2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練44　統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

微專題44統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

高考定位高考對本講內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣

本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，常與概率綜合考查，

中等難度.

真題演練感悟高考練真題明方向

L（2022?全國甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講

座效果，隨機(jī)抽取IO位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類

知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則（）

*講座前

?講座后

67891()居民編號

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

答案B

70%+7，％

解析對于A,講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)是——γ^=12.5%,所以A

錯(cuò)誤；

對于B,講座后問卷答題的正確率分別是80%,85%,85%,85%,85%,90%,

90%,95%,100%,100%,其平均數(shù)顯然大于85%,所以B正確；

對于C,由題圖可知，講座前問卷答題的正確率波動較大，講座后問卷答題的正

確率波動較小，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后問卷答題的正

確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯(cuò)誤；

對于D,講座前問卷答題的正確率的極差是95%—60%=35%,講座后問卷答題

的正確率的極差是100%—80%=20%,所以講座前問卷答題的正確率的極差大于

講座后問卷答題的正確率的極差，所以D錯(cuò)誤.故選B.

2?（2022?全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)

一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截

面積（單位：π?）和材積量（單位：m）得到如下數(shù)據(jù)：

樣本

12345678910總和

號i

根部

橫截

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

面積

Xi

材積一

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

量,V,

IO10

并計(jì)算得玄斤=0.038,EIM=1.6158,

gx?,=0.2474.

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫

截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上

數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

El(XLX)Cy∣~y)

附：相關(guān)系數(shù)r=.一，/1.896子1.377.

λ∕,?(XLX)2,?(%—))2

解（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值X=m=0?06（m2）,

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值

y=?=0?39(m3),

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06∏Λ平均一棵的材積

量為0.39m3.

10--10—

∑l(Xi—x)(V—y)∑jx∕yz^-IOxy

⑵——∏o?io?/io?ioZ

Λj?(XL尤)2?(y,-y)2y∣(,?^-10x2)(?j?-10√)

0.2474-10×0.06×0.390.01340.0134—

,=iQ----------97

√(0.038-10×0.062)(1.6158-10×0.392)√0.00018960?01377''

(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為Fm3,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

,0.06186

可ΓZ得BWF

解得y=l209(m3).

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209nA

3?(2022?新高考I卷)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生

習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)

查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對

照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表

示事件”選到的人患有該疾病"，與,(8-)_的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良

P(β∣A)P(B∣A)

好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

TP(Λ∣B)P(Λ∣B)

①證明ncl：R=----!~■----------；

P(Λ∣B)P(Λ∣B)

②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(AIB),P(AIB)的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估

計(jì)值.

2_________n(ad—be)2_______________

??(?+/?)(c+4)(α+C)(b+d)'

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

Q,200X(40X90—60X10)】

(1)解F=^~50×150×100×100=24>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

P(BA)

P(BIA)

P(BA)

P(3∣A)?P(BIA)

⑵①證明R=P(BA)

P(B∣Λ)P(B∣A)

由題意知，只需證明一（6A）P(B∣A)P(AiB)P(AlB)^

--------=----------------即an可,

P(B∣Λ)P(B∣A)P(AIB)P(A∣B)

P(AB)P(AB)

,上P(A)P(A)p(AB)P(AB)

上式左邊=--=--

P(AB)P(AB)PCAB)P(AB)

P(A)P(A)

P(AB)P(AB)

P(B)P(B)p(AB)-P(AB)

右邊=---------------=---------------

P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)

P(B)P(B)

左邊=右邊，故R=P(…(A⑻

P(A∣B)P(AIB)

②解由調(diào)查數(shù)據(jù)可知

402-101

P(AIB)=而=予P(A∣B)=100-10,

且P(AlB)=I—P(AIB)=；,

9

P(AE)=I-P(AlB)=訕,

2_9_

“，5W

所以R=WXT=6.

5lθ

熱點(diǎn)聚焦分類突破研熱點(diǎn)析考向

熱點(diǎn)一用樣本估計(jì)總體

I核心歸納

頻率

1.頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示篇，頻率=組距

、,頻率

2.在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.

