第3章 一階電路的

3.1換路定則及其應(yīng)用3.2

RC電路的暫態(tài)響應(yīng)3.3一階RL電路的暫態(tài)響應(yīng)

3.4一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法習(xí)題3.1換路定則及其應(yīng)用

3.1.1換路定則自然界的任何物質(zhì)在一定的穩(wěn)態(tài)下，都具有一定的或一定變化形式的能量。當(dāng)條件改變時(shí)，能量隨著改變，但能量的積累或衰減是需要一定時(shí)間的，不能躍變。如電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速不能躍變，這是因?yàn)樗膭?dòng)能不能躍變;電動(dòng)機(jī)的溫度不能躍變，這是因?yàn)樗』蜥尫诺臒崮懿荒苘S變。在換路前后，電容電壓和電感電流不能發(fā)生變化。因?yàn)樗鼈兊淖兓馕吨娙菰碗姼性膬?chǔ)能發(fā)生變化，而電容的儲(chǔ)能和電感的儲(chǔ)能是連續(xù)變化的，即uC和iL不發(fā)生躍變。如果uC和iL發(fā)生突變，則意味著元件所儲(chǔ)存的能量的突變，而能量W的突變要求電源提供的功率達(dá)到無(wú)窮大，這在實(shí)際上是不可能的。因此uC和iL只能連續(xù)變化，不能突變。由此得出確定暫態(tài)過(guò)程初始值的重要定則——換路定則。若以換路瞬間(規(guī)定換路是瞬間完成的)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，令此時(shí)t=0，換路前終了瞬間以t=0-表示，換路后初始瞬間以t=0+表示，則可得出換路定則如下:

(1)從t=0-到t=0+瞬間，電容C兩端的電壓不能躍變，即uC(0+)=uC(0-)(3.1.1)(2)從t=0-到t=0+瞬間，電感L的電流不能躍變，即iL(0+)=iL(0-)(3.1.2)

uC、iL不能躍變并不是不變，而是在換路后發(fā)生連續(xù)變化。需要指出的是，由于電阻不是儲(chǔ)能元件，因而電阻電路不存在暫態(tài)過(guò)程;另外，由于電容電流，電感電壓，因此電容的電流iC和電感兩端的電壓uL是可以突變的。3.1.2換路定則的應(yīng)用——初始值的確定

利用換路定則可以確定換路后瞬間的電容電壓和電感電流，從而確定電路的初始狀態(tài)。由換路定則求暫態(tài)過(guò)程初始值的步驟如下:

(1)由換路前電路求出uC(0-)和iL(0-)。

(2)由換路定則確定uC(0+)和iL(0+)，即uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)

(3)按換路后的電路，根據(jù)KCL、KVL及歐姆定律并以u(píng)C(0+)和iL(0+)為條件，求出其他各電流、電壓的初始值。

【例3.1.1】圖3.1.1所示的電路原已達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。試求開(kāi)關(guān)S閉合后瞬間各電容電壓和各支路的電流。圖3.1.1例3.1.1的電路解設(shè)電壓、電流的參考方向如圖所示。S閉合前電路已穩(wěn)定，電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路。故換路后瞬間，由換路定則得由換路后的電路可知:

【例3.1.2】已知電路及參數(shù)如圖3.1.2所示。開(kāi)關(guān)S在t=0時(shí)從位置1換接到位置2，換路前電路已穩(wěn)定。求:uC(0+)，uR(0+)，i(0+)圖3.1.2例3.1.2的電路

解由換路前電路，得uC(0-)=R1IS=10×0.6V=6V則uC(0+)=uC(0-)=6V又由KVL得

分析要點(diǎn):

(1)應(yīng)用換路定則確定uC(0+)和iL(0+)時(shí)，uC、iL不能躍變，iC、uL等可以躍變。

(2)計(jì)算t=0+時(shí)各電壓、電流值，只需計(jì)算t=0-時(shí)的iL(0-)和uC(0-)，其余都與t=0-時(shí)的值無(wú)關(guān)，不必求。練習(xí)與思考

3.1.1圖3.1.3所示電路原已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求換路后瞬間(t=0+時(shí))各支路電流。圖3.1.3練習(xí)與思考3.1.1的電路

3.1.2圖3.1.4所示電路原已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求換路后瞬間(t=0+時(shí))各元件上的電壓和通過(guò)的電流。圖3.1.4練習(xí)與思考3.1.2的電路

