解直角三角形及應用-2023年中考數(shù)學知識點練習（江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學【熱點?重點?難點】專練（江蘇專用）

熱點06.解直角三角形及應用

【考綱解讀】

1.了解：銳角三角函數(shù)；仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的概念。

2.理解：特殊角的三角函數(shù)值。

3.會：知道什么是正弦、余弦、正切。4.掌握：解直角三角形的應用步驟。

5.能：熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能準確運算.審題、畫圖、解直角三角形。

【命題形式】

1.從考查的題型來看，涉及本知識點的主要以填空題或選擇題的形式考查，屬于中低檔題，較為

簡單，個別省市也以解答題形式考查，屬于中檔題，難度一般。

2.從考查內容來看，涉及本知識點的主要有：銳角三角函數(shù)；特殊角的三角函數(shù)值；方位角、俯

角仰角、坡角（坡度）；解直角三角形的應用。

3.從考查熱點來看，涉及本知識點的主要有：銳角三角函數(shù)；求網格中的三角函數(shù)值：解直角三

角形的實際生活應用。

【限時檢測】

A卷（真題過關卷）

備注：本套試卷所選題目多數(shù)為近三年江蘇省各地區(qū)中考真題，針對性強，可作為一輪、二

輪復習必刷真題過關訓練.

一、單選題

1.（2020?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）下列選項錯誤的是（）

A.cos60o=?B.a2-a3=a5C.^j==~D.2（x—2y）=2x—2y

【答案】D

【分析】分別根據特殊角的三角函數(shù)值，同底數(shù)基的乘法法則，二次根式的除法法則以及去括號法則逐一

判斷即可.

【詳解】解：A.cos60o=?,本選項不合題意；

B.a2-a3=a5,本選項不合題意；

C.盍=爭，本選項不合題意；

D.2（χ-2y）—2x-4y,故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，同底數(shù)暴的乘法，二次根式的除法以及去括號與添括號，

熟記相關運算法則是解答本題的關鍵.

2.（2023秋?河北石家莊?九年級校聯(lián)考期末）如圖，在一塊直角三角板4BC中，乙4=30°,則SinA的值是（）

【答案】A

【分析】根據特殊角的三角函數(shù)值求解即可.

【詳解】解：；乙4=30。，

.?.sin4=sin30o=

2

故選：A.

【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

3.（2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，?∕1BCΦ,BDLAB,B。、AC相交于點。，4。=±4C,AB=2,

7

44BC=150。，則ADBC的面積是（）

【答案】A

【分析】過點C作CEJ.48的延長線于點E,由等高三角形的面積性質得到SAoBC：SAABC=3:7,再證明△

ADB~^ACE,解得笠=J分別求得AE、CE長，最后根據△ACE的面積公式解題.

AE7

【詳解】解：過點C作CE_L48的延長線于點E,

,?,ΔDBC與AADB是等局J二角形，

43

^LADB'?S>DBC=A0：DC——ACi-AC=4:3

ΛS&DBC：SAABC=3：7

???BD1AB

二△ADBACE

4“

S>ADBADjAC16

SAACEvACjkACj49

AB4

Λ----=一

AE7

VAB=2

7

，?/E=—

73

.??BE=——2=—

22

V?ABC=150°,

???乙CBE=180°-150°=30°

√3

?CE—tan30o?BE=—

設SUDB=4x,SziDBc=3%

49

λSRACE=

4917√3

?????.—X=-×-×—

4222

√3

?X^14

?_3√3

,?3x―,

14

故選：A.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、正切等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

4.（2010.江蘇南通?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，DE±AB,cos?=∣,BE=2,則S"NQBE的值是

A.-B.2C.—D.—

225

【答案】B

【分析】在直角三角形ADE中，cos4="與=與詈，求得AD,AE.再求得DE,即可得到tan/DBE.

5ADAD

【詳解】設菱形ABCD邊長為t.

BE=2,

AE=t-2.

.3AEAB-BE

cosA=-=——=-------

5ADAD

3t-2

—=--

5t

t=5.

AE=5-2=3.

DE=√AD2-AE2=√52-32=4.

DE4

tanZDBE=-=-=2.

故選：B.

【點睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用，要熟練掌握邊角之間的關系.

