第2章電磁場與電磁波

第2章電磁場的基本規(guī)律電磁學有三大實驗定律：庫侖定律安培定律法拉第電磁感應定律以此為基礎，麥克斯韋進行了歸納總結，建立了描述宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律－麥克斯韋方程組

2.1

電荷守恒定律2.2

真空中靜電場的基本規(guī)律2.3

真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質的電磁特性2.5電磁感應定律2.6位移電流2.7

麥克斯韋方程組2.8

電磁場的邊界條件本章討論內容作業(yè)P842.32.52.102.122.162.192.242.252.31本節(jié)討論的內容：電荷模型、電流模型、電荷守恒定律電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運動）源量為電荷q(r

，t)和電流I(r

，t)，分別用來描述產生電磁效應的兩類場源。電荷是產生電場的源，電流是產生磁場的源。2.1電荷守恒定律

自然界中最小的帶電粒子包括電子和質子帶電體所帶電量的多少稱為電荷，它是物質基本屬性之一。

1897年英國科學家湯姆遜(J.J.Thomson)在實驗中發(fā)現(xiàn)了電子。

1907－1913年間，美國科學家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實驗，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認了電荷量的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷量，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。2.1.1電荷與電荷密度一般帶電體的電荷量通常用q表示從微觀上看，電荷是以離散的方式出現(xiàn)在空間中的從宏觀電磁學的觀點上看，大量帶電粒子密集出現(xiàn)在某空間范圍內時，可假定電荷是以連續(xù)的形式分布在這個范圍中，并用電荷密度來描述這種分布幾種表示法：體積中－電荷體密度

曲面上－電荷面密度

s曲線上－電荷線密度

l電荷體密度：設分布于體積元

V′中的電荷電量為

q，則電荷體密度

的定義為電荷面密度：設分布于面積元

S′中的電荷電量為

q，則電荷面密度

s的定義為電荷線密度：設分布于線元

l′中的電荷電量為

q，則電荷線密度

l的定義為

在電荷分布在薄層上的情況，當僅考慮薄層外，距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計算該薄層內的電場時，可將該薄層的厚度忽略，認為電荷是面分布。電荷面密度

在電荷分布在細線上的情況，當僅考慮細線外，距細線的距離要比細線的直徑大得多處的電場，而不分析和計算線內的電場時，可將線的直徑忽略，認為電荷是線分布。電荷線密度

點電荷：電量為q、集中在體積為零的幾何點上的電荷點電荷密度的

函數(shù)表示法

函數(shù)的定義和性質設坐標原點為O，選定空間某點的坐標為r（觀察點坐標），移動坐標r′(源點坐標)，R

=

r-r′。

函數(shù)的定義和性質如下：

對于總電量為q的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當不分析和計算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠，即場點距源點的距離遠大于電荷所在的源區(qū)的限度時，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電量為q的點電荷。點電荷

用

函數(shù)表示點電荷體密度

設點荷q位于r′處，空間任意點r的電荷體密度可以表示成：

說明：電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為恒定電流，用I表示。形成電流的條件：存在可以自由移動的電荷存在電場單位:A（安培）電流方向:正電荷的流動方向電流

——電荷的定向運動而形成，用i表示，其大小定義為：單位時間內通過某一橫截面S的電荷量，即2.1.2電流及電流密度電荷在某一體積內定向運動所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2。

一般情況下，在空間不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分布狀態(tài)。

1.體電流

流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運動的方向關于體電流密度：式中：為空間中電荷體密度，為正電荷流動速度。若在時間內，穿過面元的電荷量流動的距離為，則：lD體電流密度矢量

反映空間各點電流流動情況的物理量，形成一個空間矢量場一般是時間t的函數(shù)，即J

=J(r,t)

J

在空間某點的方向為該點電流流動的方向

J

在空間某點的大小為單位時間內垂直通過單位面積的電量如有N種帶電粒子，電荷密度分別為

i，平均速度vi，則有關于體電流密度的說明

=0時可能存在電流。如導體中電荷體密度為0，但因正電荷不動，有2.面電流電荷在一個厚度可以忽略的薄層內定向運動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m。通過薄導體層上任意有向曲線

的電流為正電荷運動的方向3.線電流

當電流沿一橫截面可以忽略的曲線流動，電流被稱為線電流?？烧J為電流集中在細導線的軸線上。長度元dl中流過電流I，將Idl稱為電流元。

Js是反映薄層中各點電流流動情況的物理量，它形成一個空間矢量場分布

Js在某點的方向為該點電流流動的方向

Js在某點的大小為單位時間內垂直通過單位長度的電量當薄層的厚度趨于零時，面電流稱為理想面電流只有當電流密度J趨于無窮，理想面電流密度Js才不為零，即關于面電流密度的說明