3.1.3在圖3.1.5中，已知R=2Ω，電壓表的內(nèi)阻為2.5kΩ，電源電壓U=4V。試求開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)瞬間電壓表兩端的電壓。換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。圖3.1.5練習(xí)與思考3.1.3的電路3.2

RC電路的暫態(tài)響應(yīng)

經(jīng)典法就是通過(guò)求解電路的微分方程以得出電路的響應(yīng)(電壓和電流)。又由于激勵(lì)和響應(yīng)都是時(shí)間的函數(shù)，因此這種分析屬于時(shí)域分析。3.2.1

RC電路的零輸入響應(yīng)

RC電路的零輸入是指輸入信號(hào)為零。在此條件下，由電容的初始狀態(tài)uC(0+)所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。分析RC電路的零輸入響應(yīng)，就是分析它的放電過(guò)程。如圖3.2.1所示，開(kāi)關(guān)S原合在位置2，電容C已有儲(chǔ)能，uC(0-)≠0。在t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S從位置2合到位置1，電脫離電源，輸入電壓為零，于是電容經(jīng)電阻開(kāi)始放電。圖3.2.1

RC放電電路

t≥0時(shí)，由基爾霍夫電壓定律得iR+uC=0而則(3.2.1)應(yīng)用求解微分方程的數(shù)學(xué)方法可得由換路定則知uC(0+)=uC(0-)，代入式(3.2.2)得A=uC(0+)故其隨時(shí)間的變化曲線如圖3.2.2(a)所示。它以u(píng)C(0+)為初始值，隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減而趨于零。(3.2.2)圖3.2.2

uC、uR、i的變化曲線式(3.2.3)中，τ=RC，稱其為RC

電路的時(shí)間常數(shù)。它具有時(shí)間的量綱，決定了uC衰減的快慢。當(dāng)t=τ時(shí),uC(τ)=uC(0+)e-1=36.8%uC(0+)

可見(jiàn)時(shí)間常數(shù)τ等于uC衰減到初始值uC(0+)的36.8%所需的時(shí)間。可以用數(shù)學(xué)方法證明，指數(shù)曲線上任意點(diǎn)的次切距的長(zhǎng)度都等于τ。例如:理論上，電路只有經(jīng)過(guò)t=∞的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)定，但是實(shí)際上經(jīng)過(guò)t=(3~5)τ的時(shí)間，就可認(rèn)為達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)了。因?yàn)閡C(3τ)=uC(0+)e-3=0.05uC(0+)=5%uC(0+)uC(5τ)=uC(0+)e-5=0.7%uC(0+)

τ愈大，uC衰減愈慢。因在一定的uC(0+)下，C愈大，儲(chǔ)存的電荷愈多;而R愈大，則放電電流愈小。這都使放電變慢，反之就快。

t≥0時(shí)電容器的放電電流和電阻R上的電壓為式中的負(fù)號(hào)表示放電電流實(shí)際方向與圖3.2.1中的參考方向相反。

uC、uR、i的變化曲線如圖3.2.2(b)所示。(3.2.4)(3.2.5)

【例3.2.1】電路如圖3.2.3所示，開(kāi)關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)閉合。試求t≥0時(shí)的電壓uC和電流i2、i3及iC。圖3.2.3例3.2.1的圖

解由換路定則，得而t≥0時(shí)，開(kāi)關(guān)S將電壓源短路，電容C經(jīng)R2、R3放電。故從而可得由此得:

3.2.2

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

換路前電容元件未儲(chǔ)有能量，uC(0-)=0，這種狀態(tài)稱為RC電路的零狀態(tài)。在此條件下，由電源激勵(lì)產(chǎn)生的電路的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)，實(shí)際上就是RC電路的充電過(guò)程。以圖3.2.4所示電路為例，其uC(0-)=0，t=0時(shí)合上開(kāi)關(guān)S。圖3.2.4

