌月餅的售價不能超過20元/盒．(1)當(dāng)銷售單價為多少元時，該超市每天銷售該品牌月餅的利潤為720元；(2)當(dāng)銷售單價為多少元時，超市每天銷售該品牌月餅獲得利潤最大？最大利潤是多少？10．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．題組C培優(yōu)拔尖練1．兩個正方形的周長和是10，如果其中一個正方形的邊長為，則這兩個正方形的面積的和S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．2．某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為個檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤元，每提高一個檔次，每件產(chǎn)品利潤增加元，用同樣工時，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)件，提高一個檔次將減少件．如果用相同的工時生產(chǎn)，總獲利潤最大的產(chǎn)品是第檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量増加），那么等于（

）A． B． C． D．3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當(dāng)P運動到B點時，P，Q兩點同時停止運動．設(shè)P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，則S與t函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）A．B．C．D．4．足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單位：s）之間的關(guān)系如表：下列結(jié)論不正確的是（

）t01234567…h(huán)08141820201814…A．足球距離地面的最大高度超過20m B．足球飛行路線的對稱軸是直線C．點（10，0）在該拋物線上 D．足球被踢出時，距離地面的高度逐漸下降．5．2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤y元，當(dāng)銷量x為多少時，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大．（

）消毒液每瓶售價（元）每瓶成本（元）每日其他費用（元）每日最大產(chǎn)銷量（瓶）30181200＋0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．5506．如圖，公園中一正方形水池中有一噴泉，噴出的水流呈拋物線狀，測得噴出口高出水面0.8m，水流在離噴出口的水平距離1.25m處達(dá)到最高，密集的水滴在水面上形成了一個半徑為3m的圓，考慮到出水口過高影響美觀，水滴落水形成的圓半徑過大容易造成水滴外濺到池外，現(xiàn)決定通過降低出水口的高度，使落水形成的圓半徑為2.75m，則應(yīng)把出水口的高度調(diào)節(jié)為高出水面（）A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米7．某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關(guān)系如圖所示，當(dāng)時，其圖象是線段AB，則該食品