5.（2020.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考中考真題）如圖①，AB=5,射線AM〃BM點C在射線BN上，將AABC沿AC所

在直線翻折，點B的對應點。落在射線8N上，點P,Q分別在射線AM、BN上,PQ//AB.設AP=x,QD

=y.若y關于X的函數(shù)圖象（如圖②）經過點E（9,2）,則cos8的值等于（）

sωISa)

2137

A.-B.-C.-D.-

S2S10

【答案】D

【分析】由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形，可得A尸=BQ=X,由圖象②可得當x=9時，y=2,此時

點。在點。下方，且BQ=X=9時，y=2,如圖①所示，可求8D=7,由折疊的性質可求BC的長，由銳角

三角函數(shù)可求解.

【詳解】解：?.?AM"8N,PQ//AB,

二四邊形ABQP是平行四邊形，

：.AP=BQ^x,

由圖②可得當x=9時，y=2,

此時點Q在點。下方，且BQ=x=9時，y=2,如圖①所示，

圖①

.'.BD=BQ-QD=X-y=l,

：將448C沿AC所在直線翻折，點8的對應點。落在射線BN上,

ΛβC=CD=∣BD=∣,ACA-BD,

7

BC7

...cosnB=—=衛(wèi)2=一,

AB510

故選：D.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，折疊的性質，銳角三角函數(shù)等知識.理解函數(shù)圖象上的點

的具體含義是解題的關鍵.

6.（2020?江蘇揚州?中考真題）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A,B,C都在格點上，以

AB為直徑的圓經過點C、D,則SinNADC的值為（）

AwB.逅Crd

13133?1

【答案】A

【分析】首先根據圓周角定理可知，NABC=ZADC,在RtAACB中，根據銳角三角函數(shù)的定義求出NABC

的正弦值.

【詳解】：/4DC和NABC所對的弧長都是AC,

,根據圓周角定理知，NABC=乙4DC,

；.在Rt?ACB中，AB-√ΛC2+BC2=√22+32=√13

根據銳角三角函數(shù)的定義知，sin/ABC=笠=備=穿，

ABV1313

/.SinzJ4。C=亞豆，

13

故選A.

【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識點，解答本題的關鍵是利用圓周角定理把求

44DC的正弦值轉化成求/ABC的正弦值，本題是一道比較不錯的習題.

7.（2020?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊ZlABC的邊長為3,點。在邊AC上，4。=|,線段PQ在邊BA上

運動，PQ.有下列結論：

①CP與QO可能相等；②ZMQD與ZBCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為第；④四邊形PCOQ周長

Io

的最小值為3+”.其中，正確結論的序號為（）

A.①④B.②④C.①③D.②③

【答案】D

【分析】①通過分析圖形，由線段PQ在邊BA上運動，可得出QDVIP≤CP,即可判斷出CP與QD不可能相

等；

②假設44Q。與/BCP相似，設AQ=X,利用相似三角形的性質得出AQ=X的值，再與AQ的取值范圍進行比

較，即可判斷相似是否成立：

③過P作PE_LBC于E,過F作DF_LAB于F,利用函數(shù)求四邊形PCDQ面積的最大值，設AQ=X,可表示

出PE=曰（3_（_工）,°F=；X苧=M可用函數(shù)表不出5心8<;，S11DAQ,再根據SMBC-SAPBC-SAW

依據0≤x≤2.5,即可得到四邊形PCOQ面積的最大值；

④作點D關于直線AB的對稱點D∣,作DID2〃PQ,連接CD2交AB于點F,在射線FA上取PQ，=PQ,此

時四邊形P'CDQ，的周長為：CP'+DQ'+CD+P'Q'=CD2+CD+PQ,其值最小，再由DQ，=DQ，=D2P',

oo

TlD1=D1D2=AD=γaZAD∣D2=120,ZD2AC=90,可得+以>+PQ的最小值，即可得解.

【詳解】解：①?；線段PQ在邊BA上運動，PQ=I，

.?.QD<AP≤CP,

.?.CP與QD不可能相等，

則①錯誤；

②設AQ=X,

?：PQ=∣,AB=3,

?θ<ΛQ≤3-∣=2.5,即O≤xW2.5,

假設4AQ。與ZBCP相似，

VZA=ZB=60o,

從而得到2/-5x+3=0,解得X=1或％=1.5（經檢驗是原方程的根）,

又O≤x≤2.5,

解得的X=1或X=1.5符合題意,

即AAQD與ABCP可能相似，

則②正確：

③如圖，過P作PEj_BC于E,過D作DF_LAB于F,

設ZQ=X,

由PQ=}AB=3,得O≤ZQ≤3彳=2.5,即0≤x≤2.5,

?*?PB—3----X>

2

VZB=60o,

ΛPF=y(3-i-x),

'：AD=i,∕A=60°,

2

ΛDF=1×√≡=?

