數值計算模擬導論

講座模擬導論問題講座模擬導論問題實例及基本JacobDeepakRamaswamy,MichalLucaDaniel,ShihhsienKuoandKarenSMA-HPC?2003模擬的應——模擬的應——————課程原問題實——————SMA-HPC?2003方近來發(fā)方近來發(fā)SMA-HPC?2003方——近來發(fā)方——近來發(fā)——SMA-HPC?2003方——機械單元（板、梁、殼）——方——機械單元（板、梁、殼）——近來發(fā)——SMA-HPC?2003方近來方近來發(fā)——SMA-HPC?2003方——近來發(fā)方——近來發(fā)——SMA-HPC?2003方——近方——近來發(fā)SMA-HPC?2003股票價 價格選 方股票價 價格選 方近來發(fā)——SMA-HPC?2003套期保值基金的股票定價方——近來發(fā)方——近來發(fā)——SMA-HPC?2003方——近來發(fā)方——近來發(fā)——SMA-HPC?2003方——近來發(fā)——方——近來發(fā)——SMA-HPC?2003白質分子（子SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003對一些現代技術的回對一些現代技術的回為什么證明定理SMA-HPC?2003 主電源線 至少有3V 主電源線 至少有3V通過ALU嗎SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003車空間框架在載荷作用下車空間框架在載荷作用下下垂太多SMA-HPC?2003地面固貨梁接下圖示為將貨物（紅色）圖示為將貨物（紅色）SMA-HPC?2003發(fā)動機變得太熱嗎發(fā)動機變得太熱嗎SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003選擇拓撲結構和選擇拓撲結構和支柱的長度與寬度，滿足SMA-HPC?2003選擇形狀，滿足選擇形狀，滿足SMA-HPC?2003給定拓撲結構和金給定拓撲結構和金屬的長寬，確定SMA-HPC?2003IBM,Motorola,TI,Intel,Compaq,IBM,Motorola,TI,Intel,Compaq,Sony,SMA-HPC?2003一些大公司SMA-HPC?2003上千個小型公小型公司應用上千個小型公小型公司應用于磁盤驅動器電路、圖形加速卡、CD放器，蜂窩電話非功能原型的成本是多少SMA-HPC?2003SMA-HPC?200315638156386914MentorGraphics這些公司通過改善分析效率進行競爭SMA-HPC?2003誰在設計VLSI工具？SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003們可以構建電路來確定各功能模塊的電壓，并確定VLSI電路是否SMA-HPC?2003電一電壓電路電 電路電 SMA-HPC?2003電一電壓電路電 電路電 SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003功能模塊看作是電壓源電路單 SMA-HPC?2003功能模塊看作是電壓源電路單 SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003金屬線看作電 物理符 電路模 長 電阻 金屬線看作電 物理符 電路模 長 電阻 SMA-HPC?2003線的長度（電流需進一步通過），（電流有更多的路徑選擇線的長度（電流需進一步通過），（電流有更多的路徑選擇 SMA-HPC?2003綜合在一起結果如示意圖所綜合在一起結果如示意圖所SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003實例的簡化如圖所示SMA-HPC實例的簡化如圖所示SMA-HPC?2003負接壓螺SMA-HPC?2003載荷看成力SMA-HPC?2003載荷看成力SMA-HPC?2003力的力的模型可看作沿著Y負向的拉力（Y是垂直方向，X是水平方向）SMA-HPC?2003梁看作支柱 非受拉長 截面 梁看作支柱 非受拉長 截面 材料特 SMA-HPC?20031.2.1.2.不彎 SMA-HPC?20033.3.為了確定K，考慮梁伸長量為ΔL的力是）將（I）（II）（III）SMA-HPC?2003綜合在一SMA-HPC?2003綜合在一SMA-HPC?2003兩種類型的未知量兩種類型的未知量電路－每一節(jié)點的電流和為支柱－每一連接點的合力為基本方程SMA-HPC?2003熱問題：沿著桿的溫度分布是什么 SMA-HPC?2003輸入熱問題：沿著桿的溫度分布是什么 SMA-HPC?2003輸入熱離散表示SMA-HPC?2003熱離散表示SMA-HPC?2003熱離散表示 通過每一截面的熱 當截面足夠小時取極 SMA-HPC?2003熱離散表示 通過每一截面的熱 當截面足夠小時取極 SMA-HPC?2003熱離散表示兩個相鄰截 流入控制體積的純熱 SMA-HPC?2003控制體熱離散表示兩個相鄰截 流入控制體積的純熱 SMA-HPC?2003控制體輸入熱離散表示 流入控制體積的純熱 當截面足夠小時取極 SMA-HPC?2003熱離散表示 流入控制體積的純熱 當截面足夠小時取極 SMA-HPC?2003輸入熱電路模擬SMA-HPC?2003熱電路模擬SMA-HPC?2003支柱－每一連接點的合力為桿－進入控制體積的熱流和SMA-HPC?2003電路實例識別未知量SMA-HPC?2003電路實例識別未知量SMA-HPC?2003給定一電給定一電路示意圖，問題是要確定節(jié)點電壓和單元電流。開始，節(jié)點編碼為0具有特殊意義，它是參考點。雖然電壓不是絕對值，但必須相對某一參考點度為了更好理解這一點，考慮一個簡單的電流源和電阻實例。為了使流過電阻的電流為1安培，V1－V0必須是1伏特。但究竟是＝0SMA-HPC?2003電路實例識別未知量SMA-HPC?2003電路實例識別未知量SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003電路實例識別未知量SMA-HPC?2003電路實例識別未知量SMA-HPC?2003致）SMA-HPC?2003電路實例識別未知量SMA-HPC?2003電路實例識別未知量SMA-HPC?2003且此時還應該注意電流的方向，如果電流通過左節(jié)點到右節(jié)，則左節(jié)點電壓應比有節(jié)點高RI電路實例小電路實例的未知單元電流（除了電流源電路實例小電路實例的未知單元電流（除了電流源實例的方注意：方程數＝未知量SMA-HPC?2003模擬的許多應模擬的許多應兩種類型的方電路－每一節(jié)點的電流和為SMA-HPC?2003講座模擬導論講座模擬導論Jacob感謝DeepakRamaswamy,MichalRewienski,KarenSMA-HPC?2003從示意圖形成方從從示意圖形成方從示意圖構建矩兩種表達方SMA-HPC?2003支柱實例識別未知量建立每一接頭的位置支柱實例識別未知量建立每一接頭的位置坐標X，Y，將某一接頭設為零點。SMA-HPC?2003該符號通常用來表示一個固定結構（如象水泥墻）SMA-HPC?2003支柱實例識別未知量給每一支柱設置X支柱實例識別未知量給每一支柱設置X，Y力分量SMA-HPC?2003支柱實例識別未知量SMA-HPC?2003支柱實例識別未知量SMA-HPC?2003如圖所示，支柱的拉力如圖所示，支柱的拉力f如圖示將局部坐標映射到總統(tǒng)坐標系計算fx和fy。