八年級數(shù)學下冊講義（人教版）：平行四邊形（學生版）

第10課平行四邊形目標目標導航課程標準1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質定理和判定定理；2．能初步運用平行四邊形的性質進行推理和計算，并體會如何利用所學的三角形的知識解決四邊形的問題．3.能綜合運用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的性質定理進行證明和計算．4.理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線定理．知識精講知識精講知識點01平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對邊的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“”，讀作“”.注意：平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.相鄰的兩邊為邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條.知識點02平行四邊形的性質1．邊的性質：平行四邊形兩組對邊；2．角的性質：平行四邊形鄰角，對角；3．對角線性質：平行四邊形的對角線；4．平行四邊形是對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.注意：（1）平行四邊形的性質中邊的性質可以證明兩邊或兩邊；角的性質可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質可以證明線段的關系或關系.（2）由于平行四邊形的性質內容較多，在使用時根據(jù)需要進行選擇.（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應聯(lián)系三角形三邊的不等關系來解決.知識點03平行四邊形的判定1.兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；3.一組對邊且的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別的四邊形是平行四邊形；5.對角線的四邊形是平行四邊形.注意：（1）這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定同一個平行四邊形時，應選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).知識點04三角形的中位線1．連接三角形兩邊的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線于三角形的第三邊，且等于第三邊的.注意：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數(shù)量關系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.知識點05平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指，是正值.（2）平行線間的距離任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.2.平行四邊形的面積：平行四邊形的面積＝底×高；等底等高的平行四邊形面積相等.能力拓展能力拓展考法01平行四邊形的性質【典例1】如圖，平行四邊形ABCD的周長為60，對角線交于O，△AOB的周長比△BOC的周長大8，求AB，BC的長．【即學即練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，則△APB的周長是_____．【即學即練2】如圖，?ABCD中，AC、BD相交于點O，若AD=6，AC+BD=16，則△BOC的周長為_____．【即學即練3】如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周長為40，則S為______．【即學即練4】如圖，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，則□ABCD的周長等于__________．【即學即練5】已知：在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O的直線EF分別交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，則?ABCD的面積是_____．【即學即練6】如圖，□ABCD與□DCFE的周長相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為_______°．【即學即練7】如果一個平行四邊形的一邊長是8，一條對角線長是6，那么它的另一條對角線的長m的取值范圍是______________.【即學即練8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三點為頂點要畫平行四邊形，則第四個頂點坐標為________．【即學即練9】如圖，平行四邊形ABCD中，點E是DC邊上一點，連接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分線，BE是∠CBA的平分線．

（1）求證：AE⊥BE；

（2）若AE=3，BE=2，求平行四邊形ABCD的面積．

考法02平行四邊形的判定【典例2】已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形，P、Q是直線AC上的點，且AP=CQ．

求證：四邊形PBQD是平行四邊形．

【即學即練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，請?zhí)砑右粋€條件__________使四邊形AECF是平行四邊形（只填一個即可）．【即學即練2】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AC與BD交于點O，求證：AO＝CO．【即學即練3】如圖，AB，CD相交于點O，AC∥DB，OA=OB，E、F分別是OC，OD中點．(1)求證：OD=OC．(2)求證：四邊形AFBE平行四邊形．【即學即練4】以銳角△ABC的邊AC、BC、AB向形外作等邊△ACD、等邊△BCE，作等邊△ABF，連接DF、CE如圖所示．求證：四邊形DCEF是平行四邊形．考法03構造平行四邊形，應用性質【典例3】在等邊三角形ABC中，P為ΔABC內一點，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F(xiàn)分別在AC，AB和BC上，試說明：PD＋PF＋PE＝BA.考法04三角形的中位線【典例4】如圖所示，在△ABC中，M為BC的中點，AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的長．【即學即練1】如圖所示，四邊形ABCD中，Q是CD上的一定點，P是BC上的一動點，E、F分別是PA、PQ兩邊的中點；當點P在BC邊上移動的過程中，線段EF的長度將()．A．先變大，后變小B．保持不變C．先變小，后變大D．無法確定【即學即練2】如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，若AC+BD=24厘米，△OAB的周長是18厘米，則EF=___厘米．【即學即練3】如圖，D是△ABC內一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是_____．【即學即練4】如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AD＝BC，∠PEF＝18°，則∠PFE的度數(shù)是__________．【即學即練5】如圖，在四邊形ABDC中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，并且E、F、G、H四點不共線．當AC＝6，BD＝8時，四邊形EFGH的周長是_____．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為（）A．15 B．18 C．21 D．242．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED=150°，則∠A的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．100°3．如圖，中，對角線、相交于點O，交于點E，連接，若的周長為28，則的周長為（）A．28 B．24 C．21 D．144．平行四邊形所具有的性質是（）A．對角線相等 B．鄰邊互相垂直C．每條對角線平分一組對角 D．兩組對邊分別相等5．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC+BD=16，CD=6，則△ABO的周長是（）A．10 B．14 C．20 D．226．平行四邊形的邊長為5，則它的對角線長可能是()A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和37．如圖，在中，分別是的中點，點在延長線上，添加一個條件使四邊形為平行四邊形，則這個條件是（）A． B． C． D．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F是對角線AC上的兩點，給出下列四個條件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個9．如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，且AB=10，BC=15，MN=3，則AC的長是（）A．12 B．14 C．16 D．18題組B能力提升練10．已知直角坐標系內有四個點A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則D點的坐標為___________________．11．如圖，在平行四邊形ABCD中，于點E，于點F，若，，，則平行四邊形ABCD的面積為______．12．如圖所示，對四邊形ABCD是平行四邊形的下列判斷，正確的打“√”，錯誤的打“×”．（1）因為AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四邊形．()（2）因為AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（3）因為AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（4）因為AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四邊形．()（5）因為AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（6）因為AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四邊形．()13．如圖，線段AB＝4，點P在以AB為直徑的圓上，在AB的同側作等邊△ABD、等邊△APE和等邊△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是______．14．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一點，且DE∥AC，DF∥AB，則DE+DF=___．15．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分別為AC、CD的中點，∠D=α，則∠BEF的度數(shù)為_____（用含α的式子表示）．題組C培優(yōu)拔尖練16．已知：如圖，在中，中線交于點分別是的中點．求證：（1）；（2）和互相平分．17．如圖，在四邊形中，．動點P從點B出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運動到C點返回，動點Q從點A出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點D運動，點P，Q分別從點B，A同時出發(fā)，當點Q運動到點D時，點P隨之停止運動，設運動時間為t（秒）．（1）當時，若四邊形是平行四邊形，求出滿足要求的t的值；（2）當時，若以C，D，Q，P為頂點的四邊形面積為，求相應的t的值；（3）當時，若以C，D，Q，P為頂點的四邊形面積為，求相應的t的值．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉一個角度α（0°＜α≤90°），分別交線段BC，AD于點E，F(xiàn)，連接BF．（1）如圖1，在旋轉的過程中，求證：OE＝OF；（2）如圖2，當旋轉至90°時，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結論；（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋轉角度α的大?。?9．如圖