高中數學北師大版必修二課時分層作業(yè)1-5-2第2課時平面與平面平行的性質

課時分層作業(yè)八平面與平面平行的性質一、選擇題(每小題5分，共30分)1.如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為 ()A.梯形B.平行四邊形C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定【解析】選B.因為平面與長方體的兩組相對的平面分別相交，根據面面平行的性質定理可知，兩組交線分別平行，即EF∥HG，EH∥FG，所以四邊形EFGH為平行四邊形.2.若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列說法中正確的是 ()A.若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線B.若α，β平行于同一個平面，則這兩個平面α，β相互平行C.已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥βD.若m，n在平面α內的射影互相平行，則m，n互相平行【解題指南】可利用實物或長方體等圖形進行逐項判斷.【解析】選B.對于A中，m，n可為相交直線；B正確；C中，n可以平行于β，也可以在β內；D中，m，n也可能異面.3.下列命題中錯誤的是 ()A.若一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內兩條直線，則這兩個平面平行B.若α∥β，a∩α=P，則a與β一定相交C.平行于同一直線的兩平面平行D.若兩平面平行，則其中一平面內的直線與另一平面的直線不可能相交【解析】選C.由面面平行的判定定理及有關性質定理可知A，B，D正確.對于選項C中滿足條件的兩平面可能相交.4.設l表示直線，α，β表示平面.給出四個結論：①如果l∥α，則α內有無數條直線與l平行；②如果l∥α，則α內任意的直線與l平行；③如果α∥β，則α內任意的直線與β平行；④如果α∥β，對于α內的一條確定的直線a，在β內僅有唯一的直線與a平行.以上四個結論中，正確結論的個數為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解題指南】依據直線與平面，平面與平面的性質逐一判斷.【解析】選C.如果l∥α，則α內的直線與l平行或異面，有無數條直線與l平行，也有無數條直線與l異面，故①正確，②錯誤.由面面平行的性質得③正確.對于④在β內有無數條直線與a平行，故④錯.5.已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C與D，E，F.已知AB=6，QUOTE=QUOTE，則AC= ()A.5 B.12C.15 D.10【解析】選C.由題可知QUOTE=QUOTE?AC=QUOTE·AB=QUOTE×6=15.6.如圖，L，M，N分別為正方體對應棱的中點，則平面LMN與平面PQR的位置關系是 ()A.垂直 B.相交不垂直C.平行 D.重合【解析】選C.如圖，分別取另三條棱的中點A，B，C，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因為PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.二、填空題(每小題5分，共10分)7.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件_________時，有平面D1BQ∥平面PAO.

【解析】如圖所示，假設Q為CC1的中點，因為P為DD1的中點，所以QB∥PA.連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB=B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q滿足條件Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q為CC1的中點8.如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH上及其內部運動，則點M滿足條件_________時，有MN∥平面B1BDD1.

【解析】如圖，連接FH，HN，FN，由平面HNF∥平面B1BDD1，知當點M在線段FH上時，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈線段FH三、解答題(每小題10分，共20分)9.如圖，幾何體EABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB=CD，∠BCD=120°，M為線段AE的中點.求證：DM∥平面BEC.【證明】取線段AB的中點N，連接MN，DN，因為MN是△ABE的中位線，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE平面BEC，所以MN∥平面BEC.因為△ABD是正三角形，N是線段AB的中點，所以ND⊥AB.因為CB=CD，∠BCD=120°，所以∠CBD=30°，所以∠ABC=60°+30°=90°，所以BC⊥AB，所以ND∥BC.又ND?平面BEC，BC平面BEC，所以ND∥平面BEC.又MN∩ND=N，所以平面MND∥平面BEC.因為直線DM平面MND，所以DM∥平面BEC.10.如圖，多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1.(1)證明：四邊形ABED是正方形.(2)判斷點B，C，F，G是否共面，并說明理由.【解析】(1)平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC=AB，平面ABED∩平面DEFG=DE，由面面平行的性質定理，得AB∥DE.同理AD∥BE.所以四邊形ABED為平行四邊形.又AB⊥AD，AB=AD，所以四邊形ABED是正方形.(2)如圖，取DG的中點P，連接PA，PF.在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE.又AB∥DE，AB=DE，所以AB∥FP且AB=FP.所以四邊形ABFP為平行四邊形，所以AP∥BF.在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG.故B，C，F，G四點共面.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系是 ()A.平行 B.平行或異面C.平行或相交 D.異面或相交【解析】選B.由題意知，CD∥α，則平面α內的直線與CD可能平行，也可能異面.2.給出下列關于互不相同的直線l，m，n和平面α，β，γ的三個命題：①若l與m為異面直線，lα，mβ，則α∥β；②若α∥β，lα，mβ，則l∥m；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，則m∥n.其中正確的個數為 ()A.1B.2C.3D.0【解析】選A.①當異面直線l，m滿足lα，mβ時α，β也可以相交，②若α∥β，lα，mβ，則l，m平行或異面，故①②均錯，對于③如圖所示，設幾何體的三個側面分別為α，β，γ，交線為l，m，n，若l∥γ，則l∥m，l∥n，則m∥n，故正確.3.下列命題中不正確的是 ()A.平面α∥平面β，一條直線a平行于平面α，則a一定平行于平面βB.平面α∥平面β，則α內的任意一條直線都平行于平面βC.一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面，那么該三角形所在的平面與這個平面平行D.分別在兩個平行平面內的兩條直線只能是平行直線或異面直線【解析】選A.對于A，可能a∥β或aβ，故A不正確；對于B，依據面面平行的性質可知B是正確的；對于C，由于三角形的兩邊所在直線相交，所以據面面平行的判定定理可知是正確的；對于D，由面面平行及直線位置關系定義可知也是正確的.4.(2017·榆林模擬)有下列命題：①若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的無數條直線.其中真命題的個數是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.命題①l可以在平面α內，不正確；命題②直線a與平面α可以是相交關系，不正確；命題③a可以在平面α內，不正確；命題④正確.5.設α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中點，當A，B分別在平面α，β內運動時，那么所有的動點C ()A.不共面B.當且僅當A，B分別在兩條直線上移動時才共面C.當且僅當A，B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面D.不論A，B如何移動，都共面【解析】選D.如圖所示，A′，B′分別是A，B兩點在α，β上運動后的兩點，此時AB的中點變成A′B′的中點C′，連接A′B，取A′B的中點E.連接CE，C′E，AA′，BB′，CC′.則CE∥AA′，所以CE∥α.C′E∥BB′，所以C′E∥β.又因為α∥β，所以C′E∥α.因為C′E∩CE=E.所以平面CC′E∥平面α.所以CC′∥α.所以不論A，B如何移動，所有的動點C都在過C點且與α，β平行的平面上.二、填空題(每小題5分，共20分)6.六棱柱的兩底面為α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，則AB與CD的位置關系為_________.

