2022-2023學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)集合4={x|x>1},集合B={x[x>§,則（CR4）CB=（）

111

A.{x\x<1}B.{x|-<x<1}C.{x|-<x<1}D.（x\x>-}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=2—i,貝氏在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若%>3,則函數(shù)/（X）=x+白的最小值為（）

A.2/7B.C.2。+3D.-2c+3

4.某市衛(wèi)健委為了解本市參加過(guò)防疫的7.5萬(wàn)名志愿者服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），做了一次隨

機(jī)抽樣調(diào)查,將樣本中個(gè)體的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)此估

計(jì)本次參加過(guò)防疫的志愿者中服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)32小時(shí)的，約有（）

A.3.45萬(wàn)人B.3.48萬(wàn)人C.3.82萬(wàn)人D.3.91萬(wàn)人

5.下列命題正確的是（）

A.對(duì)于任意非零向量,、&c,若向量,、坂在向量,上的投影向量相等，則五=b

B.若d]=3.&則五=B一定成立

C.向量荏與方是共線向量，則4、B、C、。四點(diǎn)一定共線

D.若為小不0，且|磯=|3|=|方一石貝峻與N+3所在直線的夾角是30。

6.已知=1，|而|=2，函?布=一，3，點(diǎn)C在NAOB內(nèi)，且N40C=30。，設(shè)=

*

xOA+yOB(x,yG/?).則］=()

A.OB.ZRC.30D.4<3

7.2023年4月18日，我國(guó)自行研制具有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的噴氣式支線客機(jī)4R/21完成了在

印尼首航，這是AR/21在海外市場(chǎng)商業(yè)運(yùn)行的首秀，標(biāo)志著國(guó)產(chǎn)新支線客機(jī)4R/21在海外商業(yè)

運(yùn)營(yíng)邁開(kāi)第一步.中國(guó)商飛公司為了進(jìn)一步打開(kāi)海外市場(chǎng)，需要加大在開(kāi)創(chuàng)性、創(chuàng)新性探索和

實(shí)踐方面的投入.中國(guó)商飛公司旗下甲乙兩家子公司，各子公司投入與利潤(rùn)的關(guān)系如下.甲公司:

利潤(rùn)y（億元）與投入雙億元）成一次函數(shù)關(guān)系y=kx+b（k豐0）,乙公司：利潤(rùn)y（億元）與投入

x（億元）成基函數(shù)型關(guān)系y=7nC+n（7nM0），如圖所示.目前，中國(guó)商飛總公司準(zhǔn)備拿出資

金10億元投入到甲、乙兩公司，如何分配才能使總利潤(rùn)最大呢？（）

甲公司乙公司

A.投入甲公司,億元，投入乙公司年億元

B.投入甲公司年億元，投入乙公司告億元

yv

c.投入甲公司o億元，投入乙公司io億元

D.投入甲公司10億元，投入乙公司0億元

8.等腰三角形4BC中，AB=BC=4,乙4BC=120。/為4c中點(diǎn)，M為線段BC上靠近點(diǎn)C的

四等分點(diǎn)，將△4BF沿BF翻折，使4到4的位置，且平面4BFJL平面BCF,則四面體為BFM

的外接球的表面積為（）

A167rD16」「647r

A?亍B--c.—D史

3

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.設(shè)Z「Z2為復(fù)數(shù)，且Z1#Z2,下列命題正確的是()

A.若同-2|=1,則為在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓

B.若Zi，Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Zi，Z2關(guān)于y軸對(duì)稱，則Z1=E

C.若言=?，則zi的虛部與Z2的實(shí)部相等

D.若=|z2|,則z工=zj

10.下列說(shuō)法中正確的是()

A.已知日=(1,2),6=(1,1),且N與日+花的夾角為銳角，則實(shí)數(shù);I的取值范圍是

(一今0川(0,+8)

B.已知點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)，滿足以?麗=麗?正=麗?萬(wàn)，則P是△48C的重心

C.已知點(diǎn)P在AABC所在平面內(nèi)，滿足才？=4(雋+備)，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)AABC的

\AB\\ACy

內(nèi)心

D.若平面向量石，族共線，且五=(0,3),滿足21nl=3后|，則|五+同為5或1

11.對(duì)于函數(shù)/(x)=tan6x+》的性質(zhì)，正確的有()