若表面上電荷密度為，且電荷沿某方向以速度運動，則可推得此時面電流密度為：

電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。實驗證明，電荷是守恒的，既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，它只能從一個物體轉移到另一個物體，或者從一個地方移動到另一個地方。根據(jù)電荷守恒定律，單位時間內從閉合面S內流出的電荷量應等于閉合面S所限定的體積V內的電荷減少量，即考慮到上式右端的體積分是在靜止或固定的體積V中進行（即V不隨t變化），所以式中的全導數(shù)可以改成偏導數(shù)，即有2.1.3電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程電荷守恒定律積分形式電流連續(xù)方程積分形式

1）當體積V為整個空間時，閉合面S為無窮大界面，將沒有電流經其流出，此式可寫成對電荷守恒定律的進一步討論即整個空間的總電荷量是守恒的——電荷守恒定律。2）在等式的左端應用散度定理，將閉合面上的面積分變?yōu)轶w積分，得

電荷守恒定律微分形式電流連續(xù)方程微分形式

3）積分形式反映的是電荷變化與電流流動的宏觀關系，而微分形式則描述空間各點電荷變化與電流流動的局部關系。4）空間中某點電荷密度變化，此點即成為電流的散度源，發(fā)出或匯集電流。5）當電流不隨時間變化時，稱為恒定電流（或穩(wěn)恒電流）。此時要求電荷分布與時間無關，即

對時間的偏導數(shù)為零，可以得到恒定電流的電流連續(xù)性方程為

恒定電流場是無散度場（無源場、無散場）恒定電流形成不間斷的閉合回路物理意義：流入閉合面S的電流等于流出閉合面S的電流——電流連續(xù)（基爾霍夫定律）例1在球面坐標系中，傳導電流密度為J=er10r-1.5(A/m),

求：（1）通過半徑r＝1mm的球面的電流值；（2）在半徑r=1mm的球面上電荷密度的增加率；（3）在半徑r=1mm的球體內總電荷的增加率。解：（1）（2）在球面坐標系中（3）由電荷守恒定律得例題2：一個半徑為a的球體內均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以均勻角速度繞一直徑旋轉。求：球內的電流密度。解：建立球面坐標系。2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.2.1庫侖定律電場強度

庫侖定律(1785年）描述真空中靜止點電荷q1和q2的相互作用力，其數(shù)學表達式為式中F12表示q1作用在q2上的靜電力，R12

=r2－r1。靜電場：由靜止電荷產生的電場重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用電場力服從疊加原理

真空中的N個點電荷（分別位于）對點電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；

多個電荷對一個電荷的靜電力是各電荷力的矢量疊加，即

連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電力必須進行矢量積分只給出了作用力的大小和方向，沒有說明傳遞方式或途徑對庫侖定律的進一步討論

大小與電量成正比、與距離的平方成反比，方向在連線上

，滿足牛頓第三定律。解：將V分解成無數(shù)個體積元，各體積元可看成點電荷

(rˊ)dV，利用庫侖定律得q所受靜電力

對電荷分布在曲面或曲線上的情況，只需將電荷體密度、體積元和積分區(qū)域作相應的替換即可。如，對面電荷有

例體積為V的區(qū)域中體電荷密度為

(rˊ)，空間r處有一個點電荷q，如圖所示。寫出V中的電荷作用在點電荷q上的靜電力表達式。如果電荷是分布在一個曲面或曲線上，靜電力的表達式又如何?

電場的定義電場是電荷周圍形成的物質，另外的電荷處于這個物質中時，會受到電場力的作用靜止電荷產生的電場稱為靜電場，隨時間發(fā)生變化的電荷產生的電場稱為時變電場

電場強度矢量用電場強度矢量表示電場的大小和方向。電場中的單位正點電荷q0所受的電場力除了與自身所帶電量q0有關，還與所在點的電場有關，即有關系式

對電場強度的進一步討論

電場強度形成矢量場分布，各點相同時，稱為均勻電場電場強度是單位點電荷受到的電場力，它只與產生電場的電荷有關此式對靜電場和時變電場均成立

點電荷產生的電場單個點電荷在空間任意點激發(fā)的電場為

N個點電荷組成的電荷系統(tǒng)在空間任意點激發(fā)的電場為如果電荷是連續(xù)分布呢？線密度為的線分布電荷的電場強度體密度為的體分布電荷產生的電場強度 面密度為的面分布電荷的電場強度小體積元中的電荷產生的電場電

場

線

圖3.幾種典型電荷分布的電場強度均勻帶電直線段的電場強度：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強度：（無限長）（有限長）均勻帶電圓環(huán)均勻帶電直線段電偶極子的場圖等位線電場線電偶極子的電場強度：——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子是由相距很近、帶等值異號的兩個點電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠區(qū)電場強度為例題

求長度為L，線密度為的均勻線分布電荷的電場強度。

解

令圓柱坐標系的z軸與線電荷的長度方位一致，且中點為坐標原點。由于結構旋轉對稱，場強與方位角

無關。xzyrθρO

因場量與

無關，為了方便起見，可令觀察點P

位于yz平面，即，那么考慮到xzyrθρO當長度L

時，θ1

0，θ2

，則此結果在實際中可用于長直線電荷鄰近空間內電場的近似計算。

求得例題

圖示為一個半徑為a的帶電細圓環(huán)，圓環(huán)上單位長度帶電

l，總電量為q。求圓環(huán)軸線上任意點的電場。解：將圓環(huán)分解成無數(shù)個線元，每個線元可看成點電荷

ldl，則線元在軸線任意點產生的電場為由對稱性和電場的疊加性，該電場只有z分量，則結果分析（1）當z→0，此時P點移到圓心，圓環(huán)上各點產生的電場抵消，E=0（2）當z→∞，R與z平行且相等，a<<z，帶電圓環(huán)相當于一個點電荷，有例2.2.2

計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于2.2.2靜電場的散度與旋度

靜電場的散度和高斯定理

設靜止電荷

分布在V區(qū)域中，空間任意點r的電場強度為利用關系式

兩邊取散度，由于▽與源座標無關，可將其移到積分號中，得①再利用函數(shù)的挑選性，得因已假設電荷分布在區(qū)域V內，即有高斯定理的微分形式兩邊取體積分，考慮散度定理（即數(shù)學中的高斯定理），有高斯定理的積分形式對靜電場高斯定理的討論

空間任意點電場的散度只與當?shù)氐碾姾煞植加嘘P靜電荷是靜電場的散度源，激發(fā)起擴散或匯集狀的靜電場穿過任意閉合面的電通量正比于閉合面所包圍的總電量電場散度與電場是不同的物理量無電荷處，源的強度(散度）為零，但電場不一定為零

靜電場的旋度和環(huán)路定理由于式①中微分算子與源座標無關，可以從積分號中提出，得兩邊取旋度，得當做任意標量

利用矢量恒等式得環(huán)路定理的微分形式利用斯托克斯公式，得環(huán)路定理的積分形式等式兩端在任意曲面S上進行面積分，有對環(huán)路定理的討論

空間中靜電場旋度處處為零，靜電場中不存在旋渦源，電力線不構成閉合回路

靜電場沿任意閉合回路的積分都為零電場旋度和電場強度是不同的兩個物理量，從不同角度描述同一個物理對象

雖然空間中電場的旋度處處為零，但電場卻可能存在，二者沒有必然的聯(lián)系

靜電場的性質矢量場的性質可以用其散度和旋度全面地描述。前者描述矢量場場線擴散的狀況，而后者則描述矢量場場線的形狀。有源場。電力線由電荷發(fā)出，電荷是電場的源無旋場。電力線不構成閉合回路有源無旋的靜電場呈現(xiàn)擴散狀的分布形式

在電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計算電場強度。利用高斯定理計算電場強度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球對稱分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。帶電球殼多層同心球殼均勻帶電球體aOρ0

無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。例題

求真空中均勻帶電球體的場強分布。已知球體半徑為a

，電荷密度為

0。

解：（1）球外某點的場強（2）求球體內一點的場強ar

0rrEa(r≥a)（r<a）由由小結：真空中靜電場的基本方程微分形式積分形式靜電場性質：是一種有源無旋場，是保守場。靜電場的源：電荷討論：對靜電場，恒有：為標量函數(shù)靜電場可以由一標量函數(shù)的梯度表示。例電量Q均勻分布在半徑為a的球形區(qū)域中，求空間的電場分布、電場的散度和旋度。解：電量Q均勻分布在球形區(qū)域中，其體密度為