【解析】因為AD∥BC，所以A，B，C，D共面，設面為γ，由題意知，α∩γ=AB，β∩γ=CD，又α∥β，所以AB∥CD.答案：平行7.平面α∥平面β，點A，C∈α，點B，D∈β，則下列條件能證明直線AC∥直線BD的是_________.

(1)AB∥CD；(2)AD∥CB；(3)AB與CD相交；(4)A，B，C，D四點共面.【解析】只要A，B，C，D四點共面，即可由平面與平面平行的性質得AC∥BD.由(1)(2)(3)均可得出A，B，C，D四點共面.故(1)(2)(3)(4)均能證明直線AC∥直線BD.答案：(1)(2)(3)(4)8.如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內，線段AA′，BB′，CC′交于點O，O在α，β之間，若AB=2，AC=1，∠BAC=60°，OA∶OA′=3∶2，則△A′B′C′的面積為_________.

【解析】可證明AB∥A′B′，同理BC∥B′C′，CA∥C′A′，且方向相反，所以△ABC∽△A′B′C′.所以△ABC和△A′B′C′的對應內角相等.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE.又S△ABC=QUOTE×2×1×QUOTE=QUOTE，所以S△A′B′C′=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE9.如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=QUOTEAP，D為AP的中點，E，F，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐PABCD，如圖②.則在四棱錐PABCD中，AP與平面EFG的位置關系為_________.

【解析】在四棱錐PABCD中，因為E，F分別為PC，PD的中點，所以EF∥CD.因為AB∥CD，所以EF∥AB.因為EF平面PAB，AB平面PAB，所以EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面PAB.因為AP平面PAB，AP平面EFG，所以AP∥平面EFG.答案：平行三、解答題(每小題10分，共30分)10.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM=DN.求證：MN∥平面AA1B1B.【證明】如圖，作MP∥BB1交BC于點P，連接NP，因為MP∥BB1，所以QUOTE=QUOTE.因為BD=B1C，DN=CM，所以B1M=BN，所以QUOTE=QUOTE，所以QUOTE=QUOTE，所以NP∥CD∥AB.因為NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B.因為MP∥BB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，所以MP∥平面AA1B1B.又因為MP平面MNP，NP平面MNP，MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面AA1B1B.因為MN平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B.11.已知如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點.(1)當QUOTE等于何值時，BC1∥平面AB1D1？(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求QUOTE的值.【解析】(1)如圖，當D1為線段A1C1的中點，即QUOTE=1時，BC1∥平面AB1D1，連接A1B交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點O為A1B的中點.在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，所以OD1∥BC1.又因為OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以QUOTE=1時，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面ACC1A1∩平面BDC1=DC1，平面ACC1A1∩平面AB1D1=AD1.因此AD1∥DC1.由(1)知OD1∥BC1，所以QUOTE=QUOTE，QUOTE=QUOTE.又因為QUOTE=1，所以QUOTE=