數(shù)列中裂項求和的幾種常見模型

數(shù)列中裂項求和的幾種常見模型模型一：數(shù)列是以d為公差的等差數(shù)列，且，那么例1二次函數(shù)＝3x2－2x，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上?！并瘛城髷?shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；〔2006年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題〕解：〔Ⅰ〕因為點均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝〔3n2－2n〕－＝6n－5.〔n=1也符合〕所以，an＝6n－5〔〕〔Ⅱ〕分析：恒成立問題。求m那么m為參數(shù)，n為變量由〔Ⅰ〕得知＝＝，故Tn＝＝＝〔1－〕.因此，要使〔1－〕<〔〕成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10..例2在xoy平面上有一系列點，…，，…，〔n∈N*〕，點Pn在函數(shù)的圖象上，以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切.假設(shè).〔I〕求數(shù)列的通項公式；〔II〕設(shè)圓Pn的面積為解：〔I〕圓Pn與Pn+1彼此外切，令rn為圓Pn的半徑，兩邊平方并化簡得由題意得，圓Pn的半徑為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以〔II〕，所以，提高：形如1/n.m,(n,m為兩因子，可同可不同)形式，證不等關(guān)系是，將n或m適當(dāng)放縮成等差數(shù)列相鄰兩項模型二：分母有理化，如：例3，點()在曲線y=f(x)上(n∈N+)，且(I)證明數(shù)列{}為等差數(shù)列；(Ⅱ)設(shè),記，求解(I)點()在曲線y=f(x)上(n∈N+),并且an>0

，，∴數(shù)列{}為首項為=1，公差為4等差數(shù)列(Ⅱ)∵數(shù)列{}為等差數(shù)列，并且首項為=1，公差為4，∴=1+4〔n—1〕，∴，∵an>0，∴，bn＝=,

∴Sn＝b1＋b2+…＋bn==提高： 模型三：eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1)例5設(shè)數(shù)列的前項的和，n=1,2,3,….〔Ⅰ〕求首項與通項；〔Ⅱ〕設(shè)，n=1,2,3,…，證明：〔2006年全國數(shù)學(xué)高考理科試題〕.解:(Ⅰ)由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2.再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…將①和②相減得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而數(shù)列{an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)將an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－eq\f(1,2i+1－1))<eq\f(3,2)模型四：，且，那么例6設(shè)