A.定義域?yàn)閧##21+鼻€2},周期為2

B.單調(diào)區(qū)間為0+2kt+2k),kez

C.對(duì)稱中心為(2k-?0),k&Z

D.在定義域內(nèi)，任意與、不e(a,b)且與H犯，＞/(打；*2),則|a-b|最大值為1

12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD-4/16%中，E,F分別

為棱&D1，441的中點(diǎn)，G為線段BiC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝1()

A.aCJ_平面

B.若G為當(dāng)。的中點(diǎn)，則異面直線EF與CG所成的角為90°

C.直線&G與平面BDCi所成角的余弦值的范圍為⑼苧］

D.若點(diǎn)”為正方形4遇。5內(nèi)(包括邊界上)的動(dòng)點(diǎn)，且CM〃平

面BGEF,則點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為:

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.用斜二測(cè)畫法畫出的某圓錐軸截面所在三角形的直觀圖如圖，其中O'B'=O'C'=2,

O'A'=C，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為.

14.下列說(shuō)法正確的是.

①命題F6R,X2>一1”的否定是“女ER,x2<一1"；

②函數(shù)“乃=，。得一x)的單調(diào)減區(qū)間為+8)；

③若x>0,"x>\y\"是“x>y”的必要而不充分條件；

④使“一一工一6<0”成立的一個(gè)充分不必要條件是“—.

15.已知一組數(shù)據(jù)與，X2,…，M的平均值為￡=5,$2=32,刪去一個(gè)數(shù)之后，平均值沒(méi)

有改變，方差比原來(lái)大4,則這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)幾=.

16.設(shè)定義在R上函數(shù)/(x),g(x)滿足：/(x+1)-g(2-x)=2,-2)=g(x-3)+a,

且/Xx+1)為奇函數(shù)，則a=,f(x)最小正周期7=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知向量出3的夾角為60。，且2=(2,0).

(1)若日|=2，求3的坐標(biāo)；

(2)若@+1)J.0-1),AER,求|五+4方|的最小值.

18.(本小題12.0分)

如圖所示，在三棱錐P-力BC中，PA=PB=PC=AB=AC=<3.BC=2.

(1)求二面角P-BC-4的余弦值；

(2)求三棱錐P-力BC的體積.

p

19.(本小題12.0分)

2023年為普及航天知識(shí)，某校開(kāi)展了“航天知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)

抽取了80名，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)，其中成績(jī)不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整

理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若該中學(xué)參加這次競(jìng)賽的共有3000名學(xué)生，試估計(jì)全校這次競(jìng)賽中“航天達(dá)人”的人數(shù);

(2)估計(jì)參加這次競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)；

(3)若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6

人，則從成績(jī)?cè)赱70,80),[80,90),[90,100]內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了多少人？

20.(本小題12.0分)

在△4BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

(1)己知a+c=6,e7=(a,cosA),可=(cosB,b),3b=a+瓦電,求△48C的周長(zhǎng);

(2)8=30°,b=y/~2>c=2.求a.

21.(本小題12.0分)

如圖所示，在三棱柱ABC—力止住1中，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，441=3,①在底面上

的射影為BC中點(diǎn)，5為BiG的中點(diǎn).

(1)求證：4也J?平面A/C；

(2)求直線為B與BCGB1所成角的正弦值.

C.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=/|，函數(shù)g(x)=|x-a|+/_1.

(1)若xG[2,+8),求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若對(duì)VxiG[-1,1],都存在&e[2,+8),使得/(%2)=gQi),求a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?={x|x>l},

所以CR4={X|XW1},

因?yàn)?={x\x>

貝U(CR4)CB={x《<xS1).

故選：C.

由已知結(jié)合集合補(bǔ)集及交集運(yùn)算即可求解.

本題主要考查了集合的補(bǔ)集及交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?l+i)z=2-i,則z=蕓=3券旦=y=)一、,

則5=T+li,則其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為弓,|),

則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共聊復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即可得到答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共鈍復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：若x>3,

則函數(shù)f(x)=x+^=x-3+^+3>2J(x-3)-^+3=2/7+3,

當(dāng)且僅當(dāng)x—3=*，即x=3+C時(shí)取等號(hào).

故選：C.

由已知結(jié)合基本不等式即可求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由題意可知：服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)32小時(shí)的頻率為1一4x(0.005+0.040+0.090)=0.46,

約為0.46x7.5=3.45(萬(wàn)人).

故選：A.

根據(jù)頻率分布直方圖求相應(yīng)的頻率，進(jìn)而可得結(jié)果.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

7*—>—>7

【解析】解：對(duì)于4,由投影向量定義知141cosc蒼，不〉用=|b|cos<b]>面，

則2、族不一定相等，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若21=5.落則有。0-3)=0，

故a=3不一定成立，所以8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,向量荏與方是共線向量，

則A,B,C,。四點(diǎn)一定共線，顯然不正確，

可能4B〃CD,即C錯(cuò)誤;

對(duì)于，設(shè)瓦？=d，OB=b，

以040B為令B邊作平行四邊形04CB,

則行+b=0C，a-b='BA

v|3|=\b\=|a-K|，

???\0A\=\0B\=\AB\,

CMB是等邊三角形，

/.BOA=60°.

在菱形。力CB中，對(duì)角線0c平分NBOA,

正與d+3所在直線的夾角為30。.

所以。正確.

故選：D.

根據(jù)投影向量的概念即可判斷A錯(cuò)誤；

根據(jù)向量運(yùn)算可以判斷B錯(cuò)誤；

向量荏與方是共線向量，可能4B〃C。，C錯(cuò)誤；

根據(jù)幾何圖形可以判斷。正確.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：如圖，構(gòu)造平行四邊形。MCN,點(diǎn)M在射線。4上，點(diǎn)N在射線。8上,

KOM=xOA<ON=y'OB^又點(diǎn)C在乙4OB內(nèi)，故x,y都為正，

因?yàn)槟?礪=-C，由平面向量數(shù)量積定義可知NAOB=150°,

又N40C=30°,所以N/VOC=ZOCM=120°,

由04=1,08=2知|OM|=x,|MC|=|ON|=2y,

在AOMC中，由正弦定理知.因即普m=一樂(lè)

smz.M20C=smz.OCMstnSQsml20

所以］=2，瓦

故選：B.

利用數(shù)乘向量的運(yùn)算設(shè)出而=x.'ON=2y,在^MOC中利用正弦定理可求.

本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意可得：｛:=解得］：一“1，即甲公司利潤(rùn)與投入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=

21

5X2,

m=-4

累；%36解得1，乙公司利潤(rùn)與投入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=gC—；.

n=—

2

設(shè)投入到乙公司x億元，則投入到甲公司10-x億元,

總利潤(rùn)y=|(10—x)+^>/~x-1,

令土=C，則總利潤(rùn)為y=-1/+?+3=—|(t一|)2+小

因此當(dāng)t=|,即投入到乙公司％=需億元，投入到甲公司10-工=藪億元，總利潤(rùn)最大.

故選：B.

根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求相應(yīng)的解析式，進(jìn)而可得總利潤(rùn)y=|(10-x)+gC-l,再換元,

即可求解.

本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：等腰△4BC中，AB=BC=4,Z.ABC=120°,F為AC中點(diǎn)，則8F14C,

有乙4BF=乙MBF=60°,BF=2,AF=2/3，又BM=3,在4BMF中，由余弦定理得：

FM=V22+32—2x2x3cos60°=V-7>由正弦定理得△BMF外接圓半徑r=<"尸八="",

2stnbO3

在四面體A18FM中，AXF1BF,平面418尸，平面BMF,平面n平面8MF=BF,ArFc^F

面

則4/1平面BMF,令△BMF外接圓圓心為Oi，四面體&BFM外接球球心為。，

則。011平面BMF,有。0J/&F,顯然四面體4BFM外接球球心。在線段4/的中垂面上，取為F

中點(diǎn)E,

連接E。，F(xiàn)O,了?！竸t有E。凡而FOiu平面BMF,即有0。11尸。1，EF1FOr,

因此四邊形E。。/為矩形，E0=F01=r=子，而EF=C，

于是四面體&BFM外接球半徑R=FO=VEF2+E02=言，

所以四面體為B尸M的外接球的表面積S=4nR2=等.

故選：D.

利用余弦定理求出FM，再根據(jù)給定條件確定球心位置，求出球半徑作答.

本題考查幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問(wèn)題，屬中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4Z-2I=1表示復(fù)數(shù)4在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Zi與2對(duì)應(yīng)點(diǎn)(2,0)的距離為1,

因此Zi在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)(2,0)為圓心，1為半徑的圓，A正確：

對(duì)于B,設(shè)Zi(a,b),JH!|Z2(—a,b~),zt=a+bi,z2=—a+bi,顯然Zi-z?，否則Zi=Z2=0,

矛盾，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)Z2=c+di{c,deR),則Z]=iz?=i?(c+di)=-d.+ci,因此藥的虛部與z?的實(shí)部相

等，C正確；

2

對(duì)于D,如Zi=1+i,Z2=—1+i,有島|=y/-2=|z2|,而z工=(1+i)2=2i,z/=(-1+i)——2i.

。錯(cuò)誤.

故選：AC.

利用復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷4設(shè)出點(diǎn)Zi的坐標(biāo)，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的意義判斷B；設(shè)Z2的代數(shù)形式，

計(jì)算判斷C；舉例說(shuō)明判斷0作答.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4a=(1,2),b=(1,1).且日與d+%3的夾角為銳角，

a-(a+A6)=(1,2)?(l+4,2+/l)=l+/l+4+2/l=3/l+5>0，且0(當(dāng)A=0時(shí)&與,+

的夾角為0°)，

所以2>—羨且4W0,故A正確：

對(duì)于B,由瓦？?麗=而?京=正?演知瓦？?麗=麗?定，

故(可-無(wú))?麗=0即^^麗=01所以點(diǎn)P在AC邊上的高所在直線上，

同理可知，P在BC、4B邊的高所在直線上，則P為垂心，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)榉?4(需+焉)，則點(diǎn)P在N4的內(nèi)角平分線上，故C正確；

對(duì)于。，由五=(0,3)知同=3,份|=2，又平面向量出3共線，

故分兩種情形，當(dāng)夾角為0。時(shí)，a-b=\a\\b\=6,\a+b\=^a2+2a-b+b2=

V9+12+4=5;

22

當(dāng)夾角為180。時(shí)，蒼％=方=-6，15+K|=Ja+2a-b+b=V9-12+4=1,故

。正確.

故選：ACD.

由平面向量的相關(guān)知識(shí)逐一判斷各選項(xiàng)即可.

本題考查坐標(biāo)下的平面向量的數(shù)量積，向量的夾角，向量的模等線性運(yùn)算知識(shí)，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解:對(duì)于4因?yàn)?（x）=tan（》+,

所以由裊+日中5+k&Z,得k€Z,T=1=2,

則f（x）的定義域?yàn)閧x|%W2k+g,/cEZ},周期為2,故A正確；

對(duì)于B,令］+k乃V］%+/<ZTT+與，kWZ,得g+2/cVxV（+2k,/cEZ,

所以/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為。+2/c，+2/c）,fcGZ,故8正確；

對(duì)于C,令+g=々WZ,得x=k—：,kEZ,

所以/（x）的對(duì)稱中心為（k-1，0）,kWZ,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令ti=F工1+g,亡2=5*2+g則￡"2W（。+1為+力

KJit34J4J

因?yàn)镽3>八華），即安幽>tan（第）恒成立，

記（jtanti）,?2，tant2）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，B,（華,tan（喈））對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C,AB的中點(diǎn)為。，如圖,

顯然，由梯形的中位線定理可得知=如寄也，所以上述不等式轉(zhuǎn)化為yD>yc恒成立，

顯然結(jié)合y=tanx的圖像可知q,今所在最大區(qū)間為（人兀，］+kn），k6Z,

所以(為+果9+勺￡(而A+k7T),kCZ,^\a-b\<^,即|a-b|Wl,

乙。乙D4LL

所以|a-b|最大值為1,故。正確.

故選：ABD.

對(duì)于4BC,利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可；對(duì)于D,利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合正切函數(shù)的圖像性質(zhì)即得

解.

本題主要考查了正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于4正方體中，&Bi平面8CQB1，BQu平面BCGG，ArBr1BCr,

又正方形BCC/i中，BiCJ.Bg,4出,BICU平面&BIC,=Br,

BG1平面4/iC,AXCu平面&&(7,BCi14C,

同理，DQIzljC,Be】,OQu平面BCi。，BC^DCj,=Q,

4道1_平面86。，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B,若G為8傳的中點(diǎn)，連接DG,有GCLBCi，如圖所示，

DCJ■平面BCC/i，BCiu平面BCQBi，DC1BCt,

DC,GCu平面DGC,DCC\GC=C,BC「平面DGC,

DGu平面DGC,BCi1DG,

E,F分別為棱44i的中點(diǎn)，EF//BCr

則異面直線EF與DG所成的角為90。，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C,由&C_L平面BOQ,當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C重合時(shí)，&GJ■平面BOG，直線&G與平面BOQ所成角

的余弦值為0，

點(diǎn)G從點(diǎn)C向&移動(dòng)時(shí)，直線4iG與平面BOQ所成角逐漸減小，

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)名重合時(shí)，直線&G與平面BOG所成角最小，為4B14C的余角，與NB1C41相等，其

余弦值為然=潴=孚，

41cV33

所以直線4G與平面BOQ所成角的余弦值的范圍為[0,y],C選項(xiàng)正確；

對(duì)于O,EF//BCr,平面BGEFPI平面BCC/i=BG,則G為8傳的中點(diǎn)，

連接EG,FB,P,Q分別為棱。Dr4D的中點(diǎn)，連接CP,PQ,QC,如圖所示,

E,F分別為棱45,A&的中點(diǎn)，貝1J有CP〃BF,。。＜4平面865「，BFu平面BGEF,所以CP〃平

面BGEF,

同理PQ〃平面BGEF,CP,PQu平面PCQ,CPflPQ=P,^PCQ//^BGEF,

則點(diǎn)M的軌跡為PQ，長(zhǎng)度為號(hào)，。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

由正方體的結(jié)構(gòu)特征，判斷直線與平面的垂直，異面直線所成的角，線面角的余弦值的范圍，動(dòng)

點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.

本題考查正方體中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線面垂直的判斷，異面直線所成角的求解，線面角的范圍，屬中檔

題.

13.【答案】87r

【解析】解：根據(jù)題意，還原軸截面的原圖，如圖：

圓錐的底面半徑為2,高（M=2A/-3,

則其母線AC的長(zhǎng)為V4+12=4,

故這個(gè)圓錐的側(cè)面積為yrx2x4=87r.

故答案為：87r.

根據(jù)題意，還原軸截面的原圖，求出底面半徑和高，進(jìn)而可得圓

錐的母線長(zhǎng)，由此計(jì)算可得答案.

本題考查圓錐的側(cè)面積計(jì)算，涉及斜二測(cè)畫法，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】④

【解析】解：對(duì)于①：因?yàn)槊}“VxER,x2>—1”的否定是“mxER,x2<-r,故①錯(cuò)

誤；

對(duì)于②：令久2一乂>0,解得X>1或4<0,即/'(X)的定義域?yàn)?-8,0)u(1,+8),

因?yàn)?-8,0)U(1,+8)不包含4,4-00),故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：因?yàn)閤>0,若x>|y|,則x>y；

但x>y,不一定有x>|y|,例如x=1,y=-2,

所以“無(wú)>|y|”是“x>y”的充分而不必要條件，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：由/—萬(wàn)一6<0,解得一2<%<3,

因?yàn)?-1,3)(-2,3),

所以使“/-%一6<0”成立的一個(gè)充分不必要條件是“一l<x<3"，故④正確.

故答案為：(4).

對(duì)于①：根據(jù)特稱命題的否定分析判斷；對(duì)于②：根據(jù)函數(shù)定義域分析判斷；對(duì)于③：根據(jù)不等

式的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷；對(duì)于④：根據(jù)二次不等式結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

本題主要考查了命題的否定，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及充分條件和必要條件的定義，屬于

中檔題.

15.【答案】9

【解析】解：由題意刪去一個(gè)數(shù)之后，平均值沒(méi)有改變，所以刪除的數(shù)為5,

由題意S?=；￡之1(看-5)2=32,得￡建式々-5)2=32n,

刪除一個(gè)數(shù)后的方差為：高?(？之式刈一5)2-(5-5)2)=32+4=36,

得當(dāng)=36,即n=9.

n-1

故答案為：9.

因刪除一個(gè)數(shù)平均值沒(méi)有改變，所以刪除的數(shù)為均值5,根據(jù)方差公式可以求人

本題主要考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】24

【解析】解:因?yàn)?(x+1)—g(2-x)=2,即f(x+1)=g(2—x)+2,

且J(x-2)=g(x-3)+a,即f(x+1)=g(x)+a,

可得g(2-x)+2=g(x)+a,

令x=l時(shí)，則g(l)+2=g(l)+a,因此a=2,

可得g(2—x)=g(x),由此可轉(zhuǎn)為/(x+1)-2=/(3-x)—2,

即/(x+1)=f(3-x),

又因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù)，則f(x+l)=—f(l-x),可得f(3-x)=-f(l—尤)，

即/(x+2)=-/(X),貝葉。+4)=-/(%+2)=-[-/(%)]=/(x),

因此f(x)最小正周期7=4.