高斯定理得得導體中通有直流電流時，在導體內部和它周圍的媒質中，不僅有電場還有不隨時間變化的磁場，稱為恒定磁場。恒定磁場和靜電場是性質完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處。學習本節(jié)時，注意類比法的應用。下頁上頁返回2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律恒定磁場由恒定電流產生，又稱靜磁場。2.3.1安培力定律磁感應強度

兩個電流元間的作用力真空中的兩個恒定電流元之間也存在相互作用力，載流回路C1對載流回路C2作用力的數(shù)學表達式為式中，載流回路C2對載流回路C1的作用力滿足牛頓第三定律安培力定律的積分形式對安培力定律的討論

滿足牛頓第三定律只給出作用力的大小和方向，沒說明作用力如何傳遞

磁感應強度磁力是通過磁場來傳遞的電流或磁鐵在其周圍空間會激發(fā)磁場B，當另外的電流或磁鐵處于這個磁場中時，會受到力（磁力）的作用載流回路C1對載流回路C2

的作用力是回路C1中的電流I1

產生的磁場對回路C2中的電流I2

的作用力。描述磁場分布的基本物理量是磁感應強度，單位為T（特斯拉）。

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元處產生的磁感應強度處于磁場中的電流元Idl所受的磁場力dF與該點磁場B、電流元強度和方向有關，即③安培力公式

穩(wěn)恒電流回路C在空間任意點M處產生的磁感應強度電流元產生的磁感應強度體電流產生的磁感應強度面電流產生的磁感應強度畢奧－薩伐爾定律

運動電荷的磁場定向流動的電荷形成電流。設某區(qū)域電荷密度為

，速度v，將形成電流密度J=

v，則電流元為Id

l=JdV=v

dV=qv，得

洛倫茲力公式點電荷在磁場B中以速度v運動時所受的力：注：1.安培力公式給出的是磁場中電流元的受力，而洛倫茲力給出的則是運動點電荷在磁場中的受力。2.由于運動電荷形成電流，故安培力公式和洛倫茲力公式本質相同，都是電荷受的力，只是討論角度不同。3.幾種典型電流分布的磁感應強度載流直線段的磁感應強度：載流圓環(huán)軸線上的磁感應強度：（有限長）（無限長）載流直線段載流圓環(huán)例有限長直線電流的磁感應強度。解：在導線上任取電流元Idl，其方向沿著電流流動的方向，即z方向。由畢奧—薩伐爾定律，電流元在導線外一點P處產生的磁感應強度為其中當導線為無限長時，

1→0，

2→

，而場點P

的位置矢量為，故得解：設圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計算方便取線電流圓環(huán)位于xOy平面上，則所求場點為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標系，圓環(huán)上的電流元為,其位置矢量為例2.3.1

計算線電流圓環(huán)軸線上任一點的磁感應強度。載流圓環(huán)軸線上任一點P(0,0,z)的磁感應強度為可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應強度只有軸向分量，這是因為圓環(huán)上各對稱點處的電流元在場點P產生的磁感應強度的徑向分量相互抵消。當場點P遠離圓環(huán)，即z

>>a

時，因，故在圓環(huán)的中心點上，z=0，磁感應強度最大，即由于2.3.2恒定磁場的散度與旋度

恒定磁場的散度和磁通連續(xù)性原理等于零一個矢量⑤磁通連續(xù)性原理微分形式磁通連續(xù)性原理積分形式對磁通連續(xù)性原理的討論

靜磁場的散度處處為零，不存在磁力線的擴散源和匯集源磁場散度與磁場感應強度是不同的物理量，磁場散度描述磁力線的分布特點，而不是磁場本身磁力線連續(xù)不斷，無頭無尾，穿過任何閉合面的通量為零

恒定磁場的旋度和安培環(huán)路定理對式⑤兩邊取旋度，并利用

函數(shù)的挑選性、恒定磁場的散度定理可以得到安培環(huán)路定理積分形式再利用斯托克斯定理，并面積分變換成回路積分，得兩邊取面積分，得安培環(huán)路定理微分形式⑤

恒定磁場的性質

無源（無散）場。磁力線無頭無尾且不相交有旋場。電流是磁場的旋渦源，磁力線構成閉合回路對安培環(huán)路定理的討論

空間任意點磁場的旋度只與當?shù)氐碾娏髅芏扔嘘P恒定電流是靜磁場的旋渦源，電流激發(fā)旋渦狀的靜磁場，并決定旋渦源的強度和旋渦方向磁場旋度與磁場是不同的物理量，它們的取值沒有必然聯(lián)系。沒有電流的地方，磁場旋度為零，但磁場不一定為零任意回路上恒定磁場的回路積分，等于穿過回路所圍區(qū)域的總電流強度解：分析場的分布，取安培環(huán)路如圖，則

