一元二次不等式和解法知識梳理和典型練習(xí)試題含答案

...wd......wd......wd...一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一個一元一次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，都可以化為ax＞b(a≠0)的形式.當a＞0時，解集為；當a＜0時，解集為.2.一元二次不等式及其解法(1)我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為__________不等式.(2)使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解組成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：函數(shù)與不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)無實根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}?③3.分式不等式解法(1)化分式不等式為標準型.方法：移項，通分，右邊化為0，左邊化為eq\f(f〔x〕,g〔x〕)的形式.(2)將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，如：eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(f〔x〕,g〔x〕)＞0))?f(x)g(x)＞0；eq\f(f〔x〕,g〔x〕)＜0?f(x)g(x)＜0；eq\f(f〔x〕,g〔x〕)≥0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f〔x〕g〔x〕≥0，,g〔x〕≠0；))eq\f(f〔x〕,g〔x〕)≤0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f〔x〕g〔x〕≤0，,g〔x〕≠0.))(eq\a\vs4\al(2014·課標Ⅰ))集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，則A∩B＝()A.[－2，－1] B.[－1，2)C.[－1，1] D.[1，2)解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].應(yīng)選A.設(shè)f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，則f(x)>0的解集為()A.{x|x∈R} B.{x|x≠1，x∈R}C.{x|x≥1} D.{x|x≤1}解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b，由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，解出b＝－2，代入原函數(shù)，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范圍是x≠1.應(yīng)選B.－eq\f(1,2)<eq\f(1,x)<2，則x的取值范圍是()A.－2<x<0或0<x<eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)<x<2C.x<－eq\f(1,2)或x>2 D.x<－2或x>eq\f(1,2)解：當x>0時，x>eq\f(1,2)；當x<0時，x<－2.所以x的取值范圍是x<－2或x>eq\f(1,2)，應(yīng)選D.不等式eq\f(1－2x,x＋1)＞0的解集是.解：不等式eq\f(1－2x,x＋1)>0等價于(1－2x)(x＋1)＞0，也就是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(x＋1)＜0，所以－1＜x＜eq\f(1,2).故填eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1＜x＜\f(1,2)，x∈R)).(eq\a\vs4\al(2014·武漢調(diào)研))假設(shè)一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為________.解：顯然k≠0.假設(shè)k＞0，則只須(2x2＋x)max＜eq\f(3,8k)，解得k∈?；假設(shè)k＜0，則只須eq\f(3,8k)＜(2x2＋x)min，解得k∈(－3，0).故k的取值范圍是(－3，0).故填(－3，0).類型一一元一次不等式的解法關(guān)于x的不等式(a＋b)x＋2a－3b＜0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))，求關(guān)于x的不等式(a－3b)x＋b－2a＞0的解集.解：由(a＋b)x＜3b－2a的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))，得a＋b＞0，且eq\f(3b－2a,a＋b)＝－eq\f(1,3)，從而a＝2b，則a＋b＝3b＞0，即b＞0，將a＝2b代入(a－3b)x＋b－2a＞0，得－bx－3b＞0，x＜－3，故所求解集為(－∞，－3).點撥：一般地，一元一次不等式都可以化為ax＞b(a≠0)的形式.挖掘隱含條件a＋b＞0且eq\f(3b－2a,a＋b)＝－eq\f(1,3)是解此題的關(guān)鍵.解關(guān)于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2.解：(1)當m2－4＝0即m＝－2或m＝2時，①當m＝－2時，原不等式的解集為?，不符合②當m＝2時，原不等式的解集為R,符合(2)當m2－4＞0即m＜－2或m＞2時，x＜eq\f(1,m－2).(3)當m2－4＜0即－2＜m＜2時，x＞eq\f(1,m－2).類型二一元二次不等式的解法解以下不等式：(1)x2－7x＋12＞0;(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1＜0;(4)x2－2x＋2＞0.解：(1){x|x＜3或x＞4}.(2){x|－3≤x≤1}.(3)?.(4)因為Δ＜0，可得原不等式的解集為R.(eq\a\vs4\al(2013·金華十校聯(lián)考))函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x＜0，,x－1，x≥0，))則不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是()A.{x|－1≤x≤eq\r(2)－1}B.{x|x≤1}C.{x|x≤eq\r(2)－1}D.{x|－eq\r(2)－1≤x≤eq\r(2)－1}解：由題意得不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等價于①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＜0，,x＋〔x＋1〕[－〔x＋1〕＋1]≤1))或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋〔x＋1〕[〔x＋1〕－1]≤1，))解不等式組①得x＜－1；解不等式組②得－1≤x≤eq\r(2)－1.故原不等式的解集是{x|x≤eq\r(2)－1}.應(yīng)選C.