九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（人教版）：圓章末復(fù)習(xí)（教師版）

第26課圓章末復(fù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)（1）理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征；

（2）了解切線的概念，探索并掌握切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線；

（3）了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；

（4）了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；

（5）結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.知識(shí)點(diǎn)01圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

【注意】①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.

④平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦?jiàn)A的弧相等.

【注意】

在垂經(jīng)定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.(注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑)3．兩圓的性質(zhì)

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).4．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

【注意】(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

知識(shí)點(diǎn)02與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為r，OP=d，則有

點(diǎn)P在⊙O外；點(diǎn)P在⊙O上；點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；【注意】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2．判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法

當(dāng)時(shí)，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d.

(1)直線l和⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離.(2)直線l和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和圓相切.(3)直線l和⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)直線和圓相交.4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心.

(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑為，圓心距.

(1)和沒(méi)有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離；(2)和沒(méi)有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的內(nèi)部?jī)?nèi)含；(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外切；(4)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的內(nèi)部?jī)?nèi)切；(5)和有2個(gè)公共點(diǎn)相交；知識(shí)點(diǎn)03三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).【注意】(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.知識(shí)點(diǎn)04圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：，周長(zhǎng).

圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有.【注意】(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式S扇形，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：S扇形.

考法01圓的基礎(chǔ)知識(shí)【典例1】如下圖，菱形的三個(gè)頂點(diǎn)、、在上，則（

）．A．100° B．150° C．120° D．60°【答案】C【詳解】：連結(jié)OC，∵點(diǎn)、、在上，∴OA=OB=OC，又∵四邊形OACB為菱形，∴OA=AC=CB=OB=OC，∴△OAC和△OBC均為等邊三角形，∴∠ACO=∠BCO=60°，∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．故選：C．【即學(xué)即練】如圖，已知、是的弦，，點(diǎn)C在弦上，連接CO并延長(zhǎng)CO交于于點(diǎn)D，，則的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【詳解】解：連接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=20°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，故選：C．【典例2】如圖，以C為圓心的圓過(guò)的中點(diǎn)D，則（）．A．2 B．3 C． D．【答案】D【詳解】解：如圖示，連接，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則，∴∴依據(jù)勾股定理可得：．故選：D．【即學(xué)即練】如圖，為半徑，點(diǎn)為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，作OE⊥PQ于點(diǎn)E，連接OQ，由題意，OA=OQ=2，∠OEP=90°，∵點(diǎn)P是OA的中點(diǎn)，∴OP=1，∵，∴∠EPO=∠EOP=45°，∴PE=OE=，在Rt△OEQ中，由勾股定理，得：，∴；故選擇：D.【典例3】如圖，中，，O是的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)D，E，連接，測(cè)量的度數(shù)是_____．【答案】##80度【詳解】解：如圖，連接OE、OD，根據(jù)題意得：OC=OB=OD=OE，∵∠A=50°，∴∠B+∠C=130°，∴∠CEO+∠BDO=130°，∴∠AEO+∠ADO=230°，∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°，故答案為：．【即學(xué)即練】如圖，圓內(nèi)4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2a，若點(diǎn)A，B，C，D，E在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)，G在同一個(gè)圓上，則此圓的半徑為_(kāi)_____．【答案】a【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)在⊙O上，∴圓心O在EF的垂直平分線PQ上，連接OG、OE，∵4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2a，∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a，設(shè)PO=x，則OQ=8a-x，∵OG=OE，即OG2=OE2，∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，解得：x=a，即PO=a，∴OG2=(3a)2+(a)2=a2，∴OG=a，故答案為a．【典例4】如圖，在中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，求的度數(shù)；【答案】40°【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°-25°=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=180°-65°-65°=50°，∴∠DCE=90°-50°=40°．【即學(xué)即練】如圖，線段過(guò)圓心交于，兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）75°；（2）．【詳解】（1）連接．∵，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴（由（1）證明可知）∴，設(shè)，∴，解得，∴．考法02弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理【典例5】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB=6，OD=4，則DC的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【答案】A【詳解】解：如圖，連接AO，∵半徑與點(diǎn)D，∴，∵，∴根據(jù)勾股定理，，∴，∴．故選A．【即學(xué)即練】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB=6，OD=4，則DC的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【答案】A【詳解】解：如圖，連接AO，∵半徑與點(diǎn)D，∴，∵，∴根據(jù)勾股定理，，∴，∴．故選A．【典例6】如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB=6，OD=4，則DC的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【答案】A【詳解】解：如圖，連接AO，∵半徑與點(diǎn)D，∴，∵，∴根據(jù)勾股定理，，∴，∴．故選A．【即學(xué)即練】如圖，AB為⊙O直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上且．AD與CO交于點(diǎn)E，∠DAB＝30°，若，則CE的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵∴又∵∠DAB＝30°∴由勾股定理得，∴∴(負(fù)值舍去)∴故選：C【典例7】已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半徑為5，則線段EF長(zhǎng)的最大值為_(kāi)____．【答案】7【詳解】解：連接OA、OD、OE、OF，∵點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，AEAB＝4，OF⊥CD，DFCD＝3，由勾股定理得，OE3，OF4，當(dāng)E、O、F在同一條直線上時(shí)，EF最大，最大值為3+4＝7，故答案為：7．【即學(xué)即練】如圖，已知半圓直徑，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，那么的面積為_(kāi)_______．【答案】【詳解】解：連接OC，OD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，如圖，∵點(diǎn)C、D三等分半圓弧，∴∠COD=∠BOD=60°，∵OC=OD，∴是等邊三角形，∴∠CDO=60°，∴∠CDO=∠BOD，∴CD∥AB，∴，∵OE⊥CD，∴∠COE=∠COD=30°，∴，在中，，∴．故答案為：．【典例8】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B．(1)求證：；(2)若，，求⊙的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】(1)證明：連接，交于點(diǎn)．是的切線，切點(diǎn)為，，，四邊形是平行四邊形，，，，；(2)解：，過(guò)圓心，在中，，，設(shè)的半徑為，則，連接，在中，，即，，的半徑為．【即學(xué)即練】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，且AB⊥CD，垂足為G，點(diǎn)E在劣弧上，連接CE．（1）求證：CE平分∠AEB；（2）連接BC，若BC//AE，求證：BC=BE．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，是直徑，．，平分；（2）解：如圖，∵，∴．又∵，