3.利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).

（1）最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù).

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和相等.

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的

面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

考向1統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征的應(yīng)用

例1（1）（2022.西安模擬）某市中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為

了解該地區(qū)中小學(xué)生近視形成的原因，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5%的學(xué)生

進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）

甲乙

A.750,100B.1500,100

C.1500,120D.750,120

（2）（多選）（2022.福州三模）空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱AQI）是能夠?qū)諝赓|(zhì)量進(jìn)行定量描

述的數(shù)據(jù)，AQl越小代表空氣質(zhì)量越好.甲、乙兩地在9次空氣質(zhì)量監(jiān)測中的AQl

數(shù)據(jù)如圖所示，則下列說法正確的是（）

空氣質(zhì)量指數(shù)(AQl)

A.甲地的AQI的平均值大于乙地

B.甲地的AQI的方差小于乙地

C.甲地的AQI的中位數(shù)大于乙地

D.甲地的空氣質(zhì)量好于乙地

答案(I)B(2)ABC

解析(1)由題意，樣本容量為(18500+7500+4000)X5%=1500,

抽取的高中生近視人數(shù)為4000X5%X0.5=100,故選B.

(2)由AQl數(shù)據(jù)圖知，甲地9次監(jiān)測數(shù)據(jù)有7次均在50以上，只有兩次在50以下，

并且與50相差較小，乙地9次監(jiān)測數(shù)據(jù)有7次均在50以下，有兩次在50附近,

并且與50相差很小，甲地的AQI的平均值大于50,乙地的AQI的平均值小于

50,甲地的AQl的平均值大于乙地，A正確；

甲地9次監(jiān)測數(shù)據(jù)的折線圖比較平滑，波動較小，乙地9次監(jiān)測數(shù)據(jù)波動較大，

即甲地的AQl的方差小于乙地，B正確；

甲地9次監(jiān)測數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于50,乙地9次監(jiān)測數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于50,甲地的

AQl的中位數(shù)大于乙地，C正確；

甲地9次監(jiān)測數(shù)據(jù)中有8個(gè)都高于乙地對應(yīng)監(jiān)測數(shù)據(jù)，再結(jié)合平均值、中位數(shù)看，

乙地的空氣質(zhì)量要好于甲地，D不正確.

考向2用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

例2為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小

鼠隨機(jī)分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠

給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用

某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下

直方圖：

甲離子殘留百分比直方圖

頻率

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)

的估計(jì)值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中α,人的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

為代表).

解(1)由已知得0.70=α+0.20+0.15,

故π=0.35,

?=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

規(guī)律方法1.平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對數(shù)據(jù)的一種簡明描述，它

們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義.

2.在例2中，抓住頻率分布直方圖各小長方形的面積之和為1,這是求解的關(guān)鍵；

本題易混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何

意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò).

訓(xùn)練1(IX多選)(2022.濟(jì)南質(zhì)檢)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收

入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

答案ABD

解析對于A,根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的

農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02+0.04)X1×100%=6%,故A正確；

對于B,根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶

比率估計(jì)為(0.04+0.02+0.02+0.02)X1X100%=10%,故B正確；

對于C,根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值估計(jì)為3X0.02

+4X0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+ll×0.04

+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68(萬元),故C錯(cuò)誤；

對于D,根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元

之間的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.10+0.14+0.20+0.20)*1X100%=64%>50%,故D正

確.

(2)某工廠A,B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，若產(chǎn)品按照一、二、三等級分類，則

每件可分別獲利10元、8元、6元，現(xiàn)從A,B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取

100件進(jìn)行檢測，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖：

①分別計(jì)算兩條生產(chǎn)線抽樣產(chǎn)品獲利的方差，以此作為判斷依據(jù)，說明哪條生產(chǎn)

線的獲利更穩(wěn)定；

②估計(jì)該廠產(chǎn)品產(chǎn)量為2000件時(shí)的利潤以及一等級產(chǎn)品的利潤.

