2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納：全等模型-倍長中線與截長補(bǔ)短模型（教師版）

專題13全等模型-倍長中線與截長補(bǔ)短模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三

角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1?倍長中線模型

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添

加輔助線.所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角

形的有關(guān)知識來解決問題的方法.（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。

【常見模型及證法】

1、基本型：如圖1,在三角形A8C中，為8c邊上的中線.

證明思路:延長AD至點(diǎn)E,使得AD=DE.若連結(jié)BE,則ABDE=ACDA；若連結(jié)EC,則AABD=AECD；

圖3

2、中點(diǎn)型:如圖2,C為A3的中點(diǎn).

證明思路：若延長EC至點(diǎn)尸，使得CF=EC,連結(jié)AF,則ABCEMAACF；

若延長。C至點(diǎn)G,使得CG=DC,連結(jié)BG,則AACDwABCG.

3、中點(diǎn)+平行線型：如圖3,A6〃CD,點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn).

證明思路：延長CE交A3于點(diǎn)尸（或交84延長線于點(diǎn)廠），則△田CMAEAE.

例1.（2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測）（1）閱讀理解：

如圖①，在.ABC中，若AB=8,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到△EB。，在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即

可判斷中線AD的取值范圍是；

（2）問題解決：如圖②，在&ABC中，。是3c邊上的中點(diǎn)，DE上DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交

AC于點(diǎn)連接政，求證：BE+CF>EF；

（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，ZS+ZD=180°,CB=CD,ZSCD=100°,以C為頂點(diǎn)作

一個50。的角，角的兩邊分別交A3、AD于E、P兩點(diǎn)，連接收，探索線段BE,DF,斯之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

（圖①）（圖②）（圖③）

313

【答案】（1）-<AD<—；（2）見詳解；（3）EF=BE+DF,理由見詳解

22

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明ADC=EDB,AC=BE=6,AD=ED,在aABE中根據(jù)三角形三邊

關(guān)系即可得出答案；（2）延長FD至M,使DF=DM,連接BM,EM,可得出=根據(jù)垂直平分線的

性質(zhì)可得出=利用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

（3）延長AB至N,使BN=DF,連接CN,可得=證明，NBC二,FDC,得出CN=CF,NNCB=/FCD,

利用角的和差關(guān)系可推出NECN=50o=￡CF,再證明一NCE三.FCE,得出EN=EF,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（]）^AD=ED,CD=BD,ZADC=Z.BDE

ElADC=.EDB^]AC=BE=5,AD=ED

在△ABE中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出：AB-BE<AE<AB+BE,即3<2AD<13

團(tuán)3;<AO<139故答案為：313

2222

（2）延長FD至M,使DF=DM,連接BM,EM,

同(1)可得出CF=3M,SFD=MD,FD±DE^EF=EM

在△BEM中，BE+BM>EMSBE+CF>EF；

(3)EF=BE+DF,理由如下：延長AB至N,使BN=DF,連接CN,

0ZABC+ZD=180°,ZABC+ZNBC=180°回ZNBC=ZD

0NBC=.FDC回CF=CN,NNCB=ZFCD

0/BCD=100°,ZFCE=5000ZECN=50°=ECF

0_NCE土FCE(SAS)@EN=EF

國EF=EN=BE+BN=BE+DF回EF=BE+DF.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形三

邊關(guān)系、角的和差等，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出與圖①中結(jié)構(gòu)相關(guān)的圖形.此題結(jié)構(gòu)精巧，

考查范圍廣，綜合性強(qiáng).

例2.(2023?貴州畢節(jié)?二模)課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

(1)如圖1,0A8C中，若AB=5,AC=3,求8c邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到

了如下的解決方法：延長到點(diǎn)E,使請根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程.

(2)如圖2,AD是EIABC的中線，8E交AC干E,交AD于F,MAE=EF.請判昕AC與8尸的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

【答案】⑴見解析(2)AC=8F,理由見解析

【解析】(1)解：如圖，延長到點(diǎn)E,使。E=A￡>,連接BE,

AD=DE

在AAOC和AEOB中回=/即3,0AAOC0AEDB(SAS).EIBE=4C=3.

CD=DB

^AB-BE<AE<AB+BE^\2<AE<8.0A￡=2A￡@1<A￡?<4.

