2023年高考第一次模擬考文科數(shù)學試卷乙卷（解析版）

2023年高考第一次模擬考試卷（乙卷（文））

數(shù)學

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是符合題目要求的.

1.集合A={x|x2_5x+6>0},B|<0j-,則AB=()

A.(0,1)B.(v,l)C.(1,2)D.(2,3)

K答案1A

或x>3},B={x|二y<o:={x[O<x<

K解析》4=卜卜2_5*+6＞（）｝=｛犬|》＜21}

所以4B={X[0<X<1}=(0,1).

故選：A.

2.已知復數(shù)4與z=3-2i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則」」=（）

1+i

K答案XD

K解析》復數(shù)4與z=3-2i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱,

/.Z]=3+2i,

z,_3+2i(3+2i)(l-i)5-j

T+i-1+i-(l+i)(l-i)

故選：D.

3.已知向量滿足何=1,匕=（"0）,|a-0=J7,則“與方的夾角為（）

71C兀c兀C2兀

A.-B.-C.-D.—

6433

K答案XD

K解析》由匕=（3,拒）可得卜卜“拉）2.『=2,

因為,=（〃_/?）=卜《一2〃/+慟=7,解得

_ab_1_1

所以cos<〃,〃〉"麗=一百二一5'

又因為＜a乃＞e[O,n],

所以a與6的夾角為三，

故選：D

4.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩名員工連續(xù)5天內(nèi)的日產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：箱）.已知

這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為耳，和，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則（）

A.餐>K乙B./=x乙

C.司，〈和D.%,無的大小關(guān)系不確定

K答案UC

K解析?因為這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，

所以x=3,

_74+76+83+91+92…

與=-----------------=83.2,

_70+y+82+83+90+931

x乙=——----------------=83.6+-y,

因為y=0,1,2,9,

所以與<x乙，

故選：C

x+2y>\

5.已知變量x,y滿足約束條件,則z=x-3y的最小值為（）

y-1^0

A.2B.-4C.-3D.-2

K答案XB

x+2y>l

K解析》作出不等式組表示的平面區(qū)域，

y-1<0

1z1

由z=x-3y,得丫=X-：,作出直線y=§x,向上平移過點A時，目標函數(shù)取得最小

值，

fV=1fx=-l

由〈c,,得,，即A（T,1）,

[x+2y=l[y=l

所以z=x-3y的最小值為-l-3xl=T,

故選：B

J',

1|

、____________________g/一3

一

6.已知拋物線C:丁=2PMp>0）的焦點尸到準線的距離為4,點”（王,兇），N（9,%）在

/、，、MF

拋物線C上,若（y「2%）（乂+2%）=48,則十=（）.

/Vr

A.4B.2C.-D-?

4

K答案DA

K解析》拋物線。：丁=20工（夕>0）的焦點尸到準線的距離為4，所以〃=4,C:y2=8x

依題意，犬-4只=48,而犬=8芭，4只=32々，

故8%一32X2=48,即8玉+16=32/+64,則x}+2=4（x2+2）,

MF\_%1+2_

故液1％+2-，

故選：A.

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S值是（）

/輸出5/

~~，*、

A.0B.1D.-1

K答案》A

K解析11根據(jù)題中所給的框圖，可知輸出的S的值:

cc兀2兀2022兀

5=0+cos—+cos—++COS

333

/兀2兀3兀4兀5兀6兀、

=0+337x(cos—+cos—+cos—+cos-----Fcos—+cos—)

333333

=337x(1-1-1-1+1+1)=0

2222

故選：A

8.已知函數(shù)/(x)的部分圖像如圖，則函數(shù)/(x)的K解析』式可能為()

A./(x)=(ex-e-x)sinxB./(x)=(e"+e-r)sinx

C./(x)=(eA-e-v)cosxD./(x)=(e"+eT)cosx

K答案》B

K解析H由于圖像關(guān)于原點對稱，所以/(x)為奇函數(shù),

對于A：由f(x)=(e*-ef)sinx得：

f(-x)=(e-x-e')sin(-x)=(e,-e-v)sinx=f(x),

f(x)為偶函數(shù),故可排除A；

對于D：由/(x)=(e*+e-*)cosx得：

/(-x)=(e11+eAjcos(-x)=(er+er)cosx=f(x),

/(X)為偶函數(shù)，故可排除D；

由圖知/(x)圖象不經(jīng)過點6,o],

而對于C：/(?=一一/cos]=0,故可排除C；

故選：B

9.已知正方體A8CO-AB￡A中，點P、Q、R分別是線段8耳、AB.AC上的動點，觀察

直線CP與RQ,CP與得出下列結(jié)論:

①對于任意給定的點。，存在點尸，使得CP_LAQ；

②對于任意給定的點?，存在點Q,使得2Q，CP；

③對于任意給定的點尺，存在點尸，使得CP_LQR；

④對于任意給定的點?，存在點R,使得RR，CP；

其中正確的結(jié)論是（）

A.①@B.②③C.①④D.②④

K答案1A

K解析》對于①，當點尸與四重合時，CP_LAB,CP_LA。，且A8ADt=A,

.?.CP_L平面A8。一

???對于任意給定的點Q,都有AQu平面ABR,

所以對于任意給定的點Q,存在點尸，使得CP1RQ,故①正確.

對于②，只有RQ1平面BCC4,即RQJ_平面AORA時，才能滿足對于任意給定的點

p,存在點Q,使得R2，CP,；過。點與平面ACRA垂直的直線只有一條RG，而

D￡〃AB,故②錯誤.

對于③，只有CP垂直于RR在平面8CGB中的射影時，RR1CP,故③正確.

對于④，只有CPL平面ACR時，④才正確，因為過C點的平面ACR的垂線與B片無交

點，故④錯誤.

綜上，正確的結(jié)論是①③，

故選：A.

10.已知數(shù)列｛凡｝滿足對任意的〃￡N"總存在WEN”,使得S〃=品，則。“可能等于

()

2022

A.2022"B.2022/1C.2022/D.------

n

K答案》B

K解析D對于選項A：當為=2022"時，則｛4｝是等比數(shù)列，因為S“=%

所以2022(2022.一］)=2022%當〃=2時，2022"i=2023,機不存在，A錯誤；

2021

對于選項B：當q=2022〃時，｛a,,｝是等差數(shù)列，因為S“=a,"，則

v

Sn=2022x'=101In(n+1)=2022m,取川=-\'即可，B正確；

對于選項C：當a“=2022"時，Sn=am,則

222+2/;+22

Sn=2022X(1+2+--+W)=2022x1)(0=2022/n,當〃=2時，m=5,機不

存在，C錯誤；

對于選項D：當q,=些時，5?=a,?,則2022(1+：+!+…+，］=型2，當”=2時，

nV23nJm

1+!=_L,不存在，D錯誤.

2m

故選:B.

11.已知函數(shù)〃x)=cos(0xj[0>0)在K上單調(diào)遞增，且當xe時,

〃x)NO恒成立，則。的取值范圍為()

K答案XB

K解析H由已知，函數(shù)〃x)=cos[8-賓(O>0)在上單調(diào)遞增，

所以24兀一兀4的一二<2%兀(&eZ),解得：^-―<%<^+—()1.eZ),

3v'co3<yco'

兀〉2Z］兀27i

兀兀2Z1兀2兀2km兀

——+—(占eZ),所以.6co3co

6,4「,解得:

3coco36y71,2klltn

-V---------1-------

、4co3G

4

12匕-4<3<8匕+§（占eZ）①

又因為函數(shù)/（X）=COS（0X-］）（0>O）在X€py上f（x）zo恒成立，

所以2k,兀一5?3X——<2,k->ii+—GZ）,解得：

迎」X瑪卡生伏,“），

①6Gco6G~

71〉2內(nèi)兀兀

4。6G

it2k.n5兀

—<——+——

36966y

25

8攵2co<6k2+］（《￡Z）②

69>0

解得0€(0t

又因為口>0,當仁=%2=。時，由①②可知:

a)>0

28-17

當勺=%2=1時，由①②可知：,84045，解得8,y

所以。的取值范圍為[(。4，§&了17

故選：B.

12.直線機1.平面"，垂足是。，正四面體ABC。的棱長為4,點C在平面”上運動，點

B在直線〃?上運動，則點。到直線的距離的取值范圍是（）

4a-54夜+5

B.[272-2,272+2]

3-2夜3+2萬

D.[3^-2,372+2]

~2-~2

（答案DB

K解析》在正四面體4BCD中，分別取BC,A。的中點M,N,連接

則AM_LBC,MO_L8C,又=4Wu平面AMD,MDu平面AW

則8C/平面40Z）,又MNu平面AW,則仞V23C

RtAftW中，AM=yjAB2-BM2=>/42-22=273

等腰一AMD中，MN±AD,MN=yjAM2-AN2=^2^-22=272

若固定正四面體ABC。的位置，則點。在以BC為直徑的球上運動，球半徑為2,

則點。到直線AD的距離的最小值為球心到直線AO的距離減去半徑即2忘-2,

最大值為球心到直線AD的距離加上半徑即2夜+2

則點。到直線AO的距離的取值范圍是［2亞-2,2夜+2］

13.已知數(shù)列］生三是公差為1的等差數(shù)列，且出=10,則%=.