一1

解①從A生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的100件產(chǎn)品獲利的平均數(shù)Xl=而X(IOX20+8X60

+6X20)=8(元),

方差為s?=擊XKIo-8)2χ20+(8—8)2χ60+(6-8)2χ20]=1.6,

1

從B生產(chǎn)線隨機(jī)抽取的100件產(chǎn)品獲利的平均數(shù)為光2=旃X(IOX35+8X40+

6X25)=8.2(元)，

方差為Sa=擊XKIo-82)2X35+(8—82)2X40+(6—8.2)2χ25]=2.36.

所以d<E,則A生產(chǎn)線的獲利更穩(wěn)定.

②從A,B生產(chǎn)線共隨機(jī)抽取的200件產(chǎn)品獲利的平均數(shù)為募X[10X(20+35)

+8*(60+40)+6*(20+25)]=8.1(元)，

由樣本估計(jì)總體，當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為2000件時(shí)，估計(jì)該工廠獲利2OOoX8.1=16

200阮).

因?yàn)閺腁,B生產(chǎn)線共隨機(jī)抽取的200件產(chǎn)品中，A生產(chǎn)線生產(chǎn)的一等級產(chǎn)品有

20件，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的一等級產(chǎn)品有35件，

由樣本頻率估計(jì)總體概率，得該工廠生產(chǎn)產(chǎn)品為一等級產(chǎn)品的概率估計(jì)值為

20+3511

200=405

當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為2000件時(shí)，估計(jì)該工廠一等級產(chǎn)品獲利200OXAXIo=5500(元).

熱點(diǎn)二回歸分析

I核心歸納

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟

(1)依據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(有時(shí)可省略).

nn

(2)計(jì)算出無，y9Σ%?,ΣXM的值.

z=1i=?

ΛΛ

(3)計(jì)算α,b.

(4)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

例3(2022?合肥二模)《中國統(tǒng)計(jì)年鑒2021》數(shù)據(jù)顯示，截止到2020年底，我國

私人汽車擁有量超過24千萬輛.下圖是2011年至2020年十年間我國私人汽車擁

有量y(單位：千萬輛)折線圖.

汽

車

擁

有

量

()■)

(注：年份代碼1?10分別對應(yīng)年份2011?2020)

(1)由折線圖能夠看出，可以用線性回歸模型擬合y與，的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加

以說明；

⑵建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并預(yù)測2024年我國私人汽車

擁有量.

IO一一10-1()-

參考數(shù)據(jù)：y=15.5,苫(Lf)(V-y)=160.1,￡(?/-γ)2=311.4,J(/,—r)2=

82.5,√25550.5≈159.8,√25690.5≈160.3.

參考公式：相關(guān)系數(shù)

,∑1(U-1)(y/-y)

2

Ct∣-1)z∑1(.y∣-y)2

經(jīng)驗(yàn)回歸方程(=M+)中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

nn——

^gQtLt)(V-y)∑ltiyi-nty

b=n^^^'=-7^?Γ^

22

f∑l(ti-t)∑yfi-nt

a=y-bt.

解(1)由題意得,

IO_一

g5—t）（y—y）__________i6Q,ι160.1160.1nnnoo

飛（…）2蘭『）?2?5X3U4=7≡Γ30?9988

相關(guān)系數(shù)個(gè)0.9988,說明y與7的線性相關(guān)性很高，

所以可以用線性回歸模型擬合y與f的關(guān)系.

10一

（2）由f=5.5,∑l（力一￡）2=82.5,

所以Z?—82§2L94,

A—Λ—

因此Q=y—萬,=15.5—1.94X5.5=4.83,

A

所以y=1.94f+4.83.

A

當(dāng)t=14時(shí)，y=1.94×14+4.83=31.99.

據(jù)此可以預(yù)測，2024年我國私人汽車擁有量將達(dá)到31.99千萬輛.

易錯(cuò)提醒L樣本點(diǎn)不一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，但點(diǎn)（x,y）一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上.

2.求Z時(shí)，靈活選擇公式，注意公式的推導(dǎo)和記憶.

3.利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性強(qiáng)弱，看團(tuán)的大小，而不是r的大小.