根據(jù)對稱性，有，故

在磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計算磁感應強度。3.利用安培環(huán)路定理計算磁感應強度

例

求電流面密度為的無限大電流薄板產生的磁感應強度。圖

無限大載流導板

解選用圓柱坐標系，則應用安培環(huán)路定理，得例

求載流無限長同軸電纜產生的磁感應強度。取安培環(huán)路，交鏈的電流為應用安培環(huán)路定理，得物質與場是物質存在的兩種形式物質性質：非常復雜（只能初步地討論）場物質

有響應？有作用？物質固有的電磁結構

自由電荷：宏觀移動束縛電荷：極化磁介質:磁化2.4介質的電磁特性媒質對電磁場的響應可分為三種情況：極化、磁化和傳導。描述媒質電磁特性的參數(shù)為：介電常數(shù)、磁導率和電導率。無極分子：無外加電場時正負電荷作用中心完全重合(H2、N2)微觀：電偶極矩p分子＝0，(l=0)宏觀：對外不呈現(xiàn)電性有極分子：正負電荷作用中心不重合(H2O、Hcl)，無外電場 時，各極性分子的電偶極矩雜亂無章排列微觀：電偶極矩p分子

0，(l

0)宏觀：合成電偶極矩為零，對外不呈現(xiàn)電性電介質分子的分類：無極分子和有極分子。在熱平衡時，分子無規(guī)則運動，取向各方向均等，宏觀上不顯出電特性2.4.1電介質的極化電位移矢量1.電介質的極化現(xiàn)象無極分子（位移極化）有極分子（取向極化）在電場力作用下，無極分子內部的正負電荷產生相對位移，中心不再重合，形成了電偶極子；有極分子內部原來無規(guī)則排列的分子電矩會向外電場方向轉動，產生合成電矩。介質極化的物理意義：單位體積內分子電偶極矩的矢量和。2.極化強度矢量

——分子的平均電偶極矩極化強度與電場強度有關，其關系一般比較復雜。在線性、各向同性的電介質中，與電場強度成正比，即

——電介質的電極化率

E極化強度矢量

是描述介質極化程度的物理量，定義為

由于極化，正、負電荷發(fā)生位移，在電介質內部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時在電介質的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷(1)極化電荷體密度

在電介質內任意作一閉合面S，設分子的電偶極矩p=ql。凡負電荷處于體積中的電偶極子必定穿過面元dS，則正電荷將穿出體積。

E

S

顯然，經dS穿出體積的正電荷總量為

N為單位體積中的分子數(shù)在空間中任意取一個體積V，其邊界為S，則經S穿出V的正電荷量為，則V中出現(xiàn)的極化電荷qP為

在介質表面上，極化電荷面密度為空氣介質en對介質極化問題的討論

P=常數(shù)時稱為均勻極化，此時介質內部不會出現(xiàn)極化電荷，極化電荷只會出現(xiàn)在介質表面上均勻介質內部一般不存在極化電荷自由電荷所在地一定有極化電荷出現(xiàn)4.電位移矢量介質中的高斯定理

介質的極化過程包括兩個方面：外加電場的作用使介質極化，產生極化電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結果介質中的電場應該是外加電場和極化電荷產生的電場的疊加，應用高斯定理得到：任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

引入電位移矢量（單位：C/m2)將極化電荷體密度表達式代入，有則有

介質中的高斯定理其積分形式為

在這種情況下其中稱為介質的介電常數(shù)，稱為介質的相對介電常數(shù)（無量綱）。*

介質有多種不同的分類方法，如：均勻和非均勻介質各向同性和各向異性介質時變和時不變介質線性和非線性介質確定性和隨機介質5.電介質的本構關系極化強度與電場強度之間的關系由介質的性質決定。對于線性各向同性介質，

和

有簡單的線性關系電介質的本構關系

各種電介質各向同性介質，介電常數(shù)