R答案Xn2+n+2"

K解析11由數(shù)列［與差］是公差為1的等差數(shù)列，且生=10可得

上二=上二+（〃_2”1=〃+1,

n2

所以勺=〃2+〃+2".

故K答案》為：n2+n+2"-

14.某汽車4s店有甲、乙、丙、丁、戊5種車型在售，小王從中任選2種車型試駕，則甲

車型被選到的概率為.

K答案Wj

R解析U隨機試驗小王從甲、乙、丙、丁、戊5種車型中任選2種車型試駕的可能結(jié)果

為：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，?。?，（乙，戊），（丙，

T）,（丙，戊），（丁，戊），共含10個基本事件，其中隨機事件甲車型被選到包含基本事

件（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。?，（甲，戊），所以隨機事件甲車型被選到的概率

二,

105

2

故K答案U為：

15.己知實數(shù)x,y滿足：（x+2）2+（y-l）2=l,則|1-2x+y|的取值范圍是.

K答案』[6->/5,6+x/5]

K解析11解法一：因為（x+2/+（y-l）?=1,所以令x+2=cos。，y-l=sin。,

則x=-2+cos。，y=l+sin。，

sin0-^-^-cos^j|=|6+V5sin(0-^?)|,

故|l—2x+y|=|6+sin。-2cos6|=|6+其中

cos??=.y,sins=平，因為-石4石sin(e-e)46，

所以6-石46+氐皿。-夕）46+右,

所以6-行46+3皿。-9)36+氐

故|1-2x+y|的取值范圍為［6-括,6+百］.

1-4-1-11

解法二:因為圓心（一2,1）至IJ直線2x-y-1=0的距離d=河

所以圓心上的點到直線2x-y-l=0的距離的取值范圍為175-1,|V5+1,

又因為|2x-y-l|=石?⑵?片一”,

所以|2x-y-l|的取值范圍是［6-0,6+百］.

故K答案U為：［6-石,6+0］.

16.己知y=/(x)是R上的偶函數(shù)，對于任意的xeR,均有"x)=/(2-x),當xe［O,l］

時，/(x)=(x-l)2,則函數(shù)g(x)=/(x)-log2022k—1|的所有零點之和為;

K答案D4042

R解析》圖像關(guān)于y軸對稱的偶函數(shù)y=log2022M向右平移一個單位得到函數(shù)

y=log20221X-11.因為函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，所以/(x)=/(2一X)=〃—x),

令x替換-x,則有〃x)=〃x+2),

所以函數(shù)Ax)的周期為2,且函數(shù)關(guān)于直線x=l對稱，

又當xe［0,l］吐/(x)=(x-l)2,當xw(l,2］時，2-xe［0,l),

/U)=/(2-X)=(2-X-1)2=(X-1)\

當xe(2,3］時，x-2e(0,l］,/(%)=/(x-2)=(x-2-1)2=(x-3)2

依次類推，可以求出，當xe［2022,2024］時，/(x)=(x-2023)2

由此可在同一平面直角坐標系下作出函數(shù)y=/(x)與曠=1。82必|》-1|的部分圖象.

函數(shù)g(x)的零點，即為函數(shù)V=與y=log畋2k-l|的交點橫坐標，

當x>2023時,y=log2022|x-l|>log202212023Tl=1,兩函數(shù)圖像無交點，又兩函數(shù)在［0,2023］

上有2021個交點，由對稱性知它們在［-2023,0)上也有2021個交點，且它們關(guān)于直線x=l對

稱，則對稱兩零點和為2,所以函數(shù)g(x)的所有零點之和為4042.故［答案》為：4042.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.在AABC中,內(nèi)角A,8,C的對邊分別為4,6,c,且滿足6cosA(ccos8+0cosC)=asinA.

(1)求A;

(2)已知。為BC邊上一點，AD平分NA,ZkAB。的面積是△相>(7的面積的2倍，若

BD=2,求AO.

解：(1)?近cosA(ccos3+bcosC)=asinA,

>/3cos?i(sinCcosB+sinBcosC)=sin2A,

即百cosAsinA=sin。A,0<A<^,6cosA=sinA,tanA=y/3>A=y,

7T7T

(2)平分/A,A=—，ZBAD=ACAD=-,

36

,/AABD的面積是AADC的面積的2倍，設(shè)^ABC底邊BC上的高為h,

S1BDh1AB-AD-sin/BAD

則渭跡-----=2------------------=2,:.BD=2CD,AB=2AC,

S4AIX±CDh-AC-ADsinZCAD

22

又,：BD=2,：.CD=1,在AASC中，cosA=AB+9_8。=52：9」,解得

2ABAC4AC22

AC=GAB=2y/3,/.AB2=AC2+BC2,C=—,7.AD=>/3+l=2.