4.通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求的都是估計(jì)值，而不是真實(shí)值.

訓(xùn)練2（1）（2022.重慶診斷）已知變量X與y正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù);

=2,γ=10,則由觀測數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能為（）

Aj=-1.5x+11B.γ=-0.5x+ll

C.γ=0.5x+9D.y=1.5x+8

（2）（多選X2022.荷澤一模）某地為響應(yīng)“扶貧必扶智，扶智就是扶知識、扶技術(shù)、

扶方法”的號召，建立農(nóng)業(yè)科技圖書館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱，收集了近5年的借閱

數(shù)據(jù)如下表：

年份20162017201820192020

年份代碼X1245

年借閱量N萬冊）-4.95.15.55.75.8

根據(jù)上表，可得y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為;=0?24x+;,下列結(jié)論正確的有（）

A.α=4.68

B.借閱量49,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位數(shù)為5.7

C.y與X的線性相關(guān)系數(shù)r>0

D.2024年的借閱量一定不少于6.84萬冊

答案(I)C(2)ABC

解析(1)因?yàn)樽兞縓與y正相關(guān)，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的斜率大于0,故A,B

錯(cuò)誤；

對于C,y=0.5x+9,過點(diǎn)(2,10),故C正確；

對于D,y=L5x+8不過點(diǎn)(2,10),故D錯(cuò)誤.故選C.

1

(2)對于A,X=WX(I+2+3+4+5)=3,

γ=∣×(4.9+5.1+5.5+5.7+5.8)=5.4,

Vy關(guān)于龍的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為;=0.24x+Z,

ΛΛ

Λ5.4=0.24×3+α,解得α=4.68,故A正確；

對于B,5×75%=3.75,

故借閱量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位數(shù)為5.7,故B正確；

對于C,V0.24>0,

.?.y關(guān)于X的線性相關(guān)系數(shù)r>0,故C正確；

Λ

對于D,線性回歸方程為y=0.24x+4.68,

Λ

當(dāng)X=9時(shí)，y=6.84,

故2024年的借閱量約為6.84萬冊，故D錯(cuò)誤.

熱點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)

I核心歸納

獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2X2列聯(lián)表；

(2)根據(jù)公式/=((J，計(jì)算/的值；

??a+b)(c+d)(a-rc)、”kb.+八a)?

(3)查表比較/與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷./越大，對應(yīng)假設(shè)事件HO成立

(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，"o不成立的概率越大.

例4為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,

隨機(jī)抽查了IOO天空氣中的PM2?5和SCh濃度(單位：μg∕m3),得下表:

SO2

[0,50](50,150](150,475]

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

⑴估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且S02濃度不超過150”的

概率；

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表：

PM2.5濃度SCh濃度合計(jì)

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

合計(jì)

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.01的爐獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市一

天空氣中PM2.5濃度與SCh濃度有關(guān)？

?___________n(ad—be)1________

附：r=Ca+b)(c+√)(α+c)(?+√)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市IOO天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SCh濃度

不超過150的天數(shù)為32+18+6+8=64,

因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SCh濃度不超過150的概率的估

計(jì)值為磊=0.64.

(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2X2列聯(lián)表：

PM2.5SO2濃度

合計(jì)

濃度[0,150](150,475]

[0,75]641680

(75,115]101020

7426100

(3)零假設(shè)為Ho：該市一天空氣中PM2.5濃度與SCh濃度無關(guān).根據(jù)(2)的列聯(lián)表得

IOOX(64X10^16X1012《84>6635=xoo.

z80×20×74×26001-

根據(jù)小概率值α=0?01的*獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷乩不成立，即認(rèn)為該市一天空

氣中PM2.5濃度與SCh濃度有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.

易錯(cuò)提醒I.Z2越大兩分類變量無關(guān)的可能性越小，推斷犯錯(cuò)誤的概率越小，通

過表格查得無關(guān)的可能性.

2.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，并不是指兩個(gè)變量無

關(guān)的可能性為0.01.