從圖示幾何關系得到從ffxfy支柱實例守恒定律在每一接頭的X方向合力＝0支柱實例守恒定律在每一接頭的X方向合力＝0SMA-HPC?2003。如下圖，如果支柱伸長?力f力fafb大小相等方向相反。這是由于fa在X的正方向，而fb在X的反方向。其它力+fa=0。盡管右邊接頭的平衡方程是：其它力fb=其它力-fa0fafb作為獨立變量。而代之以所選力和建立支柱另一邊力間恒律中f3符號為正，但接頭2守恒律中為具有負號的反向SMA-HPC?2003支柱實例守恒定律SMA-HPC?2003支柱實例守恒定律SMA-HPC?2003于翻轉支柱的x1-x2>0或者對應于壓縮支SMA-HPC?2003支柱實例總SMA-HPC支柱實例總SMA-HPC?2003沿著X軸的兩個支結點沿著X軸的兩個支結點1：f1xf2x節(jié)點2：-f2xf=SMA-HPC?2003 沿著X軸的兩個 沿著X軸的兩個支 基本方 SMA-HPC?2003沿著X軸的兩個支沿著X軸的兩個支簡化（節(jié)點）SMA-HPC?2003沿著X軸的兩個支節(jié)沿著X軸的兩個支節(jié)點方程的解fL=10(沿著X正方向的力SMA-HPC?2003沿著X軸的兩個支沿著X軸的兩個支注意力的符f2x=10(x正向的力f1x=?10(x負向的力SMA-HPC?2003上次的實例SMA-HPC?2003上次的實例SMA-HPC?2003兩類未知兩類未知兩類方電路－每一節(jié)點電流和SMA-HPC?2003電路實電路實SMA-HPC?2003二維支柱實二維支柱實JS對矩陣行表示單元基本方程（線性SMA-HPC?2003守恒方程電路實例SMA-HPC?2003守恒方程電路實例SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003守恒方程電路實例SMA-HPC?2003守恒方程電路實例SMA-HPC?2003守恒方程電路實例 右邊對應源電 矩陣A非方SMA-HPC守恒方程電路實例 右邊對應源電 矩陣A非方SMA-HPC?2003一行表示每一守恒方程電路實例電阻對每一矩陣如何產生作守恒方程電路實例電阻對每一矩陣如何產生作A的每列不超過兩個非零元素SMA-HPC?2003當電阻一端當電阻一端連在參考點（0節(jié)點）時，矩陣會是怎SMA-HPC?2003守恒方程電路實例每一電流源對右邊的貢獻怎守恒方程電路實例每一電流源對右邊的貢獻怎SMA-HPC?2003守恒方程電路實例守恒矩陣方程產生算對每一電阻守恒方程電路實例守恒矩陣方程產生算對每一電阻令Is為零向對于每一電流SMA-HPC?2003守恒方程電路實例SMA-HPC?2003守恒方程電路實例SMA-HPC?2003基本方程電路實例首先確定電阻的電壓（支路電壓SMA-HPC?2003基本方程電路實例首先確定電阻的電壓（支路電壓SMA-HPC?2003電阻的電電阻的電壓是V1-V2，通過電阻的電流是：注意如果V1大于V2，則iSMA-HPC?2003基本方程電路實例SMA-HPC?2003基本方程電路實例SMA-HPC?2003由于有B個支路電壓和N個節(jié)點，所以矩陣有BSMA-HPC?2003基本方程電路實例SMA-HPC?2003基本方程電路實例SMA-HPC?2003對守恒律，如下矩陣所示支路k對對矩陣第k列兩個非零因素有貢注意到支路k的電壓是VlVm因此，正如下列矩陣，第k不能看出每一支路單元對影響矩陣的一列有貢SMA-HPC?2003基本方程電路實例基本方程電路實例SMA-HPC?2003基本方程電路實例SMA-HPC?2003基本方程電路實例SMA-HPC?2003節(jié)點支路關系電路實例SMA-HPC?2003節(jié)點支路關系電路實例SMA-HPC?2003例一對列表示每一未知——J——例一對列表示每一未知——J——S一對列表示每一方——J——SSMA-HPC?2003下列方法類似于電應用A下列方法類似于電應用ATSMA-HPC?2003守恒方程支柱實例SMA-HPC?2003守恒方程支柱實例SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003守恒方程支柱實例 沖壓 SMA-HPC?2003守恒方程支柱實例 沖壓 SMA-HPC?2003力右邊表示力在接頭查看矩陣將產對于j1守恒方程的貢獻需要用專用下標，我們用j1xj1y表示兩行，SxSySMA-HPC?2003守恒方程支柱實例如果（j1不固定如果（j2不固定如果（j1不固定守恒方程支柱實例如果（j1不固定如果（j2不固定如果（j1不固定A最多有兩個非零列SMA-HPC?2003基本方程支柱實例 如果x1,y1近似于x0,基本方程支柱實例 如果x1,y1近似于x0, SMA-HPC?2003如上所示，通過支柱的力如上所示，通過支柱的力，且xy其如果x和y偏離x0和y0則由于Fx(x0,y0)=同理類似表達式對y成立注意到就是不拉伸支柱，其旋轉將破壞小擾動條件，由于指向不正確的方向A-PC00很好逼近力基本方程支柱實例SMA-HPC?2003基本方程支柱實例SMA-HPC?2003基本方程支柱實例SMA-HPC?2003基本方程支柱實例SMA-HPC?2003基本方程節(jié)點支柱關系S＝J＝SMA-HPC?2003基本方程節(jié)點支柱關系S＝J＝SMA-HPC?2003比支柱實例SMA-HPC?2003比支柱實例SMA-HPC?2003電路實例產生矩陣計算節(jié)點數量，其中一個節(jié)點作為對每一節(jié)點寫出守恒律。除了0SMA-HPC?2003電路實例產生矩陣計算節(jié)點數量，其中一個節(jié)點作為對每一節(jié)點寫出守恒律。除了0SMA-HPC?2003基本矩陣電路實例SMA-HPC?2003基本矩陣電路實例SMA-HPC?2003節(jié)點n1的節(jié)點n1的節(jié)點n2的因此和Rk相關的矩陣是SMA-HPC?2003電路實例產生矩陣SMA-HPC?2003電路實例產生矩陣SMA-HPC?2003產生矩陣SMA-HPC?2003產生矩陣SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003G矩陣的特征SMA-HPC?2003G矩陣的特征SMA-HPC?2003節(jié)電支路形式節(jié)點支路公不對稱和對角節(jié)電支路形式節(jié)點支路公不對稱和對角占矩陣是(n+b)x(SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003問題單元電壓SMA-HPC?2003問題單元電壓SMA-HPC?2003問題單元電壓應用電壓源能形成節(jié)點支路問題單元電壓應用電壓源能形成節(jié)點支路基本方程SMA-HPC?2003問題單元電壓基本方 乘以 守恒 問題單元電壓基本方 乘以 守恒 形式：守恒量＝F（節(jié)點電壓SMA-HPC?2003問題單元剛性剛性SMA-HPC?2003問題單元剛性剛性SMA-HPC?2003與稀疏矩陣比較實例問題SMA-HPC?2003與稀疏矩陣比較實例問題SMA-HPC?2003與稀疏矩陣比較實例問題100x10SMA-HPC?2003與稀疏矩陣比較實例問題100x10SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003節(jié)點支路關節(jié)點支路關節(jié)點公SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003數值模擬數值模擬導論-感謝DeepakRamaswamyMichalRewienski,KarenVeroyandJacobWhite解的存在和唯解的存在和唯一高斯消元LU適應條·無電源或剛性支承·無電源或剛性支承·對角和嚴格對角占優(yōu)矩陣·n×n方陣SMA-HPC?2003要求加權變量x要求加權變量x，使得矩陣M各列的加權和等于右邊的bSMA-HPC?2003GGGx1M1x2M2...xNGGGx1M1x2M2...xNMN疑問解答·－這個方程是否有解？