2023-2024學年安徽省高二年級上冊期末數(shù)學（文）模擬試題(含解析)

2023-2024學年安徽省高二上冊期末數(shù)學(文)模擬試題

一、單選題

1.若“rN”是"尸〃？”的必要條件，則加的一個值可以是()

A.0B.2

C.4D.16

【正確答案】B

【分析】根據(jù)命題的必要性可知廣加可推出/N，即可求出機的一個值

【詳解】解:由“xW”和“k-2”能得出“/n”，

所以2滿足條件，選項B正確.

故選:B

本題考查根據(jù)命題的必要條件求參數(shù)，是基礎(chǔ)題.

2.下列求導運算正確的是()

v

A.(sin工)=cos—B.卜一")=e~C.(log2x)=—In2D.(lnx)'=：

【正確答案】D

【分析】利用基本函數(shù)求導法則和復合函數(shù)求導法則計算出答案

【詳解】卜山1)=與=0，A錯誤;

(b)’=葭?(-力'=七，，B錯誤；

(log,C錯誤；

2xln2

(Inx\=-,D正確.

x

故選：D

3.設(shè)4=3-4，，z,=-2+3z,則4-z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】D

【詳解】試題分析:--22=(3-4。-(-2+3，)=5-77,對應(yīng)的點為(5,-7),在第四象限

復數(shù)運算及其相關(guān)概念

4.方程（3*-2匕6）[唾心+2了）-3]=0表示的圖形經(jīng)過點40,-1）,8（2,3）,C（2,0）,

中的（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【正確答案】C

本題先根據(jù)x+2y>0,排除A,。兩點，再將8（2,3）,C（2,0）兩點代入滿足方程，即可判

斷選項.

【詳解】由方程x+2y>0,可知A,。兩點不符合題意；對于點8（2,3）,x+2y=8=2\

則有l(wèi)og2（x+2y）-3=0；對于點C（2,0）,3x-2y-6=0.

故選：C.

本題考查方程的圖象過點的問題，是基礎(chǔ)題.

5.已知命題P：對任意xeR,總有--x+lNO：q：若02<〃，則“<6.則下列命題為真

命題的是（）

A.7八qB.p—qc.RArgD.PH

【正確答案】B

【分析】先判斷命題P，命題4的真假，在判斷選項的真假

【詳解】由x2-X+l=（X-/2+j>0

所以命題P為真命題

令。=0,6=-1,則/<〃，但是a>b

所以命題4為假命題

故pAf為真

故選：B.

6.已知函數(shù)y=「'（x）的圖象如圖所示（其中知（X）是函數(shù)/（X）的導函數(shù)）,下列說法正確

①函數(shù)/(X)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)是增加的;

②函數(shù)/(X)在X=-l處取得極大值；

③函數(shù)/。)在工=-；處取得極大值；

④函數(shù)/(X)在X=1處取得極小值.

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】分析導數(shù)的符號變化，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷①；利用導數(shù)與函數(shù)極

值點的關(guān)系可判斷②③④.

【詳解】對于①，當X>1時，/(x)>0,則#(x)>0,故函數(shù)/(X)在區(qū)間(I,+8)內(nèi)是增

加的，①對；

對于②，當x<-l時，M'(x)<o,則非(x)>0,

當-l<x<0時，礦(x)>0,貝iJ/'(x)<0,

所以，函數(shù)/(X)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減，

故函數(shù)〃x)在尸-1處取得大值，②對；

對于③，由②可知，函數(shù)/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)/(x)不在x=-；處取得極

大值，③錯；

對于④，當0<x<l時，l(x)<0,貝則/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

又因為函數(shù)/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)/(x)在X=1處取得極小值，④對.

故選：C.

7.若z(l+i)=2i,則2=

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【正確答案】D

根據(jù)復數(shù)運算法則求解即可.

【詳解】z==1+i.故選D.

本題考查復數(shù)的商的運算，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).采取運算法則法，利用方程思想解題.

8.設(shè)復數(shù)z滿足|z-i|=l,z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,>),貝I」

A.(x+l)2+y2=1B.(x-l)2+/=1C.x2+(^-l)2=1D.x2+(j；+l)2=l

【正確答案】C

【分析】本題考點為復數(shù)的運算，為基礎(chǔ)題目，難度偏易.此題可采用幾何法，根據(jù)點(X,

y)和點(0,1)之間的距離為1,可選正確答案C.

【詳解】z=x+yi,z—i=x+[y—Y)i,\z-i\=y]x2+(y-1)2=1,貝！Ix2+(y—=1.故選C.

本題考查復數(shù)的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取公式法或幾何

法，利用方程思想解題.

9.為了激發(fā)同學們學習數(shù)學的熱情，某學校開展利用數(shù)學知識設(shè)計/og。的比賽，其中某位

同學利用函數(shù)圖象設(shè)計了如圖的/og。，那么該同學所選的函數(shù)最有可能是()

A./(X)=xsinx-cosxB./'(x)=sinx-xcosx

C./(x)=x2+2cosxD./(x)=2sinx+x2

【正確答案】A

【分析】將圖形置于直角坐標系中，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性即可得結(jié)果.

【詳解】將圖形置于直角坐標系中，如圖所示：

由圖易知該函數(shù)為偶函數(shù)，

對于選項B,滿足/(-x)=-sinx+xcosx=-/(x),即/(x)為奇函數(shù)，故可排除;

對于選項D,滿足/(-x)=-2sinx+x2,即/(x)為非奇非偶函數(shù)，故可排除；

對于選項C,/'(x)=2x-2sinx,

令g(x)=/'(X)=2x-2sinx,所以g'(x)=2-2cosxN。在(0,+s)恒成立，

所以/'(x)=2x-2sinx在(0,+功單調(diào)遞增，

所以/'(x)>/'(0)=0在(0,+8)恒成立，

即〃》)=/+28$工在(0,+8)單調(diào)遞增，故排除;

故選：A.

【正確答案】C

【詳解】由x2-y2=2,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,

/-a=V2,c=2.

XV|PFi|-|PF2|=2a,|PFi|=2|PF2|,

，|PFi|=4總PF2|=2五.

又；|FIF2|=2C=4,

，由余弦定理得cos/RPF」叫+［匈T、：.

2x4后x2近4

故選C.

11.已知點P是拋物線/=2x上的一個動點，則點P到點4（0,2）的距離與點P到該拋物線

的準線的距離之和的最小值為（）

姮9

2C

A.B.D.2-

【正確答案】A

【分析】利用拋物線定義得到|，訓+|"|即為點P到點“（0,2）的距離與點P到該拋物線的準

線的距離之和，連接E4,最小值為|力尸|,求出答案.

【詳解】設(shè)拋物線的焦點坐標為尸弓則點P到該拋物線的準線的距離等于歸尸|的長,

歸國+/可即為點P到點力（0,2）的距離與點P到該拋物線的準線的距離之和，

連接E4交拋物線于點P，此點即為點P到點”（°，2）的距離與點P到該拋物線的準線的距離

之和的最小值，故最小值為|力尸|,

其中所=引1耍

故選：A

12.已知函數(shù)/(x)="-lnx,若/(x)>l在區(qū)間(1,內(nèi))內(nèi)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

A.B.C.(1,+<?)D.[1,+<?)

【正確答案】D

【詳解「??/(x)=ax—lnx,/(x)>l在(1，+8)內(nèi)恒成立，???。>匕皿在(1，+8)內(nèi)恒成立,

X

設(shè)g(x)="In"，x￡(l,+8)時，g'(x)=-^p<0,即g(x)在(L+oo)上是單調(diào)遞減的,

XX

.?.g(x)<g(l)=l，...“21,即a的取值范圍是口，+8),故選D.

點睛：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，由/可》)>0,得函數(shù)單調(diào)遞增，

r(x)<o得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段.通

過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為“>Mx)或。<Mx)恒成立，即a>叫呼(x)或。<hmm(x)即可，利用導

數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出%1t(x)或勾“(x)即得解.

二、填空題

4

13.中心在坐標原點，焦點在x軸上且焦距是8,離心率等于《的橢圓的標準方程為

【正確答案】—+^=1

259

【分析】先求出c,再根據(jù)離心率求出“，最后利用a1,c的關(guān)系求出62,即可求出橢圓的標

準方程.

【詳解】由焦點在x軸上且焦距是8,可得c=4,

由離心率等于二4可得±c二4;，解得。=5,

5a5

所?以力*2*45=a2—c2=25-16=9?

所以，橢圓的標準方程為《+己=1.

259

14.函數(shù)y=xe，在其極值點處的切線方程為.

【正確答案】y=~-

e

【詳解】y=/'（X）=xdn-（X）=（l+x）e",令/'（x）=O=>x=-l,此時/（一1）=一1

e

函數(shù)y=在其極值點處的切線方程為y=-l

e

導數(shù)的幾何意義.

15.己知某生產(chǎn)廠家的年利潤了（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為

^=-1X3+81X-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為萬件.

【正確答案】9

【詳解】由y=-；Y+8Ix-234得;/=-f+81,

由-/+81=0得再=-9（舍去），%=9,

當xe（O,9）時，/>0,函數(shù)y=-；/+81x-234為增函數(shù)，

當xe（9,+8）時，y'<0,函數(shù)y=+81x-234為減函數(shù)，

所以當x=9時，函數(shù)有最大值為-$93+81x9-234=252（萬元），

使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為9萬件.

故9.

16.從橢圓］+￡=15>6>0）上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點E，/是橢圓與x

軸正半軸的交點，8是橢圓與'軸正半軸的交點，且N8〃0P（。是坐標原點），則該橢圓的

離心率是.

【正確答案】立

2

【詳解】由已知，點P（-c,y）在橢圓上，且在第二象限，代入橢圓方程，得

pf-c,—I.VJ5Z/0P,：.kAB=kOP,即一2=-;L,則人:心.?./=〃+〃=2-則￡=

Va）aaca

巨,即該橢圓的離心率是也.

22

答案：交

2

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方

程或不等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程

或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.

三、解答題

17.已知函數(shù)/(X)=3X3-9X+5.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)求函數(shù)/(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)遞增區(qū)間為(—,-1),。,+8):遞減區(qū)間為(T,l)

(2)最大值為59,最小值為-49

【分析】(1)求定義域，求導，解不等式，得到單調(diào)區(qū)間；

(2)求出極值和端點值，比較后確定最值.

【詳解】(1)/⑶的定義域為R,且/(x)=9d-9=9(x+l)(x-l),

令/'(x)>0得x<-l或x>l,令/'(x)<0得

所以遞增區(qū)間為。,+8),遞減區(qū)間(7,1)；

(2)

X-3(-3,-1)-1(-1.1)1(1，3)3

/(X)+0-0+

y=/(x)-49單調(diào)遞增極大值11單調(diào)遞減極小值-1單調(diào)遞增59

所以函數(shù)/(x)在卜3,3］上的最大值為59,最小值為-49.

18.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，且長軸長為12,離心率為(

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)已知雙曲線E過點(2百,-J5),且雙曲線E的焦點與橢圓C的焦點重合，求雙曲線E

的標準方程.

【正確答案】(1)1+4=1(2)—-j2=l

【分析】(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)得出方程即可；

(2)設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)橢圓的焦點坐標得出a；=4,將點(26,-G)代入雙曲線

方程，聯(lián)立方程求解即可得出雙曲線的標準方程.

【詳解】解：(1)由題意知，2a=12,￡=：

a3

所以4=6,C=2,所以從=/一/=32

又因為橢圓C的焦點在X軸上，所以橢圓C的方程為1+4=1

3632

22

(2)雙曲線￡的標準方程為彳x一a=1(%>0e>0)

由題可知雙曲線E的焦點坐標為(2,0),(-2,0),所以“；+月=4

又雙曲線E過點(26,-6),所以/一記=1，解得。；=3，b：=l

所以雙曲線E的標準方程為二=1

3

本題主要考查了由。,6,c求橢圓的方程以及雙曲線的方程，屬于中檔題.

19.已知函數(shù)〃x)=lnx_6?匚.

(1)求該函數(shù)在點處的切線方程；

(2)證明：當x>l時，/(x)<x-l.

【正確答案】(i)x-y-i=o

⑵證明見解析

【分析】(1)求出/(I)、/'(I)的值，利用導數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；

(2)令g(x)=lnx-；/+g,其中x>l,利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+8)上的單調(diào)性

可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)解：因為〃x)=lnx-JL，該函數(shù)的定義域為(0,+功，則/'(x)='-(x-l),

2x

所以，/(i)=o,r(i)=i.

因此，曲線y=/(x)在點(1J。))處的切線方程為y=x-l,即x_y_i=o.

(2)解：令g(x)=/(x)-(x-l)=lnX：fR,則glx)=1-x=^^,

當x>l時，g'(x)<0,則函數(shù)g(x)在(1,+CO)上為減函數(shù)，

故當X>］時，g(x)<g(l)=o,則

20.已知拋物線_/=2px(p>0)的焦點為尸，點A是拋物線上橫坐標為4,且位于x軸上方

的點，點A到拋物線準線的距離等于5,過A作48垂直于》軸于點B,線段08的中點為M.

(1)求此拋物線的方程；

(2)己知K(3,0),以點M為圓心，MB為半徑作圓“，試判斷直線4K與圓M的位置關(guān)系并

說明理由.

【正確答案】(l)V=4x

(2)相離,理由見解析

【分析】(1)利用拋物線的定義，求出P,即可求得拋物線的方程；

(2)先求出直線4K的方程，結(jié)合圓心"(0,2)到直線ZK的距離，判斷出d〉r,從而可

知直線ZK與圓〃相離.

【詳解】(1)因為A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的

距離等于5,所以4+^=5,所以p=2,

所以拋物線方程為：y2=4x.

(2)由題意得,K(3,0),點A的坐標為(4,4),點B的坐標為(0,4),圓M的圓心是點(0,2),半

徑為2.

所以直線力K的方程為y=4(x-3),即為4x-y-12=0,

圓心M(0,2)到直線4K的距離"=交空=」±=*叵＞廠，

V16+1由17

故直線4K與圓/相離；

V.22

21.設(shè)耳,工分別是橢圓］+4=1伍＞6＞0)的左、右焦點，M,N分別為其短軸的兩個端

點，且四邊形M寫入外的周長為4,設(shè)過耳的直線/與E相交于力，8兩點，且|4B|=:

(1)求|力6|?忸巴|的最大值；

(2)若直線/的傾斜角為45。求△48名的面積.

【正確答案】(1)1

【分析】(1)由橢圓的定義、恒川求出以周+忸國，再由基本不等式可得答案；

(2)設(shè)/的方程為y=x+c,代入橢圓方程，設(shè)省占,必)，8(X2,為)，由韋達定理代入

=可求出〃、c以及/的方程，再利用點到直線的距離公式可得用至心

的距離，由三角形面積公式可得答案.

【詳解】(1)四邊形M耳性為菱形，周長為4,

由橢圓的定義可知|阿|+|嶼|+|明|+|叫|=4"4,；.斫1,

M=p周+忸周+M用+忸制=4,

Q

??.I盟|+|%|=9

中用?此4她普到

k2/9

當且僅當|同=忸曰=：時，等號成立，即|網(wǎng)?此的最大值為替

(2)直線/的傾斜角為45”,.?.可設(shè)/的方程為V=x+c,其中c=?^，

由(1)知橢圓E的方程為一+，=1,

直線方程代入橢圓方程，化簡可得(1+/>2)X2+2cx+l-2/=0,

-2c\-2b2

設(shè)/(%,必)，B(x2,y2),則％+%

-2cA,1-2Z)

-----r-4x------r-

\+b2Ji+b2

...小…咚

I的方程為y=x+

S=—\A^\xl=—x—xl=—.

‘A％BF?233

22.已知函數(shù)/(x)=；/+inx.

2

⑴求證：在區(qū)間(l,+8)上