訓(xùn)練3(1)某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡某視頻APP是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，

其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的一半，男生喜歡某視頻APP的人數(shù)占男生人

12

數(shù)的女生喜歡某視頻APP的人數(shù)占女生人數(shù)的宗若依據(jù)小概率值α=0?050

OJ

的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡某視頻APP和性別有關(guān)，則男生至少有()

A.12人B.6人

C.10人D.18人

附：

a0.0500.010

Xa3.8416.635

2_________nQad-be)2________

(a+b)(c+d)(α+C)

(2)(多選)某大學(xué)為了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和

50名女生，每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到如表所示的列

聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算*^4?762,則下列結(jié)論正確的是()

性別

對食堂服務(wù)的滿意度

凝-不滿意

男3020

女4010

a0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

3

A.該校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為］

B.調(diào)研結(jié)果顯示，該校男生比女生對食堂服務(wù)更滿意

C.依據(jù)小概率值α=0?050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價(jià)

有差異

D.依據(jù)小概率值α=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價(jià)

有差異

答案（I）A（2）AC

X

解析（1）設(shè)被調(diào)查的男生人數(shù)為X,則被調(diào)查的女生人數(shù)為會則2X2列聯(lián)表為

對某視頻APP的態(tài)度

性別合計(jì)

喜歡不喜歡

X5x

男生X

66

XXX

女生

362

X3x

合計(jì)X

2~2

零假設(shè)為Ho：喜歡某視頻APP和性別無關(guān)，

根據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡某視頻APP和性別有關(guān),

3x(XZ5XX)2

貝∕2≥3.841,即χ2=~~^-=^^3.841=xo.θ5θ,

χ-2'2-x

3.841X8

則X2F0.243,

3

又看y的為整數(shù),

所以男生至少有12人.

⑵對于A,該校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為五3瓷0G=3W故A正確；

4（）43

對于B,該校女生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為/歷=]>*故B錯(cuò)誤;

2

因?yàn)楱M^4.762>3.841=XO.O5O,

所以根據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評

價(jià)有差異，故C正確，D錯(cuò)誤.

高分訓(xùn)練對接高考重落實(shí)迎高考

一、基本技能練

1.鄉(xiāng)村旅游是以旅游度假為宗旨，以村莊野外為空間，以人文無干擾、生態(tài)無破

壞為特色的村野旅游形式.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了某地區(qū)喜歡鄉(xiāng)村旅游的1000名游客,

這些游客都是在A,B,C,D,E這5個(gè)平臺中的一個(gè)預(yù)訂出游的（每名游客只選

擇1個(gè)平臺），得到一個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示.已知在E平臺預(yù)訂出游的人

數(shù)是在B平臺預(yù)訂出游的人數(shù)的1.75倍，則估計(jì)1000名游客中在B平臺預(yù)訂出

游的人數(shù)為（）

A.100B.120

C.210D.300

答案B

解析設(shè)在B平臺預(yù)訂出游的人數(shù)與在E平臺預(yù)訂出游的人數(shù)分別為尤，y,

則y=L75x,且亮需=1—20%—17%—3O%=33%,

所以x+y=330,所以X=I20.

2?（2022?廈門模擬）廈門中學(xué)生助手通過統(tǒng)計(jì)已知某校有教職工560人，其中女職

工240人，現(xiàn)按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則抽取的

男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是（）

A.2B.4

C.6D.8

答案B

解析某校有教職工560人，其中女職工240人，則男職工320人,

故男女職工人數(shù)之比為320瑞與4

現(xiàn)按性別用分層隨機(jī)抽樣方法從該校教職工中抽取28人,

則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之比為*

4

則抽取的男職工人數(shù)為28X]=16,

3

抽取的女職工人數(shù)為28X]=12,

故抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是16-12=4.

故選B.

3?（2022?福州模擬）中國營養(yǎng)學(xué)會把走路稱為“最簡單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它

不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.下圖為甲、乙

兩人在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖：

甲、乙日步數(shù)折線統(tǒng)計(jì)圖―甲

■乙

星期-星期二星期三星期四星期五星期六星期日

則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600

B.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是7030

C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙

D.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙

答案B

解析對于A,甲的日步數(shù)從小到大排列為：2435,7965,9500,11600,12700,

16000,16800.