－解是否唯一？·看是否有解存在一組變量x1,…..xn，使得：GGGx1M1x2M2...xNMN由此看出：只有當b在由M各列組成的向量空間內，解才存在。SMA-HPC?2003GGGy1M1y2M2...yNMNGGGy1M1y2M2...yNMN疑問解答續(xù)·解是否唯一？y1,…,y，的變量Gy1M1y2M2...yNMNM(x+y)=b又如果，則由此可見：當且僅當矩陣M的各列向量線性無關，方程解唯一。SMA-HPC?2003疑問解答續(xù)方·給定，其中M為N*N方陣疑問解答續(xù)方·給定，其中M為N*N方陣各列向量相互線性不相關的方陣稱之為非奇SMA-HPC?2003重要工具Mx用高斯消元法解線性方程·重要工具Mx用高斯消元法解線性方程·一種“直接”的方有限步求準確解（不計舍入誤差）·求解增廣矩陣的精確解·計算所消耗的機時。SMA-HPC?2003舉例說明3*3SMA-HPC?2003舉例說明3*3SMA-HPC?2003舉例說明解題思路用矩陣的第一行消去第二和第三行的舉例說明解題思路用矩陣的第一行消去第二和第三行的SMA-HPC?2003舉例說明矩陣形式SMA-HPC?2003乘舉例說明矩陣形式SMA-HPC?2003乘舉例說明SMA-HPC?2003乘舉例說明SMA-HPC?2003乘舉例說明符號簡化表示SMA-HPC?2003舉例說明符號簡化表示SMA-HPC?2003舉例說明消去第三行的SMA-HPC?2003乘舉例說明消去第三行的SMA-HPC?2003乘舉例說明形成的三角陣SMA-HPC?2003舉例說明形成的三角陣SMA-HPC?2003舉例說明右邊向量的變化SMA-HPC?2003舉例說明右邊向量的變化SMA-HPC?2003舉例說明組合各部分SMA-HPC?2003舉例說明組合各部分SMA-HPC?2003Mx解方第一第二Mx解方第一第二消元過程解方程Ly回代過程第三Ux解方SMA-HPC?2003Mx解方第一第二Mx解方第一第二消元過程解方程Ly回代過程第三Ux解方SMA-HPC?2003解三角矩陣矩陣特點第一個方程只有y1一個未知量解三角矩陣矩陣特點第一個方程只有y1一個未知量第個方程只有y1和y2兩個未知SMA-HPC?2003解三角矩陣算SMA-HPC?2003解三角矩陣算SMA-HPC?2003解三角矩陣方程是直接的但又是費時的。y1可以用一個除法運算直接求得，y2可以用一乘法，一個減法，一個除法求得。一旦求得yk－1解三角矩陣方程是直接的但又是費時的。y1可以用一個除法運算直接求得，y2可以用一乘法，一個減法，一個除法求得。一旦求得yk－1，yk可以由k－1步乘法，k－2步加法，一N除法＋0加/減＋1加/減＋、、、、N-1加/減＋0乘法＋1乘法＋………N-1乘法求求＝（N-1）（N-2）加/減＋（N-1）（N-2）乘＋N＝N2分圖SMA-HPC?2003分圖SMA-HPC?2003用同樣的方法處理第二行。計算消去第三行和第四行中x2的乘子，并且用這些乘分算{i=1j=i+1每一{每一要消去的目標MMMii為對角{對角元后面分算{i=1j=i+1每一{每一要消去的目標MMMii為對角{對角元后面的元nk=i+1MMM乘}}}SMA-HPC?2003分對角元為零第i第i第jMM做一下分對角元為零第i第i第jMM做一下簡單變形（部分對角元MiijMii第j行和第i行交換SMA-HPC?2003分零對角元兩重要定理1）只有當M為非奇異矩陣時分零對角元兩重要定理1）只有當M為非奇異矩陣時列主元法（交換行）能有效2）對嚴格對角占優(yōu)矩陣LU分解將不會產生零對角元SMA-HPC?2003不會產生零對角元證明：1）求出第一步消元后的矩陣2）考察（n－1）×（n－1）的次矩陣仍然是完全對角占優(yōu)矩陣第一第一步消元后的第二由此得數值問題小對角元特我們能夠解釋這種現象嗎SMA-HPC數值問題小對角元特我們能夠解釋這種現象嗎SMA-HPC?2003出出數值問題小對角元浮點運算的一個性雙精度主要問題結論數值問題小對角元浮點運算的一個性雙精度主要問題結論避免大小數之間相加SMA-HPC?2003有效數位符號數值問題小對角元回過頭來看這個例子SMA-HPC?2003數值問題小對角元回過頭來看這個例子SMA-HPC?2003數值問題小對角元MMj那么第iMSMA-HPC?2003數值問題小對角元MMj那么第iMSMA-HPC?2003得是得是數值問題小對角元如果在LU分解過程中，矩陣是對角占數值問題小對角元如果在LU分解過程中，矩陣是對角占優(yōu)或用了列主元法來減小舍入誤差那么存在以下的點2）LU因子各位上的最大值將小于等于原始矩陣SMA-HPC?2003得是得是實多項式插值數據用一個N次的多項式來近似表示數據實多項式插值數據用一個N次的多項式來近似表示數據ftt ...2n012nSMA-HPC?2003實矩陣形SMA-HPC?2003實矩陣形SMA-HPC?2003實SMA-HPC?2003實SMA-HPC?2003在在我們用一個高次的多項式函數來逼近曲線t時。當數據需要一個100次的多項式擾動分析 誤差范數向量的范n2xi2nx1擾動分析 誤差范數向量的范n2xi2nx1maxxiSMA-HPC?2003正方單位矩陣的范xxAx由矩陣A引起誤差的范數的最大值等于x被A放大的最大倍數矩陣的范xxAx由矩陣A引起誤差的范數的最大值等于x被A放大的最大倍數nmaxA1jA2nmaxAijSMA-HPC?2003擾動分析誤差范數擾動分析擾動計MMxxMxMxM擾動分析擾動計MMxxMxMxMxMx實際MxMxxxM1Mxx1xMMMMMxMSMA-HPC?2003由線性代數由線性代數學我們知道解x的變化范圍與原始的變化范圍之間有一個與矩陣M有關的倍數，這個倍M奇異矩陣超出本課程的考慮范圍，如果想了解請咨詢Trefethen或擾動分析更清晰的幾何逼近法GGM1GMx1M1x2擾動分析更清晰的幾何逼近法GGM1GMx1M1x2MM當用向量來逼近時很難確定M1和與之對應的M2的值SMA-HPC?2003幾何分析多項是插值多項式值得級數接線幾何分析多項是插值多項式值得級數接線SMA-HPC?2003問行的縮放比問行的縮放比例是否減小等比級行的縮放比例是否減小了條件條件定理：如果使用浮點運算，當進行行縮放時在某種意義上不會減少等比級數沒有舍入誤解的存在和唯解的存在和唯一高斯消元LU適應條數值模擬數值模擬導論-Luca感謝DeepakRamaswamyMichalRewienski,KarenVeroyandJacobWhite??回顧LU分解法稀疏矩陣—??回顧LU分解法稀疏矩陣—珩架和節(jié)點，電阻網，3d熱三角矩陣分解―一般的稀疏矩陣分―填充和重排—圖表逼稀疏矩陣數據結構—散??SMA-HPC?2003分圖SMA-HPC?2003分圖SMA-HPC?2003U的x11，1，1變?yōu)榱?。再用比例因子（又稱之為乘子）代替這些零11/1，1位2341和11和1也被他們的乘子所代替。