故答案為：2：4.

由題意可得g(2-x)+2=g(x)+a,令x=1,可求出a的值，根據(jù)題意可得/'(x+1)=/(3-%),

結(jié)合奇函數(shù)的定義可得/(X+1)=-f(l-x),即/'(x+2)=-/(x),從而求出/(x)最小正周期.

本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)B=(x,y)，由|同=2，得J/+y2=2,即/+y2=4,

而向量d,3的夾角為60。，則弓.方=|五||1|cos(方屈=2x2cos60。=2，又蒼?石=2x，

即2x=2,解得x=l,于是y=±q,即有B=(1,C)或B

所以3的坐標(biāo)是(1,19)或(1,-C).

(2)由0+方)1(a-K)，得(3+]).@一石)=0,即/=群,因此|石|=\a\=2-a-b=2x2x

cos600=2,

因此|為+4石|=J(a+Xby=ja2+2Xa-b+A2b2=V22+2Ax2+22A2

=2VA2+A+l=2J(A+1)2+^＞，耳，當(dāng)且僅當(dāng)4=一;時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)4=一：時(shí)，|為+高|取得最小值q.

【解析】(1)設(shè)出3的坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的定義列式求解作答.

(2)利用垂直關(guān)系的向量表示求出山再利用數(shù)量積的運(yùn)算律建立函數(shù)關(guān)系，求出最小值作答.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量模的最值的求解，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)PD,AD,

???PB=PC,AB=AC,

PD1BC,AD1BC,C

”D4為二面角P-BC-4的平面角,

在AP04中，PD=AD=C，PA=y/~3,

「4+心一小屋_工

???cosZ-PDA=-2PDAD-=4*

???二面角P-BC-4的余弦值為a

(2)由(1)得PD1BC,AD1BC,PD^AD=D,

PDu平面PDA,4Du平面PDA,

???BC1平面PD4

..T/—91/c1/-x-V5V15

?V-：棱軸-ABC一乙V三楂錐B-PAD，S〉pDA=￡乂V3X4，

..1nn2/T5d>T15

三棱錐P-4BC=2nX§SrAP04XBD=-X—X1=w

【解析】（1）利用二面角得定義即可求出結(jié)果;

（2）根據(jù)U一：棱解TBC=2v.表耀B_PAD，再利用三棱錐體積公式即可求出結(jié)果.

本題主要考查二面角的求法，棱錐體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）由頻率分布直方圖可知,成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的頻率為0.020x10+0.010x10=

0.3,

則估計(jì)全校這次競(jìng)賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)約為3000x0.3=900人：

（2）由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)冢?0,50）內(nèi)的頻率為0.005x10=0.05,

成績(jī)?cè)冢?0,60）內(nèi)的頻率為0.015x10=0.15,

成績(jī)?cè)冢?0,70）內(nèi)的頻率為0.020X10=0.2,

成績(jī)?cè)冢?0,80）內(nèi)的頻率為0.030X10=0.3,

成績(jī)?cè)冢?0,90）內(nèi)的頻率為0.020x10=0.2,

所以成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3=70%,

成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生所占的比例為0.05+0.15+0.2+0.3+0.2=90%,

所以成績(jī)的75%分位數(shù)一定在［80,90）內(nèi)，即80+10x07^~0'7=82.5,

因此估計(jì)參加這次競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)的75%分位數(shù)為82.5；

0.3c,0.2r,0.1d

()1」為x0.3+0.2+0.1=，X0.3+0.2+0.1=，X0.3+0.2+0.1=，

所以從成績(jī)?cè)冢?0,80),［80,90),［90,100］內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了3人,2人，1人.

【解析】(1)由頻率分布直方圖求出成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的頻率，即可估計(jì)人數(shù)；

(2)根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；

(3)按照分層抽樣方法計(jì)算可得.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)在△4BC中，

sinC=sin[7r—(4+8)]=sin(4+8)=sinAcosB4-cosAsinB,

由正弦定理可得：c=acosB+bcosA,

3b=Q+可?可=Q+acosB+bcosA=Q+c,

???a+c=6,b=2,

???a+c+b=8,

的周長(zhǎng)為8?

(2),:B=30°,b=c=2.

二由余弦定理可得COS