中位數(shù)是11600.故A正確;

對于B,因?yàn)?X30%=2?l,所以乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是從小到大的第3個(gè)

數(shù)，為10060.故B不正確；

-1

對于C,Λ?=](16000+7965+12700+2435+16800+9500+11600)=11000,

xi=?(14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060)=10500.

所以X甲＞尤乙故C正確；

對于D,甲的極端值，對方差的影響大，所以甲日步數(shù)的方差大于乙.故D正確.

4.(多選)為學(xué)習(xí)貫徹黨的十九屆六中全會精神，某單位組織“筑夢新時(shí)代”主題演

講活動.9位評委對某位選手的具體評分如下：7.8,8.4,8.5,8.6,8.8,8.9,9.5,

9.7,9.9,則下列說法正確的是()

A.9位評委的評分的極差是2.1

B.9位評委的評分的中位數(shù)是8.8

C.9位評委的評分的平均分是8.8

D.9位評委的評分的方差是甚

答案ABD

解析9位評委的評分的極差是9.9-7.8=2.1,故A正確；

9位評委的評分的中位數(shù)是8.8,故B正確；

9位評委的評分的平均分是

7.8+8.4+8.5+8.6+8.8+8.9+9.5+9.7+9.980.1.”

----------------------------9----------------------------=-g-=8.9,故C錯(cuò)樂；

9位評委的評分的方差為?=∣×f(7.8-8.9)2+(8.4-8.9)2+(8.5-8.9)2+(8.6-

37231

8.9)2+(8.8-8.9)2+(8.9-8.9)2+(9.5-8.9)2+(9.7-8.9)2+(9.9-8.9)2]=^X^=^,

y/?

故D正確.故選ABD.

5.(多選)下列說法正確的是()

A.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變

B.設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量X,y的相關(guān)系數(shù)為r,則用越接近于0,X和y

之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

C.在一個(gè)2X2列聯(lián)表中，由計(jì)算得好的值，則爐的值越小，判斷兩個(gè)變量有關(guān)

的把握越大

D.若X?N(l，σ2),P(X>2)=0.2,則P(OVXVI)=0.3

答案AD

解析對于A,方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上

或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故A正確；

對于B,具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量無，y的相關(guān)系數(shù)為r,則IH越接近于1，X

和y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B錯(cuò)誤；

對于C,在一個(gè)2X2列聯(lián)表中，由計(jì)算得了2的值，則爐的值越大，判斷兩個(gè)變

量有關(guān)的把握越大，故C錯(cuò)誤；

對于D,=X?N(l,哈,

：.P(0<X<1)=P(1<X<2)=P(X>1)-P(X>2)=0.5-0.2=0.3,故D正確.

故選AD.

6.(多選)(2022.濟(jì)南模擬)某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過隨機(jī)抽樣，獲得

了200名男生的100米體能測試成績(單位:秒),將數(shù)據(jù)按照［11.5,12),［12,12.5),…,

［15.5,16］分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

由直方圖推斷，下列選項(xiàng)正確的是()

A.直方圖中α的值為0.38

B.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績的眾數(shù)為13.75秒

C.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績不大于13秒的人數(shù)為54

D.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測試成績的中位數(shù)為13.7秒

答案BC

解析對A,由于(0.08+0.16+0.3+α+0.52+0.3+0.12+0.08+0.04)X0.5=l,

所以α=0?4,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對B,由頻率分布直方圖可知，［13.5,14)這一組對應(yīng)的小長方形最高，所以估計(jì)

眾數(shù)為『一=13.75(秒)，所以選項(xiàng)B正確;

對C,由頻率分布直方圖知不大于13秒為前三組，前三組的人數(shù)為(0?08+0?16+

0.3)×0.5×200=54,所以選項(xiàng)C正確；

對D,由選項(xiàng)A可知，α=0.4,所以前四組的頻率為(0.08+0.16+0.3+0.4)X0.5

=0.47,前五組的頻率為(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)X0.5=0.73,所以中位數(shù)在

[13.5,14)這一組，設(shè)中位數(shù)為X秒，則(%—13.5)X0.52=0.5—0.47,解得XQI3.56,

所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.綜上，選BC.