．考法03圓中有關(guān)的計(jì)算【典例9】已知：如圖，是的兩條半徑，且，點(diǎn)在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，，．故選：A．【即學(xué)即練】已知扇形的半徑為6，圓心角為，則它的弧長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由弧長(zhǎng)公式可知，，故選：B．【典例10】如圖，，是的弦，，，則的直徑等于（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【詳解】解：連接OB、OC，如圖，∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，而OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，∴OB＝BC＝2，∴⊙O的直徑等于4．故答案為：4．【即學(xué)即練】如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形EBGF，再將矩形EBGF繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形IHGJ，則點(diǎn)D在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，第一次旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)D繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)半徑為BD，到達(dá)點(diǎn)F處，BD==6，此時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑為：3π，第二次旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)F繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)半徑為GF=AB=3，到達(dá)點(diǎn)J處，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為：，故點(diǎn)D在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為：，故選：D．【典例11】如圖，⊙O與AB相切于點(diǎn)A，BO與⊙O交于點(diǎn)C，，則∠B等于_____．【答案】【詳解】解：如圖，連接OA．則OA⊥AB．∴，∵，∴．∵OA＝OC，∴．∴．故答案為：．【即學(xué)即練】如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是_______．【答案】【詳解】解：如圖，連接OD，交AC于F，∵D是的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，AF=CF，∴∠DFE=90°，∵OA=OB，AF=CF，∴OF=BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，在△EFD和△ECB中，，

∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF=BC，∴OF=DF，∵OD=3，∴OF=1，AB=2OD=6，∴BC=2，∴．故答案為：．【典例12】如圖，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為點(diǎn)E，D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，連接BD，AD，OC，(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)8【詳解】（1）解：連接OB，∵OA⊥BC，OA過(guò)圓心O，∴，∵，∴，∴；（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA過(guò)圓心O，∴BE＝EC，∵OB＝OA＝5，OE＝3，∴BE＝＝＝4，∴BC＝2BE＝8．【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E，⊙O是△BEF的外接圓，交AB于點(diǎn)F，圓心O在AB上．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，求證：EF平分∠AEH；(3)求證：CD＝HF．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：連接OE，如圖所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圓O的直徑，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切線；（2）證明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，∴∠BEC＝∠BEH，∵BF是⊙O是直徑，∴∠BEF＝90°，∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠FEH＝∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）證明：連接DE，如圖所示：∵BE是∠ABC的平分線，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE，∵∠C＝∠EHF＝90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD＝HF，考法04圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用【典例13】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點(diǎn)C，則圖中與∠BCE相等的角除對(duì)頂角外還有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【詳解】解：∵在△ADO和△DOE中，∴△OAD≌△ODE（SSS），∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，∵AO=DO，∴∠DAB=∠ADO，∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，∵AD=DE，∴，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，∴∠DAB=∠BCE，∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，則與∠ECB相等的角有5個(gè)．圖中與∠BCE相等的角除對(duì)頂角外還有4個(gè)故選C．【即學(xué)即練】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在上，以為圓心的扇形與邊相切于點(diǎn)，與兩邊交于點(diǎn)，，則弧長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)與或點(diǎn)重合時(shí)，圓心角為，此時(shí)弧最長(zhǎng)，根據(jù)正方形和扇形的對(duì)稱性可得，當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弧的長(zhǎng)度最短，且，∵正方形的邊長(zhǎng)為，以為圓心的扇形與邊相切，∴，，∴，∴，∴，∴，∴弧的長(zhǎng)度為．故選：C．【典例14】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與該三角形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為（）A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π【答案】D【詳解】解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，∴AD＝＝8，∴＝×12×8﹣π×＝48﹣．故選：D．【即學(xué)即練】如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（