在這一過程中第三行其余的位置的值也會隨之改變，因此也將他們變?yōu)樗{色。用同樣的方法處理第二行。計算消去第三行和第四行中x2的乘子，并且用這矩陣分解算n-i=1{每一n{每一要消去的目標到MMM到對角n矩陣分解算n-i=1{每一n{每一要消去的目標到MMM到對角n{對角元后的元jiMikMjkM乘}}}SMA-HPC?2003矩陣分解對角占優(yōu)矩陣的性對一個對角占優(yōu)的矩陣進行LU分解時不會產生零對角元。矩陣分解對角占優(yōu)矩陣的性對一個對角占優(yōu)的矩陣進行LU分解時不會產生零對角元。。置上的值增加不會超過2n1)SMA-HPC?2003不會產生零對角元證明：1）求出第一步消元后的矩陣2）考察（n－1）×（n－1）的次矩陣仍然是完全對角占優(yōu)矩陣第一第一步消元后的第二由此得應空間珩架空間珩節(jié)點矩未知方程：節(jié)點位合應空間珩架空間珩節(jié)點矩未知方程：節(jié)點位合力SMA-HPC?2003應電阻未知方程SMA-HPC?2003節(jié)點電電流應電阻未知方程SMA-HPC?2003節(jié)點電電流和電阻網電阻網是一種特殊情況，它的數學模型是偏微分方程。（我們將在以后學習到）我們現在考察一下這個節(jié)點矩陣并注意矩陣中的非零數。從一個如下4的非零數應電阻100×10電阻網矩陣的非零SMA-HPC?2003應電阻100×10電阻網矩陣的非零SMA-HPC?2003應四方體中的溫度場SMA-HPC?2003電模應四方體中的溫度場SMA-HPC?2003電模三角帶矩陣矩陣形式SMA-HPC?2003三角帶矩陣矩陣形式SMA-HPC?2003三角帶矩陣高斯算法 i=1n-{每一到n{每一要消去的目標MM對角到{三角帶矩陣高斯算法 i=1n-{每一到n{每一要消去的目標MM對角到{對角元后的元MjiMik乘}}M需要N步運}SMA-HPC?2003矩陣的填充例電阻例節(jié)點矩此矩陣為稱且對角矩陣的填充例電阻例節(jié)點矩此矩陣為稱且對角優(yōu)矩SMA-HPC?2003回想第二章回想第二章的內容，節(jié)點矩陣的維數可以通過計算電阻器來確定，請看下面：這個電阻占據節(jié)點矩陣的如下也可以理解為：Gii就等于解點i處的電阻率（一個以上電阻）矩陣的填充例矩陣的非零數據結LU分解后的矩陣形矩陣的填充例矩陣的非零數據結LU分解后的矩陣形X都不為SMA-HPC?2003在LU分解的在LU分解的過程中，基準行以外的各行要減去基準行乘以一個因子。請通過下面的簡單例子，思考LU分解矩陣填充例填充的傳第一步的填充影響第二步的矩陣填充例填充的傳第一步的填充影響第二步的填SMA-HPC?2003行乘以一個系數，填充了第三列和第四列。當用第三行和第四行減去第二乘以一個系數后，那么第三行和第四就產生了二級填充矩陣的填充重排SMA-HPC?2003未填填矩陣的填充重排SMA-HPC?2003未填填矩陣的填充重排在什么地方可以產生填充SMA-HPC?2003矩陣的填充重排在什么地方可以產生填充SMA-HPC?2003已經分矩陣的填充重排MarkowitzFori=1到找到最小的Markowitz乘積的對角矩陣的填充重排MarkowitzFori=1到找到最小的Markowitz乘積的對角元j。交換第j行和第i行，第j列和第i列交換分解新的第i行，并確定填充結理想算SMA-HPC?2003第三步就是分解重新排列的矩陣并且填充矩陣。如果矩陣本來非常那么第三步將會很省接下來又必須計算分解后的矩陣的Markowitz乘積，這有又需要（N-1）步運算。繼續(xù)，依此類推，只計算Markowitz乘積就需要約因此，我們要改善這種情況，方法便是計算矩陣每經過一次分Makowitz矩陣的填充重排為什么只討論對角元與在節(jié)點公式中節(jié)矩陣的填充重排為什么只討論對角元與在節(jié)點公式中節(jié)點重排列相協(xié)調???減少搜索耗保留矩陣原有性－對角占－對SMA-HPC?2003矩陣的填充填充之后矩陣的樣SMA-HPC?2003稠矩陣的填充填充之后矩陣的樣SMA-HPC?2003稠非常稀非常稀矩陣的填充未分解的任意矩陣SMA-HPC?2003矩陣的填充未分解的任意矩陣SMA-HPC?2003矩陣的填充未分解的任意矩陣SMA-HPC?2003矩陣的填充未分解的任意矩陣SMA-HPC?2003矩陣意對稱矩陣的結構和據陣矩陣每一行一個矩陣意對稱矩陣的結構和據陣矩陣每一行一個節(jié)每一個非對角元對應一條邊線SMA-HPC?2003當且僅），矩陣當且僅），矩陣如果矩陣在結構上是對稱的與一個簡單的圖表相聯(lián)在圖中矩陣的每一行有一個如果0，在節(jié)點i和j之間有一個邊矩陣圖有兩個重要的性1)節(jié)點次數的平方就是Markowitz乘變化矩陣MarkowitZ乘Markowitz乘積＝（節(jié)點次數的平方SMA-HPC?2003矩陣MarkowitZ乘Markowitz乘積＝（節(jié)點次數的平方SMA-HPC?2003第第i個節(jié)點次數的平方等于Markowitz乘積，它可以由圖中很容易看出。節(jié)點矩陣矩陣分解LU分解的第一·刪掉與對角行相對矩陣矩陣分解LU分解的第一·刪掉與對角行相對應的節(jié)·連接矩陣圖的邊SMA-HPC?2003每一步每一步LU分解需要一步浮點運算并產生一個簡化矩陣，如完成了第i步分解之后，未分解的矩陣就被縮小為1必須加入與填充對應的矩陣圖邊那么在矩陣圖中節(jié)點i也必須除去。另外，所用與節(jié)點i相鄰的節(jié)（相鄰節(jié)點通過邊界相聯(lián)）將會通過增加必要的邊界來使他們彼相矩陣例Markowitz＝（節(jié)點次數SMA-HPC?2003據陣矩陣例Markowitz＝（節(jié)點次數SMA-HPC?2003據陣矩陣例交換第2和第1SMA-HPC?2003矩陣例交換第2和第1SMA-HPC?2003更加平行的對角矩陣的另一順矩陣稀疏矩陣電阻網的例子未知：節(jié)電電方程：電矩陣稀疏矩陣電阻網的例子未知：節(jié)電電方程：電流和等于SMA-HPC?2003））的例子中我們可以很容易看出矩陣的特點。一個4×4系統(tǒng)它的節(jié)點矩陣如下零數是由于rowcoupling與三角帶的耦合產生的。矩陣稀疏矩陣網格的例子分解一個M×M的矩陣需要花矩陣稀疏矩陣網格的例子分解一個M×M的矩陣需要花費多少機時推想中間列最后是否被消去SMA-HPC?2003要分解一個與要分解一個與類似由電阻器序列產生的M×M個刪格相對應的雖然要得到這個問題的精確解已經超出了本課程的內容但我們可以步運算，所以這表明分解這個由M×M步運算，既然分解這個稠密矩陣刪格組成的矩陣也用非數值的元素用非數值的元素代替原來的矩對角占優(yōu)或對稱正用矩陣圖確定矩陣的次要用到許多矩陣圖操作的技必須認真的組織計SMA-HPC?2003稀疏矩陣的數據結SMA-HPC?2003行指針向每稀疏矩陣的數據結SMA-HPC?2003行指針向每一行的數據排為了有效的為了有效的儲存一個稀疏矩陣，需要一種只記錄矩陣非零元素的這個矩陣的數據結我們可以看到這里沒有儲存任何的零稀疏矩陣的數據結冗余數從目標行j中消去原始行i稀疏矩陣的數據結冗余數從目標行j中消去原始行i考察j行所有位，我們發(fā)現其中3個位置與i行相對應SMA-HPC?2003第j第i為了有效的為了有效的儲存一個稀疏矩陣，需要一種只記錄矩陣非零元素對應。請看下面的例子這個矩陣的數據結我們可以看到這里沒有儲存任何的零稀疏矩陣的數據結構冗余數據每一個多余的數據稀疏矩陣的數據結構冗余數據每一個多余的數據都會占用不必要的內存空SMA-HPC?2003為了有效的為了有效的儲存一個稀疏矩陣，需要一種只記錄矩陣非零元素對應。請看下面的例子這個矩陣的數據結我們可以看到這里沒有儲存任何的零稀疏矩陣的數據結構避免冗余數據的擴散考察j稀疏矩陣的數據結構避免冗余數據的擴散考察j行所有的元素，將他們擴展成為長度為n的向用標定數組儲存需要的元SMA-HPC?2003第jLU分解和對角占LU分解和對角占－無數據元的因稀疏矩－壓桿，電阻網，3D熱對角矩陣的分－O(N)稀疏矩陣分解概－Markowitz重排步以達到最小填基于表格的方－分解和填－對降低用高斯消去解稀疏矩陣的復雜性是有幫助SMA-HPC?2003數值模擬數值模擬導論-感謝DeepakRamaswamy,MichalRewienski,KarenVeroyandKarenVeroy奇異矩陣例子LU分解的不足之處雖然上面圖形的節(jié)點矩陣奇異矩陣例子LU分解的不足之處雖然上面圖形的節(jié)點矩陣是一個奇異矩陣，但是仍舊存在一種解SMA-HPC?2003負載節(jié)拉奇異矩陣例子LU分解的不足之處雖然上面圖形的節(jié)奇異矩陣例子LU分解的不足之處雖然上面圖形的節(jié)點矩陣是一個奇異矩陣，但是存在一種解SMA-HPC?2003奇異矩陣例子回顧矩陣各列的加權和，并觀察下面奇異矩陣例子回顧矩陣各列的加權和，并觀察下面的等式GGx1M1x2M2...xNMN雖然矩陣M是奇異矩陣但是向量B在矩陣M的列向量組成的向量空間內。SMA-HPC?2003正交如果M有正交列向量GiMiMj用第i列乘以加權列向量得正交如果M有正交列向量GiMiMj用第i列乘以加權列向量得GGGGMi(x1M1x2M2...xNMN利用正交向量將方程簡化為)MiGGG b Miiii(MMiiSMA-HPC?2003正交矩陣M正交的幾何意義G如果GGjMjM正交矩陣M正交的幾何意義G如果GGjMjMj則矩陣M正Mij二維向量的幾何意非正正SMA-HPC?2003正交QR法的基本思想原始矩帶有正交列向量正交QR法的基本思想原始矩帶有正交列向量的QybyQT怎么來完成這一步變換SMA-HPC?2003正交推導公式GGGM2r12M1M2，求滿GGG正交推導公式GGGM2r12M1M2，求滿GGGGGM1MM1GG1G即必有M11SMA-HPC?2003正交標準如果我們將向量標準化，公式將會變得簡單，因此我們先來將向量Q1標準化：GGGGG1正交標準如果我們將向量標準化，公式將會變得簡單，因此我們先來將向量Q1標準化：GGGGG1M1Q1Q1 M1rGGGGGQ2M22Q2現在要以便滿Gr12Q1MG G1G最后求GGrQ2SMA-HPC?2003正交2*2矩陣的變化過程既然Mx等于Qy，那么正交2*2矩陣的變化過程既然Mx等于Qy，那么我們可以找到x與y之間得關系SMA-HPC?2003正交2*2矩陣的分解過程標準正交如果給出QR分解后，需要正交2*2矩陣的分解過程標準正交如果給出QR分解后，需要兩步進行求QRxbRxQTb第一Rx回代第二SMA-HPC?2003上三正交普通矩陣的QR分解3×3矩陣的情為了正交普通矩陣的QR分解3×3矩陣的情為了確保第三列正交使SMA-HPC?2003正交分解3*3矩陣必須解程求系SMA-HPC正交分解3*3矩陣必須解程求系SMA-HPC?2003正交解方程求系數將第N個向量正交N2項內正交解方程求系數將第N個向量正交N2項內積需要N3步運SMA-HPC?2003正交使用正交向量3×3矩陣的情為了保證正交使用正交向量3×3矩陣的情為了保證第三列正交SMA-HPC?2003基本運算法則改進的Gram-SchmidnGGrM標準GiiN需要2N2N2步操基本運算法則改進的Gram-SchmidnGGrM標準GiiN需要2N2N2步操G j＝i＋1GnGNi2NNjGG MjSMA-HPC?2003基本運算法則用圖形表示SMA-HPC?2003基本運算法則用圖形表示SMA-HPC?2003基本運算法則用圖形表示SMA-HPC?2003基本運算法則用圖形表示SMA-HPC?2003基本運算法則零如果有一列元素全為零該怎么基本運算法則零如果有一列元素全為零該怎么辦此矩陣肯定是奇異矩陣SMA-HPC?2003基本運算法則零列（序QR分解結果SMA-HPC?2003基本運算法則零列（序QR分解結果SMA-HPC?2003奇異矩陣舉例回顧矩陣各列的加權和，并觀察下面的奇異矩陣舉例回顧矩陣各列的加權和，并觀察下面的等式當M為奇異矩陣時會出現以下兩種情況：GG{M1MNb屬于向量空間{Q1,...,QNG{M1,...,MNSMA-HPC?2003最小值法求解公式求x使下式獲最小值NR最小值法求解公式求x使下式獲最小值NRx2Rx i等價于，如果b屬于向量空間{cols(M)}推出Mx＝bminxRRxT最小值法擴展到非奇異或非平方的情SMA-HPC?2003最小值法一維空間最小值法GMxxMGxxx最小值法一維空間最小值法GMxxMGxxx 1 一維空間最小值正交標SMA-HPC?2003最小值法一位空間最小值法（圖示一維最小值法產生的結果和b最小值法一位空間最小值法（圖示一維最小值法產生的結果和bSMA-HPC?2003最小值法二維空間最小值法xxGxMxxM最小值法二維空間最小值法xxGxMxxMGxMG 12用殘向量最小值耦合SMA-HPC?2003最小值法二維向量最小值法從更一般的角度考GGMp2T最小值法二維向量最小值法從更一般的角度考GGMp2TMSMA-HPC?2003最小值法構建MTM正交最小化方向第i次搜索方向等于MTM正交化單位向GGGGGjpi最小值法構建MTM正交最小化方向第i次搜索方向等于MTM正交化單位向GGGGGjpirpT MMpjjMGGpjjSMA-HPC?2003最小值法搜索方向上的最小值單獨做去藕最小值求的最小GGGTT2vbii將其對v求GGGT 最小值法搜索方向上的最小值單獨做去藕最小值求的最小GGGTT2vbii將其對v求GGGT 2bTMiiG求得TbMpivGiTMMSMA-HPC?2003最小最小化算法對每一目標i=1GGpieforj到iGGrpjTTMpiGr最小最小化算法對每一目標i=1GGpieforj到iGGrpjTTMpiGrGpi MMiGGrxxviiSMA-HPC?2003最小化法和QR分解SMA-HPC?2003正交最小化法和QR分解SMA-HPC?2003正交搜索方向正交單位向量——,G,...,G{G,搜索方向正交單位向量——,G,...,G{G,G p2NMTM12搜索單位可以使用其它的初始向,...,GG,b,Mb,Mkrylov子空MTM正交12搜索方為什么SMA-HPC?2003QR算——————修改QR算——————修改Gram-SchmidtQR和奇異矩零QR分解的最小化簡單提一下關于調整搜索方SMA-HPC?2003數值模擬數值模擬導論-感謝DeepakRamaswamy,MichalRewienski,KarenVeroyandJacobWhite常規(guī)的子空間常規(guī)的子空間極小化算——回顧學過的正交化和投射定GCR算－krylov-子空－對稱矩陣的簡－收斂條回顧特征值和特征向－范數和譜半－譜映射定G,w0k選擇一個kGG,w0k選擇一個kGG可以近似為向量GkiikSMA-HPC?2003GGG 最小殘向量b·殘向量定義kkGGGGG 最小殘向量b·殘向量定義kkGGb如果i ii殘向量最小化的思路為：取s，最小化式iGGkk2TbMwbkriiii2i0i0SMA-HPC?2003最小殘向量 算MGGG，那 或i22們將很容易計算的最小值bii22GG最小殘向量 算MGGG，那 或i22們將很容易計算的最小值bii22GGMGMT或非正MpjGG那么要建立一組正交的向量p,,使向pk0G并GG0，i,,wk＝向量空TMp0SMA-HPC?2003最小殘向量 運算步驟G給定M，b并且一組搜索方,,wk01）通過將Mws正交化生GsjjMpkforj＝0to最小殘向量 運算步驟G給定M，b并且一組搜索方,,wk01）通過將Mws正交化生GsjjMpkforj＝0tojipjpMpMpTiii2）解xk計算r的最小r0riMpMpkk iikxppi0iTTMp MpMpiiiiSMA-HPC?2003最小殘向量 圖示計算步驟1）正最小殘向量 圖示計算步驟1）正交2）解計算r的最小SMA-HPC?2003最小化算法bforj＝0topjfori＝0toj- p最小化算法bforj＝0topjfori＝0toj- pMpMp正交搜索方jjjii p標準化向pjjjTjxjrjjjMpxj更新結jjMprj更新殘向jjSMA-HPC?2003子空間的選擇 標GG選的標,,GG對所有在空間{w0wk子空間的選擇 標GG選的標,,GG對所有在空間{w0wk1}中Mk的值都很bMxkbiGG在向量空間{w0,wkA1b當k??Nx Ge,G向量空1如果k＝N進行QR分如果k<N情況會很糟SMA-HPC?2003子空間的選擇傳統(tǒng)方法fx1xTMxxTb的最小值，其中假求子空間的選擇傳統(tǒng)方法fx1xTMxxTb的最小值，其中假求MMT（對2矩陣）并xTMxxfxMxbx推導出x最小化bGw0,fxk1fx0,,取向量空xx這便是f的最快下降方向，但f并不是殘余值這種方法不能用于非對成矩陣，和不滿足xTMx的情SMA-HPC?2003子空間的選krylov子空向量空間＝向量空間fx,,xfxk子空間的選krylov子空向量空間＝向量空間fx,,xfxk注意,, 0k0G＝向量空間,,rk1}w0,,k那r0iik1r0{r0,,rk1}＝向量并且向量空,Mr0,,krylov子空SMA-HPC?2003 GCR算 krylovGCP的第krkMp求解第k步搜索方向的步kkkkrk 更新結k GCR算 krylovGCP的第krkMp求解第k步搜索方向的步kkkkrk 更新結kkkk更新殘向rkrkkkMrk1Tk計算新的正交搜索方rk1pkjp jTjjjSMA-HPC?2003 GCR算 krylovkrk 向量內積，O(n)k kkkxk GCR算 krylovkrk 向量內積，O(n)k kkkxkxkrkpO(n)如果是稀疏矩陣需要O(n) 向量加rkkkrkrkO(K)內積，總共需要O(nk)kk如果M是稀疏矩陣，當用k步來逼近n時，總共SMA-HPC?2003 GCR算 krylov我們會發(fā)現下面的情況那MpjrkMrk1Mrk1kj GCR算 krylov我們會發(fā)現下面的情況那MpjrkMrk1Mrk1kjjk k一步完成正pppkjkkTMpMpkkn，那么矩陣對稱，稀疏，GCR需要運如O(n2kSMA-HPC?2003“krylov吸近端溫遠端溫將棒離散“krylov吸近端溫遠端溫將棒離散節(jié)點平衡方SMA-HPC?2003krylovSMA-HPC?2003krylovSMA-HPC?2003krylov近端溫遠端溫離散節(jié)點平krylov近端溫遠端溫離散節(jié)點平衡方SMA-HPC?2003krylov節(jié)點平衡方SMA-HPC?2003krylov節(jié)點平衡方SMA-HPC?2003殘余誤迭代次反殘余誤迭代次反復迭代后的log（殘余誤差）對SMA-HPC?2003(Rhs＝－1，＋(Rhs＝－1，＋反復迭代后的log（殘余誤差）對SMA-HPC?2003收斂性分析Krylovw,....wr0,Mr0,....Mk0kk xk收斂性分析Krylovw,....wr0,Mr0,....Mk0kk xk M0kik次多項kMr0Irkr0 i kw,....wr0,Mr0 kr00kSMA-HPC?2003收斂性分析Krylovj0，在GCRjr0,Mr0 kr0p,p k收斂性分析Krylovj0，在GCRjr0,Mr0 kr0p,p k2(M是k次多項式，這個多項式可以最rkkxkk2Ir0MMbMxk1r03rkkk22(M)r0是（k＋1）次多項式，要想最rk這里kk1(0)SMA-HPC?2003收斂性分析KrylovGCR多項式的22GCR最優(yōu)化的rk(Mk收斂性分析KrylovGCR多項式的22GCR最優(yōu)化的rk(Mk22kk1(0)2rk2SMA-HPC?2003基本定義Mi為iiM基本定義Mi為iiMiIi是矩陣M如果(MiI)GSMA-HPC?2003基本定義SMA-HPC?2003基本定義SMA-HPC?2003注意問題幾乎所有的N*N矩陣都有注意問題幾乎所有的N*N矩陣都有N個線性獨立的特征向量。矩陣M的一組特征值被稱之為MSMA-HPC?2003注意問題幾乎所有的N*N矩陣都有N個線性獨立注意問題幾乎所有的N*N矩陣都有N個線性獨立的特征向量?？梢缘扔诓⒉灰馕吨鳰SMA-HPC?2003譜半矩陣M所有矩陣MSMA-HPC?2003譜半矩陣M所有矩陣MSMA-HPC?2003熱流例子SMA-HPC?2003熱流例子SMA-HPC?2003熱流例子（續(xù)SMA-HPC?2003熱流例子（續(xù)SMA-HPC?2003熱流例子（續(xù)SMA-HPC?2003熱流例子（續(xù)SMA-HPC?2003譜半徑定理fx01x譜半徑定理fx01x...ppfM01M...pp譜半徑fMf譜半徑MSMA-HPC?2003譜半徑定理證明MMUU1UU1U2U UpU譜半徑定理證明MMUU1UU1U2U UpUp UU...UpU101ppU I...01pI... U p01pSMA-HPC?2003譜分xGGGN譜分xGGGN用矩陣M來代替xMxM(GGG... N)GGu...u SMA-HPC?2003收斂性分析Krylov1）GCR運算法則在最多n步內收斂于真實解。x收斂性分析Krylov1）GCR運算法則在最多n步內收斂于真實解。xx1x2....xn其中iM證明：令0，因此r 0n2）如果M只有q個特征值，那么GCR運算法則最多以需SMA-HPC?2003····GCR－QSMA-HPC?2003數值模擬數值模擬導論-感謝DeepakRamaswamy,MichalRewienski,KarenVeroyandJacobWhite·回顧－Krylov·回顧－Krylov·回顧特征值和·收斂速度的－Chebychev多項－近似LU預處G,w0kbforj＝0topjrfori＝0toG,w0kbforj＝0topjrfori＝0toj- pMpMpjjjii ppjjMpMpxjrjjjMpxjjjMprjjjSMA-HPC?2003標準圖示運算步1）正交2）xk標準圖示運算步1）正交2）xk計算rSMA-HPC?2003GGG 開始的幾步rGGG 開始的幾步rb· ，0r0·p00 1r·p1.0 Mr11p SMA-HPC?2003GGG GGG x1r11· ·bMx2r0Mr0rM2r0 p Mr12pp SMA-HPC?2003GGG GCR的第kkGGG GCR的第kkTpkrkkMr jjj kkkrMpTk第k步運算的最佳kxkxk rkrkkkSMA-HPC?2003GGG 多項式梗概的有j0，那么jGGG 多項式梗概的有j0，那么j1）向量空間p,p,...,p向量空間r0Mr0Mrk kMr02rk是kkk2bMxk1r0M IMr0 Mr003）rkkkk01這里是（k＋1）次多項式kk2rk2SMA-HPC?2003殘向量最小值多項式梗概,Mr0,...,Mrkxk2如最?。