與E方向無關，D與E的方向相同均勻介質，

為與坐標（位置）無關的常數(shù)線性介質，

與E大小無關，否則為非線性介質

對于線性各向異性介質，有例2.4.1

半徑為a的球形區(qū)域內充滿分布不均勻的體密度電荷，設其體密度為

(r)。若已知電場分布為式中的A為常數(shù)，試求電荷體密度

(r)。解：由高斯定律的微分形式，得將E的散度在球坐標系中展開，得解：(1)電介質球內的極化電荷體密度為在r=a處的極化電荷面密度為例2.4.2

半徑為a，介電常數(shù)為

的球形電介質內的極化強度為，式中的k為常數(shù)。（1）計算極化電荷體密度和面密度；（2）計算電介質球內自由電荷體密度。(2)因，故解：例內外半徑分別為a和b的空心極化介質球中，已知極化強度，P0為常數(shù)，求

P和

SP。r=b球面上r=a球面上Oab1.磁介質的磁化

介質中分子或原子內的電子運動形成分子電流，分子電流將產生微觀磁場無外加磁場外加磁場B在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質的磁化。無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。2.4.2磁介質的磁化磁場強度分子電流的磁特性可用分子磁矩表示:式中：i為電子運動形成的微觀電流；?S為分子電流所圍面元；B2.磁化強度矢量磁化強度是描述磁介質磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。3.磁化電流磁介質被磁化后，在其內部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。考察穿過任意圍線C

所圍曲面S

的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對電流有貢獻。與線元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內，所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度由，即得到磁化電流體密度在緊貼磁介質表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量

設dl是回路C上的一個線元，

S為分子電流環(huán)的面積。顯然，中心處于體積為

S·dl的柱體內的分子電流一定被回路C穿過，則被回路C穿過的分子總數(shù)為

另一方面，從S背面流出的電流IM可以表示為其中JM為磁化電流體密度。綜合兩式，得

在磁介質表面上，有

對介質磁化問題的討論

M=常數(shù)時稱為均勻磁化，此時磁介質內部不會出現(xiàn)磁化電流，磁化電流只會出現(xiàn)在磁介質表面上均勻磁介質內部一般不存在磁化電流傳導電流所在地一定有磁化電流出現(xiàn)

JM和JSM都是受控性源變量。4.磁場強度介質中安培環(huán)路定理分別是傳導電流密度和磁化電流密度。

外加磁場使介質發(fā)生磁化，磁化導致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應強度，兩種相互作用達到平衡，介質中的磁感應強度B應是所有電流源激勵的結果：由介質中的安培環(huán)路定理其中，稱為介質的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。其中稱為介質的磁導率，稱為介質的相對磁導率（無量綱）。順磁質抗磁質鐵磁質磁介質的分類5.磁介質的本構關系磁化強度

和磁場強度

之間的關系由磁介質的物理性質決定，對于線性各向同性介質，與之間存在簡單的線性關系：

磁介質的本構關系

對于線性各向同性介質，有介質的本構關系

對于均勻磁介質，

為與坐標（位置）無關的常數(shù)線性介質，磁導率與磁場強度無關，否則為非線性介質

對于各向異性介質，有例2.4.3半徑為a的磁化介質球球心在坐標原點，磁化強度為，A和B為常數(shù)，求JM和J

SM。解：r=a球面上所以z

e

Oereza例2.4.4內、外半徑分別為

內=a和

外=b的圓筒形磁介質中，沿軸向有電流密度為J=ezJ0的傳導電流。設磁介質的磁導率為

，求磁化電流分布。bazJ

解：利用安培環(huán)路定理得2.4.3導電媒質的傳導特性

歐姆定律對于線性和各向同性的導電媒質，電場強度E與電流密度J的關系為

存在可以自由移動帶電粒子的介質稱為導電媒質。在外電場作用下，導電媒質中將形成定向移動電流。

歐姆定律的微分形式其中為導電媒質電導率，單位是S/m（西門子/米）。體積元：導電媒質電導率體積元內存在：由歐姆定律：導電媒質中恒定電場本構關系。歐姆定律的微分形式

歐姆定律微分形式的由來

焦爾定律在導電媒質中，電場力使電荷運動，所以電場力要做功。設：電荷量

V，運動速度v，則電場力在時間

t內所做的功為電場做功的功率為體積為V的導電媒質內的損耗功率為

電場力做功，將電場能量轉化為電荷運動機械能，最終以熱量形式損耗掉。導電媒質中單位體積功率損耗（功率密度）為：焦耳定律的微分形式

焦爾定律的積分形式靜電平衡條件導體剛放入勻強電場中

只要E不為零，自由電子作定向運動

改變電荷分布，產生附加場兩者大小相等，方向相反——完全抵消——達到靜電平衡

靜電平衡條件補充：關于導體與靜電屏蔽可見，導體中不可能存在靜電場，導體內部不可能存在自由電荷。處于靜電平衡時，自由電荷只能分布在導體的表面上。E⊕一⊕⊕一一E'⊕⊕⊕⊕一一一一E'+E=0EE=0導體靜電平衡腔內無帶電體

