第5章 分類變量對數(shù)值變量的影響

2012年9月閆笑非Tel-mail:yanxiaofei@QQ:744379659應用統(tǒng)計應

用

統(tǒng)

計

學

AppliedStatistics個人基本信息

閆笑非，男，1961年生人，先后畢業(yè)于吉林大學和中國人民大學，分別獲得理學學士學位和工商管理碩士學位。

曾任北京石油化工學院經(jīng)濟管理學院副院長，北京石油化工學院教學評估與研究中心主任現(xiàn)任北京石油化工學院人文社科學院院長，教授，碩士生導師中國市場學會理事中國戰(zhàn)略發(fā)展學研究會企業(yè)戰(zhàn)略專業(yè)委員會資深會員

北京市中青年骨干教師（2006年）主要從事：管理科學與工程，特別是能源經(jīng)濟、石油經(jīng)濟研究。2012年9月近年主要學術(shù)成果出版論著三部《技術(shù)經(jīng)濟與管理》被評為2006年北京市高等教育精品教材；專著《世界石油化工市場行情》由中石化出版社，于2008年出版發(fā)行。在國內(nèi)外發(fā)表論文60余篇，其中13篇被EI收錄，9篇被ISPT收錄。2012年9月2008年5月警惕過多地檢驗。你對數(shù)據(jù)越苛求，數(shù)據(jù)會越多地向你供認，但在威逼下得到的供詞，在科學詢查的法庭上是不容許的。

StephenM.Stigler統(tǒng)計名言2008年5月怎樣解決下面的問題？來自不同地區(qū)的大學生每個月的平均生活費支出是否不同呢？家電的品牌對它們的銷售量是否有顯著影響呢？不同的路段和不同的時段對行車時間有影響嗎？超市的位置和它的銷售額有關(guān)系嗎？不同的小麥品種產(chǎn)量有差異嗎？5.1方差分析解決什么問題？5.2考慮一個分類變量的影響

5.3考慮兩個分類變量的影響5.4試驗設(shè)計初步

第5章分類變量對數(shù)值變量的影響

5.1.1比較均值是否相同

5.1.2從誤差分析入手

5.1.3在什么樣的前提下分析？5.1方差分析解決什么問題？為什么不做兩兩比較？

1、設(shè)有四個總體的均值分別為m1、

m2、m3

、m4

，要檢驗四個總體的均值是否相等，每次檢驗兩個的作法共需要進行6次不同的檢驗，每次檢驗犯第一類錯誤的概率為，連續(xù)作6次檢驗犯第Ⅰ類錯誤的概率增加到1-(1-)6=0.265，大于0.05，相應的置信水平會降低到0.956=0.735。

2、一般來說，隨著增加個體顯著性檢驗的次數(shù)，偶然因素導致差別的可能性也會增加(并非均值真的存在差別)。

3、方差分析方法則是同時考慮所有的樣本，因此，排除了錯誤累積的概率，從而避免拒絕一個真實的原假設(shè)。5.1.1比較均值是否相同什么是方差分析?(analysisofvariance)

消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)行業(yè)觀測值零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】為了對幾個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在4個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表什么是方差分析?(例題分析)分析4個行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異，也就是要判斷“行業(yè)”對“投訴次數(shù)”是否有顯著影響作出這種判斷最終被歸結(jié)為檢驗這四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等若它們的均值相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是沒有影響的，即它們之間的服務(wù)質(zhì)量沒有顯著差異；若均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是有影響的，它們之間的服務(wù)質(zhì)量有顯著差異2008年5月方差分析解決什么問題?(例題分析)【例】確定超市的位置和競爭者的數(shù)量對銷售額是否有顯著影響，獲得的年銷售額數(shù)據(jù)(單位：萬元)如下表因子水平樣本數(shù)據(jù)2008年5月什么是方差分析(ANOVA)?比較多個總體均值是否相等。例如，不同位置的超市銷售額均值是否一樣；研究分類自變量(因子factor)對數(shù)值因變量(觀測結(jié)果)的影響。例如，“超市位置”是一個分類自變量，“競爭者數(shù)量”也是一個分類自變量；兩個或多個水平(level)或分類。例如，3個超市位置，4種競爭者一個數(shù)值型因變量，銷售額考慮一個因子對觀測數(shù)據(jù)的影響稱為單因素方差分析(one-wayanalysisofvariance)

；考慮兩個因子對觀測數(shù)據(jù)的影響稱為雙因素方差分析(two-wayanalysisofvariance)方差分析中的有關(guān)術(shù)語因素或因子(factor)所要檢驗的對象分析行業(yè)對投訴次數(shù)的影響，行業(yè)是要檢驗的因子水平或處理(treatment)因子的不同表現(xiàn)零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)觀察值在每個因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù)每個行業(yè)被投訴的次數(shù)方差分析中的有關(guān)術(shù)語試驗這里只涉及一個因素，因此稱為單因素4水平的試驗總體因素的每一個水平可以看作是一個總體零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)是4個總體樣本數(shù)據(jù)被投訴次數(shù)可以看作是從這4個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)方差分析的基本思想和原理

(圖形分析—散點圖)

零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造方差分析的基本思想和原理

(圖形分析—Mean/SD/1.96*SD箱線圖)從散點圖上可以看出不同行業(yè)被投訴的次數(shù)有明顯差異同一個行業(yè)，不同企業(yè)被投訴的次數(shù)也明顯不同家電制造被投訴的次數(shù)較高，航空公司被投訴的次數(shù)較低行業(yè)與被投訴次數(shù)之間有一定的關(guān)系如果行業(yè)與被投訴次數(shù)之間沒有關(guān)系，那么它們被投訴的次數(shù)應該差不多相同，在散點圖上所呈現(xiàn)的模式也就應該很接近方差分析的基本思想和原理

(圖形分析)散點圖觀察不能提供充分的證據(jù)證明不同行業(yè)被投訴的次數(shù)之間有顯著差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性造成的需要有更準確的方法來檢驗這種差異是否顯著，也就是進行方差分析所以叫方差分析，因為雖然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時則需要借助于方差這個名字也表示：它是通過對數(shù)據(jù)誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進行方差分析時，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來源方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(兩類誤差)

1、隨機誤差

因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異

比如，同一行業(yè)下不同企業(yè)被投訴次數(shù)之間的差異

這種差異可以看成是隨機因素的影響，稱為隨機誤差

2、系統(tǒng)誤差

因素的不同水平(不同總體)之間觀察值的差異

比如，不同行業(yè)之間的被投訴次數(shù)之間的差異

這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于行業(yè)本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差

5.1.2從誤差分析入手方差分析的基本思想和原理

(誤差分解)總誤差(total)，反應全部觀測數(shù)據(jù)的誤差大小組內(nèi)平方和(withingroups)因素的同一水平下數(shù)據(jù)誤差的平方和，反應樣本數(shù)據(jù)內(nèi)部各觀察值之間的差異比如，零售業(yè)被投訴次數(shù)的誤差平方和，同一位置下不同超市之間銷售額的差異的差異反映隨機因素的影響，只包含隨機誤差3.組間平方和(betweengroups)因素的不同水平之間數(shù)據(jù)誤差的平方和比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)之間的誤差平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差2008年5月誤差表示(平方和—SS)數(shù)據(jù)的誤差用平方和(sumofsquares)表示組內(nèi)平方和(sumofsquaresforerror)誤差平方和或殘差平方和，記為SS殘差

不同因子(不同位置超市)的組內(nèi)誤差平方和組間平方和(sumofsquaresforfactor)因子平方和，記為SS因子不同因子(不同位置超市)的組間誤差平方和總平方和(sumofsquaresfortotal)

反映全部數(shù)據(jù)誤差大小的平方和，記為SST誤差間的關(guān)系：SST=SS因子+SS殘差2008年5月誤差度量(均方—MS)用均方(meansquare)表示誤差大小，以消除觀測數(shù)據(jù)的多少對平方和的影響用平方和除以相應的自由度均方也稱方差(variance)

組間均方也稱組間方差(between-groupsvariance)，反映各因子間誤差的大小MS因子=SS因子÷自由度(因子個數(shù)-1)組內(nèi)均方也稱組內(nèi)方差(within-groupsvariance)