7.某校高二年級共有學(xué)生IoOO人，其中男生480人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨

機(jī)抽樣的方法從高二全體學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本,若樣本按比例分配,

則女生應(yīng)抽取的人數(shù)為.

答案52

解析某校高二年級有學(xué)生IoOO人，男生480人，則女生520人，

設(shè)女生應(yīng)抽取X人，則備=儡，

?x=52.

故女生應(yīng)抽取52人.

8.某設(shè)備的使用年限與所支出的維修費(fèi)用的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

使用年限M單位：年)23456

維修費(fèi)用y(單位：萬元)1.54.55.56.57.0

根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為;=1.3x+),據(jù)此模型預(yù)測，若使用年限為14年,

估計(jì)維修費(fèi)約為萬元.

答案18

2+3+4+5+6

解析X=?=4,

1.5+4.5+5.5+6.5+7.0

y=s=5,

則樣本點(diǎn)中心為(4,5),代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得α=5—1.3X4=-0.2,y=l.3χ-

0.2,

當(dāng)%=14時(shí)，(=1.3X14—0.2=18(萬元)，即估計(jì)使用14年時(shí)，維修費(fèi)用是18

萬元.

9.某駕駛員培訓(xùn)學(xué)校為對比了解“科目二”的培訓(xùn)過程采用大密度集中培訓(xùn)與周

末分散培訓(xùn)兩種方式的效果，調(diào)查了105名學(xué)員，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：接受大密度集中

培訓(xùn)的55名學(xué)員中有45名學(xué)員一次考試通過,接受周末分散培訓(xùn)的50名學(xué)員一

次考試通過的有30名.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，認(rèn)為“能否一次考試通過與是否集中培訓(xùn)

有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過.

2___________〃(ad—be)2__________

1?^(α÷∕?)(c+√)(α+C)Cb^?^d)

a0.050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

答案0.025

解析零假設(shè)為Ho:能否一次考試通過與是否集中培訓(xùn)無關(guān).

由題意，得到列聯(lián)表如下:

培訓(xùn)方式

合計(jì)

集中分散

一次考過453075

一次未考過102030

5550105

105×(45×20-10×30)2

55X50X75X30-≈6.1O9>5.O24=XO.O25.

根據(jù)小概率值α=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷Ho不成立，

即認(rèn)為“能否一次考試通過與是否集中培訓(xùn)有關(guān)”，此推斷犯錯(cuò)的概率不超過

0.025.

10.中國于2022年2月在北京成功地舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動會.共赴

冰雪之約，共享冬奧機(jī)遇，“冰雪經(jīng)濟(jì)”逐漸升溫，“帶動三億人參與冰雪運(yùn)動”

己從愿景變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，中國各地滑雪場的數(shù)量也由2015年的1255家增加到2021

年的3100家.下面是2016年至2021年中國滑雪場新增數(shù)量和滑雪場類型統(tǒng)計(jì)圖,

下列說法中正確的序號是.

2O16~2O21年全國滑雪場新增數(shù)量趨勢圖-數(shù)量：家

201620172018201920202021

2020年滑雪場類型圖2()21年滑雪場類型圖

①2021年中國滑雪場產(chǎn)業(yè)中大眾娛樂型滑雪場占比最高

②2016年至2021年中國滑雪場數(shù)量逐年上升

③2016年至2021年中國滑雪場新增數(shù)量逐年增加

@2021年業(yè)余玩家型滑雪場比2020年大眾娛樂型滑雪場數(shù)量多

答案①②④

解析由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，2021年中國滑雪場中大眾娛樂型滑雪場占比最高，故

①正確；

由柱狀圖可知，2016年至2021年中國滑雪場數(shù)量逐年上升，故②正確；

由柱狀圖可知，2020年比2019年下降了，故③不正確；

2021年，業(yè)余玩家型滑雪場的數(shù)量為31OOX38%=1178(家)，2020年，大眾娛

樂型滑雪場的數(shù)量為(3100—385)X40%=1086(家)，故④正確.