包圍導體空腔的導體殼內表面上處處沒有電荷，電荷分布在導體外表面，空腔內處處E=0，空腔內處處電勢相等?？涨粌炔坑袔щ婓wq導體內表面上所帶電荷與腔內電荷的代數(shù)和為零導體空腔

靜電屏蔽

在靜電平衡狀態(tài)下

不論導體殼本身是否帶電，還是外界是否存在電場,

腔內和導體殼上都無電場

不論導體殼本身是否帶電，還是外界是否存在電場,都不影響腔內的場強分布起到了保護所包圍區(qū)域的作用，使其不受導體殼外表面上電荷分布以及外界電場的作用——靜電屏蔽空腔提供了一個靜電屏蔽的條件若外殼接地，內、外均無影響

本節(jié)內容

2.5.1

電磁感應定律

2.5.2

位移電流電磁感應定律

——揭示時變磁場產生電場。位移電流

——揭示時變電場產生磁場。

重要結論：在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一的電磁場。2.5電磁感應定律和位移電流自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應之后，人們開始研究相反的問題，即磁場能否產生電流。

1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中會出現(xiàn)感應電流和電動勢，且感應電動勢與磁通量的變化有密切關系，由此總結出了著名的法拉第電磁感應定律。法拉第電磁感應定律的表述當通過導體回路所圍面積的磁通量

發(fā)生變化時，回路中產生的感應電動勢

in的大小等于磁通量的時間變化率的負值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即

2.5.1法拉第電磁感應定律

法拉第電磁感應定律的積分與微分形式電流由電荷定向運動形成，電荷定向運動是電場力作用的結果，導體內存在感應電流表明導體內必然存在感應電場Ein。

在空間內，可能還存在著靜電場或者恒定電場，此導體內總電場為。式中負號表示感應電動勢總是要阻止磁通量的變化。感應電動勢可以表示為感應電場的積分

法拉第電磁感應定律的積分形式庫侖電場，在任意回路上的線積分為零等式右端表示穿過S的磁通量隨時間的變化率。即回路所圍面積的磁通變化是產生感應電動勢的唯一條件。磁通變化可以是磁場隨時間變化而引起，也可以是由于回路移動引起，或者是兩者皆存在所引起。上式是一個普遍適用的表達式。

時變電場是有旋場，磁場隨時間變化處會激發(fā)旋渦狀的電場。

變化的磁場會產生電場。對任意回路（不一定有導體存在）成立。

磁場不隨時間變化時，有，與靜電場的形式相同(此時不存在感應電場)，可見靜電場是時變場的特殊情況。下面討論幾種情況：(1)當回路靜止時：磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，有

法拉第電磁感應定律的微分形式對法拉第電磁感應定律的討論

導體在磁場中運動時，其內部的電荷隨之運動，電荷受到的力為

感應電場是由于電荷在磁場中運動而形成的洛侖茲力

(2)當導體回路C以速度v運動時等式右端兩項分別對應磁場變化和導體運動的貢獻。當磁場不隨時間變化時(在恒定磁場中運動），有

磁場變化項導體運動項動生電動勢（1），矩形回路靜止；（3），且矩形回路上的可滑動導體L以勻速運動。

解：(1)均勻磁場

隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內的感應電動勢是由磁場變化產生的，故例2.5.1

長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內的感應電動勢。（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動導體L以勻速運動而隨時間增大；

(3)矩形回路中的感應電動勢是由磁場變化以及可滑動導體L在磁場中運動產生的，故得(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動導體以勻速運動，因而回路內的感應電動勢全部是由導體L在磁場中運動產生的，故得或（1）線圈靜止時的感應電動勢；解:

（1）線圈靜止時，感應電動勢是由時變磁場引起，故（2）線圈以角速度ω

繞x

軸旋轉時的感應電動勢。

例2.5.2在時變磁場中，放置有一個的矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：

假定時，則在時刻t時，與y軸的夾角，故方法一：利用式計算（2）線圈繞x軸旋轉時，的指向將隨時間變化。線圈內的感應電動勢可以用兩種方法計算。上式右端第一項與(1)相同，第二項方法二：利用式計算。2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個本質的變化，其中包含了重要的物理事實，即變化的磁場可以激發(fā)電場。有兩個新的問題：靜態(tài)情況下的磁場基本方程在非靜態(tài)時是否也變化變化的電場是否能產生磁場即