RC充電電路由基爾霍夫電壓定律，得t≥0時(shí)的微分方程為Ri+uC=U

(3.2.6)式(3.2.6)的通解為:一個(gè)是特解，一個(gè)是函數(shù)。特解與已知函數(shù)U形式相同，設(shè)，代入式(3.2.6)，得K=U，故補(bǔ)函數(shù)是齊次微分方程的通解(與前同)，解之得式(3.2.6)的通解為將uC(0+)=uC(0-)=0代入，得A=-U。故(3.2.7)上式中，t=∞時(shí)uC(∞)=U，是uC按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)而最終達(dá)到的新穩(wěn)態(tài)值。暫態(tài)響應(yīng)uC可視為由兩個(gè)分量相加而得:其一是達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的電壓，稱為穩(wěn)態(tài)分量;其二是僅存在于暫態(tài)過(guò)程中的，稱為暫態(tài)分量，它總是按指數(shù)規(guī)律衰減。其變化規(guī)律與電源電壓無(wú)關(guān)，大小與電源電壓有關(guān)。暫態(tài)分量趨于零時(shí)，暫態(tài)過(guò)程結(jié)束。

uC隨時(shí)間的變化曲線如圖3.2.5所示，其中分別畫出了、。t≥0時(shí)，C上的充電電流及電阻R上的電壓分別為:

(3.2.8)(3.2.9)i、uR及uC隨時(shí)間變化的曲線如圖3.2.6所示。圖3.2.5

uC的變化曲線

圖3.2.6

uC、uR及i的變化曲線分析較復(fù)雜電路的暫態(tài)過(guò)程時(shí)，可以應(yīng)用戴維寧定理將儲(chǔ)能元件(電容或電感)劃出，而將換路后的其余部分看做一個(gè)等效電壓源，于是化為一個(gè)簡(jiǎn)單電路，而后利用上述經(jīng)典法得出的式子解出。

【例3.2.2】在圖3.2.7(a)所示的電路中，U=9V，R1=6kΩ，R2=3kΩ，C=103pF，uC(0)=0。試求t≥0時(shí)的電壓uC。

圖3.2.7例3.2.2的圖

解應(yīng)用戴維寧定理將換路后的電路化為圖3.2.7(b)所示的等效電路(R0、C串聯(lián)電路)，等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻分別為:

于是由式(3.2.7)得本題亦可用經(jīng)典法求解。3.2.3

RC電路的全響應(yīng)所謂RC電路的全響應(yīng)，是指電源激勵(lì)和電容元件的初始狀態(tài)uC(0+)均不為零時(shí)電路的響應(yīng)。若在圖3.2.4所示電路中，uC(0-)≠0，t≥0時(shí)的電路的微分方程和式(3.2.6)相同，也可得但積分常數(shù)A與零狀態(tài)時(shí)不同。在t=0+時(shí)，uC(0+)≠0，則A=uC(0+)-U=uC(0+)-uC(∞)故(3.2.10)上式可改寫為(3.2.11)即全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)這是疊加定理在電路暫態(tài)分析中的體現(xiàn)。uC(0+)和電源分別單獨(dú)作用的結(jié)果即是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。式(3.2.10)也可表示為全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量求得uC后，可根據(jù)元件的電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律等求其他電壓、電流。3.3一階RL電路的暫態(tài)響應(yīng)

RL電路發(fā)生換路后，同樣會(huì)產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程。在圖3.3.1所示電路中，t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S由2位合到1位，iL(0-)≠0。在圖3.3.2所示電路中，iL(0-)=0，t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S合上。在圖3.3.3所示電路中，iL(0-)≠0，t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S合上。因此，在t≥0時(shí)，三個(gè)電路將分別產(chǎn)生零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。

圖3.3.1

RL電路的零輸入響應(yīng)

圖3.3.2

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖3.3.3

RL電路的全響應(yīng)根據(jù)基爾霍夫定律，對(duì)圖3.3.1、圖3.3.2、圖3.3.3所示電路，可分別列出t≥0時(shí)的微分方程:

(3.3.1)(3.3.2)(3.3.3)將以上三式與RC電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)的微分方程式(3.2.1)和式(3.2.6)相比較可以看出，它們具有相同的形式。因此，同樣的分析可解得:

RL電路的零輸入響應(yīng)為(3.3.4)

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)為

RL電路的全響應(yīng)為(3.3.5)(3.3.6)式中，，分別為各電路的時(shí)間常數(shù)，它決定著過(guò)渡過(guò)程的快慢。全響應(yīng)結(jié)果(式(3.3.6))一般又可看做：全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量求得iL后，可根據(jù)元件的電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律等求得其他電壓、電流。練習(xí)與思考