11.甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩

臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)

如下表：

產(chǎn)口質(zhì)量

機(jī)床

二級合計(jì)

等級一級品

品

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)根據(jù)小概率值α=0?01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床生

產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量有無差異.

7

2___________n(ad-be)^__________

'X(α+b)(c+d)(α+C)Cb+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

解(1)因?yàn)榧讬C(jī)床生產(chǎn)的200件產(chǎn)品中有150件一級品，

所以甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為端=點(diǎn)

因?yàn)橐覚C(jī)床生產(chǎn)的200件產(chǎn)品中有120件一級品，

所以乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為12品0=13

(2)零假設(shè)為Ho：

甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量沒有差異.

根據(jù)2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，

zθ,400X(150*80—120*50)2400

付％=270×130×200×200=與■七10256,

因?yàn)?O.256>6.635=ΛO.OI,

所以推斷“0不成立，

即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

12.2022年新冠病毒奧密克戎毒株全球蔓延，傳染性更強(qiáng)、潛伏期更短、防控難度

更大.為落實(shí)動態(tài)清零政策下的常態(tài)化防疫，某高中學(xué)校開展了每周的核酸抽檢工

作：周一至周五，每天中午13：00開始，當(dāng)天安排450位師生核酸檢測，五天時(shí)

間全員覆蓋.

(1)該校教職工有410人，高二學(xué)生有620人，高三學(xué)生有610人，

①用分層隨機(jī)抽樣的方法，求高一學(xué)生每天抽檢人數(shù)；

②高一年級共15個(gè)班，該年級每天抽檢的學(xué)生有兩種安排方案，方案一：集中來

自部分班級；方案二：分散來自所有班級.

你認(rèn)為哪種方案更合理，并給出理由.

(2)學(xué)校開展核酸抽檢的第一周，周一至周五核酸抽檢用時(shí)記錄如下:

第X天12345

用時(shí)》(小時(shí))1.21.21.11.01.0

①計(jì)算變量X和y的相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01),并說明兩變量線性相關(guān)的強(qiáng)弱；

②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果，判定變量X和y是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)，并給出可能的

原因.

n--

ΣCx-x)(y—y)

i=1

參考數(shù)據(jù)和公式：√10^3.16,相關(guān)系數(shù)r=

nn

Σ(x-x)2ΣCy∣-y)2

Z=Iz=l

450×5-410-620-610

解(①高一學(xué)生每天抽檢人數(shù)為=122(人)；

1)5

②方案二更合理，因?yàn)樾鹿诓《緤W密克戎毒株傳染性更強(qiáng)、潛伏期更短，分散抽

檢可以全面檢測年級中每班學(xué)生的狀況，更有利于防控篩查工作.

-1-1

(2)①x=g(l+2+3+4+5)=3,y=?(1.2+1.2+1.1+1+1)=1.1,

5_

所以Σ(Xi—x)(y∕—y)=—2×0.1+(—1)×0.1+1×(—0.l)+2×(—0.1)=—0.6,

Z=I

55

Σ(XLX)2=4+1+1+4=10,Σ(γz-γ)2=0.01+0.01+0.01+0.01=0.04.

z=lz=l

變量X和y的相關(guān)系數(shù)為r=

5

ΣCx-x)(y(—y)

____i=1____________—0.6____13―

Γ~5I5I√Tθ×√(λδ4-√Iθ^-0-95'

Λ/z?(XLX)22](yj-y)2

因?yàn)楱Or∣>0?75,可知兩變量線性相關(guān)性很強(qiáng)；

②由rV0可知變量無和y是負(fù)相關(guān)，可能的原因：隨著抽檢工作的開展，學(xué)校相

關(guān)管理協(xié)調(diào)工作效率提高，因此用時(shí)縮短.

二、創(chuàng)新拓展練

13.(多選)下表是某生活超市