或

矛盾的提出非靜態(tài)情況下，電荷分布隨時間變化，有

另一方面，假定非靜態(tài)情況下磁場的基本方程不變，有

兩邊取散度

安培環(huán)路定理的修正

位移電流的引入

修正的思路：在方程的右端加入一個附加項Jd，即有步驟：

令：

顯然

矛盾解決

時變場的安培環(huán)路定理位移電流，意義？

令

Jd

滿足

加入的

Jd應該具有合理的物理意義

全電流定律：

全電流定律揭示不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關系。廣義安培環(huán)路定律微分形式廣義安培環(huán)路定律積分形式2.位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質中，無傳導電流，但有位移電流。在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流。在一般介質中，既有傳導電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產生熱效應。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關重要的一步，它揭示了時變電場產生磁場這一重要的物理概念。對安培環(huán)路定理和位移電流的討論

時變場情況下，磁場仍是有旋場，但旋渦源除傳導電流外，還有位移電流位移電流代表電場隨時間的變化率，當電場發(fā)生變化時，會形成磁場的旋渦源，從而激發(fā)起旋渦狀的磁場

變化的電場會激發(fā)磁場，這就是位移電流的物理意義，同時也是所期望的

位移電流是一種假想電流，由麥克斯韋用數(shù)學方法引入，它深刻提示了電場與磁場之間的聯(lián)系，由此建立了麥克斯韋方程組，奠定了電磁理論的基礎。近代無線電技術的應用，證實了麥克斯韋方程組的正確性，也證實了位移電流的假想安培環(huán)路定理的積分形式

例2.5.3

海水的電導率為4S/m

，相對介電常數(shù)為

81

，求頻率為1MHz

時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值。解：設電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導電流的振幅值為故式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。例2.5.4

自由空間的磁場強度為解自由空間的傳導電流密度為0，故由式,得例2.5.5

銅的電導率、相對介電常數(shù)。設銅中的傳導電流密度。試證明：在無線電頻率范圍內，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。而傳導電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關系式看出比值Jdm/Jm

也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程。

本節(jié)內容

2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式

2.6.2麥克斯韋方程組的微分形式

2.6.3媒質的本構關系2.6麥克斯韋方程組2.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導電流和變化的電場都能產生磁場麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產生電場麥克斯韋第三方程表明磁場是無散場，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產生電場2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式2.6.3媒質的本構關系(電磁場的輔助方程）代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質）各向同性線性媒質的本構關系為只含兩個場量的麥克斯韋方程。麥克斯韋方程組的涵義

時變電場的激發(fā)源除電荷以外，還有變化的磁場；時變磁場的激發(fā)源除傳導電流以外，還有變化的電場

電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)電場和磁場不再相互獨立，而是相互關聯(lián)，構成一個整體——電磁場，電場和磁場分別為電磁場的兩個分量在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電場和磁場仍可以相互激發(fā)，形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波麥克斯韋方程組預言了電磁波的存在，且已被事實證明在無源空間中，兩個旋度方程分別為可以看到兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構成一個相互激勵又相互制約的關系。當磁場減小時，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。麥克斯韋方程組時變場靜態(tài)場緩變場迅變場電磁場(EM)準靜電場(EQS)準靜磁場(MQS)靜磁場(MS)小結：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(ES)恒定電場(SS)解：(1)導線中的傳導電流為忽略邊緣效應時，間距為d

的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導線中的傳導電流相等；(2)求導線附近距離連接導線為r

處的磁場強度。與閉合線鉸鏈的只有導線中的傳導電流，故得(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為

例2.6.2

在無源的電介質中，若已知電場強度矢量，式中的Em為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿足的關系，并求出與相應的其他場矢量。解：是電磁場的場矢量，應滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω之間所滿足的關系，以及與相應的其他場矢量。對時間t積分，得由以上各個場矢量都應滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式

為什么要研究邊界條件?

如何討論邊界條件?物理：由于在分界面兩側介質的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側失去意義，必須采用邊界條件。在兩種不同媒質的分界面上，場矢量滿足的關系，成為電磁場的邊界條件。

什么是電磁場的邊界條件?媒質1媒質2數(shù)學：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質的分界面上仍然適用，由此可導出電磁場矢量在不同媒質分界面上的邊界條