18.（12分）為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)擔當民族復興的時代新人，某高中在全

校三個年級開展了一次“不負時代，不負韶華，做好社會主義接班人”演講比賽.共1500名

學生參與比賽，現(xiàn)從各年級參賽學生中隨機抽取200名學生，并按成績分為五組：

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如下頻率分布直方圖，且第五組中

3

高三學生占

（1）求抽取的200名學生的平均成績最（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）;

（2）若在第五組中，按照各年級人數(shù)比例采用分層隨機抽樣的方法抽取7人，再從中選取

2人組成宣講組，在校內(nèi)進行義務(wù)宣講，求這2人都是高三學生的概率；

（3）若比賽成績x>；+sC為樣本數(shù)據(jù)的標準差），則認為成績優(yōu)秀，試估計參賽的

1500名學生成績優(yōu)秀的人數(shù).

參考公式：S=也士_；）2工，（工是第i組的頻率），參考數(shù)據(jù)：730^5.5

解：（1）依題意，得

x=（55x0.011+65x0.02+75x0.034+85x0.028+95x0.007）x10=75,

所以抽取的200名學生的平均成績嚏=75.

（2）由于第五組總共要抽取7人，高三學生占二3,所以抽到的高三學生應(yīng)該有7x^3=3

人，設(shè)7人中，高三學生三人是a、b、c,,其余非高三學生標記為數(shù)字123,4.則抽取2人

共有以下21種組合

la,lb,lc,2a,2b,2c,3a,3b,3c,4a,4b,4c,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34.

其中都是高三學生的共有以下3種組合:ab,ac,bc.

3__］_

所以由古典概型可得這2人都是高三學生的概率為217.

（3）依題意，得

22222

s=^（55-75）x0.11+（65-75）x0.2+（75-75）x0.34+（85-75）x0.28+（95-75）x0.07

=A/44+20+0+28+28=^/i20=2A/30?11,

所以優(yōu)秀的比賽成績應(yīng)該x>x+s=75+11=86，

而比賽成績在［86,100］的頻率為：（90-86）x0.028+0.007x10=0.182,

而1500x0.182=273,故參賽的1500名學生成績優(yōu)秀的人數(shù)為273人.

19.如圖，在四棱錐中，PAA.PD,PA=PD,側(cè)面上4DJL底面ABC。，底面

為矩形，E為AB上的動點（與A,8兩點不重合）.

P

AEB

(1)判斷平面E4E與平面PDE是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明

理由；

(2)若4)=4,AB=4無，當E為的中點時，求點C到平面POE的距離.

解：(1)平面R4E與平面尸DE垂直.證明如下：

因為底面為矩形，所以43J_AD.

又側(cè)面PADJ_底面ABC。，且平面皿)c平面A3C￡)=AD,ABu平面ABC。

所以A82平面PAO.

又PDu平面PAD,所以ABLPD.

又PDLPA,且PAAB=A,E4,A8u平面所以P￡>_L平面RIB.

又P￡>u平面尸DE,所以平面P￡)EJ_平面BAB,

即平面PAE_L平面PDE.

(2)當E為AB的中點時，取A￡>的中點0,連接OP.

因為24=叨，所以PO_LAD.

因為側(cè)面PAD_L底面ABC。，且平面必記門平面438=4),POu平面小

所以PO工底面A8C。.

因為PAJ.PD,4)=4,所以PA=PO=2夜，PO=2.

在RtPAE中，AE=；AB=2近,24=20，所以PE=4.

由(1)知P￡>J_平面又PEu平面以8,所以P￡)_LPE.

所以S△叨.尸E=：x2近X4=4拒?

因為SA8E」8.AO=gx4四x4=8近，

所以匕,=-S-P0=-x8x/2x2=.

/-CMC3A33

設(shè)點C到平面PDE的距離為h,

則由VJPDE=-S4PDE，h—Vp?DE,9

得』x4同="也，解得〃=4.

33

所以點C到平面PDE的距離為4.

20.已知函數(shù)/(*)=€*+￡%2(機€口).

(1)若存在x>0,使得f(x)<0成立，求機的取值范圍；

(2)若函數(shù)尸(x)=xe'+e2-有三個不同的零點，求”的取值范圍.