簉k2Mr021xkrk是殘向量最小值多項式梗概,Mr0,...,Mrkxk2如最?。簉k2Mr021xkrk是k次多項式，最小kk2r IMMb002）rkkkk1）次多項式，如0 是kk那么他可以最小2rk2這里多項式作為解題工具，只有一個作用。那就最小化殘向量SMA-HPC?2003“與外界物熱交Krylov的例子吸近端溫遠端“與外界物熱交Krylov的例子吸近端溫遠端溫離散節(jié)點平衡方SMA-HPC?2003Krylov近端溫離散遠端溫節(jié)點Krylov近端溫離散遠端溫節(jié)點平衡方SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003(Rhs＝－1，＋(Rhs＝－1，＋SMA-HPC?2003殘向量最小值多項式最優(yōu)化MMrkk殘向量最小值多項式最優(yōu)化MMrkkkk1是任意的k次順序多項式，所以有krkSMA-HPC?2003矩陣的放大倍數問題假設y，那么y矩陣的放大倍數問題假設y，那么y比xSMA-HPC?2003回顧向量的范L2L1L回顧向量的范L2L1LSMA-HPC?2003矩陣L階范1MlxxlxllnM1j矩陣L階范1MlxxlxllnM1jnMjSMA-HPC?2003矩陣L階范nx1,1,...矩陣L階范nx1,1,...maxM1nmaxjMM2通過前面的介紹我們知道，解X的值的變動同一個因子有關，這個因子是關于A的。這個因子是，A (Cond(A)min(SMA-HPC?2003譜半徑理論fx1x...譜半徑理論fx1x...ppfMM...M01pspectrumfMfspectrumMSMA-HPC?2003收斂性分析矩陣多項式的標M特征空間的條圖中英文為：矩陣收斂性分析矩陣多項式的標M特征空間的條圖中英文為：矩陣MSMA-HPC?2003收斂性分析矩陣多項式的標SMA-HPC?2003收斂性分析矩陣多項式的標SMA-HPC?2003收斂性分析重要發(fā)1）一個Krylov子空間殘向量最小化的運算，最多N步收斂于x收斂性分析重要發(fā)1）一個Krylov子空間殘向量最小化的運算，最多N步收斂于xx1x2....xn，這里iM令M0ininxx1x2..xqqSMA-HPC?2003對稱矩陣的收斂性多項式的殘余如果M1）M有對稱矩陣的收斂性多項式的殘余如果M1）M有標準正交的特征如果M正定MSMA-HPC?2003導熱棒矩陣的多項式殘余量圖導熱棒矩陣的多項式殘余量圖SMA-HPC?2003kkSMA-HPC?2003導熱棒矩陣的多項式殘余量圖對稱矩陣的收斂Mmin,max,對稱矩陣的收斂Mmin,max,0pk（小的多項式性能比較好）多項式的最大最小值問題已經被ChebyshevSMA-HPC?2003對稱矩陣的收斂Chebyshev方法：Chebyshev多項對稱矩陣的收斂Chebyshev方法：Chebyshev多項SMA-HPC?2003Chebyshev多項式Chebyshev多項式的最小化超出了SMA-HPC?2003對稱矩陣的收斂KrylovChebyshev的范SMA-HPC?2003對稱矩陣的收斂KrylovChebyshev的范SMA-HPC?2003對稱矩陣的收斂KrylovChebyshev的結SMA-HPC?2003對稱矩陣的收斂KrylovChebyshev的結SMA-HPC?2003前處KrylovSMA-HPC?2003前處KrylovSMA-HPC?2003前處Krylov讓M=D+M其中DD1Mx前處Krylov讓M=D+M其中DD1MxID1MndxSMA-HPC?2003系統(tǒng)離散SMA-HPC?2003系統(tǒng)離散SMA-HPC?2003SMA-HPCSMA-HPC?2003前處理矩陣特征SMA-HPC?2003前處理矩陣特征SMA-HPC?2003熱流動的例子維密稀疏熱流動的例子維密稀疏SMA-HPC?2003前處LU的前處L為下三角矩陣，ULU前處LU的前處L為下三角矩陣，ULUMxLU1b中Mx形式就等LUy。SMA-HPC?2003前處LU前處理（續(xù)在真實的LU填充這個LUSMA-HPC?2003前處LU前處理（續(xù)在真實的LU填充這個LUSMA-HPC?2003SMA-HPC?2003分解SMA-HPC?2003分解2前處KrylovLU近似分解前處理（續(xù)）放棄LUSMA-HPC?2003前處KrylovLU近似分解前處理（續(xù)）放棄LUSMA-HPC?2003－Krylov－Krylov－Chebychev－近似LUSMA-HPC?2003數值模擬分析導論數值模擬分析導論——第八講Jacob感謝ThankstoDeepakRamaswamyJaimePeraireRewienski,andKarenSMA-HPC?2003非線性問——非線性問——理查森和線性收——牛頓——————————SMA-HPC?2003壓桿實例SMA-HPC?2003壓桿實例SMA-HPC?2003壓桿實例提示：求壓桿力SMA-HPC?2003壓桿實例提示：求壓桿力SMA-HPC?2003壓桿實例SMA-HPC?2003壓桿實例SMA-HPC?2003壓桿實例為什么是非線性的增大對壓桿的拉桿受力壓桿實例為什么是非線性的增大對壓桿的拉桿受力大小和方向都發(fā)生改SMA-HPC?2003電路實例SMA-HPC?2003電路實例SMA-HPC?2003迭代求解fx0迭代求解fx0Wxkxkfxk1迭代收斂于正確的解迭代收斂的速SMA-HPC?2003定理查森迭代的定fxkx定理查森迭代的定fxkxkxk迭代收斂于方程的一個xkfxkxkx解SMA-HPC?2003實例SMA-HPC?2003實例SMA-HPC?2003實例SMA-HPC?2003實例SMA-HPC?2003實例SMA-HPC?2003實例SMA-HPC?2003收設xkfxxkx收設xkfxxkxfxxkxfxkfx需要xk1SMA-HPC?2003收均值定理SMA-HPC?2003收均值定理SMA-HPC?2003收均值定理的應用xxkxfxfxxk收均值定理的應用xxkxfxfxxk1xxkxfxkfxx