計(jì)數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定理-2023年高考數(shù)學(xué)考試（新高考）（原卷版）

專題15計(jì)數(shù)原理與排列組合、二項(xiàng)式定理

易命臺(tái)所

【正解】

一、混淆二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)致錯(cuò)

I.[f+3）的展開式中√t的系數(shù)為（）

A.10B.20C.90D.80

【錯(cuò)解】A,由題可得（+I=C＞（X=G?3'?X∣°.

令10-3r=4,則r=2,所以1/+之]的展開式中/的系數(shù)為=]0,故選A.

【錯(cuò)因】

【正解】

2、（4-b）”的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)

6

【錯(cuò)解】6或7,（4—b）”的展開式中共12項(xiàng),第6項(xiàng)的系數(shù)為CQ第7項(xiàng)的系數(shù)為C：”又C5=C,I,

所以數(shù)最大的項(xiàng)是第6或7項(xiàng).

【錯(cuò)因】

【正解】

二、忽略二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是第r+1項(xiàng)不是第r項(xiàng)致錯(cuò)

3、二項(xiàng)式（χ-2）的展開式的第二項(xiàng)是（）

A.60X2B.-60X2C.12X4D.-12X4

【錯(cuò)解】展開式的通項(xiàng)為Ct（X）?（二），令尸=2,可得展開式的第二項(xiàng)為CI=60X2.

故選A.

【錯(cuò)因】

【正解】

三、混淆均勻分組與部分均勻分組致錯(cuò)

4、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生,要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2

名,則不同的安排方案種數(shù)為O

A.4C；B.C.團(tuán)團(tuán)D.2星

2

【錯(cuò)解】選A,先將4名學(xué)生均分成兩組方法數(shù)為再分配給6個(gè)年級(jí)中的2個(gè)分配方法數(shù)

為《，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理合要求的安排方法數(shù)為C濾.

【錯(cuò)因】

【正解】

5.某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測點(diǎn)參加服務(wù)，

6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測工作的傳授，每

個(gè)檢測點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測點(diǎn)，則不同的分配方案

種數(shù)是（）

A.72B.108C.216D.432

【錯(cuò)解】A,根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為2,1,1的三組，再分配到3個(gè)檢測點(diǎn)，共

?A；種分法，然后把2名“生手”分配至IJ3個(gè)檢測點(diǎn)中的2個(gè)，有A：種分法,

所以共有箋?C??A>A"72種不同的分配方案.

【錯(cuò)因】

【正解】

四、計(jì)數(shù)時(shí)混淆有序與定序

6、某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特

地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，且不改變?cè)瓉淼墓?jié)目

順序，則不同的安排方式有種.

【錯(cuò)解】4：原先有七個(gè)節(jié)目，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目，則不同的排列方法

>

有4；種.

【錯(cuò)因】

【正解】

7、身高互不相同的七名學(xué)生排成一排,從中間往兩邊越來越矮,不同的排法有O

A.5040種B.720種C.240種D.20種

【錯(cuò)解】最高個(gè)子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,有A：=120種排法,第二步:

排右邊,有A；種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有120*6=72（）種,故選B.

【錯(cuò)因】

【正解】

五、混淆排列與組合導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤

8.有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承

擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）

A.1260B.2025C.2520D.5040

【錯(cuò)解】先從10人中選出2人承擔(dān)甲任務(wù)：再從余下8人中選出2人分別承擔(dān)乙任務(wù)、丙任務(wù).根

據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有404!H=5040種.故選A.

【錯(cuò)因】。

【正解】

六、考慮問題不全面導(dǎo)致漏計(jì)出錯(cuò)

9、如圖，洛書（古稱龜書）是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說中有神

龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為

肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).若從四

個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù)，則選取的3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的方

法數(shù)為（）

A.10B.40C.44D.70

【錯(cuò)解】選B,由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9,若選取3個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，則3

個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，共有Cg=IO種方法；所以滿足題意的方法共有10種.

【錯(cuò)因】

【正解】

10.某賓館安排4B,C,D,E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且4,8不能

住同一房間，則共有種不同的安排方法.（用數(shù)字作答）

【錯(cuò)解】42,5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則按3,1,1住，有C3?A3=6O（種），A,B

住同一房間有CUj=I8（種）,故有60—18=42（種）.

【錯(cuò)因】

【正解】

Ik若α,be{1,2,3,4,8,9},則logrtb可表示個(gè)不同的實(shí)數(shù)。

【錯(cuò)解】當(dāng)。#1,6=1時(shí)log,/=。；當(dāng)α=bHl時(shí)k）gt,b=l,當(dāng)α,b不相等且均不為1時(shí)滿

足條件的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)為4=20,所以log,,b可表示22個(gè)不同的實(shí)數(shù).