3.3.1有一臺(tái)直流電動(dòng)機(jī)，它的勵(lì)磁線圈的電阻為50Ω，當(dāng)加上額定勵(lì)磁電壓經(jīng)過(guò)0.15s后，勵(lì)磁電流增加到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。試求線圈的電感。

3.3.2一個(gè)線圈的電感L=0.1H，通有直流I=5A，現(xiàn)將此線圈短路，經(jīng)過(guò)t=0.01s后，線圈中電流減小到初始值的36.8%。試求線圈的電阻R。3.4一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法

總結(jié)3.2節(jié)的RC和3.3節(jié)的RL電路不同狀態(tài)暫態(tài)響應(yīng)的分析結(jié)果，將各種響應(yīng)寫成一般式子來(lái)表示(零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)可看做全響應(yīng)的特例)，則為(3.4.1)式中f(t)表示電路響應(yīng)中的(任意一個(gè))電壓或電流。這就是分析只含有一個(gè)(或可等效為一個(gè))儲(chǔ)能元件電容或電感的一階線性電路暫態(tài)響應(yīng)的三要素法公式。f(0+)、f(∞)、τ稱為暫態(tài)過(guò)程電路響應(yīng)的三要素。其中：

f(0+):換路后所求響應(yīng)的初始值。確定方法在3.1節(jié)中已做分析。

f(∞):換路后暫態(tài)過(guò)程結(jié)束時(shí)所求響應(yīng)達(dá)到的穩(wěn)態(tài)值，即t=∞時(shí)的值。這可由換路后的電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，運(yùn)用相應(yīng)電路分析方法求解確定。

τ:換路后電路的時(shí)間常數(shù)。對(duì)于RC電路，τ=R0C;對(duì)于RL電路，。R0是將電路中儲(chǔ)能元件電容或電感斷開(kāi)剩余二端網(wǎng)絡(luò)除源后所得無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的等效入端電阻。只要求得換路后的f(0+)、f(∞)、τ這三個(gè)“要素”，就能直接根據(jù)公式(3.4.1)寫出電路的響應(yīng)f(t)(電壓或電流)。這種方法稱為三要素法。應(yīng)當(dāng)注意的一點(diǎn)是，在確定f(0+)時(shí)，只有uC和iL有f(0+)=f(0-)，即uC(0+)=uC(0-),

iL(0-)=iL(0+)而其他電流或電壓在一般情況下，f(0+)≠f(0-)。電路響應(yīng)f(t)的變化曲線如圖3.4.1所示，均按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)或衰減。

圖3.4.1

f(t)的變化曲線下面舉例說(shuō)明三要素法的應(yīng)用。

【例3.4.1】在圖3.4.2中，開(kāi)關(guān)S長(zhǎng)期合在位置1上，如在t=0時(shí)把它合到位置2，試求t≥0時(shí)的uC(t)。已知R1=1kΩ，R2=2kΩ，U1=3V，U2=5V，C=3μF。

圖3.4.2例3.4.1的電路

解由三要素法得:

【例3.4.2】求圖3.4.3(a)所示電路在t≥0時(shí)的u0(t)，設(shè)uC(0-)=0。因uC(0+)=uC(0-)=0故u0(0+)=U=6V而

故曲線如圖3.4.3(b)所示。圖3.4.3例3.4.2的圖

【例3.4.3】在圖3.4.4中，U=20V，C=4μF，R=50kΩ。在t=0時(shí)閉合S1，在t=0.1s時(shí)閉合S2。求S2閉合后的電壓uR。設(shè)uC(0-)=0。圖3.4.4例3.4.3的圖

解

(1)0≤t≤0.1s時(shí)，由三要素法，得:uC(0+)=uC(0-)=0uC(∞)=U=20V

τ1=RC=50×103×4×10-6s=0.2

s故

故

uR=U－uC=20e-5tV

(2)t≥0.1s時(shí)，同理得:uR(0.1+)=20e-0.5V=12.13VuR(∞)=0故

【例3.4.4】在圖3.4.5所示電路中，已知uS=10V，R1=3kΩ，R2=2kΩ，L=10mH。在t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合,閉合前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。求開(kāi)關(guān)S閉合后暫態(tài)過(guò)程中的iL(t)、uL(t)，并畫出波形圖。圖3.4.5例3.4.4的圖