f1kxSMA-HPC?2003收理查森法則SMA-HPC?2003線性收或那并如收理查森法則SMA-HPC?2003線性收或那并如實例SMA-HPC?2003實例SMA-HPC?2003問只是線性x,ff-——在電問只是線性x,ff-——在電路中表示位移f表示施加-——在桿件問但是算法fx——SMA-HPC?2003牛頓SMA-HPC?2003通過泰勒公式牛頓SMA-HPC?2003通過泰勒公式展開求圖形表示SMA-HPC?2003圖形表示SMA-HPC?2003例SMA-HPC?2003二漸漸例例SMA-HPC?2003二漸漸例例SMA-HPC?2003例SMA-HPC?2003收斂SMA-HPC?2003收斂SMA-HPC?2003收斂續(xù)SMA-HPC?2003兩邊同除以dfdx收斂續(xù)SMA-HPC?2003兩邊同除以dfdx收斂實例SMA-HPC?2003收斂實例SMA-HPC?2003收斂實例SMA-HPC?2003注收斂實例SMA-HPC?2003注收斂例子SMA-HPC?2003收斂例子SMA-HPC?2003收斂SMA-HPC?2003證收斂那收斂SMA-HPC?2003證收斂那收斂定df若L有界收斂定df若L有界總是收斂么SMA-HPC?2003收斂實收斂性依賴于給定恰當的初始SMA-HPC收斂實收斂性依賴于給定恰當的初始SMA-HPC?2003收斂收斂性檢測需要一個“”來檢驗是否產生收斂收斂性檢測需要一個“”來檢驗是否產生錯誤的收SMA-HPC?2003收斂收斂性檢測fx”來檢驗是否產生收斂收斂性檢測fx”來檢驗是否產生錯誤的收同樣需要一個SMA-HPC?2003非線性問——非線性問——理查森和線性收——牛頓——————————SMA-HPC?2003數值模擬數值模擬導論-雅克比·感謝DeepakRamaswamy,JaimeMichalRewienski,andKaren簡單回顧一維牛頓——收斂性簡單回顧一維牛頓——收斂性檢多維牛頓——基本算——雅可比矩陣的描——方程多維收斂——證明局部收斂——收斂性的改fx*x*fx2xffx*x*fx2xfx*xxx*fx2fxxfxSMA-HPC?2003初始給定值，kfxk初始給定值，kfxkxkfxkkkfxk1xk1SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003SMA-HPC?2003收斂性檢驗SMA-HPC?2003收斂性檢驗x”來檢測是否產生錯誤的收斂同樣需要一個x”來檢測是否產生錯誤的收斂同樣需要一個fSMA-HPC?2003收斂性檢驗SMA-HPC?2003局部收斂SMA-HPC?2003局部收斂Fxff0GFxx0FyL或xllF00Ll 22xyyFyll0 lllFxff0GFxx0FyL或xllF00Ll 22xyyFyll0 llll E0c0l0xxlllfx0lylylfy0llSMA-HPC?2003桿件和節(jié)點問題節(jié)點分析1i2節(jié)點分析1i2gv3gv1v2SMA-HPC?2003Fx*問題：求解出使得xFx*問題：求解出使得xRN且FRN利用泰勒級數展開式RNFx*xxxH.OFxJ雅可比矩陣若近似于精確解則J xSMA-HPC?2003xFx*節(jié)點分析xR2且FR2xllF00Llxy節(jié)點分析xR2且FR2xllF00LlxyF00LlyG?Jx?FSMA-HPC?2003桿件和節(jié)點問題xR2且FR2i12GxR2且FR2i12G在節(jié)點2處：i3i2FGgvgvvv1312GJxFSMA-HPC?2003非線性電阻器問JFxxFxxFFxFJFxxFxxFFxF"1N1JFxx#%"##FxNN11SMA-HPC?2003 x為奇數FxFx"1N1JF x為奇數FxFx"1N1JFxx#x%"##FFxNN11SMA-HPC?2003奇數實例x0＝初始計算Fxk,xkF解方程JFxx0＝初始計算Fxk,xkF解方程JFxkk1xxFx求得kkkkkFxk1}xk1,SMA-HPC?2003計算雅可比矩陣和函數考慮節(jié)點之間的一個非線性電阻的作用gvb 2Fnvg計算雅可比矩陣和函數考慮節(jié)點之間的一個非線性電阻的作用gvb 2Fnvg n2上： n212g vvgn對節(jié)點n求偏微分121121SMA-HPC?2003計算雅可比矩陣和函數一個電阻器上受到的電#####gvgvnnv# 計算雅可比矩陣和函數一個電阻器上受到的電#####gvgvnnv# g####11##ngvgv # #2##JF##2#FSMA-HPC?2003進一步計算牛頓算法x0k＝初始值重復Fx進一步計算牛頓算法x0k＝初始值重復Fxk,F將JF和FxkxkxkFxk求得kkFFxk1xk1xk直,足夠小為}實例：直通棒中的熱流什么是雅可比行實例：直通棒中的熱流什么是雅可比行矩陣？SMA-HPC?2003多維收斂定理主要定1kJFJF多維收斂定理主要定1kJFJFxJFylxyz定理陳多維收斂定理重要輔助定JFxJFylxy多維收斂定理重要輔助定JFxJFylxyzl2FxFy yxF2這里沒有多維的均值定理SMA-HPC?2003通過牛頓迭代的定義和假定雅可比矩陣逆的極限值得FxkFxkxk通過牛頓迭代的定義和假定雅可比矩陣逆的極限值得FxkFxkxk1FkJx再次利用牛頓迭代的定義FxkFxk1kxk1xkxF0最后利用輔助定理22xkxkxkSMA-HPC?2003等式重xk1xkxkxkxk等式重xk1xkxkxkxk2x1若2xkx0xkkxk1xk則一維必須設法限定X的變一維必須設法限定X的變化范SMA-HPC?2003用牛頓算法求x0重復＝初始值，k計算Fx用牛頓算法求x0重復＝初始值，k計算FxkxkF解方程JFxFx求得kkkkxklimxk1xkkk1Fxk1xk直,足夠小}迭代方向正xkxkiiik表示迭代方向正xkxkiiik表示1xi迭代方向錯li kkx mi,kx由此推斷，牛頓迭代不能保證全局SMA-HPC?2003一般阻尼定解方程JFxxFx 求解kkkk一般阻尼定解方程JFxxFx 求解kkkkkxkxk主要思想：線性搜Fxkkxk12找出k取極使2FxkFxkFxkkxk1kxk122該法在牛頓收斂方向執(zhí)行一維搜SMA-HPC?2003FkJxJFxyFkJxJFxyx(導數為Lipschitz存在一些列k0,1FFFxk1其中每進行一步迭代則減小了F——全局收斂性SMA-HPC?2003x0k＝重復計算FxkkF解方程JFxx0k＝重復計算FxkkF解方程JFxxFx求得kkkkFxk找出k使kxk取極小xkxkkxkkkFxk1xk}直,足夠小為如何求阻尼系數嵌套迭阻尼牛頓奇異雅可比矩陣阻尼牛頓阻尼牛頓奇異雅可比矩陣阻尼牛頓法“推動”迭代趨向局部極小找出雅可比矩陣的奇異SMA-HPC?2003-——收斂性-——收斂性-第十數值-第十數值模擬導改進的牛頓雅克比·懷感謝DeepakRamaswamy,JaimeMichalRewienski,andKaren阻尼牛頓定—若雅可阻尼牛頓定—若雅可比矩陣是非奇異矩陣，則全局收—奇異雅可比矩陣收斂非常困介紹連續(xù)定—源/載荷步問牛頓算法牛頓算法求初始給定值，k重復計算Fxk牛頓算法牛頓算法求初始給定值，k重復計算FxkxkFxkxkxkFx求得kFxklimxk1xkkk1fxk1}xk足夠直SMA-HPC?2003阻尼牛頓定律一般阻尼定 xxFx求解kk阻尼牛頓定律一般阻尼定 xxFx求解kkkkkxkxk主要思想：線性搜Fxkkxk12找出k使取極2Fxkkxk1Fxkkxk1TFxkkxk122該法在牛頓收斂方向執(zhí)行一維搜SMA-HPC?2003阻尼牛頓收斂定律如FkJx(反之不成立xy阻尼牛頓收斂定律如FkJx(反之不成立xyx(導數為Lipschitz那存在一些列 0,1使kFxk1Fxkkxk1Fxk其中每進行一步迭代則減小了F——全局收斂SMA-HPC?2003阻尼牛頓1IrrVd Is1Vt阻尼牛頓1IrrVd Is1Vt節(jié)點方程v211016ev201f210SMA-HPC?2003實阻尼牛問解答續(xù)SMA-HPC?2003阻尼牛問解答續(xù)SMA-HPC?2003嵌套迭x0＝初始值，k重復計算Fxk,xkF解方程嵌套迭x0＝初始值，k重復計算Fxk,xkF解方程JFxFx求得kkkkFxk取極小找出 使kxkkkxkxkkkFxk1}xk,如何求阻尼系數SMA-HPC?2003阻尼牛頓定定理證通過定義牛頓迭F1kxkF牛頓方向多維均值迭l2Fx阻尼牛頓定定理證通過定義牛頓迭F1kxkF牛頓方向多維均值迭l2FxFyyxy2xF綜合以2