AA

JE

:D__s—c

（2）AC=BF,理由如下：延長A。至點(diǎn)G,GD=AD,連接BG,

AD=DG

在AAOC和AGOB中，＜NADC=NGDB,B^ADC^^GDB（SAS）.SBG^AC,SG^DAC..

BD=CD

^AE=EF^AFE=BFAE.SEDAC=SAFE=WFGSEG=^BFGS]BG^BF^AC=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，作輔助線：延長4。到點(diǎn)E,使。E=AD

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022?山東?安丘市一模）閱讀材料：如圖1,在ASC中，D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，小亮在證

明"三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長。E到點(diǎn)F,使EF=DE,連接CR

圖1圖2圖3

類比遷移：（1）如圖2,AD是A9C的中線,石是AC上的一點(diǎn),8E交于點(diǎn)F，且A￡=EP,求證：AC=族.

小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明.

證明：如圖2,延長至點(diǎn)使MD=FD,連接MC,......

請根據(jù)小亮的思路完成證明過程.

方法運(yùn)用：（2）如圖3,在等邊A5C中，。是射線2C上一動點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AO.把線段

CD繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到線段。E,E是線段BE的中點(diǎn)，連接。/、CF.請你判斷線段。尸與AD的

數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=2DF,證明見解析

【分析】（1）延長A。至使MD=FD,連接MC,證明結(jié)合等角對等邊證明即可.

（2）延長。/至點(diǎn)M,使￡＞尸=改以，連接BM、AM,證明△ABMVAACZXSAS）,是等邊三角形,

代換后得證.

【詳解】（1）證明：延長AO至M,使MD=FD,連接MC.

BD=CD

在，瓦R和VCD”中，\ZBDF=ZCDM,國ABDF迫ACDM,SMC=BF,ZM=NBFM,

DF=DM

SAE^EF,^ZEAF=ZEFA,回/FFA=/RFM,EZM=ZM4C,EIAC=MC,^AC=BF.

(2)線段D尸與A￡＞的數(shù)量關(guān)系為：AD=2DF.

證明如下：延長。尸至點(diǎn)M,使勿'=人欣，連接AM,如圖2所示：

回點(diǎn)P為BE的中點(diǎn)，S\BF=EF

BF=EF

在?BFM和AEFD中，如NBFM=ZEFD,回ABFM^AEFD(SAS)

FM=DF

國BM=DE,ZMBF=ZDEF,@BM〃DE回線段。繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到線段。E

0CD=DE=BM,ZBDE=120°,0ZMBD=180°-120°=60°

0ABC是等邊三角形回AB=AC,ZABC=ZACB^60°,0ZABM=ZABC+ZMBD=60°+60°=120°

0ZACD=180°-ZACB=180°-60°=120°,^ZABM^ZACD

AB=AC

在tABM和AACD中，0-^ABM=ZACD,回△ABM空△ACD(SAS)

BM=CD

^AM=AD,NBAM=NCAD,0ZMAD=ZMAC^ZCAD=ZMAC+ZBAM=ZBAC=60°

回AMD是等邊三角形，^\AD=DM=2DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和

性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例4.(2022?河南商丘?一模)閱讀材料

如圖1,在0ABe中，D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于

第三邊的一半”時，通過延長。E到點(diǎn)/，使EF=DE,連接CF,證明HADEEHCPE,再證四邊形。是平

行四邊形即得證.

ffll圖2圖3

⑴類比遷移：如圖2,是0ABe的中線，BE交AC于點(diǎn)E,交于點(diǎn)RS.AE=EF,求證：AC=BF.

小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明.

證明：如圖2,延長AO至點(diǎn)使MD=FD,連接MC,......請根據(jù)小明的思路完成證明過程.

(2)方法運(yùn)用：如圖3,在等邊中，。是射線8C上一動點(diǎn)(點(diǎn)。在點(diǎn)C的右側(cè))，連接40.把線段CD

繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到線段。E.尸是線段BE的中點(diǎn)，連接。F,CF.請你判斷線段。尸與的數(shù)量

關(guān)系，并給出證明；

【答案】(1)見解析(2)線段。/與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD=2DF,證明見解析；

【分析】(1)類比材料，運(yùn)用倍長中線輔助線作法，證得結(jié)論.

(2)運(yùn)用倍長中線輔助線作法，結(jié)合三角形全等證明及等邊三角形性質(zhì)，得出結(jié)論.

(1)證明：如圖，延長至使知。=尸￡>,連接MC,

BD=CD

在回3。尸和回CDW中，回＜N8DF=ZCDM,

DF=DM

^BBDFWCDM(SAS),^MC=BF,SAE=EF,S3\EAF=SEFA,

^S\EFA=SBFM,EEIM=0MAC,0AC=MC,^AC=BF-,

(2)解：線段。尸與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD=2DF,

證明如下：延長。尸至點(diǎn)使。歹連接3M、AM,如圖所示：

團(tuán)點(diǎn)方為3石的中點(diǎn)，^\BF=EF,

BF=EF

在團(tuán)3/M和團(tuán)EFO中，^\ABFM=AEFD,回團(tuán)8/M回回EFQ(SAS),

FM=DF

田BM=DE,^\MBF=BDEF,BBM^\DE,

團(tuán)線段CD繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到線段。E,SCD=DE=BM,SBDE=120°,

00A/BD=18O°-120°=60°,EEL4BC是等邊三角形，

0A8=AC,EABC=a4CB=60°,0EABM=EIABC+IWBD=60°+60°=120°,

00ACD=180°-EACB=180°-60°=120°,m\BM=SACD,

AB=AC

在0ABM和BACQ中，回|NABM=ZACD,HEABA10EACD(SAS),

BM=CD

EIAM=AD,SBAM^SCAD,EHMA￡)=0MAC+l3CAr)=IWAC+l32AM=Eia4C=60°,

EEAMD是等邊三角形，EAD=DM=2DF；

【點(diǎn)睛】本題考查了倍長中線的輔助線作法，全等三角形的證明，在倍長中線構(gòu)造全等三角形的基礎(chǔ)上,

綜合運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

模型2.截長補(bǔ)短模型

【模型解讀】

截長補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,

可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補(bǔ)短法(往往需證2次全等)。

截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段。

【常見模型及證法】

(1)截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。

例：如圖，求證8E+DC=A。

Dn

方法：①在上取一點(diǎn)兒使得證。E=OC；②在上取一點(diǎn)凡使。尸=OC,證AE=BE

（2）補(bǔ)短：將短線段延長，證與長線段相等

例：如圖，求證BE+Z）C=A。

方法：①延長QC至點(diǎn)M處，使CM=BE,證。M=A。；②延長。。至點(diǎn)M處，使。M=A。，證CM=B￡

例L（2023?重慶?九年級專題練習(xí)）如圖，已知AZMBC,&R42的平分線與回CBA的平分線相交于E,CE的

連線交AP于。.求證：AD+BC=AB.

【答案】證明見解析

【分析】如圖，在AB上截取A"=">,證明—ADE^.AHE,再證明—HBE空CBE,可得BC=BH,從而可得

結(jié)論.

【詳解】證明：如圖，在A8上截取A"=A2

AE平分NZM8,ZDAE=ZHAE,AE=AE,:.一ADELAHE,

ZADE=ZAHE,AD//BC,ZADE+ZBCE=180°,

ZA/7E+NBHE=18O。，:.NBCE=NBHE,BE平分NA8C,ZABE=ZCBE,

BE=BE,:.*HBE￡CBE,:.BC=BH,AB=AH+HB,:,AB=AD+BC.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用截長補(bǔ)短的方法證明兩條線段的和等于另一條

線段"是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?廣東肇慶??？家荒＃┱n堂上，老師提出了這樣一個問題:

AA

圖2

圖4

如圖1,在“ABC中，平分ZB4C交BC于點(diǎn)。，S.AB+BD=AC,求證：NABC=2NACB,小明的方

法是：如圖2,在AC上截取AE,使AE=AB,連接OE,構(gòu)造全等三角形來證明.

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法"，那么還可以用“補(bǔ)短法"通過延長線段A3構(gòu)造全等三角形進(jìn)

行證明.輔助線的畫法是：延長A8至R使BF=,連接”請補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在

圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；

（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：

如圖3,點(diǎn)。在ABC的內(nèi)部，AD,BD,CD分別平分/BAC,ZABC,ZACB,S.AB+BD=AC.求證:

ZABC=2ZACB.請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；

⑶小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：

如果在jlfiC中，NABC=2NACB,點(diǎn)。在邊8C上，AB+BD=AC,那么AD平分NBAC小東判斷這個

命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的.請你利用圖4對這個命題進(jìn)行證明.

【答案】⑴8。，證明見解析⑵見解析⑶見解析

【分析】（1）延長A3至足使BF=BD,連接DA根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到NABC=2/斤，則可利用SAS

證明—ADR三.ADC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）在AC上截取AE,使AE=AB,連接小，則

可利用SAS證明△AOB'ZXAZ汨，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）延長A5至G,使BG=BD,

連接OG,則可利用SSS證明LADGWADC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）證明：（1）如圖1,延長A3至凡使BF=BD,連接。歹，則=N產(chǎn)，0

ZABC=ZBDF+ZF=2ZF,回AT>平分/R4C回NB4D=NCW,

團(tuán)AB+BD—AC,BF=BD,團(tuán)AF=AC,

AF=AC

在△AD尸和△ADC中，\^BAD=ZCAD,0ADF^ADCCSAS),

AD=AD

團(tuán)NACB=N產(chǎn)，^\ZABC=2ZACB.故答案為：BD.

(2)證明：如圖3,在AC上截取AE,使AE=A5,連接?！?/p>

國AD,BD,CD分別平分NBAGZABC,ZACB,

⑦ZDAB=NDAE,ZDBA=ZDBC,/DCA=/DCB,

國AB+BD=AC,AE=AB,⑦DB=CE,

'AB=AE

在J和VXD石中，</DAB=/DAE,回ADB=ADE(SAS),

AD=AD

⑦BD=DE,ZABD=ZAED,國DE=CE,⑦/EDC=/ECD,

?ZAED=2/ECD,國NABD=2NECD,^\ZABC=2ZACB.

(3)證明：如圖4：延長A5至G,使BG=BD,連接。G,則NBDG=NAGD,

I?]ZABC=ZBDG+ZAGD=2ZAGD,^\ZABC=2ZACB,團(tuán)ZAGD=ZACB,

回AB+BD=AC,BG=BD,團(tuán)AG=AC,回ZAGC=ZACG,⑦ZDGC=ZDCG,團(tuán)DG=DC,

AG=AC

在△ADG和AWC中，\DG=DC,^.ADG^,A￡>C(SSS),SZDAG^ZDAC,即A￡>平分NBAC.

AD=AD

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用全等三角形的

判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.

例3.（2023?廣西,九年級專題練習(xí)）在四邊形A8OE中，C是8。邊的中點(diǎn).

⑴如圖（1）,若AC平分SBAE,0AC￡=9O°,則線段AE、AB,OE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直

接寫出答案）；（2）如圖（2）,AC平分I3&1E,EC平分刻磯），若0ACE=12O。，則線段A3、BD、DE、AE的長

度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明.

圖（1）圖⑵

【答案】⑴AE=48+r>￡；⑵猜想：AE=AB+DE+^BD,證明見解析.

【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)R使A尸=48,由三角形全等的判定可證得AAC2國ACR根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)可得BC=bC,^ACB=SACF,根據(jù)三角形全等的判定證得ACEflfflCE。，得到E代ED,再由線段的和差

可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點(diǎn)E使連接CF在AE上取點(diǎn)G,使EG=ED,連接CG,根據(jù)

全等三角形的判定證得"CB團(tuán)0ACF和△ECDHSECG,由全等三角形的性質(zhì)證得CF=CG,進(jìn)而證得ACFG是

等邊三角形，就有尸G=CG=^BD從而可證得結(jié)論.

【詳解】（1）理由：在AE上取一點(diǎn)F,使

0AC平分MAE,SBBAC^FAC.

AB=AF

在EACB和0AC尸中，■ABAC=ZFAC,EBACBEHACF(SAS),0BC=FC,0ACB=0ACF.

AC=AC

EIC是8。邊的中點(diǎn)，SBC=CD,ECF=CD.

EEACE=90°,aaAC8+El￡>CE=90°,EL4B+E1EC尸=90°,^ECF^ECD.

CF=CD

在EICEP和回CEO中，\^ECF=ZECD,^CEF^\CED(SAS),0￡F=ED.

CE=CE

^AE=AF+EF,^AE=AB+DE.故答案為：AE=AB+DE；

(2)猜想：AE^AB+DE+^BD.

證明：在AE上取點(diǎn)B,AF=AB,連結(jié)CR在AE上取點(diǎn)G,使EG=ED,連結(jié)CG.

EIC是3￡>邊的中點(diǎn)，^\CB=CD=^BD.0AC平分EIBAE,00BAC=0MC.

AB=AF

在財CB和財CT中，-ZBAC=ZFAC,00ACB0E1ACF(SAS),

AC=AC

0CF=CB,00BCA=EFC4,同理可證：CD=CG,^DCE=^GCE.

SCB=CD,SCG=CF.EHACE=120°,00BCA+0DCE=18O°-120°=60°,

^FCA+SGCE=60a,EEIFCG=60o,EBPGC是等邊三角形，SFG=FC=^BD.

^AE=AF+EG+FG,SAE=AB+DE+^BD.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，

能熟練應(yīng)用三角形全等的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

例4.（2023?廣東?九年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1,在四邊形ABC。中，對角線平分NA3C,

ZA+ZC=180°.求證：DA=DC.

思考：“角平分線+對角互補(bǔ)"可以通過"截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題.

方法1：在BC上截取8欣=54,連接DM,得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；

方法2：延長54到點(diǎn)N,使得BN=BC,連接。N,得到全等三角形，進(jìn)而解決問題.

結(jié)合圖1,在方法1和方法2中佳漁：竹，添加輔助線并完成證明.

（2）問題解決：如圖2,在（1）的條件下，連接AC,當(dāng)4MC=60。時，探究線段A3,BC,之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3,在四邊形A3CD中，ZA+ZC=180°,DA=DC,過點(diǎn)

。作DEL3C,垂足為點(diǎn)E,請直接寫出線段A3、CE、8C之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）證明見解析；（2）AB+BC=BD；理由見解析；（3）BC—AB=2CE.

【分析】（1）方法1：在3c上截取3M=54,連接AM,得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長54

到點(diǎn)N,使得3N=3C,連接。N,得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；

（2）延長CB到點(diǎn)P,使3尸=54,連接AP,證明A/XCZAS4。，可得PC=,即尸C=BP+3C=AB+8C

（3）連接BD,過點(diǎn)。作OP_LAC于P,證明ADE4絲ADEC,RtABDF^RtAfiDE,進(jìn)而根據(jù)

BC=BE+CE=BA+AF+CE=54+2CE■即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）方法1：在BC上截創(chuàng)1=54,連接。如圖.

BD=BD

8□平分/ABC,:.ZABD=ZCBD.在AABD和AMBD中,ZABD=ZMBD,

BA=BM

.-.AABD^AMBD,:.ZA=ZBMD,AD=MD.

ZBMD+ZCMD=18Q),ZC+ZA=180°.：.ZC=ZCMD.DM-DC,DA=DC.

圖1圖1圖2

方法2：延長54到點(diǎn)N,使得BN=BC,連接DN,如圖.

3D平分ZABC,:.ZNBD=ZCBD.

BD=BD

在AA?￡>和ACBD中，\ZNBD=ZCBD,：.^NBD^ACBD.:.ZBND=ZC,ND=CD.

BN=BC

ZNAD+ZBAD=180°,NC+N&W=180°.:.NBND=NNAD,DN=DA,DA=DC.

（2）AB.BC、2。之間的數(shù)量關(guān)系為：AB+BC=BD.（或者：BD-CB=AB,BD-AB=CB）.

延長CB到點(diǎn)P,使3尸=54,連接AP,如圖2所示.

由（1）可知AD=CD,ZDAC=60°.二AADC為等邊三角形.:.AC=AD,ZADC=60°.

ZBCD+ZBAD=180°,ZABC=360°-180°-60°=120°.ZPBA=180°-ZABC=60°.

BP=BA,為等邊三角形./.ZPAB=60°,AB=AP.

ZDAC=60°,ZPAB+ZBAC=ADAC+ABAC,APAC=ABAD.

PA=BA

在A^4C和ABAD中，\^PAC=ABAD,..APAC絲ABAD.:.PC=BD,

AC=AD

PC=BP+BC=AB+BC,:.AB+BC=BD.

（3）AB,CE,BC之間的數(shù)量關(guān)系為：BC—AB=2CE.（或者：BC-2CE=AB,AB+2CE=BC）

解：連接3。，過點(diǎn)。作。尸，AC于尸，如圖3所示.