解先求三要素:

iL(t)、uL(t)的波形如圖3.4.6所示。

圖3.4.6例3.4.4的波形圖三要素法的分析要點(diǎn)如下:

(1)用三要素法求解一階電路暫態(tài)響應(yīng)，關(guān)鍵是依具體電路正確求出“三要素”。確定f(0+)時(shí)，不能誤用f(0+)=f(0-)。求f(0-)和f(∞)時(shí)，直流穩(wěn)態(tài)電路電容相當(dāng)于開(kāi)路，電感相當(dāng)于短路。

(2)研究某一時(shí)間段的暫態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)在該段起始時(shí)間的值即其初始值f(0+)。暫態(tài)過(guò)程不同，起始時(shí)間不同，則有不同的τ和f(0+)，勿將兩次不同時(shí)間的換路之起始時(shí)間搞混。要正確理解、運(yùn)用公式；要明確何時(shí)重新?lián)Q路，何時(shí)開(kāi)始新的暫態(tài)。

(3)關(guān)鍵是求uC或iL。求出它們后，求其他響應(yīng)(電壓或電流)就方便了。uC、iL是確定其他電壓或電流的重要條件。練習(xí)與思考

3.4.1試用三要素法寫出圖3.4.7所示指數(shù)曲線的表達(dá)式uC。圖3.4.7練習(xí)與思考3.4.1的圖

3.4.2圖3.4.8是一特殊電路，試分析一下，τ=R0C為多少?R0是否為零?若，t=0時(shí)S合上，則t=0+時(shí)，、是否可躍變?

圖3.4.8練習(xí)與思考3.4.2的圖本章小結(jié)本章討論了直流激勵(lì)下一階RC和RL電路的暫態(tài)響應(yīng)。讀者應(yīng)掌握換路定則確定初始值的方法，掌握一階RC和RL電路的零輸入、零狀態(tài)、全響應(yīng)分析。本章重點(diǎn)是利用一階電路的三要素公式求電路響應(yīng)。本章知識(shí)點(diǎn)

(1)換路定則和用該定則求初始值的方法。

(2)一階RC和RL電路的零輸入、零狀態(tài)、全響應(yīng)的時(shí)域分析。

(3)利用一階電路的三要素公式求直流激勵(lì)下的RC和RL響應(yīng)的方法。習(xí)題

3.1在圖3.1中，E=100V，R1=1Ω，R2=99Ω，C=10μF，試求:

(1)S閉合瞬間(t=0+)，各支路電流及各元件兩端電壓的數(shù)值。

(2)S閉合后到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)(1)中各電流和電壓的數(shù)值。

(3)當(dāng)用電感元件替換電容元件后，(1)、(2)兩種情況下的各支路電流及各元件兩端電壓的數(shù)值。

圖3.1習(xí)題3.1的圖

3.2電路如圖3.2所示，求在開(kāi)關(guān)S閉合瞬間(t=0+)各元件中的電流及其兩端電壓;當(dāng)電路到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)又各等于多少?設(shè)在t=0-時(shí)，電路中的儲(chǔ)能元件均未儲(chǔ)能。圖3.2習(xí)題3.2的圖

3.3圖3.3所示各電路在換路前都處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后其中電流i的初始值i(0+)和穩(wěn)態(tài)值i(∞)。圖3.3習(xí)題3.3的圖

3.4在圖3.4中，E=20V，R1=12kΩ，R2=6kΩ，C1=10μF，C2=20μF，電容元件原先均未儲(chǔ)能。當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合后，試求電容元件兩端電壓uC。圖3.4習(xí)題3.4的圖

3.5在圖3.5中，I=10mA，R1=3kΩ，R2=3kΩ，R3=6kΩ，C=2μF，在開(kāi)關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求t≥0時(shí)的uC和i1，并作出它們隨時(shí)間變化的曲線。圖3.5習(xí)題3.5的圖

3.6電路如圖3.6所示，在開(kāi)關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，求開(kāi)關(guān)閉合后的電壓uC。圖3.6習(xí)題3.6的圖

3.7在圖3.7中，R1=2kΩ，R2=1kΩ，C=3μF，I=1mA，開(kāi)關(guān)長(zhǎng)時(shí)間閉合。當(dāng)將開(kāi)關(guān)斷開(kāi)后，試求理想電流源兩端的電壓u。圖3.7習(xí)題3.7的圖