【錯(cuò)因】

【正解】

七、混淆二項(xiàng)式系數(shù)之和與所有項(xiàng)系數(shù)之和出錯(cuò)

12.已知（x+2）"的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則這個(gè)展開式中X4項(xiàng)的系數(shù)

X

是.

4

【借解】令X=I,則4?=256,則〃=4,Cr+1的展開式的通項(xiàng)為.+I=CAr2y=q?3"?χ^2r

XX

（r∈N*,r≤4）,由4-2廠=4得r=0,所以所求展開式中X4項(xiàng)的系數(shù)是婢.寸=L

【錯(cuò)因】

【正解】

八、利用分步乘法原理計(jì)數(shù),分步標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)誤

13、把3個(gè)不同的小球投入到4個(gè)盒子,所有可能的投法共有（）

A.24種B.4種C.43種D.34種

【錯(cuò)解】因?yàn)槊總€(gè)盒子有三種投入方法,共4個(gè)盒子,所以共有3χ3χ3χ3=34（種）投法.

【錯(cuò)因】

【正解】

九、混淆二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)致錯(cuò)

14、若展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)第項(xiàng).

2"-3R

【借解】5或6,展開式的通項(xiàng)為Tm=XCb4,由題意可得，20C!!+2Ci+22C∏=163,

解得，7=9.則展開式中共有10項(xiàng)，且第5項(xiàng)、第6項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。

【錯(cuò)因】

【正解】

,福發(fā)迨關(guān)

1.將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組

由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）

A.12種B.10種C.9種D.8種

2.（I+!）。+》,展開式中Y的系數(shù)為（）

X

A.15B.20C.30D.35

3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館

安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.60種D.30種

4.某班級(jí)要從6名男生、3名女生中選派6人參加社區(qū)宣傳活動(dòng)，如果要求至少有2名女生參

加，那么不同的選派方案種數(shù)為（）

A.19B.38C.55D.65

5.若（4一I）4=αo+mx+α2χ2+α3χ3+α4χ4,則念+俏+處的值為（）

A.9B.8C.7D.6

6.若（1-χ）5=ao+a?x+a2X2+a3X3+a4X4~?~a5X5y則IaOl-IaIl+∣Q2∣-∣43∣+∣Q4∣-∣α5∣=（）

A.0B.1C.32D.-1

入某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類

節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

8.（多選題）（X+：）的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）

A.展開式共6項(xiàng)

B.常數(shù)項(xiàng)為160

C.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729

D.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

L,JC2J__Ll

9、（多選）已知I'MJTa>0）的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)

系數(shù)之和為1024,則下列說法正確的是（）

A.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256

B.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大

C.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)

D.展開式中含小5的項(xiàng)的系數(shù)為45

10某運(yùn)動(dòng)會(huì)期間,從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰壺”“花樣滑冰”“短道速滑”

三項(xiàng)比賽志愿者工作，其中冰壺項(xiàng)目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各需要一名，男

女不限.則不同的支援方法的種數(shù)是（）

A.36B.24C.18D.42

11.已知（x+2）"的二項(xiàng)展開式中，第三項(xiàng)與第〃-2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為84,則第四項(xiàng)的系數(shù)為

()

A.280B.448C.692D.960

12.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去48,。三個(gè)不同的小區(qū)參加新冠疫情防控志愿服務(wù)，每

個(gè)小區(qū)至少去1人，每人只去1個(gè)小區(qū)，且甲、乙去同一個(gè)小區(qū)，則不同的安排方法有（）

A.28種B.32種C.36種D.42種

13.現(xiàn)從男、女共8名學(xué)生中選出2名男生和1名女生分別參加學(xué)?！百Y源”“生態(tài)”和“環(huán)?！比齻€(gè)

夏令營活動(dòng)，已知共有90種不同的方案，那么男、女學(xué)生的人數(shù)分別是（）

A.2,6B.3,5C.5,3D.6,2

14.（多選）已知8,的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列說法正確的是（）

A.2,10成等差數(shù)列

B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)

D.展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)

15.在M（x+y）6的展開式中，Λ?3y4的系數(shù)是（）

A.20B,-C.-5D.--

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16.（多選）為了弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)

“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則（）

A.某學(xué)生從中選3門，共有30種選法

B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法

C.課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法

D.課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法

17.（多選）已知1+3xJ展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.展開式中的有理項(xiàng)是第2項(xiàng)和第5項(xiàng)

B.展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)

C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)

D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)

18.（多選）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選

考科目，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為A彳

B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為CJca

C.若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為C彳-C!

D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為C2C3&

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19.(多選)己知(2+x)(l—2x)5=αo+αix+α2X+αM3+α4χ+α5χ5+α6χ6,則()

A.αo的值為2

B.公的值為16

C.m+42+α3+α4+α5+α6的值為-5

D.m+α3+α5的值為120

20.已知多項(xiàng)式(1—2x)+(l+x+x2)3="o+αιχ+α2X2H---Faex6,則