224

則SAPBC==BCXPE=：X3X日(3-?x)=竽(|—%),

SADAQ="QXDF=TX無Xr=2Γx,

x

：?四邊形PCDQ面積為：5ΔΛBC—SΔPBC—S4DAQ=TX3X誓—苧(|一x)一=瞪+竽羽

又：0≤x≤2.5,

.??當％=2.5時，四邊形PCDQ面積最大，最大值為：乎+乎X2.5=喈，

o8Io

即四邊形PCDQ面積最大值為警，

16

則③正確；

④如圖,作點D關于直線4B的對稱點D∣,作DID2〃PQ,連接CD2交AB于點P,在射線P,A上取P,Q,=PQ,

此時四邊形P'CDQ，的周長為：CP'+DQ'+CD+P'Q'=CZ)2+C0+PQ，其值最小，

,,

ΛD∣Q=DQ=D2PTAD1=D1D2=AD=|,

且NADlD2=180°-∕D∣AB=180°-ZDAB=120°,

DLA

o

：.ZD1AD2=ZD2AD1?~=30°,ZD2AC=90,

在4D∣AD?中，NDIAD2=30°,AD1=?,

.".AD=2AD-cos30o=2×i×-,

z211222

在Rt△AD2C中，

222,

由勾股定理可得，CD2=y∕AC+AD2=J32+(y)=V

.?.四邊形P，CDQ，的周長為：

1

CP+DQ'+CD+P'Q'=CD2+CD+PQ

√39/1\1

=—+(3^2)+2

=3+絲

2

則④錯誤，

所以可得②③正確，

故選：D.

【點睛】本題綜合考查等邊三角形的性質、相似三角形的性質與判定、利用函數(shù)求最值、動點變化問題等

知識.解題關鍵是熟練掌握數(shù)形結合的思想方法，通過用函數(shù)求最值、作對稱點求最短距離，即可得解.

8.(2020.江蘇蘇州.統(tǒng)考中考真題)如圖，小明想要測量學校操場上旗桿AB的高度，他作了如下操作：(1)

在點C處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋荖ACE=a；(2)量得測角儀的高度CD=a；(3)量得測角儀到旗

桿的水平距離DB=b.利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為()

A.a+btanaB.a÷bsinaC.aD.a+?-

tanas?nɑ

【答案】A

【分析】延長CE交AB于F,得四邊形CDBF為矩形，故CF=DB=b,FB=CD=a,在直角三角形ACF中,

利用CF的長和已知的角的度數(shù)，利用正切函數(shù)可求得AF的長，從而可求出旗桿AB的長.

【詳解】延長CE交AB于F,如圖，

.?.CF=DB=b,FB=CD=a,

在RtAACF中，∕ACF=α,CF=b,

tanZACF=-

CF

...AF=CFtan乙4CF=btanα,

AB=AF+BF=α+btana,

故選：A.

【點睛】主要考查了利用了直角三角形的邊角關系來解題，通過構造直角三角形，將實際問題轉化為數(shù)學

問題是解答此類題目的關鍵所在.

二、填空題

9.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，8為地面上一點，測得3到樹底部C的距離為Iom,在B處放置

Im高的測角儀BD,測得樹頂A的仰角為60。，則樹高4C為m（結果保留根號）.

A

【答案】10√3+1##1+1O√3

【分析】在RtAADE中，利用tan乙4。E=翌="=b，求出AE=Io/，再加上Im即為AC的長.

DE10

【詳解】解：過點。作。ElAC交于點E,如圖：

則四邊形8CE。是矩形，

：.BC=DE,BD=CE,

由題意可知：?ADE=60o,DE=BC=10m,

在Rt?AnE中，tan?ADE=—=—=√3,

DE10

：.AE=10√3,

.'.AE+EC=(10√3+l)m,

故答案為：10>∕3+1

【點睛】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應用一仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構造直角

三角形并解直角三角形.

10.(2022.江蘇常州.統(tǒng)考中考真題)如圖，在四邊形ABCD中，NA=?ABC=90o,DB平分乙IDC.若4(=1,

CD=3,貝IJSin乙4BD=.

【答案】?

6

【分析】過點。作BC的垂線交于E,證明出四邊形ABED為矩形，ABCD為等腰三角形，由勾股定理算出DE=

√5,BD=y[6,即可求解.

【詳解】解：過點。作8C的垂線交于E,

???4DEB=90°

VLA=?ABC=90°,

???四邊形48E。為矩形，

???DE//AB,AD=BE=1,

?Z-ABD—乙BDE,

???BO平分〃DC,

：??ADB=Z.CDB,

-AD//BE,

????ADB=?CBD,

：.ZCDB=ZCBD

???CD=CB=3,

?.?AD=BE=1,

?CE=2,

.?.DE=√DC2-CE2=√9→=√5,

?BD=√DF2+BE2=√5+1=√6

???sin?ABD=—,

6

故答案為：?.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質，解題的關鍵是構造

直角三角形求解.

11.（2022?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）在AABC中，“=0）0。，。、b、C分別為乙4、乙B、NC的對邊，若爐=QC,

則SinA的值為__________.

【答案】二歲

【詳解】解：如圖所示：

B

K

Ca

在RtAZBC中，由勾股定理可知：a2+b2=c2,

2

Vac=bf

???α2+αc=c2,

Vα>0,b>0,c>0,

???號4即：（?FT

求%=二#或￡=二聲（舍去），

在RtBC中：SinA=-=

C2

故答案為：二步.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵.在

.,?乙4的對邊.右4的鄰邊.._乙4的對邊

Rdt△a44BdzC中i+1，smAyl=———,CosA=———,tan/

斜邊斜邊二一的鄰邊?

12.（2022?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，在6x6正方形網格中，AzlBC的頂點4、B、C都在網格線上,

且都是小正方形邊的中點，則SinA=

【答案】捌0.8

【分析】如圖所示，過點C作CEj于E,先求出CE,AE的長，從而利用勾股定理求出AC的長，由此

求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點C作CELA8于E,

由題意得CE=4,AE=3,

：.AC=y∕AE2+CE2=5,

二Sinn

故答案為：

【點睛】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網格問題正確作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵.

13.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=6,COSNABC=!,點尸在

邊AC上運動（可與點A,C重合），將線段8P繞點P逆時針旋轉120。，得到線段。P,連接80，則8。長

的最大值為

A

【答案】9√3

【分析】由旋轉知ABP。是頂角為120。的等腰三角形，可求得BO=√58P,當8P最大時，BC取最大值,

即點P與點A重合時，BP=BA最大,求出AB的長即可解決問題.

【詳解】解：???將線段BP繞點P逆時針旋轉120。，得到線段QP,

：.BP=PD,

.?.ABPD是等腰三角形，

.?ZPBD=30o,

過點P作PHLBD于點、H,

.".BH=DH,

,：cos30°=-=~,

BP2

：.BH=-BP,

2

.,.BD^y∕3BP,

當BP最大時，8。取最大值，即點尸與點A重合時，BP=BA最大,

過點A作AGLBC于點G,

'：AB=AC,AGLBC,

；.BG=（BC=3,

"：cosAABC=-,

3

?BG1

??-—,

AB3

.?.A8=9,

.?.8力最大值為：√3BP=9√3.

故答案為：9√3.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和判定，三角函數(shù)等知識，證明出8。=百5尸是解題的關鍵.

14.（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAaBC中，?ACB=90o,?CBA=30°,AC=1,。是4B上

一點（點。與點A不重合）.若在RtAABC的直角邊上存在4個不同的點分別和點A、。成為直角三角形的

三個頂點，則/W長的取值范圍是.

B

C'-------------------iA

【答案W<ADV2

【分析】以為直徑，作。。與8C相切于點M,連接。M,求出此時AD的長；以AD為直徑，作。0,

當點。與點B重合時，求出AD的長，進入即可得到答案.

【詳解】解：以A。為直徑，作。。與BC相切于點例，連接0例，則OMJ_BC,此時，在Rt△?!BC的直角

邊上存在3個不同的點分別和點A、。成為直角三角形，如圖，

B

.?在RtMBC中，?ACB=90o,?CBA=30°,AC=1,

?AB=2,

JOMLBC,

?.sin300=器，

設OM=x,則Ao=X,

?=Γ解得：一彳

24

??AC=2X"

以A。為直徑，作O。，當點。與點8重合時，如圖，此時40=48=2,

在Rt△?!BC的直角邊上存在4個不同的點分別和點A、。成為直角三角形的三個頂點，則力。長的取值范

圍是：l<AD<2.

【點睛】本題主要考查圓的綜合問題，熟練掌握圓周角定理的推論，解直角三角形，畫出圖形，分類討論,

是解題的關鍵.

15.（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△?!BC中，AC=3,BC=4,點。、E分別在C4、CB上，點F

在△4BC內.若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，貝IJSinNFBA=

【答案】（

【分析】連接AF,CF,過點F作&WLAB,由SMBC=SAACF+SABCF+S-BF，可得&W=1，再根據銳角

三角函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：連接4月CF,過點F作FM

Y四邊形CDFE是邊長為1的正方形，

...∕C=90°,

ΛAB=√32+42=5,

?SAABC=SbACF+S&BCF+SAABF,

Illl

：.-×3×4=i×3×l+i×4×l+i×5×FM,

2222

.?FΛ∕=1,

VBF=√（4-1）2÷12=√10,

?*?S?Y?Z.FBA=-J==~^.

√Ioio

故答案是：噂.

【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法“是解題的關鍵.

16.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，點。是正方形ABCD的中心，AB=3√2.RtABEF中，ABEF=

90。,EF過點。，BE,BF分另IJ交4。,CO于點G,M,連接OE,OM,EM.^BG=DF,tan?ABG=則△OEM的

【答案】3+3√5

【分析】連接2D，則8。過正方形48CD的中心點0,作FH_LCD于點H,解直角三角形可得BG=2√?,

AG=∣AB,然后證明AABG絲AHFQ(AAS),可得。"=AG=；A8=：CQ,BC=HF,進而可證ABCM也ZkFMW

(AAS),得到例H=例C=Tcτ>,BM=FM,然后根據等腰三角形三線合一求出OF=BW,則BG=OF=FM

=BM=2瓜再根據直角三角形斜邊中線的性質和三角形中位線定理分別求出0M、EM和OE即可解決問

題.

【詳解】解：如圖，連接8力，則B力過正方形4BC。的中心點0,作尸”，CD于點”，

"JAB=3√2,tan?ABG=1,

?'?tsnZ-ABG=—=—

AB3

ΛAG=∣Λβ=√2,

.?.8G=√4G2+4/=2√5,

VZBEF=90o,ZADC=90°,

/.ZEGD+NEQG=90。，ZEDG+ZHDF=90o,

：,/EGD=/HDF

?：NAGB=NEGD,

：.AAGB=ΛHDF,

?A=乙DHF=90°

在和AKTO中,?AGB=乙HDF

BG=DF

ABG"HFD(AAS),

：.AG=DH,AB=HF,

?.?在正方形48CD中，AB=BC=CD=AD,NC=90。,

11

ΛDH=AG=-AB=-CD,BC=HF

33f

(?C=乙FHM=90o

在ABCM和A∕77M中，j乙BMC=乙FMH，

(BC=FH

"BCMAFHM(AAS),

：?MH=MC=*D,BM=FM,

3

：?DH=MH,

?：FHtCD,

,DF=FM,

：?BG=DF=FM=BM=2瓜

ΛBF=4√5,

TM是B尸中點，。是BO中點，ABEF是直角三角形,

：,OM=LDF=炳,EM=-BF=2√5,

22

?：BD=近AB=6,ABEO是直角三角形，

：.EO=LBD=3,

2

二△OEM的周長=EO+OΛ∕+EM=3+√^+2√^=3+3√5,

故答案為：3+3西.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角

形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質以及三角形中位線定理，綜合性較強，能夠作出合適的輔助

線，構造出全等三角形是解題的關鍵.

三、解答題

17.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）（1）計算：∣-5∣+（3-√Σ）°-2tan45:

(2)化簡：?÷(l+?)?

【答案】(1)4；⑵?

α+3

【分析】(1)根據絕對值，零指數(shù)基和特殊角三角形函數(shù)值的計算法則求解即可;

(2)根據分式的混合計算法則求解即可.

【詳解】解：(1)原式=5+l-2xl

5+1-2

(ɑ+3)(α—3)

【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，絕對值等等，熟知相關計算法

則是解題的關鍵.

18.(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)如圖，湖邊4、B兩點由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連.為了計算4、

B兩點之間的距離，經測量得：ZBAC=37。，NABC=58。，AC=80米，求A、B兩點之間的距離.(參考

數(shù)據：sin37o≈0.60,cos37°≈0.80,tan37o≈0.75,sin58o≈0.85,cos58°≈0.53,tan58o≈1.60)

【答案】4、B兩點之間的距離約為94米

【分析】過點C作CD1AB,垂足為點0,分別解RtA4C0,Rt?BCD,求得4D,BD的長，進而根據48=AD+

BD即可求解.

【詳解】如圖，過點C作CDlAB,垂足為點。，

在Rt△4CD中，

:4DAC=37o,AC=80米，

.".SinZ-DAC=—,COSZ.DAC=―,

ACAC

ΛCD=AC-sin37o≈80×0.60=48（米）,

AD=AC-cos37°≈80×0.80=64（米），

在Rt△BCD中，

TNCBD=58°,CD=48米,

AtanzCBD=—,

.,.AB=∕1D+BD=64+30=94（米）.

答：4、B兩點之間的距離約為94米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵.

19.（2022.江蘇徐州.統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB,其旁邊有一個坡面CQ,坡

角NQeN=30。.在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm,在坡面上的影長為180cm.同一時刻，

小明測得直立于地面長60Cm的木桿的影長為90Cm（其影子完全落在地面上）.求立柱AB的高度.

N

B

【答案】（l70+60?m

【分析】延長AO交BN于點E,過點Q作OFJ_8N于點凡根據直角三角形的性質求出。尸，根據余弦的

定義求出CP,根據題意求出EF,再根據題意列出比例式，計算即可.

【詳解】解：延長AD交BN于點E.過點D作DFLBN于點、F,

在Rt△(?￡>F中，ZCFD=90°,NDeF=30°,

則DF=∣CD=90(cm),CF=CD?cosZDCF=180×y=90√3(cm),

由題意得:畔嗯

解得：EF=135,

BE=BC+CF+EF=120+9()√3+l35=(255+90aCm,

(ji∣ι__絲—二竺

'255+90√390

解得：AB=170+60√3,

答：立柱AB的高度為（170+60g）cm.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題、平行投影的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，正確

作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算.

20.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形力BCD中，AB=4,AD=3,點E在折線BCO上運動，將AE繞

點A順時針旋轉得到AF,旋轉角等于NBaC,連接CF.

(1)當點E在BC上時，作FMIAC,垂足為M,求證AM=48；

(2)當4E=3√Σ時，求C尸的長;

(3)連接DF,點E從點3運動到點。的過程中，試探究DF的最小值.

【答案】(1)見詳解

⑵百或√∏

【分析】(1)證明△4BEmAZMF即可得證.

(2)分情況討論，當點E在BC上時，借助AABEWZiAM/，在RtZkCMF中求解；當點E在C。上時，過

點E作EG,AB于點G,H7,AC于點，，借助AAGEBAAHF并利用勾股定理求解即可.

(3)分別討論當點E在BC和CO上時，點尸所在位置不同，O尸的最小值也不同，綜合比較取最小即可.

(1)

如圖所示，

由題意可知，44MF=NB=90。，/LBAC=Z.EAF,

??BAE=?MAF,

由旋轉性質知：AE=AF,

在AABE和AZMF中，

乙B=?AMF

{?BAE=4MAG

AE=AF

??.△ABE=△AMF,

^AM=AB.

(2)

當點E在BC上時，

在RtAABE中，AB=4,AE=3√2,

則BE=>JAE2-AB2=√2,

在RtZMBC中，AB=4,BC=3,

則AC=?∕AB2+BC2=5,

由（1）可得，MF=BE=√2,

在RtACM尸中，MF=√2,CM=AC-AM=5-4=1,

則CF=√MF2+CM2=√3,

當點E在Co上時，如圖，

過點E作EGLAB于點G,FWLAC于點H,

同(1)∏TW?AGE≡Δ,AHF,

：.FH=EG=BC=3lAH=AG=3,HC=2,

由勾股定理得CF=√32+22=√13;

故CF的長為g或√∏.

(3)

如圖1所示，當點E在8C邊上時，過點￡＞作。HJ.FM于點H,

由(1)知，/.AMF=90°,

故點尸在射線M尸上運動，且點產與點H重合時，￡＞，的值最小.

在^CMJ與ACD4中，

乙CMJ=?ADC

^-?MCJ=?ACD,

：.Rt△CMJ~Rt△CDAt

.CM_MJ_CJ

??記一布一族，

即.?一=生=旦，

435

DJ=CD-CJ=4-^=B

在ACMJ與ADHJ中,

乙CMJ=乙DHJ

nCJM=4DJH'

???RtACMJ?RtADHJ,

CM_CJ

?*-=—，

DHDJ

ap?=?

4

DH=γ,

故DF的最小值號;

圖1

如圖2所示，當點E在線段CD上時，將線段43繞點4順時針旋轉乙BaC的度數(shù)，得到線段AR,連接尸R,

過點。作。Q_LAR,DK1FR,

由題意可知，?DAE=?RAF,

在ZMRF與A4DE中，

AD=AR

{?DAE=/.RAF,

AE=AF

ADE=△ARFt

???URF=乙ADE=90°,

故點F在RF上運動，當點F與點K重合時，CF的值最?。?/p>

由于DQIAR,DK1FR,NARF=90。，

故四邊形。。RK是矩形；

.?.DK=QR,

412

ΛAQ=AD-cos?BAC=3×∣=γ,

VAR=AD=3,

123

：.DK=QR=AR-AQ=3=

故此時OF的最小值為去

由于1<￡，故力尸的最小值為：

【點睛】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理、解直角

三角形，解決本題的關鍵是各性質定理的綜合應用.

21?（2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功

發(fā)射.如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，。力是垂直于工作臺的移動基座，AB、BC為機械臂，

OA=lm,AB=5m,BC=2m,?ABC=143°.機械臂端點C到工作臺的距離CD=6m.

（1）求4、C兩點之間的距離；

（2）求OO長.

（結果精確到0.1處參考數(shù)據：sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,tan370≈0.75,√5≈2.24）

【答案】（l）6.7m

(2)4.5m

【分析】（1）連接AC,過點4作AH_LBC,交CB的延長線于H,根據銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決

問題.

（2）過點4作4G_LDC,垂足為G,根據銳角三角函數(shù)定義和勾股定理即可解決問題.

【詳解】（1）解：如圖2,連接4C,過點A作4H1BC,交CB的延長線于H.

圖2

在Rt△4BH中，?ABH=180o-?ABC=37°,

sin37o=—,所以AH=AB?sin37°B3m,

AB

cos37o=―,所以BH=4B?cos37o*4m,

AB

在Rt△4CH中，AH=3m,CH=BC+BH=6m,

根據勾股定理得4C=>∕CH2+AH2=3√5≈6.7m,

答：4、C兩點之間的距離約6.7m.

(2)如圖2,過點4作AGJ.DC,垂足為G,

圖2

則四邊形AGD。為矩形，GC=AO=lm,AG=OD,

所以CG=CD-GD=Sm,

在Rt△4CG中，AG=3V5m,CG=5m.

根據勾股定理得4G=y∕AC2-CG2=2√5≈4.5m.

.?.OD=AG=4.5m.

答:。。的長為4.5m.

【點睛】求角的三角畫數(shù)值或者求線段的長時，我們經常通過觀察圖形將所求的角成者線段轉化到直角三

角形中（如果沒有直角三角形，設法構造直角三角形），再利用銳角三角畫數(shù)求解

22.（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCQ為矩形4B=2√Σ,BC=4,點E在BC上，

CE=AE,將AABC沿AC翻折至IJAAFC,連接EF.

⑴求EF的長；

⑵求SinNCEF的值.

【答案】（1）√I7

（2浩向

【分析】（1）先由RtAABE可求得AE的長度，再由角度關系可得NFAE=90。，即可求得EF的長；

（2）過尸作FM_LCETM,利用勾股定理列方程，即可求出EM的長度，同時求出FM的長度，得出答案.

【詳解】（1）設BE=X,則EC=4—x,

??AE=EC=4—%,

在RtΔ4BE中，AB2+BE2=AE2,

：.（2√2）2+X2=（4-X）2,

/.X=1,

：?BE=1,AE=CE=3,

9JAE=EC,

Λzl=Z2,

Vz4BC=90o,

ΛzCΛF=90o-z2,

.??CAB=90o-Zl,

由折疊可知AFACMABAC,

；?乙FAC=乙CAB=90o-Zl,AF=AB=2√2,

ΛzFi4C÷zl=90°,

:,(FAE=90°,

=√Γ7.

(2)過尸作尸MJ_8C于

JNFME=∕FMC=900,

設EM=凡則EC=3-小

在AtZkFME中，F(xiàn)M2=FE2-EM2,

222

在Rt△FMC中，F(xiàn)M=FC-MCi

：.FE2-EM2=FC2-MC2,

J(√17)2-α2=42-(3-α)2,

?5

..a=一,

.?.EM∕

：.FM=J(√17)2-(∣)2=

I也

?.,「口口FM§88/?-r

..SinzCFF=—=?==-√34.

EF√1751

【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質，通過添加輔助線構建直角三角形是解題的關

鍵.

23.（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1,在AABC中，/.ACB=2?B,CZ）平分44CB,交AB于點

D,DEHAC,交BC于點、E.

圖1

①若OE=1,BD=|,求BC的長；

②試探究竟-差是否為定值.如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

ADDE

（2）如圖2,4CBG和Z?BC尸是△A8C的2個外角，乙BCF=2乙CBG,C。平分4BCF,交AB的延長線于點

D,DEIIAC,交CB的延長線于點E.記^ACD的面積為S「△CDE的面積為S2,△BDE的面積為S3.若Si?S3=

-Sl，求CoSNCBZ）的值.

16”

圖2

【答案】⑴①BC=：；②*一案是定值，定值為1；⑵CoS“BD=:

4ADDE8

【分析】(1)①證明ACE。SACOB,根據相似三角形的性質求解即可；

②由CEllAC,可得W=絡由①同理可得CE=Z)E,計算器—器=L

ADDEADDE

⑵根據平行線的性質、相似三角形的性質可得3=W=能又第=絡則警=骼可得器=?,設BC=

S2DEBES2CESSCECE16

9x,則CE=16x.證明△CDBCED,可得CD=12x,過點。作DH1BC于H.分別求得BD,BH,進

而根據余弦的定義即可求解.

【詳解】(1)①平分NaCB,

/.ZTlCD=乙DCB=-?ACB.

2

9Cz-ACB=2(B,

ΛZ.ACD=Z.DCB—乙B.

3

ΛCD=BD=-.

2

DEWACt

：.?ACD=乙EDC.

Λ?EDC=?DCB=Z.B.

：.CE=OE=L

?*?ΔCEDCDB.

.CE_CD

??—?

CDCB

9

：.BC=-.

4

②:DEIIAC,

?ABBC

??-=----.

ADCE

由①可得CE=DE,

.ABBC

??-=----.

ADDE

...-A-B-----B-E-=-B-C-----B-E--=—CE=1Y.

ADDEDEDEDE

?潦一黃是定值，定值為1?

(2),：DEWAC,

???△BDES匕BAC

BC_AB_AC

''~BE~~BD~~DE

.S1_AC_BC

**S2~DE~BE?

??S3_BE

S2CE

.S]?SsBC

Sl~~CE'

又?.?S1?S3=Q2

.≤C__9_

**CE-16,

設BC=9x,則CE=16x.

TC。平分NBCF,

1

."ECD=乙FCD=-Z-BCF.

2

?:(BCF=2乙CBG,

."ECD=乙FCD=乙CBD.

：.BD=CD.

VDEIMC,

:?乙EDC=?FCD.

：.Z.EDC=Z-CBD=?ECD.

：.CE=DE.

ZDCB=(ECD,

△CDB?&CED.

???—CD=—CB.

CECD

：.CD2=CBCE=144X2.

ΛCD=12x.

如圖，過點力作。H■!BC于H.

C

9：BD=CD=12x,

19

:?BH=iBC=-x.

22

.,.cos?CBD=—=?=-.

BD12X8

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，求余弦，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

24.（2022.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm,

高為42.9cm?它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓.小明畫出了它的主視圖，是由上、下

底面圓的直徑AB、CD以及新、距組成的軸對稱圖形，直線，為對稱軸，點M、N分別是前、的的中點，如

圖2,他又畫出了他所在的扇形并度量出扇形的圓心角4AEC=66。，發(fā)現(xiàn)并證明了點E在MN上.請你繼續(xù)

完成MN