九年級數(shù)學上冊講義（人教版）：弧、弦、圓心角、圓周角（教師版）

第21課弧、弦、圓心角、圓周角課程標準（1）了解圓心角、圓周角的概念；（2）理解圓周角定理及其推論，能靈活運用圓周角的定理及其推理解決有關問題；（3）掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對應相等，及其它們在解題中的應用．知識點01弧、弦、圓心角的關系1．圓心角定義

如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．2．定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

3．推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．

【注意】

(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征.

(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.知識點02圓周角1．圓周角定義

像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．2．圓周角定理

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

3．圓周角定理的推論

半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

【注意】

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

4．圓內接四邊形(1)定義:圓內接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內接四邊形．(2)性質：圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角(即它的一個外角等于它相鄰內角的對角)．5．弦、弧、圓心角、弦心距的關系在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等。(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對應的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等)。如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等?？挤▓A心角、弧、弦之間的關系及應用【典例1】下列命題中，正確的是（

）A．和半徑垂直的直線是圓的切線 B．平分直徑一定垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．垂直于弦的直徑必平分弦所對的弧【答案】D【詳解】A項還可能與圓相交，故錯誤不選；B項過圓心的直線都平分直徑，但不一定垂直于弦，故錯誤不選；C項如果半徑不等，則對應的弧也不相等，故錯誤不選；D項說法正確．故答案選D．【即學即練】下列四個命題中，真命題是(

)A．如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸C．平分弦的直徑一定垂直于這條弦D．等弧所對的圓周角相等【答案】D【詳解】解：A、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，故此選項錯誤，不符合題意；B、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，故此選項錯誤，不符合題意；C、平分弦（非直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故此選項錯誤，不符合題意；D、等弧所對的圓周角相等正確，故此選項正確，符合題意，故選：D．【典例2】如圖，⊙O的半徑為9cm，AB是弦，OC⊥AB于點C，將劣弧AB沿弦AB折疊交于OC的中點D，則AB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【詳解】解：連接OA，∵將劣弧沿弦AB折疊交于OC的中點D，∴OCr＝6（cm），OC⊥AB，∴AC＝CB3（cm），∴AB＝2AC＝6（cm），故選：D．【即學即練】如圖，AB是⊙的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作于點E，延長DE交⊙于點F，若，⊙的直徑為10，則AC長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】解：連接，如圖：，過圓心，，，為弧的中點，，，，的直徑為10，，，，在中，由勾股定理得：，，，故選：D．【典例3】如圖，為的直徑，是弦，且于點E．連接、、．(1)求證：；(2)若，求弦的長．【答案】(1)見解析(2)弦BD的長為16cm【詳解】（1）∵AC為⊙O的直徑，且AC⊥BD，∴∴∠ABD＝∠C，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO，∴∠CBO＝∠ABD；（2）∵AE＝4，CE＝16，∴OA＝10，OE＝6，在Rt△OBE中，，∵AC為⊙O的直徑，且AC⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE＝16cm．【即學即練】如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E．(1)如圖1，若為120°，為50°，求∠E的度數(shù)；(2)如圖2，若AE＝DE，求證：AB＝CD．【答案】(1)∠E＝35°(2)見解析【詳解】（1）連接AC，∵為120°，為50°，∴，，∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；（2）證明：連接AC、BD，∵，∴∠A＝∠D，在△ACE和△DBE中，，∴△ACE≌△DBE（ASA），∴BE＝CE，∵AE＝DE，∴AE-BE＝DE-CE，即AB＝CD．題組A基礎過關練1．圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為的兩條弧，則弦心距與弦長的比為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵弦AB把⊙O分成度數(shù)比為1：3兩條弧，∴弦所對的圓心角∠AOB=，∴△AOB是等腰直角三角形，過點O做OC⊥AB于C，∴,∴弦心距與弦長的比為1：2．故選：D．2．下列命題：①三點確定一個圓；②直徑是圓的對稱軸；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對的弧相等，正確命題的個數(shù)是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【詳解】解：①不在同一條直線上的三個點確定一個圓，故本小題錯誤；②直徑所在的直線為圓的對稱軸，故本小題錯誤；③平分弦的直徑垂直于弦（非直徑），故本小題錯誤；④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，故本小題錯誤；⑤在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本小題錯誤．∴正確命題的個數(shù)為0個．故選：A．3．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，點B是的中點，則∠D的度數(shù)是（）A．70° B．60° C．40° D．35°【答案】D【詳解】解：連接OB，如圖所示，∵點B是的中點，∠AOC=140°，∴∠AOB=∠AOC=70°，由圓周角定理得，∠D=∠AOB=35°，故選：D．4．如圖，在⊙O中，弦AB與直徑CD垂直，垂足為E，則下列結論中錯誤的是（

）A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD【答案】B【詳解】∵CD⊥AB，CD為直徑，∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，AD=BD,AC=BC,故選:B．5．如圖，AB是⊙O的弦，點C是的中點，OC交AB于點D．若，⊙O的半徑為5，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵C是的中點，∴=，∴∠AOC=∠BOC，又∵OA=OB=5，AB=8，∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三線合一），在Rt△AOD中由勾股定理得：OD=，∴CD=OC-OD=5-3=2．故選：B．6．如圖，已知AB和CD是⊙O的兩條等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分別為M、N，BA、DC的延長線交于點P，連接OP．下列四個說法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：如圖連接OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正確；∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正確；∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正確；∵AM=CN，∴PA=PC，故③正確，綜上，四個選項都正確，故選：D．7．如圖，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，連接AC，CD，則AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】【詳解】解：如圖，連接AB、BC，∵弧AB＝弧BC＝弧CD，∴AB=BC=CD，∵，∴．故答案為：8．如圖，在⊙O中，，∠1＝45°，則的度數(shù)為___．【答案】【詳解】解：∵，∴∠2=∠1=45°，，故答案為：．9．已知，如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠AOB＝∠COD，求證：AC＝BD【答案】見解析【詳解】證：∵∴∴10．如圖，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC=3，AB=4，求CD的長．【答案】（1）65°；（2）．【詳解】解：（1）如圖，連接AD．∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，∴∠ACD=70°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，∴∠DAE=90°-40°=50°．又∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=(180°?50°)=65°；（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，∴BC=5．又∵?AF?BC=?AC?AB，∴AF=，∴CF=．∵AC=AD，AF⊥CD，∴CD=2CF=．題組B能力提升練1．如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（