類型三二次不等式、二次函數(shù)及二次方程的關(guān)系關(guān)于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求實數(shù)b，c的值.解：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的兩個實數(shù)根，∴由韋達定理知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5＋1＝b，,－5×1＝c，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝－5.))不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集.解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝2＋3，,\f(c,a)＝2×3，,a＜0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a＜0.))代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0).即6x2＋5x＋1＜0，∴所求不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜－\f(1,3))).類型四含有參數(shù)的一元二次不等式解關(guān)于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.解：(1)m＝0時，不等式為－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集為{x|x＞1}；(2)當m≠0時，不等式為meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,m)))(x－1)＜0.①當m＜0，不等式為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,m)))(x－1)＞0，∵eq\f(1,m)＜1，∴不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1,m)或x＞1)).②當m＞0，不等式為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,m)))(x－1)＜0.(Ⅰ)假設(shè)eq\f(1,m)＜1即m＞1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,m)＜x＜1))；(Ⅱ)假設(shè)eq\f(1,m)＞1即0＜m＜1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1＜x＜\f(1,m)))；(Ⅲ)假設(shè)eq\f(1,m)＝1即m＝1時，不等式的解集為?.點撥：當x2的系數(shù)是參數(shù)時，首先對它是否為零進展討論，確定其是一次不等式還是二次不等式，即對m≠0與m＝0進展討論，這是第一層次；第二層次：x2的系數(shù)正負(不等號方向)的不確定性，對m＜0與m＞0進展討論；第三層次：eq\f(1,m)與1大小的不確定性，對m＜1、m＞1與m＝1進展討論.解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).解：不等式整理為ax2＋(a－2)x－2≥0，當a＝0時，解集為(－∞，－1].當a≠0時，ax2＋(a－2)x－2＝0的兩根為－1，eq\f(2,a)，所以當a＞0時，解集為(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))；當－2＜a＜0時，解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，－1))；當a＝－2時，解集為{x|x＝－1}；當a＜－2時，解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,a))).類型五分式不等式的解法(1)解不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤1.解：eq\f(x－1,2x＋1)≤1?eq\f(x－1,2x＋1)－1≤0?eq\f(－x－2,2x＋1)≤0?eq\f(x＋2,2x＋1)≥0.得{xx＞－eq\f(1,2)或x≤－2}.※(2)不等式eq\f(x－2,x2＋3x＋2)＞0的解集是.解：eq\f(x－2,x2＋3x＋2)＞0?eq\f(x－2,〔x＋2〕〔x＋1〕)＞0?(x－2)(x＋2)(x＋1)＞0，數(shù)軸標根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}，故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}.點撥：分式不等式可以先轉(zhuǎn)化為簡單的高次不等式，再利用數(shù)軸標根法寫出不等式的解集，如果該不等式有等號，則要注意分式的分母不能為零.※用“數(shù)軸標根法〞解不等式的步驟：(1)移項：使得右端為0(注意：一定要保證x的最高次冪的項的系數(shù)為正數(shù)).(2)求根：就是求出不等式所對應(yīng)的方程的所有根..(3)標根：在數(shù)軸上按從左到右(由小到大)依次標出各根(不需標出準確位置，只需標出相對位置即可).(4)畫穿根線：從數(shù)軸“最右根〞的右上方向左下方畫線，穿過此根，再往左上方穿過“次右根〞，一上一下依次穿過各根,“奇穿偶不穿〞來記憶.(5)寫出不等式的解集：假設(shè)不等號為“＞〞，則取數(shù)軸上方穿根線以內(nèi)的范圍；假設(shè)不等號為“＜〞，則取數(shù)軸下方穿根線以內(nèi)的范圍；假設(shè)不等式中含有“＝〞號，寫解集時要考慮分母不能為零.(1)假設(shè)集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－2,x)≤0))，則A∩B＝()A.{x|－1≤x＜0} B.{x|0＜x≤1}C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}解：易知A＝{x|－1≤x≤1}，B集合就是不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x〔x－2〕≤0，,x≠0))的解集，求出B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0＜x≤2))，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}.應(yīng)選B.(2)不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)解：eq\f(x－1,2x＋1)≤0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(〔x－1〕〔2x＋1〕≤0，,2x＋1≠0))得－eq\f(1,2)<x≤1.應(yīng)選A.類型六和一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題(1)假設(shè)不等式x2＋ax＋1≥0對于一切x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))成立，則a的最小值為()A.0B.