）A．325° B．145° C．215° D．395°【答案】C【詳解】解：如圖，連接CE，∵五邊形ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，∴四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠CED=∠CAD=35°，∴∠B+∠AED=180°+35°=215°．故選：C．【典例15】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BD＝6，∠CAB＝30°，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．（結(jié)果保留π）【答案】【詳解】解：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且BD=6，∴AC=BD＝6，∴OA=OC=OB=OD=3，∴，故答案為：．【即學(xué)即練】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB過(guò)點(diǎn)A（－3，0），B（0，3），⊙O的半徑為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P在直線AB上，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為_(kāi)___．【答案】【詳解】解：連接、．是的切線，；根據(jù)勾股定理知，當(dāng)時(shí)，線段最短；又，，，，，，，．故答案為：．【典例16】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足為D．若BE=6，AB=8．(1)求證：BE=CF；(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵AF⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵，∴∠BEA=∠ACD，∴∠BAE=∠CAD，∴弧BE=弧FC∴BE=CF．（2）解：連接OC，如圖所示：∴∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC＝∠CAE，∴∠AOC＝2∠CAE，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝∠AOC，∵，∴，∴△AOC是等腰直角三角形，∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°∴，∴AO＝CO＝5，∴．【即學(xué)即練】接BD和CD．(1)求證：．(2)，，，求AD．(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵I為三角形ABC的內(nèi)心，，，，，，，，，，；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，則，，，則，，，，，，，，過(guò)點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為，如圖，I為三角形ABC的內(nèi)心，，設(shè)，，即，解得，中，，，，（3）如圖，設(shè)為三角形ABC的外接圓的圓心，連接，，，，，且，，是等邊三角形，，圓的半徑為，．考法05與圓的切線相關(guān)的證明與計(jì)算【典例17】下列命題中的真命題是（）①相等的角是對(duì)頂角

②矩形的對(duì)角線互相平分且相等

③垂直于半徑的直線是圓的切線

④順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【詳解】①相等的角不一定是對(duì)頂角，故①錯(cuò)誤；②矩形的對(duì)角線互相平分且相等，故②正確；③經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線，故③錯(cuò)誤；④順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形，故④正確，所以正確的是②④，故選D．【即學(xué)即練】下列命題中，①直徑是弦；②平分弦的直徑必垂直于弦；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④等弧所對(duì)的弦相等．⑤經(jīng)過(guò)半徑的一端并垂直于半徑的直線是圓的切線．正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】解：直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，所以①正確；平分弦（非直徑）的直徑必垂直于弦，所以②錯(cuò)誤；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以③錯(cuò)誤；等弧所對(duì)的弦相等．所以④正確；經(jīng)過(guò)半徑的外端并垂直于半徑的直線是圓的切線．所以⑤錯(cuò)誤．故選B．【典例18】如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【答案】D【詳解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；D、∵⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，∴AB＝AC，但不能證出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切線；故選：D．【即學(xué)即練】如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點(diǎn)，過(guò)A、D、G三點(diǎn)的⊙O與邊AB、CD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，給出下列判斷：（1）AC與BD的交點(diǎn)是⊙O的圓心；（2）AF與DE的交點(diǎn)是⊙O的圓心；（3）AE=DF；（4）BC與⊙O相切，其中正確判斷的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】解：連接DG、AG，作GH⊥AD于H，連接OD，如圖，∵G是BC的中點(diǎn)，∴CG＝BG，∵CD＝BA，根據(jù)勾股定理可得，∴AG＝DG，∴GH垂直平分AD，∴點(diǎn)O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC與圓O相切；∵OG＝OD，∴點(diǎn)O不是HG的中點(diǎn)，∴圓心O不是AC與BD的交點(diǎn)；∵∠ADF＝∠DAE＝90°，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD為⊙O的內(nèi)接矩形，∴AF與DE的交點(diǎn)是圓O的圓心；AE=DF；∴（1）錯(cuò)誤，（2）（3）（4）正確．故選：B．【典例19】在正方形ABCD中，以AB為直徑做半圓，過(guò)點(diǎn)D做DE切圓O于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，正方形的邊長(zhǎng)為2，求陰影面積______．【答案】1.5【詳解】∵四邊形ABCD正方形，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∠C＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴AD，BC是⊙O的切線，∵DE切圓O于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，∴BE＝EF，AD＝DF＝2，設(shè)CE＝x，則BE＝EF＝2－x，DE＝DF＋EF＝4－x，在Rt△CDE中，由勾股定理得，，∴，解得x＝1.5，∴CE＝1.5，∴陰影面積＝，故答案為：1.5【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC