2016年北京高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（5分）（2016?北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，則A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）（2016?北京）若x，y滿足，則2x+y的最大值為（）A．0 B．3 C．4 D．53．（5分）（2016?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）（2016?北京）設(shè)，是向量，則“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）（2016?北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，則（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞06．（5分）（2016?北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．17．（5分）（2016?北京）將函數(shù)y=sin（2x﹣）圖象上的點P（，t）向左平移s（s＞0）個單位長度得到點P′，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則（）A．t=，s的最小值為 B．t=，s的最小值為C．t=，s的最小值為 D．t=，s的最小值為8．（5分）（2016?北京）袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．（5分）（2016?北京）設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a=．10．（5分）（2016?北京）在（1﹣2x）6的展開式中，x2的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）11．（5分）（2016?北京）在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0與圓ρ=2cosθ交于A，B兩點，則|AB|=．12．（5分）（2016?北京）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1=6，a3+a5=0，則S6=．13．（5分）（2016?北京）雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a=．14．（5分）（2016?北京）設(shè)函數(shù)f（x）=．①若a=0，則f（x）的最大值為；②若f（x）無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（13分）（2016?北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大??；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．16．（13分）（2016?北京）A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如表（單位：小時）：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（Ⅰ）試估計C班的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取一個人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（Ⅲ）再從A，B，C三班中各隨機抽取一名學(xué)生，他們該周鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大小．（結(jié)論不要求證明）17．（14分）（2016?北京）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，說明理由．18．（13分）（2016?北京）設(shè)函數(shù)f（x）=xea﹣x+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．19．（14分）（2016?北京）已知橢圓C：+=1（a＞0，b＞0）的離心率為，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為1．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N．求證：|AN|?|BM|為定值．20．（13分）（2016?北京）設(shè)數(shù)列A：a1，a2，…，aN（N≥2）．如果對小于n（2≤n≤N）的每個正整數(shù)k都有ak＜an，則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”，記G（A）是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合．（Ⅰ）對數(shù)列A：﹣2，2，﹣1，1，3，寫出G（A）的所有元素；（Ⅱ）證明：若數(shù)列A中存在an使得an＞a1，則G（A）≠?；（Ⅲ）證明：若數(shù)列A滿足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），則G（A）的元素個數(shù)不小于aN﹣a1．2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（5分）（2016?北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，則A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【考點】交集及其運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定義能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故選：C．【點評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運用．2．（5分）（2016?北京）若x，y滿足，則2x+y的最大值為（）A．0 B．3 C．4 D．5【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線的縱截距，利用數(shù)形結(jié)合即可求z的取值范圍．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．設(shè)z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點A時，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時z最大．由，解得，即A（1，2），代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=1×2+2=4．即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為4．故選：C．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．3．（5分）（2016?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】程序框圖．【專題】計算題；操作型；算法和程序框圖．【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【解答】解：輸入的a值為1，則b=1，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，a=﹣，不滿足退出循環(huán)的條件，k=1；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，a=﹣2，不滿足退出循環(huán)的條件，k=2；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，a=1，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出的k值為2，故選：B【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進行解答．4．（5分）（2016?北京）設(shè)，是向量，則“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充要條件；向量的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用；矩陣和變換．【分析】根據(jù)向量模相等的幾何意義，結(jié)合充要條件的定義，可得答案．【解答】解：若“||=||”，則以，為鄰邊的平行四邊形是菱形；若“|+|=|﹣|”，則以，為鄰邊的平行四邊形是矩形；故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要條件；故選：D．【點評】本題考查的知識點是充要條件，向量的模，分析出“||=||”與“|+|=|﹣|”表示的幾何意義，是解答的關(guān)鍵．5．（5分）（2016?北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，則（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0【考點】不等關(guān)系與不等式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式．【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx與siny的大小關(guān)系不確定，＜，lnx+lny與0的大小關(guān)系不確定，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，則，sinx與siny的大小關(guān)系不確定，＜，即﹣＜0，lnx+lny與0的大小關(guān)系不確定．故選：C．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6．（5分）（2016?北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．1【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，進而可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，棱錐的底面面積S=×1×1=，高為1，故棱錐的體積V==，故選：A【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．7．（5分）（2016?北京）將函數(shù)y=sin（2x﹣）圖象上的點P（，t）向左平移s（s＞0）個單位長度得到點P′，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則（）A．t=，s的最小值為 B．t=，s的最小值為C．t=，s的最小值為 D．t=，s的最小值為【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】將x=代入得：t=，進而求出平移后P′的坐標(biāo)，進而得到s的最小值．【解答】解：將x=代入得：t=sin=，將函數(shù)y=sin（2x﹣）圖象上的點P向左平移s個單位，得到P′（﹣s，）點，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則sin（﹣2s）=cos2s=，則2s=+2kπ，k∈Z，則s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：當(dāng)k=0時，s的最小值為，故選：A．【點評】本題考查的知識點是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象和性質(zhì)，難度中檔．8．（5分）（2016?北京）袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【考點】進行簡單的演繹推理．【專題】推理和證明．【分析】分析理解題意：乙中放紅球，則甲中也肯定是放紅球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是紅球，據(jù)此可以從乙中的紅球個數(shù)為切入點進行分析．【解答】解：取兩個球共有4種情況：①紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加1個；②黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加1個；③紅+黑（紅球放入甲盒中），則乙盒中黑球數(shù)加1個；④黑+紅（黑球放入甲盒中），則丙盒中紅球數(shù)加1個．設(shè)一共有球2a個，則a個紅球，a個黑球，甲中球的總個數(shù)為a，其中紅球x個，黑球y個，x+y=a．則乙中有x個球，其中k個紅球，j個黑球，k+j=x；丙中有y個球，其中l(wèi)個紅球，i個黑球，i+l=y；黑球總數(shù)a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的紅球等于丙中的黑球．故選B．【點評】該題考查了推理與證明，重點是找到切入點逐步進行分析，對學(xué)生的邏輯思維能力有一定要求，中檔題二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．（5分）（2016?北京）設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a=﹣1．【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，則a+1=0，解得答案．【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a+1=0，解得：a=﹣1，故答案為：﹣1【點評】本題考查的知識點是復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）（2016?北京）在（1﹣2x）6的展開式中，x2的系數(shù)為60．（用數(shù)字作答）【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；二項式定理．【分析】利用二項式定理展開式的通項公式即可得出．【解答】解：（1﹣2x）6的展開式中，通項公式Tr+1=（﹣2x）r=（﹣2）rxr，令r=2，則x2的系數(shù)==60．故答案為：60．【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）（2016?北京）在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0與圓ρ=2cosθ交于A，B兩點，則|AB|=2．【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用圓心C在直線上可得|AB|．【解答】解：直線ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化為y直線x﹣y﹣1=0．圓ρ=2cosθ化為ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方為（x﹣1）2+y2=1，可得圓心C（1，0），半徑r=1．則圓心C在直線上，∴|AB|=2．故答案為：2．【點評】本題考查了把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）（2016?北京）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1=6，a3+a5=0，則S6=6．【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此利用等差數(shù)列的前n項和公式能求出S6．【解答】解：∵{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．a(chǎn)1=6，a3+a5=0，∴a1+2d+a1+4d=0，∴12+6d=0，解得d=﹣2，∴S6==36﹣30=6．故答案為：6．【點評】本題考查等差數(shù)列的前6項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．13．（5分）（2016?北京）雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a=2．【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線漸近線在正方形的兩個邊，得到雙曲線的漸近線互相垂直，即雙曲線是等軸雙曲線，結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：∵雙曲線的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，∴漸近線互相垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=±x，即a=b，∵正方形OABC的邊長為2，∴OB=2，即c=2，則a2+b2=c2=8，即2a2=8，則a2=4，a=2，故答案為：2【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線漸近線垂直關(guān)系得到雙曲線是等軸雙曲線是解決本題的關(guān)鍵．14．（5分）（2016?北京）設(shè)函數(shù)f（x）=．①若a=0，則f（x）的最大值為2；②若f（x）無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】①將a=0代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=﹣1時，f（x）的最大值為2；②若f（x）無最大值，則，或，解得答案．【解答】解：①若a=0，則f（x）=，則f′（x）=，當(dāng)x＜﹣1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＞﹣1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)，故當(dāng)x=﹣1時，f（x）的最大值為2；②f′（x）=，令f′（x）=0，則x=±1，若f（x）無最大值，則，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案為：2，（﹣∞，﹣1）【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，分類討論思想，難度中檔．三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（13分）（2016?北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．【考點】解三角形的實際應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形．【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知和余弦定理，可得cosB=，進而得到答案；（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故當(dāng)A+=時，sin（A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值為1．【點評】本題考查的知識點是余弦定理，和差角公式，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．16．（13分）（2016?北京）A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如表（單位：小時）：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（Ⅰ）試估計C班的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取一個人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（Ⅲ）再從A，B，C三班中各隨機抽取一名學(xué)生，他們該周鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大小．（結(jié)論不要求證明）【考點】古典概型及其概率計算公式；用樣本的頻率分布估計總體分布．【專題】計算題；定義法；概率與統(tǒng)計．【分析】（I）由已知先計算出抽樣比，進而可估計C班的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)古典概型概率計算公式，可求出該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（Ⅲ）根據(jù)平均數(shù)的定義，可判斷出μ0＞μ1．【解答】解：（I）由題意得：三個班共抽取20個學(xué)生，其中C班抽取8個，故抽樣比K==，故C班有學(xué)生8÷=40人，（Ⅱ）從從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取一個人，共有5×8=40種情況，而且這些情況是等可能發(fā)生的，當(dāng)甲鍛煉時間為6時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有2種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為6.5時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為7時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為7.5時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為8時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有4種情況；故周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率P==；（Ⅲ）μ0＞μ1．【點評】本題考查的知識點是用樣本的頻率分布估計總體分布，古典概型，難度中檔．17．（14分）（2016?北京）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求證：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，說明理由．【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何．【分析】（Ⅰ）由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面PAD，進一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中點為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），進一步求出向量的坐標(biāo)，再求出平面PCD的法向量，設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，由求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD，設(shè)，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得當(dāng)時，M點即為所求．【解答】（Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中點為O，連接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），則，，設(shè)為平面PCD的法向量，則由，得，則．設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，則=；（Ⅲ）解：假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD，設(shè)，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，則有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，為平面PCD的法向量，∴，即，解得．綜上，存在點M，即當(dāng)時，M點即為所求．【點評】本題考查線面垂直的判定，考查了直線與平面所成的角，訓(xùn)練了存在性問題的求解方法，建系利用空間向量求解降低了問題的難度，屬中檔題．18．（13分）（2016?北京）設(shè)函數(shù)f（x）=xea﹣x+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)的切線斜率以及f（2），建立方程組關(guān)系即可求a，b的值；（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e﹣1）x+4，∴當(dāng)x=2時，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，同時f′（2）=e﹣1，∵f（x）=xea﹣x+bx，∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，則，即a=2，b=e；（Ⅱ）∵a=2，b=e；∴f（x）=xe2﹣x+ex，∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，即當(dāng)x=2時，f′（x）取得極小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，∴f′（x）＞0恒成立，即函數(shù)f（x）是增函數(shù)，即f（x）的單調(diào)區(qū)間是（﹣∞，+∞）．【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線斜率建立方程關(guān)系以及利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．19．（14分）（2016?北京）已知橢圓C：+=1（a＞0，b＞0）的離心率為，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為1．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N．求證：|AN|?|BM|為定值．【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系．【專題】方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a=2，b=1，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）方法一、設(shè)橢圓上點P（x0，y0），可得x02+4y02=4，求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化簡整理，即可得到|AN|?|BM|為定值4．方法二、設(shè)P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直線PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，運用同角的平方關(guān)系，化簡整理，即可得到|AN|?|BM|為定值4．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得e==，又△OAB的面積為1，可得ab=1，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，可得橢圓C的方程為+y2=1