－2C.－eq\f(5,2)D.－3解：不等式可化為ax≥－x2－1，由于x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).∵f(x)＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上是減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,x)))eq\s\do7(max)＝－eq\f(5,2).∴a≥－eq\f(5,2).(2)對于任意的a∈[－1，1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則x的取值范圍是()A.1＜x＜3 B.x＜1或x＞3C.1＜x＜2 D.x＜1或x＞2解：記g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]，依題意，只須eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g〔1〕＞0，,g〔－1〕＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2＞0，,x2－5x＋6＞0))?x＜1或x＞3，應(yīng)選B.點撥：對于參數(shù)變化的情形，大多利用參變量轉(zhuǎn)換法，即參數(shù)轉(zhuǎn)換為變量；變量轉(zhuǎn)換為參數(shù)，把關(guān)于x的二次不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于a的一次不等式，化繁為簡，然后再利用一次函數(shù)的單調(diào)性，求出x的取值范圍.對于滿足|a|≤2的所有實數(shù)a，求使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范圍.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，設(shè)f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，則f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f〔－2〕＞0，,f〔2〕＞0))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＞0，,x2－1＞0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞3或x＜1，,x＞1或x＜－1.))∴x＜－1或x＞3.類型七二次方程根的討論假設(shè)方程2ax2－x－1＝0在(0，1)內(nèi)有且僅有一解，則a的取值范圍是()A.a<－1 B.a>1C.－1<a<1 D.0≤a<1解法一：令f(x)＝2ax2－x－1，則f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1.解法二：當a＝0時，x＝－1，不合題意，故排除C，D；當a＝－2時，方程可化為4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，無實根，故a＝－2不適合，排除A.應(yīng)選B.1.不等式eq\f(x－2,x＋1)≤0的解集是()A.(－∞，－1)∪(－1，2] B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞) D.(－1，2]解：eq\f(x－2,x＋1)≤0?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，應(yīng)選D.2.關(guān)于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，假設(shè)此不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,m)＜x＜2))，則m的取值范圍是()A.m＞0 B.0＜m＜2C.m＞eq\f(1,2) D.m<0解：由不等式的解集形式知m＜0.應(yīng)選D.3.(eq\a\vs4\al(2013·安徽))一元二次不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1或x>\f(1,2)))，則f(10x)>0的解集為()A.{x|x<－1或x>lg2} B.{x|－1<x<lg2}C.{x|x>－lg2} D.{x|x<－lg2}解：可設(shè)f(x)＝a(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x－\f(1,2)))<0，從而10x<eq\f(1,2)，解得x<－lg2，應(yīng)選D.4.(eq\a\vs4\al(2013·陜西))在如以以下圖的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影局部)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是()A.[15，20] B.[12，25]C.[10，30] D.[20，30]解：設(shè)矩形的另一邊為ym，依題意得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，所以x(40－x)≥300，解得10≤x≤30.應(yīng)選C.5.假設(shè)關(guān)于x的不等式2x2－8x－4－a>0在(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是()A.a<－12 B.a>－4C.a>－12 D.a<－4解：關(guān)于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在(1，4)內(nèi)有解，即a＜2x2－8x－4在(1，4)內(nèi)有解，令f(x)＝2x2－8x－4＝2(x－2)2－12，當x＝2時，f(x)取最小值f(2)＝－12；當x＝4時，f(4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f(x)＜－4.要使a＜f(x)有解，則a＜－4.應(yīng)選D.6.假設(shè)不等式x2－kx＋k－1>0對x∈(1，2)恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是____________.解：∵x∈(1，2)，∴x－1>0.則x2－kx＋k－1＝(x－1)(x＋1－k)>0，等價于x＋1－k>0，即k<x＋1恒成立，由于2<x＋1<3，所以只要k≤2即可.故填(－∞，2].7.(eq\a\vs4\al(2014·江蘇))函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，假設(shè)對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.解：由題可得f(x)＜0對于x∈[m，m＋1]恒成立，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f〔m〕＝2m2－1＜0，,f〔m＋1〕＝2m2＋3m＜0，))解得－eq\f(\r(2),2)＜m＜0.故填eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2)