）A．98° B．103° C．108° D．113°【答案】C【詳解】解：∵∠COD=126°，∴∠COB=54°，∴，∵BD是圓O的直徑，∴∠BAD=90°，∵，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，故選C．2．將一張正方形的透明紙片ABCD和按如圖位置疊放，頂點A、D在上，邊AB、BC、CD分別與相交于點E、F、G、H，則下列弧長關系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】如圖，連接，過點作，交于，交于，則，四邊形是正方形，，，，四邊形是矩形，，，，，，A.，，故該選項不正確，不符合題意；B.，，故該選項不正確，不符合題意；C.，，故該選項正確，符合題意；D.，，故該選項不正確，不符合題意；故選：C.3．如圖，點A，B，C，D是⊙O上的四個點，且，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：在⊙O中，∵∴，故A、C選項正確，不符合題意；∵，OA=OD，OB=OC∴∴∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∴OE=OF故B選項正確，不符合題意．故選D4．下列命題是真命題的是（）A．相等的弦所對的弧相等B．圓心角相等，其所對的弦相等C．在同圓或等圓中，圓心角不等，所對的弦不相等D．弦相等，它所對的圓心角相等【答案】C【詳解】解：A、B、D結論若成立，都必須以“在同圓或等圓中”為前提條件，所以A、B、D錯誤；故選：C．5．如圖，AB為⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AC＝12，AE＝3，則⊙O的直徑長為（

）A．7.5 B．15C．16 D．18【答案】B【詳解】解：如圖，連接OF．∵DE⊥AB，∴DE=EF，，∵點D是弧AC的中點，∴，∴，∴AC=DF=12，∴EF=DF=6，設OA=OF=x，在Rt△OEF中，則有x2=62+（x-3）2，解得x=，∴AB=2x=15，故選：B．6．如圖，是的直徑，且，點，在上，，，點是線段的中點，則（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【詳解】∵，，∴，∴，∵，為中點，∴，，∵，∴，∴，故選B．7．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，∠BAC=42°，OD⊥BC于點E，則∠BDE為_____°．【答案】69【詳解】解：如圖，連接CD，∵A，B，C，D是⊙O上的四個點，∴∠BDC+∠BAC=180°，∵∠BAC=42°，∴∠BDC=180°-42°=138°，∵OD⊥BC，∴，∴BD=CD，∴∠BDE=∠BDC=，故答案為：69．8．如圖，⊙O的半徑為，四邊形ABCD內接于⊙O，AC⊥BD，垂足為E，且BC=2AD，則AD+BC的值為_______．【答案】12【詳解】解：如圖，作直徑BF，連接DF，F(xiàn)C．∵BF是直徑，∴∠BDF=∠BCF=90°，∴BD⊥DF，∵AC⊥BD，∴DF∥AC∴DFAC，∴∠CDF=∠ACD，∴，∴AD=FC，∵BC=2AD，∴BC=2FC，∴可以假設FC=k，BC=2k，∴k2+（2k）2=（4）2，∴k=4或-4（舍棄），∴BC=8，F(xiàn)C=4，∴AD=FC=4，∴AD+BC=4+8=12，故答案為：12．9．如圖，已知C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，連接BC，OC，OD，若OD//BC，求證：D為的中點．【答案】見解析【詳解】，，.，，..∴D為的中點．10．如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．（1）求證：AB＝AC；（2）聯(lián)結OM、ON、MN，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【詳解】證明：（1）過點O作OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，如圖所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE．，．，，∴AB＝AC；（2）聯(lián)結OB，OM，ON，MN，如圖所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．2．有一直徑為的圓，且圓上有、、、四點，其位置如圖所示．若，，，，，則下列弧長關系何者正確？（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】解：連接，，直徑，，，，，，，，直徑，，，，，，，所以B符合題意，故選：B．3．如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB＝120°，C是的中點，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（

）A．25 B．25 C． D．【答案】D【詳解】解：連OC，如圖，∵C是的中點，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°，又∵OA=OC=OB，∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，∴S四邊形AOBC=．故選：D．4．如圖，在半徑為5的中，弦BC，DE所對的圓心角分別是，．若，，則弦BC的弦心距為（

）.A． B． C．4 D．3【答案】D【詳解】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，如圖，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH為△CBF的中位線，∴AH=BF=3,故選：D.5．如圖，直線l1∥l2，點A在直線l1上，以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），連接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于點E．若∠ECA＝40°，則下列結論錯誤的是（

）A．∠ABC=70° B．∠BAD=80° C．CE=CD D．CE=AE【答案】C【詳解】A.∵直線l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC＝＝70°，故A正確，不符合題意；B.∵以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正確，不符合題意；C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，∴∠CAD＝40°，∴∠BAD＝∠CED＝80°，∵∠CDA＝∠ABC＝70°，∴CE≠CD，故C錯誤，符合題意；D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴∠ECA=∠DAC，∴CE＝AE，故D正確，不符合題意．6．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，OB＝5，，點E是點D關于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結論：①的長度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結論中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：，點是點關于的對稱點，，，的長度是，①正確