解：(1)若存在x>0,使得〃x)=e'+￡x2<。成立，

Ie*1(

則一/?<-一^在》>0時成立，故彳加<--r，

22(年人

令g(x)=-二，x>0,則g，(x)=，

當0vx<2時，g'(x)>0,g(x)函數(shù)單調(diào)遞增，當x>2時，g3<o,g(x)函數(shù)單調(diào)遞

減，

故g(x)3=g(2)=-1,所以機<彳『，

故用的取值范圍為(y，-；/)；

(2)尸(x)=xe'+e2-f(x)=xe*+e2-e'-g/n/=0有3個不同實數(shù)解，所以

■Lm=(xT)：'+e2有三個不同的實數(shù)解,

2x

令h(x)=Df+l,則魚幻=(『-2x+?e'2e2,

XX

令p(x)=(x2-2x+2)er-2e2,則p\x)=x2ex>0,

因為p(2)=0,所以當xvO或x>2時，〃(x)>0,〃⑴單調(diào)遞增，當0vx<2時，

"(x)vO,以x)單調(diào)遞減，

當％.0時'/i(x)—>-Ko,h(i)=^e2,

由題意得”>；e2,

故〃?的取值范圍為(；e2,yo).

22

21.設(shè)月，尸2分別是橢圓。：=r+與=1(。>10)的左、右焦點，過尸2作傾斜角為7rW的直線交

a~b~3

橢圓。于A,8兩點，匕到直線A6的距離為3,連接橢圓D的四個頂點得到的菱形面積為

4.

(1)求橢圓。的方程;

(2)已知點例(-1,0),設(shè)E是橢圓。上的一點，過兩點的直線/交y軸于點C,若

CE=XEM-求/I的取值范圍；

(3)作直線4與橢圓。交于不同的兩點P,。，其中尸點的坐標為(-2,0),若點N(0")是線

段PQ垂直平分線上一點，且滿足NP-NQ=4,求實數(shù)，的值.

解：⑴設(shè)耳，心的坐標分別為(-c,O),(c,O),其中c>0；

由題意得AB的方程為y=瓜x-c).

因為￡到直線A8的距離為3,

|-y/3c—y/3c\

所以7m=3,解得c=>/3所以af=3①

因為連接橢圓。的四個頂點得到的菱形面積為4,所以Jx2ax2b=4,即妨=2②

聯(lián)立①②解得：a=2,b=\,

所求橢圓。的方程為工+丫2=1.

4

(2)由(1)知橢圓的方程為三+丁=1,設(shè)E(x“x),C(O,〃?)，

4.

因為CE=/IEM，所以=

所以王=-白，y=74,代入橢圓的方程(―147廠+,加、27，

1+Z1+X----7----+~-)-1

41+2

福I”2(32+2)(2+2)初2殂八2

所以"I=-------------N。，解得—二■或2W—2.

43

(3)由尸(-2,0),設(shè)。(4乂)根據(jù)題意可知直線人的斜率存在，可設(shè)直線斜率為3則直線

4的方程為>=%"+2),

把它代入橢圓。的方程，消去y整理得：(1+4嚴)/+1去%+(1622-4)=0

由韋達定理得-2+芭=-德,則V溺，廳小+4=高;

所以線段PQ的中點坐標為(-衛(wèi)二,3下).

1+4k21+4%2

(i)當&=0時，則Q(2,0),線段PQ垂直平分線為丫軸,

于是NP=(-2,-f),NQ=(2,-f),由NP?NQ=-4+產(chǎn)=4,解得t=±272.

（ii）當AwO時，則線段PQ垂直平分線的方程為y--次七=-'。+①下）.

1+4Z~k1+4H

由點N（O,f）是線段PQ垂直平分線的一點，令x=0,得/=—送送；

于是NP=(-2,-t),NQ=(xl,yl-t)

-4+16芯6k(10%]4(16/4+15左2一I)

由NP-NQ=-2xl-t(yl-t)=1+以2+1+4h1+4公)

(1+4」)2

解得『半，所以-備=±嚕.

綜上可得實數(shù)t的值為±2&,土斐.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計分.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

0+cos0K、|八年

在直角坐標系中，曲線〃的參數(shù)方程為f，x=sm、.！旨為圓6若以該直角

y=smIff

坐標系的原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為:

psm夕-2=在。（其中，為常數(shù)）

I”2

（1）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求r的取值范圍；

（2）當/=-2時?，求曲線〃上的點與曲線N上點的最小距離

解：對于曲線〃，消去參數(shù)，得普通方程為,3=,/同三6.曲線〃是拋物線的一部

分；對于曲線N,化