，反映隨機誤差的大小MS殘差=SS殘差÷自由度(數(shù)據(jù)個數(shù)-因子個數(shù))方差分析的基本思想和原理

(均方—MS)若原假設(shè)成立，組間均方與組內(nèi)均方的數(shù)值就應該很接近，它們的比值就會接近1若原假設(shè)不成立，組間均方會大于組內(nèi)均方，它們之間的比值就會大于1當這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異，即自變量對因變量有影響判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，也就是檢驗被投訴次數(shù)的差異主要是由于什么原因所引起的。如果這種差異主要是系統(tǒng)誤差，說明不同行業(yè)對投訴次數(shù)有顯著影響2008年5月誤差分析(F-檢驗)將組間均方與組內(nèi)均方進行比較，分析差異是否顯著F=(MS因子÷MS殘差)~F(因子自由度，殘差自由度)用F分布作出決策，給定的顯著性水平

若F>F(或P<)

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異顯著，因素對觀察值有顯著影響2008年5月誤差分析

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MS因子/MS殘差

1aF分布F

(k-1,n-k)0拒絕H0不拒絕H0F方差分析的基本假定

1、每個總體都應服從正態(tài)分布

對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本

比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)必須服從正態(tài)分布

2、各個總體的方差必須相同，比如，4個行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等，這一假設(shè)也被稱為方差齊性(homogeneityvariance)

3、觀察值是獨立的。比如，每個行業(yè)被投訴的次數(shù)與其他行業(yè)被投訴的次數(shù)獨立。

5.1.3在什么條件下進行分析？方差分析中的基本假定在上述假定條件下，判斷行業(yè)對投訴次數(shù)是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的4個正態(tài)總體的均值是否相等如果4個總體的均值相等，可以期望4個樣本的均值也會很接近4個樣本的均值越接近，推斷4個總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分2008年5月方差分析中基本假定原假設(shè)成立的情形。如果原假設(shè)成立，H0：

m1=m2=m3=m4，即4個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值都相等，意味著每個樣本都來自均值為

、方差為

2的同一正態(tài)總體

xf(x)

1

2

3

=4方差分析中的基本假定

若備擇假設(shè)成立，即H1：

mi(i=1,2,3,4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的4個樣本分別來自均值不同的4個正態(tài)總體

Xf(X)

3

1

2

4

2008年5月方差分析中基本假定

原假設(shè)不成立的極端情形xf(x)

3

1

2問題的一般提法設(shè)因素有k個水平，每個水平的均值分別用

1,

2,,

k

表示要檢驗k個水平(總體)的均值是否相等，需要提出如下假設(shè)：H0：

1

2

…

k

H1：

1,

2,，

k

不全相等設(shè)

1為零售業(yè)被投訴次數(shù)的均值，

2為旅游業(yè)被投訴次數(shù)的均值，

3為航空公司被投訴次數(shù)的均值，

4為家電制造業(yè)被投訴次數(shù)的均值，提出的假設(shè)為H0：

1

2

3

4

H1：

1,

2,

3,

4

不全相等5.2.1只考慮一個因子5.2.2關(guān)系有多強？5.2考慮一個分類自變量的影響5.2.1只考慮一個因子(one-wayanalysisofvariance)單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…水平Ak12::n

x11

x21

…

xk1x12

x22

…

xk2::

:

:::

:

:x1n

x2n

…

xkn分析步驟提出假設(shè)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計決策提出假設(shè)一般提法H0

：m1=m2=…=

mk

自變量對因變量沒有顯著影響

H1：m1

，m2

，…

，mk不全相等自變量對因變量有顯著影響

注意：拒絕原假設(shè)，只表明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算水平的均值全部觀察值的總均值誤差平方和均方(MS)

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算水平的均值)假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù)計算公式為式中：ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)

xij為第i個總體的第j個觀察值

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(例題分析)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算總誤差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計算公式為

前例的計算結(jié)果

SST=(57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2=115.9295構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組間平方和SSA)各組平均值與總平均值的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度該平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差計算公式為

前例的計算結(jié)果SSA=1456.608696構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算組內(nèi)平方和SSE)每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和反映每個樣本各觀察值的離散狀況該平方和反映的是隨機誤差的大小計算公式為

前例的計算結(jié)果SSE=2708構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(三個平方和的關(guān)系)

總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和(SSA)之間的關(guān)系SST=SSA+SSE

前例的計算結(jié)果

4164.608696=1456.608696+2708構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差由誤差平方和除以相應的自由度求得三個平方和對應的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個數(shù)SSE的自由度為n-k構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)組間方差：SSA的均方，記為MSA，計算公式為組內(nèi)方差：SSE的均方，記為MSE，計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算檢驗統(tǒng)計量F)將MSA和MSE進行對比，即得到所需要的檢驗統(tǒng)計量F當H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即2008年5月構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MS因子/MS殘差

1aF分布F

(k-1,n-k)0拒絕H0不拒絕H0F統(tǒng)計決策

將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平

的臨界值F

進行比較，作出對原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平

，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素對觀察值有顯著影響若F<F

，則不拒絕原假設(shè)H0

，無證據(jù)表明所檢驗的因素對觀察值有顯著影響2008年5月提出假設(shè)并進行檢驗設(shè)

1為商業(yè)區(qū)超市銷售額的均值，

2為居民小區(qū)超市銷售額的均值，

3為寫字樓超市銷售額的均值，提出的假設(shè)為H0：

1

2

3

H1：

1,

2,

3

不全相等計算檢驗統(tǒng)計量計算P值，作出決策2008年5月單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值組間(因素影響)SSAk-1MSAMSAMSE組內(nèi)(誤差)SSEn-kMSE總和SSTn-1單因素方差分析

(例題分析)2008年5月用Excel進行方差分析

(Excel分析步驟)

第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇【數(shù)據(jù)分析】選項第3步：在分析工具中選擇【單因素方差分析】

，然后選擇【確定】第4步：當對話框出現(xiàn)時

在【輸入?yún)^(qū)域

】方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域在【】方框內(nèi)鍵入0.05(可根據(jù)需要確定)

在【輸出選項

】中選擇輸出區(qū)域

用Excel進行方差分析2008年5月用SPSS進行方差分析

(單因素方差分析)

用SPSS進行方差分析第1步：選擇【Analyze】

【CompareMeans】

【One-Way-ANOVA】進入主對話框第2步：在主對話框中將因變量(投訴次數(shù))選入【DependentList】，將自變量(行業(yè))選入【Factor)】第3步：(需要多重比較時)點擊【Post-Hoc】從中選擇一種方法，如LSD；(需要均值圖時)在【Options】下選中【Meansplot】，(需要相關(guān)統(tǒng)計量時)

選擇【Descriptive】，點擊【Continue】回到主對話框。點擊【OK】5.2.2關(guān)系有多強？變量間關(guān)系的強度用自變量平方和(SS因子)占總平方和(SST)的比例大小來反映自變量平方和占總平方和的比例記為R2,即其平方根R就可以用來測量兩個變量之間的關(guān)系強度

關(guān)系強度的測量

拒絕原假設(shè)表明因素(自變量)與觀測值之間有顯著關(guān)系組間平方和(SSA)度量了自變量(行業(yè))對因變量(投訴次數(shù))的影響效應只要組間平方和SSA不等于0，就表明兩個變量之間有關(guān)系(只是是否顯著的問題)；當組間平方和比組內(nèi)平方和(SSE)大，而且大到一定程度時，就意味著兩個變量之間的關(guān)系顯著，大得越多，表明它們之間的關(guān)系就越強。反之，就意味著兩個變量之間的關(guān)系不顯著，小得越多，表明它們之間的關(guān)系就越弱；關(guān)系強度的測量

(例題分析)

R=0.591404結(jié)論行業(yè)(自變量)對投訴次數(shù)(因變量)的影響效應占總效應的34.9759%，而殘差效應則占65.0241%。即行業(yè)對投訴次數(shù)差異解釋的比例達到近35%，而其他因素(殘差變量)所解釋的比例近65%以上

R=0.591404，表明行業(yè)與投訴次數(shù)之間有中等以上的關(guān)系

多重比較的意義通過對總體均值之間的配對比較來進一步檢驗到底哪些均值之間存在差異可采用Fisher提出的最小顯著差異方法，簡寫為LSDLSD方法是對檢驗兩個總體均值是否相等的t檢驗方法的總體方差估計加以修正(用MSE來代替)而得到的多重比較的步驟提出假設(shè)H0:mi=mj(第i個總體的均值等于第j個總體的均值)H1:mi

mj(第i個總體的均值不等于第j個總體的均值)計算檢驗的統(tǒng)計量:計算LSD決策：若，拒絕H0；若

，不拒絕H0多重比較分析

(例題分析)第1步：提出假設(shè)檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：方差分析中的多重比較

(例題分析)第2步：計算檢驗統(tǒng)計量檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：方差分析中的多重比較

(例題分析)第3步：計算LSD檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：方差分析中的多重比較

(例題分析)第4步：作出決策不能認為零售業(yè)與旅游業(yè)均值之間有顯著差異

不能認為零售業(yè)與航空公司均值之間有顯著差異不能認為零售業(yè)與家電業(yè)均值之間有顯著差異不能認為旅游業(yè)與航空業(yè)均值之間有顯著差異不能認為旅游業(yè)與家電業(yè)均值之間有顯著差異航空業(yè)與家電業(yè)均值有顯著差異

5.3.1不考慮交互作用

5.3.2考慮交互作用5.3考慮兩個分類自變量的影響(two-wayanalysisofvariance)2008年5月考慮兩個分類變量的影響

(two-wayanalysisofvariance)

分析兩個因素(行因素Row和列因素Column)對試驗結(jié)果的影響如果兩個因素對試驗結(jié)果的影響是相互獨立的，分別判斷行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的影響，這時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析或無重復雙因素方差分析(Two-factorwithoutreplication)如果除了行因素和列因素對試驗數(shù)據(jù)的單獨影響外，兩個因素的搭配還會對結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析或可重復雙因素方差分析

(Two-factorwithreplication)5.3.1不考慮交互作用(無重復雙因素分析)雙因素方差分析的基本假定每個總體都服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本各個總體的方差必須相同對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的觀察值是獨立的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

是行因素的第i個水平下各觀察值的平均值

是列因素的第j個水平下各觀察值的平均值

是全部kr個樣本數(shù)據(jù)的總平均值數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

誤差分解

計算平方和(SS)總誤差平方和行因素誤差平方和列因素誤差平方和隨機誤差項平方和誤差分解

總誤差平方和(SST)被分解成3部分，行因素平方和(SSR)、列因素平方和(SSC)、誤差項平方和(SSE)之間的關(guān)系SST=SSR+SSC+SSE分析步驟(構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量)

計算均方(MS)誤差平方和除以相應的自由度三個平方和的自由度分別是總誤差平方和SST的自由度為kr-1行因素平方和SSR的自由度為k-1列因素平方和SSC的自由度為r-1誤差項平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)

分析步驟(構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量)

計算均方(MS)行因素的均方，記為MSR，計算公式為列因素的均方，記為MSC

，計算公式為誤差項的均方，記為MSE

，計算公式為2008年5月構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量——檢驗檢驗統(tǒng)計量檢驗行因子檢驗列因子決策

若FR>F

(或P<

)

，拒絕H0

若FC>F

(或P<

)

，拒絕H0雙因素方差分析表(基本結(jié)構(gòu))誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值行因素SSRk-1MSRMSRMSE列因素SSCr-1MSCMSCMSE誤差SSE(k-1)(r-1)MSE總和SSTkr-12008年5月雙因素方差分析（不考慮交作用）

(例題分析)不同品牌的彩電在5個地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)品牌因素地區(qū)因素地區(qū)1地區(qū)2地區(qū)3地區(qū)4地區(qū)5品牌1品牌2品牌3品牌4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例】有4個品牌的彩電在5個地區(qū)銷售，為分析彩電的品牌(品牌因素)和銷售地區(qū)(地區(qū)因素)對銷售量的影響，對每個品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)。試分析品牌和銷售地區(qū)對彩電的銷售量是否有顯著影響？(=0.05)

雙因素方差分析(例題分析)

提出假設(shè)對品牌因素提出的假設(shè)為H0：m1=m2=m3=m4(品牌對銷售量無顯著影響)H1：mi

(i=1,2,…,4)

不全相等(有顯著影響)對地區(qū)因素提出的假設(shè)為H0：m1=m2=m3=m4=m5(地區(qū)對銷售量無顯著影響)H1：mj

(j=1,2,…,5)

不全相等(有顯著影響)

用Excel進行無重復雙因素分析雙因素方差分析

(例題分析)

結(jié)論：

FR＝18.10777>F

＝3.4903，拒絕原假設(shè)H0，說明彩電的品牌對銷售量有顯著影響

FC＝2.100846<F

＝3.2592，不拒絕原假設(shè)H0，無證據(jù)表明銷售地區(qū)對彩電的銷售量有顯著影響雙因素方差分析

(關(guān)系強度的測量)行平方和(SSR)度量了品牌這個自變量對因變量(銷售量)的影響效應列平方和(SSC)度量了地區(qū)這個自變量對因變量(銷售量)的影響效應這兩個平方和加在一起則度量了兩個自變量對因變量的聯(lián)合效應聯(lián)合效應與總平方和的比值定義為R2其平方根R反映了這兩個自變量合起來與因變量之間的關(guān)系強度雙因素方差分析

(關(guān)系強度的測量)

例題分析品牌因素和地區(qū)因素合起來總共解釋了銷售量差異的83.94%其他因素(殘差變量)只解釋了銷售量差異的16.06%R=0.9162，表明品牌和地區(qū)兩個因素合起來與銷售量之間有較強的關(guān)系5.3.2考慮交互作用的雙因素方差分析(可重復雙因素分析)可重復雙因素分析(例題)【例】城市道路交通管理部門為研究不同的路段和不同的時間段對行車時間的影響，讓一名交通警察分別在兩個路段和高峰期與非高峰期親自駕車進行試驗，通過試驗共獲得了20個行車時間(單位：min)的數(shù)據(jù)，如下表。試分析路段、時段以及路段和時段的交互作用對行車時間的影響交互作用的圖示(interaction)路段與時段對行車時間的影響交互作用無交互作用行車時間路段1路段2高峰期非高峰期行車時間路段1路段2高峰期非高峰期可重復雙因素分析

(平方和的計算)設(shè)：

為對應于行因素的第i個水平和列因素的第j個水平的第l行的觀察值

為行因素的第i個水平的樣本均值

為列因素的第j個水平的樣本均值

對應于行因素的第i個水平和列因素的第j個水平組合的樣本均值

為全部n個觀察值的總均值

可重復雙因素分析

(平方和的計算)總平方和：行變量平方和：列變量平方和：交互作用平方和：誤差項平方和：SST=SSR+SSC+SSRC+SSE2008年5月誤差分解總誤差平方和(SST)被分解成4部分行因子平方和(SSR)；列因子平方和(SSC)；交互作用平方和(SSRC)；殘差平方和(SSE)各平方和的關(guān)系相應的均方行因子均方(MSR)列因子均方(MSC)

交互作用均方(MSRC)殘差均方(MSE)SST=SSR+SSC+SSRC+SSE可重復雙因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))誤差來源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F值P值F臨界值行因素SSRk-1MSRFR列因素SSCr-1MSCFC交互作用SSRC(k-1)(r-1)MSRCFRC誤差SSEKr(m-1)MSE總和SSTn-1m為樣本的行數(shù)2008年5月檢驗檢驗統(tǒng)計量檢驗行因子檢驗列因子檢驗交互作用決策

若FR>F

(或P<

)

，拒絕H0

若FC>F

(或P<

)

，拒絕H0若FRC>F

(或P<

)

，拒絕H02008年5月考慮交互作用可重復雙因素分析

(Excel檢驗)第1步：選擇“工具”下拉菜單，并選擇【數(shù)據(jù)分析】選項第2步：在分析工具中選擇【方差分析：可重復雙因素分析】，然后選擇【確定】第3步：當對話框出現(xiàn)時