圖3

,ABAD+AC=\^,ZBAD+ZMZ>=180°.:.ZFAD=ZC.

'NDFA=NDEC

在AD網(wǎng)和ADEC中，-NFAD=NC,..ADM^ADEC,:,DF=DE,AF=CE.

DA=DC

[BD=BD

在RtAfiZ加和RtABDE中，\RtABDF^RtASDE.:.BF=BE,

DF=DE

BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,:.BC-BA=2CE.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練：

1.（2023秋?福建福州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在0ABe中，AB=4,AC=2,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，則

的長可能是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延長到E，使。E=A￡>,連接8E.證△AOCHaEDB（SAS）,可得BE=AC=2,再利用三角形

的三邊關(guān)系求出AE的范圍即可解決問題.

【詳解】解：延長AO到E,使DE=AD,連接BE,

AD=ED

在△AOC和△EOB中，I^ADC=ZEDB,^AD(SSEDB(SAS),0BE=AC=2,

CD=BD

在AABE中，AB-BE<AE<AB+BE,即2<2AD<6,解得1<AD<3,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟練證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?浙江湖州?二模）如圖，在四邊形A3CD中，AB//CD,AB1BD,AB=5,皮）=4,CD=3,

點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則BE的長為（）.

AB

A.2B.-C.J5D.3

2

【答案】C

【分析】延長BE交CO延長線于P,可證求出。尸，根據(jù)勾股定理求出8尸的長，從而求

出的長.

【詳解】解：延長2E交CD延長線于尸，".,AB//CD,：.ZEAB=ZECP,在△AEB和△(?￡1「中，

ZEAB=ZECP

<AE=CE:.△AEB"NEP(ASA)；,BE=PE,CP=AB=5

NAEB=ACEP

又,:CD=3,:.PD=2,團(tuán)3￡)=4團(tuán)BP=dDP2+BD2=2#)：-BE=』BP=君.故選：C.

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等，依據(jù)勾股

定理求出BP.

3.(2022?廣東湛江??？级?已知：如圖，一ABC中，E在8C上，。在班上，過E作于凡

4

ZB=Z1+Z2,AE=CD,BF=飛,則AZ)的長為.

QO

【答案】|/2-

【分析】在E4上取一點(diǎn)T,使得叮=3尸，連接ET,在CB上取一點(diǎn)K,使得CK=ET,連接OK.想辦

法證明AT=DK,DK=BD,推出m=47,推出打=AD即可解決問題.

【詳解】解：在E4上取一點(diǎn)T,使得FT=BF,連接ET,在CB上取一點(diǎn)K,使得CK=ET,連接DK.

0BF=FT,NEFB=NEFT=90°,EF=EF,

0_EFBg_EFT(SAS),^EB=ET,ZB=Z￡7B,

ElZETB=Z1+ZAET,ZB=Z1+Z2,0ZAET=Z2,

ElAE=CD,ET=CK,團(tuán)AETgDCK(5AS),

SDK=AT,ZATE=ZDKC,忸NETB=NDKB,

BZB=ZDKB,^DB=DK,SBD=AT,^AD=BT,

QQQ

SBT=2BF=~,SAD=-,故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常

用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

4.(2023秋?江西九江?八年級?？计谀?如圖，在ZkABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB=5,AC=13,AD

=6,則8C的長為.

【答案】2標(biāo)

【分析】延長AD到E,使。E=AD連接BE.先運(yùn)用SAS證明她￡)03回￡1汨，得出BEES.再由勾股定理

的逆定理證明出團(tuán)54￡=90。，然后在0A8。中運(yùn)用勾股定理求出8。的長，從而得出BC=2BD

［詳解］解：延長AD到E,使DE=AD,連接BE.

E

AD=ED

在EADC與團(tuán)即2中，I^ADC=ZEDB,00ADO30EDB（SAS）,SAC=BE=13.

CD=BD

在0A8E中，AB=5,AE=12,BE=13,^AB2+AE?=BE2,EBBAE=90°.

在B4BO中，回BAO=90°,AB=5,AD=6,SBD=^AB2+AD2=752+62=A/61-EIBC=2府.故答案為：2屈.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等.題中延長

中線的一倍是常用的輔助線的作法.

5.（2023秋?湖北武漢?八年級校考階段練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1,在ABC中，若鉆=3,AC=5.求2C

邊上的中線AD的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長AD至E,使/）E=AT）,連接BE.利用全等將

邊AC轉(zhuǎn)化到BE,在，中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線A。的取值范圍，在這個過程中小聰同學(xué)證

三角形全等用到的判定方法是，中線AD的取值范圍是；

（2）問題解決：如圖2,在ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，DM±DN.AM交A2于點(diǎn)V,DN交AC于

點(diǎn)N.求證：BM+CN>MN；

（3）問題拓展：如圖3,在，ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，分別以AB,AC為直角邊向,ABC外作RtABM

和RtZXACN,其中/區(qū)4M=4AC=90。，AB=AM,AC=AN,連接MN,請你探索A。與MN的數(shù)量

與位置關(guān)系.

圖I圖2圖3

【答案】（1）SAS,1<AD<4；（2）見解析；（3）2AD=MN,AD±MN

【分析】（1）通過證明VADCAED3,得到￡B=AC=5,在/WE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：

BE-AB<AE<AB+BE,即2<AE<8,從而可得到中線AD的取值范圍；

（2）延長ND至點(diǎn)、F,使.FD=ND,連接BEMF,通過證明△友力絲△CND（SAS）,得到3尸=C7V,由

DMLDN,FD=ND,得到M尸=MN,在,3舊0中，由三角形的三邊關(guān)系得：BM+BF>MF；

（3）延長于E,使得￡D=AD,連接BE,延長。A交MN于尸，證明△CD4/△B￡>E（SAS）得到

BE=AC,ZACD=ZEBD,證明△ABE之ZWlMSAS）得到MN=AE=2A￡>,ZBAE=ZAMN,在通過三

角形內(nèi)角和進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化即可得到AD，MN.

【詳解】（1）解：如圖1,延長AD至E,使DE=AD,連接BE,

AD為BC邊上的中線，.??■8￡>=CD,

AD=ED

在A4DC和△EDB中，-ZADC=ZEDB,/.A4DC^A￡DS(SAS),.-.EB=AC=5,

CD=BD

在，ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：BE-AB<AE<AB+BE,即2<AE<8,

AE=2AD,.-.2<2AD<8,.\1<AD<4,故答案為：SAS,1<AD<4；

(2)證明：如圖2中，延長至點(diǎn)/，使FD=ND,連接3尺M(jìn)F,

ND=NF

.點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，=在VBD廠和中，=

CD=BD

IB△BfD^ACZVD(SAS),0BF=CN,?DM_LDN,FD=ND,0MF=MN,

在，BEM中，由三角形的三邊關(guān)系得：BM+BF>MF,0BM+CN>MN；

(3)解：結(jié)論：2AD=MN,AD1MN,

如圖3,延長AD于E,使得ED=A￡>,連接BE,延長ZM交MN于尸，

BD=CD

點(diǎn)。是2c的中點(diǎn)，,3r>=CD,在8DE和qCZM中，=

AD=ED

「CZM空BDE(SAS),:.BE=AC,ZACD=ZEBD,

AMAN+Z.MAB+ABAC+ACAN=360°,ZBAM=ZNAC=90°,.\ZMAN+ZCAB=180o,

ZBAC+ZASC+ZACB=180°,/.ZMAN=ZABC+ZACB=ZABC+ZEBD=ZABE,

AM=AB

在AMAN和，ABE中，J/MAN=ZABE,ABE^MANIAS),

AN=BE

:.MN=AE=2AD,ZBAE=ZAMN,ZMAF+ZMAB+Z.BAE=180°,ZMAB=90°,

ZMAF+ZBAE=90°,Z.MAF+ZAMN=90°,:.AF±MN,^ADIMN.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等

三家形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模)如圖，四邊形ABDE中，ZABD=ZBDE=90°,C為邊8。上一點(diǎn)，連接AC,

EC,Af為AE的中點(diǎn)，延長交OE的延長線于點(diǎn)/，AC交團(tuán)0于點(diǎn)G,連接A暇交CE于點(diǎn)H.

⑴求證=(2)若AB=3C,DC=DE,求證：四邊形MGCH為矩形.

【答案】⑴見解析(2)見解析

【分析】(1)證明ABM^EFMQAAS),則瀏/=然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到

MB=MD-.(2)由RtABC和RJCDE都是等腰直角三角形得到ZCEZ)=/ACB=-45。，則可得到

NCED=NF,ZACB=NBDM,進(jìn)而可得CE〃叱，AC//DM,于是可判斷四邊形MGCH為平行四邊形,

加上NGMH=90°,則可判斷四邊形MGCH為矩形.

【詳解】(1)證明：0ZABC=ZCDE=9O^AB//DF^ZABF=ZF,

IBM■為AE的中點(diǎn)，^AM=ME,

ZABF=NF

在，ABM和“EFM中，1NAMB=ZEMF,0,ABM^EFM(AAS)

AM=ME

SBM=MF,回DW為Rt8D廠斜邊上的中線回MB=MD

(2)由(1)知AB=EF,又AB=BC,DC=DE,

SBD=BC+CD^AB+DE=EF+DF=DF,0瓦干為等腰直角三角形.

又由（1）知=^\DM±BF,NDBF=NF=NBDM=45,

又RtABC和RtCDE都是等腰直角三角形.0ZCED=ZACB=45,

0ZCEZ）=ZF,ZACB=ZBDM,^CE//BF,AC//DM,El四邊形MGCH為平行四邊形，

團(tuán)ZGMH=900平行四邊形MGCH為矩形,

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、矩形的判斷，掌握矩形的證明

步驟-先證明是平行四邊形，再證明有直角是解題關(guān)鍵.

7.（2023?廣東云浮?八年級統(tǒng)考期中）（1）閱讀理解：如圖①，在ABC中，若AB=8,AC=5,求8C邊上

的中線AD的取值范圍.可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)180得到△EBD,在中，

利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是；

（2）問題解決：如圖②，在.ABC中，。是邊上的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交

AC于點(diǎn)P,連接E廠，求證：BE+CF>EF；

（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=100°,以C為頂點(diǎn)作

一個50。的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE,DF,跖之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

【答案】（1）1.5<AE<6.5；（2）見解析；（3）BE+DF=EF,理由見解析

【分析】（1）如圖①：將△ACD繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)180得到△￡?￡>可得BDE=CDA,得出8E=AC=5,

然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，進(jìn)而求得AD的取值范圍；

（2）如圖②：△FDC繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到,ND3可得CFD,得出BN=CF,由線段垂直平

分線的性質(zhì)得出&V=EF,在BNE中,由三角形的三邊關(guān)系得出+即可得出結(jié)論；

（3）將_。。尸繞著點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100。得到..BC8可得HBC.FDC,得出

CH=CF,NHCB=NFCD,證出NECH=50。=NEB,再由SAS證明四，F(xiàn)CE,得出EN=EF,

進(jìn)而證明結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖①：將△ACD繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)180得到

0BDE^CDA（SAS）,S\BE=AC=5,AD=DEAD=^AE

是3c邊上的中線，QBD=CD,在"Bf■中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE<AE<AB+BE,

08-5<AE<8+5,BP3<AE<13,01.5<AD<6.5；故答案為L5VADV6.5；

(2)證明：如圖②：△FDC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180。得到，NOB

0BND=tCFD(SAS),0BN=CF,DN=DF0DELDF0EN=EF,

在」由田中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BN>EN,S\BE+CF>EF；

(3)BE+DF=EF,理由如下：如圖③，將繞著點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100。回BDCfl3aBC”,

SCH=CF,ZDCB=NFCH=100。0/HBC=ND,DF=BH

0ZABC+ZZ>=18OO0AHBC+ZABC^Y80°,回點(diǎn)A、B、X三點(diǎn)共線

EIN戶CW=100°,ZFCE=50°0ZECH=50°aNFCE=NECH,

CF=CH

在，HCE和△FCE中，<NECF=NECH,HCE嗎、FCE(SAS)SEH=EF,

CE=CE

^BE+BH=EH,DF=BH國BE+DF=EF.

圖③

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的三邊關(guān)系定理、旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)得到構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）（1）如圖1,A。是AABC的中線，延長A。至點(diǎn)E,使瓦＞=4。，連接CE.

①證明AAB?；谺EC。；②若AB=5,AC=3,設(shè)AD=x,可得x的取值范圍是；

（2）如圖2,在AABC中，。是BC邊上的中點(diǎn)，DE^\DF,DE交AB于點(diǎn)E,。尸交AC于點(diǎn)兄連接EF,

求證：BE+CF>